医药数理统计 第一章 随机事件与概率70页
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医用数理统计方法课件第一章精品
A
B
Ω
（一）事件的关系和运算
5.事件的差: 若事件A发生而事件B不发生，这一事件 称为事件A与事件B的差，记为A-B
属于A而不属于B的样本点的集合
A
B
A={2,4} B={1,4,5,6}
Ω
（一）事件的关系和运算
6.互斥关系: 若事件A与事件B不能同时发生，即A∩ B =Ø ，则称事件A与B事件互斥（或互不相容） A与B没有相同的样本点
A
三、随机事件
将样本空间Ω也看成一个事件，它包含了全体 样本点，而在任何一次试验中，必然会出现 其中的某个样本点，即它必然会发生，所以 我们又把Ω称为必然事件。
将空集Ø 也看成一个事件，它不包含任何样本 点，由于在任何一次试验中出现的样本点都 不属于Ø ，所以Ø 称为不可能事件。
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个 极端情况。
医药数理统计方法
南京医科大学数学教研室 韩新焕
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验（random trial） 自然界现象分为确定性现象和随机现象
在试验之前就能断定它有一个确定的结果，这 类试验称为确定性试验，这种类型的试验所 对应的现象，称为确定性现象.否则称为随机 现象 例子
统计规律
定义1.1 若随机事件A在n次独立重复试验中 出现了m次，此比值m/n称为事件出现的频率 (frequency)，记为 fn(A)=m/n
三个事件都不发生：
A B C , A B C,
三个事件中至少有一个不发生：
AB C
第二节 随机事件的概率
对于事件A，用一个数P(A)来度量该事件发生 的可能性大小，这个数称为事件发生的概率。
从函数的观点来看出,概率是事件的函数, 定义域为事件,值域为一个数
第一章随机事件及概率概率与统计 100页PPT文档
（4） A、B、C同时发生 ABC
（5） A、B、C 中至少有一个发生 A B C
（6） A、B、C中至多有一个发生
A B C AB C ABC A BC
（7） A、B、C 中恰有两个发生
ABC ABC ABC
（8）A、B、C 中至少有两个发生
ABC ABC ABC ABC或AB AC BC
注意： 样本点重复时只写一次！
注：对任合事件 A，B 有
(1)A A+B ， B A+B (2)A+A=A，
(3)A+Ω=Ω
(4)Aư、、An 中至少有一个发
生的事件称为事件 A1、A2、、An 的和事件 .记之为
n
n
A1 A2 An , 简记为 A i 或 Ai
试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。
样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本
事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两 个以上的基本事件构成的事件)。
事件发生：如果当且仅当样本点ω 1,ω 2,…,ω k有一个出 现时，事件A就发生。
用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即 A={1， 2，…... k}
样本空间
A AB
∩ B
在例1中， A={取到5号球}， B ={取到编号是奇数的球}
则： Ａ∩Ｂ={取到编号为 5 的球}
注：对任合事件 A，B 有
(1)A B A ，(2)AA=A，（3）AΦ = Φ,（4）AΩ=A
事件交的推广
“n 个事件 A1,A2,,An 都发生” 这一事件称为事
件A1,A2,,An的交。记为： A1∩A2∩∩An 或 ∩Ai。
医药数理统计自考复习
第一章J一、事件之间的关系及运算：包含：事件A发生必然导致事件B发生，记作AuB或BnA。
相等：若AuB,同时有BuA,记为A二B并事件：C = A + B二｛A,B至少有一个发生｝交事件：AB=｛A9B同时发生｝互斥事件：A,B不同时发生即互斥完备群：即•柑S)且壬4=：。
/-I对立事件：在一次试验中A与B有且仅有一个发生，即AB=^且4 + B=C二、事件的概率1 •频率的定义：进行条件相同的n次试验，事件A出现m次，则称m为事件A的频数, 比值n/m称为事件A发生的频率。
记作/(A)= m/n2•概率的古典定义：主要看例题3.概率的性质:11 OSP⑷VI；2 \叱)=1 ；P(O)= 0三、概率的运算1. 加法定理：互斥事件P(4 + B)= P(A)+ P(B)—般事件P(A + B)= P(A)+ P(B)一P(AB)对立事件P(A + B)= P(4)+P(B)= 12 .乘法定理：独立事件P(AB) = P(A)P(B)(独立的定义：P(A) = P(A/B)或P(B) = P(B/A))一般事件P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)注意:独立不胡，胡不独立3 .条件概率：P(B/A)= ^# , P(B/A)= 1-P(B/A)四. 全概公式和逆概公式(重点)定理1 :若事件组〃显2,…B“是一列互不相容的事件,且有= 6对任何事件A ,有1-1P(A)^P(B i)P{A/B i).即r-1P(A) = P(AB, + g +•• + AB)f-11-1定理2 :若〃”伙,…〃”是一列互不相容的事件，且产C,P(Bj>0,心1,2,…r-1则对任一事件A,P(A)>0 有Pg/A)= j(3)P0/Bj,即D(B J P(4/B JPg*需例题Z书后习题。
第二章概率分布与数宇特征离散型变量的概率分布与数宇特征一. 概率函数1、定义：P{X =心}=久，写成表格的形式(分布率)2、基本性质：戸n o ； Z竹=1r二、分布函数1、泄义：F(x) = P{X Sx}, x G RP{x2 <X<>x5} = P{X VxJ-P{X <>x2} = F(X5)-F(X2)= P(x i) + P(x4) + P(x s)2、性质：OVF(x)Vl； F(x)是x 的不减函数；F(Y>)=0,F(*O)=1。
医药数理统计课件(概率论部分)_ppt课件
这种在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复 试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象规律性的一门 数学学科。
第一章 随机事件与概率
§1 随 机 事 件 及 其 运 算
一 随机事件 （一）随机试验 （二）样本空间 （三）随机事件 二 事件间的关系与运算 （一）事件间的关系 （二）随机事件的运算
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（一）随机试验
思考以下案例：
这些事件具有以下共同点：
一、随机事件
1、可以在相同条件下重复； E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T 2、每次试验的结果可能不止一个， （Tails）出现的情况。 并且能事先明确试验的所有可能结 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 果； E3：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼叫次数； 3、进行一次试验之前不能确定哪 E4：观察某一电子元件的寿命。 一个结果会出现。 称具备上面三个特点的试验为随机试验 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
（二）样本空间
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 Ω 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 要求：会写出随机试验的 样本空间。
一、随机事件
目 录
B S
A B发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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二、事件间的关系
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
医药数理统计课件
随机事件：随机试验的结果（样本空间的子集）（A， B…….）
基本事件:不能分解成其它事件的最简单的随机事件. 必然事件：每次试验必然发生（） 不可能事件：每次试验都不会发生（）
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事件与概率
二、事件间的关系与运算
事件的包含：如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包 含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作 BA或AB
量取这些可能值的概率是确定的，则称这种变量是随机变量。
注意：随机变量常用X,Y,Z表示，而表示随机变量所取的值通常用x,y,z表示。
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高。我们可把可能的身高看作随机 变量X，然后提出关于X的各种问题。如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=？一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就 得到X的一个具体的值，记作x。这时,要么x≥1.7米，要么x <1.7米，再去求 P(x≥1.7米)就没有什么意义。
则：A B C D F是两两不相容事件 P与F是互为对立的事件 即有PF A B C
D均为P的子事件 且有PA∪B∪C∪D
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事件与概率
三、随机事件的运算律
1 关于求和运算 (1) A∪BB∪A (交换律) (2) (A∪B )∪CA∪(B∪C )A∪B∪C (结合律)
2 关于求交运算 (1) A∩BB ∩A (交换律) (2) (A∩B )∩CA∩(B ∩C )A∩B ∩C (结合律)
在二项分布中，X取不同值k（k=0, 1, 2…, n）的概率是不同的， 是P（X=k）取最大值的k（记为k0）称为二项分布的最可能值。当k在（n+1）p附
说明：AB属于A的每一个样本点一定也属于B 对任意事件A 易知A
基本事件:不能分解成其它事件的最简单的随机事件. 必然事件：每次试验必然发生（） 不可能事件：每次试验都不会发生（）
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事件与概率
二、事件间的关系与运算
事件的包含：如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包 含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作 BA或AB
量取这些可能值的概率是确定的，则称这种变量是随机变量。
注意：随机变量常用X,Y,Z表示，而表示随机变量所取的值通常用x,y,z表示。
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高。我们可把可能的身高看作随机 变量X，然后提出关于X的各种问题。如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=？一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就 得到X的一个具体的值，记作x。这时,要么x≥1.7米，要么x <1.7米，再去求 P(x≥1.7米)就没有什么意义。
则：A B C D F是两两不相容事件 P与F是互为对立的事件 即有PF A B C
D均为P的子事件 且有PA∪B∪C∪D
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事件与概率
三、随机事件的运算律
1 关于求和运算 (1) A∪BB∪A (交换律) (2) (A∪B )∪CA∪(B∪C )A∪B∪C (结合律)
2 关于求交运算 (1) A∩BB ∩A (交换律) (2) (A∩B )∩CA∩(B ∩C )A∩B ∩C (结合律)
在二项分布中，X取不同值k（k=0, 1, 2…, n）的概率是不同的， 是P（X=k）取最大值的k（记为k0）称为二项分布的最可能值。当k在（n+1）p附
说明：AB属于A的每一个样本点一定也属于B 对任意事件A 易知A
医药数理统计方法复习总结资料
(5) 常见随机变量的数学期望
分布类型
二点分布 二项分布
表达式
01
X ~(
)
1 p p
X ~ B(n, p)
数学期望 EX p
np
泊松分布
X ~ P()
均匀分布 指数分布 正态分布
X ~ U[a,b] (a+b)/2
X ~ E() 1/
X ~ N (u, 2 )
u
例:已知随机变量X~B(50,p)且EX=10,求p
第二章 随机变量及其分布
(一)离散型随机变量的概率分布及分布函数 1 离散型随机变量的分布律
X X1 X2 …….. Xi ……
p
p1 p2 …… pi
……
(1) pi 0(i 1, 2, ..);
(2) pi 1
i 1
2 离散型随机变量的分布函数
F(x) P(X k) pk
kx
若级数 xi pi是一个有限值,则称级数 xi pi为
i=1
i=1
X的数学期望或总体均数,记作 : E( X ),即:
E( X ) xi pi
i1
例: X0 1 2 3 4 P 1/5 1/5 1/10 2/5 1/10
求EX
例:求掷骰子点数X的数学期望.
2 连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的概率函数为f(x),
特别的, 0, 1的正态分布称为标准正态分布.
(x)
1
x2
e 2 , x
2
( x)
若随机变量X ~ N (, 2 ),则可通过变量替换
u=
t-
, 使得随机变量U
X
~
N (0,1),即随机
医学统计学第一章ppt课件
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+ 统计不是万能的：统计只能认识规律而不能“创造” 规律。 对统计结论的解释也要由专业知识解释
如：对出生性别比(103~107:100)的认识和解释
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+ 统计分析手段需要有正确的医学理论作指导，不 能将医学问题归结到纯粹的数量问题，否则会归 纳出错误的结论
如：在样本容量较大时，统计上有显著性和临床上 有实际价值有时候是两码事 实例：采用某种降压新药和传统药物治疗高血压 病人，各500 例，新药比传统药物平均多下降 0.5mmHg.
1. 使大家具备新的推理思维，学会从不确定性和概 率的角度去考虑问题
（借你一双慧眼！透过现象看清本质）
2. 学会结合专业问题合理设计试验，通过精细的试验 观察获得可靠、准确的资料
注：统计学的主要作用是体现在“统计研究设计”上
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3. 学会正确运用统计方法充分挖掘资料中隐含的信 息，并能恰如其分地作出理性概括，写成具有一 定学术水平的研究报告或科学论文。
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1.2 几个基本概念
1.2.1 同质
性质相同的事物称为同质的，否则称为异质 的或间杂的。
观察单位间的同质性是进行研究的前提
不同研究或同一研究中不同观察指标对观察对象的 同质性的要求不同，即同质是相对的。
如研究身高和红细胞数、血红蛋白等指标时，男女是异质的， 而在研究白细胞数指标时又是同质的。
+ 小概率原理是统计推断的一条重要原理
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Ronald A. Fisher(费歇尔，1890～1962)，英国统计 学家和遗传学家，现代统计学的奠基人
医药数理统计
•参数和统计量
–参数(总体量)：用来描述和表达总体的数量 特征指标。 –统计量：用来描述和表达样本数量特征的 指标。
总体
数量平均水平 和集中趋势
均数
变异大小和 离散程度
标准差
医药数理统计方法
样本
平均数 x
标准差S
医药数理统计方法
• 误差(error)
– 统计学的误差：观察值与真实值之差；样本统计量的 值与总体参数值之差。
– 资料：在确定总体后，研究者则应对每个观察 单位的某项特征进行测量和观察，这种特征称 为变量。对变量的测量值称为变量值(value of variable)或观察值(observed value），也称资料。
医药数理统计方法
•变异(variation)
–在同一个总体内，各个个体所表现出来的 参差不齐性。
( 2)
n
n
其中：f1,... fk及x1,...xk表示1至k组的频数及组中值
组中值＝（本段组上限＋本段组上限）/2
（三）均数的性质：
医药数理统计方法
1）均数的计算与样本内的每一个值都 有关
2）若每个xi都乘以相同的数k，则均数也 乘以k 3）若每个xi都加上相同的数A，则均数 也加上A
(四) 均数的应用
– 误差来源
• 系统误差
– 仪器初始状态未调整到零、标准试剂未经校正、医生掌握疗效 标准偏高或偏低、仪器的操作方法、治疗方法等原因，造成观 察测量结果倾向性的偏大偏小。
• 偶然误差
– 随机测量误差：指同一个体(观察单位)多次观测结果之差 – 抽样误差：样本指标与总体指标之差 – 过失性误差：操作人员读数、记录之差错
二、统计工作的步骤
医药数理统计方法
• 设计(design)：
–参数(总体量)：用来描述和表达总体的数量 特征指标。 –统计量：用来描述和表达样本数量特征的 指标。
总体
数量平均水平 和集中趋势
均数
变异大小和 离散程度
标准差
医药数理统计方法
样本
平均数 x
标准差S
医药数理统计方法
• 误差(error)
– 统计学的误差：观察值与真实值之差；样本统计量的 值与总体参数值之差。
– 资料：在确定总体后，研究者则应对每个观察 单位的某项特征进行测量和观察，这种特征称 为变量。对变量的测量值称为变量值(value of variable)或观察值(observed value），也称资料。
医药数理统计方法
•变异(variation)
–在同一个总体内，各个个体所表现出来的 参差不齐性。
( 2)
n
n
其中：f1,... fk及x1,...xk表示1至k组的频数及组中值
组中值＝（本段组上限＋本段组上限）/2
（三）均数的性质：
医药数理统计方法
1）均数的计算与样本内的每一个值都 有关
2）若每个xi都乘以相同的数k，则均数也 乘以k 3）若每个xi都加上相同的数A，则均数 也加上A
(四) 均数的应用
– 误差来源
• 系统误差
– 仪器初始状态未调整到零、标准试剂未经校正、医生掌握疗效 标准偏高或偏低、仪器的操作方法、治疗方法等原因，造成观 察测量结果倾向性的偏大偏小。
• 偶然误差
– 随机测量误差：指同一个体(观察单位)多次观测结果之差 – 抽样误差：样本指标与总体指标之差 – 过失性误差：操作人员读数、记录之差错
二、统计工作的步骤
医药数理统计方法
• 设计(design)：
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3、互不相容关系
如果A与B没有相同的样 本点，则称A与B互不相容 （互斥）。
图1-3
用概率论的语言说：A与B互不相容就是A与 B不可能同时发生。
在电视寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5 万小时”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生。
（二）事件运算 事件的运算与集合的运算相当，有 并、交、差、余等四种。
1、抛一枚硬币。
2、掷一颗骰子。 3、电视机的寿命。
4、测量误差。
样本空间的元素，就是随机试验E 的每个基本结果，称为样本点。
（四）随机事件
在进行随机试验时，人们常常关心 满足某种条件的那些样本点所组成的集 合，称这个集合为随机事件。简称事件 ，常用大写字母A，B，C，…表示。
掷一颗骰子中，“出现奇数点”是一个事件， 记作
”表示；又如出现
“X<3”表示事件“ 出现点数小于3 ”
2、掷两颗骰子的样本空间为 共有36个样本点。
若记X表示第一颗骰子出现的点数，Y表示第
二颗骰子出现的点数，那么事件“点数之和等
于5”可表示成“X+Y=5”=
事件“
”表示事件“最大点数为6”
3、检查10件产品，其中不合格品数为X
是一个随机变量，它可以取值：
2、事件A与B的交（积），记为 （或AB）
含义：由事件A与事件B中 公共的样本点组成的新事
图1-5
件。
用概率论的语言说：事件A与事件B同时发生。
例如，在掷一颗骰子的试验中， 记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}， 事件B=“出现的点数不超过3”={1,2，3}， 则事件A与B的交为
若事件A与B为互不相容，其交为不可能事
事件D=“出现的点数大于6”， 中任一样本点都不 在D中，所以D是空集，即不可能事件。
（五）随机变量 用来表示随机试验结果的变量称为 随机变量，常用字母X，Y，Z表示。
例1-4 1、掷一颗骰子，出现的点数是一
个随机变量，记作X，则事件“出现3点”
可用“X=3”表示，事件“出现的点数不
小于3”可用“
例1-1 你能举出哪些随机现象的例子？
1、抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能 反面朝上。 2、掷一颗骰子，出现的点数。 3、一天内进入超市的顾客数。 4、某种型号电视机的寿命。 5、测量某物理量（长度、直径等）的误差。
（二）随机试验
在相同条件下，可以重复的随机现 象称为随机试验。简称试验，用字母E 表示。
该试验有两个基本事
件
。
Venn图表示事件
在概率论中，常用一个长方形表示样 本空间，用其中一个圆或其他几何图形表 示事件A，这类图形称为Venn图。
—样本空间 —样本点
两个或两个以上样本点需表示成：
图1-1
例1-3 掷一颗骰子的样本空间为
事件A=“出现1点”，它由 的单样本点“1”组成。 事件B=“出现偶数点”，它由 的三个样本点“2”， “4”，“6”组成。 事件C=“出现点数小于7”，它由 的全部样本点 “1”“2”“3”“4”“5”“6”组成，即必然事件。
1、事件A与B的并（和），记为 （或 A+B）
含义：事件A与事件B中所 有的样本点组成的新事件。
图1-4
用概率论的语言说：事件A与事件B中至少有一 个发生。
例如，在掷一颗骰子的试验中， 记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}， 事件B=“出现的点数不超过3”={1,2，3}， 则事件A与B的并为
0,1,2,3,4，…，10。事件“不合格品数
不多于1件”可以表示成“
”；
“
”表示事件“ 不合格品数超过2件 ”
4、电视机的寿命T是一个随机变量，
则事件“寿命超过40 000h”可表示成
“
”。
事件“寿命不超过10000h”可表示成
“
”
在不少场合，用随机变量表示事件较 为简洁明了，这样一来，事件有三种表 示方法：
含A，记为
）。
用概率论的语言说：事件A发生必然导致事 件B发生。
2、相等关系
如果事件A与事件B满足：属于A的样本点
必属于B，而且属于B的样本点也属于A，即
且
,则称事件A与B相等，记作A=B。
例如，掷两颗骰子，记事件A=“两颗骰子的点数之 和为奇数”，事件B=“两颗骰子的点数为一奇一 偶”，显然A发生必然导致B发生，并且B发生也必然 导致A发生，所以A=B
必然事件 样本空间 包含所有样本点，它是 自身的
子集，在每次试验中它总是发生。
不可能事件 空集 不包含任何样本点，它也作为样本
空间的子集，它在每次试验中都不发生。
事件发生
在每次试验中，当且仅当这一子集中
的一个样本点出现时，称这一事件发生。
基本事件
由一个样本点组成的单点集合。
例如，抛一枚硬币这个随机试验，样本空间
例如， ：从一批含有合格品和次品的 药品中任意抽取一个药品，抽得的药品质 量。
Hale Waihona Puke （三）样本空间对于随机试验E，尽管在每次试验之前不
能预知试验的结果，但试验的所有可能的基
本结果是已知的，我们将随机试验E的所有
可能的基本结果组成一个集合，那么这个集
合称为E的样本空间，记为
。其中
表示基本结果。
例1-2 写出下列随机试验的样本空间。
件，即
；反之亦然。这表明： 就
意味着A与B是互不相容事件。
3、事件A对B的差，记为A-B。
含义：由事件A中而不在事 件B中的样本点组成的新事 件。
图1-6
用概率论的语言说：事件A发生而事件B不发生。
例如，在掷一颗骰子的试验中， 记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}， 事件B=“出现的点数不超过3”={1,2，3}， 则事件A对B的差为
1、用集合表示。 2、用语言表示，但语言要明白无误。 3、用随机变量表示。
二、事件间的关系及其运算
（一）事件间的关系
下面的讨论总是假设在同一个样本 空间 （即同一个随机试验）中进行， 事件间的关系与集合的关系一样有以下 几种：
1、包含关系
如果属于A的样本点必
属于B，则称A被包含在B
中，记为 （或称B包 图1-2
再如，设X为随机变量，则有：
一、基本概念
医药数理统计，是研究和揭示随机现 象规律性的一门数学学科。
（一）随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相 同结果的现象称为随机现象。
例如：抛一枚硬币；新药对某疾病的治疗 效果
随机现象的特点：
1、结果不止一个； 2、哪一个结果出现，人们事先并不知道。
如果，发生了只出现一种结果的现象，那 我们称它为确定性现象。