优化模型的三要素.ppt
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数学建模中的优化模型ppt课件
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
优化模型的三要素
② ③
④
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的 Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
图标，便得到以下运行状态窗口：
名称
Status
含义
显示当前求解状态：Optimal表示已经达到 最优解；其他可能的显示：Feasible， Infeasible，Unbounded
Iterations 显示迭代次数
在这个模型中，对变量x没有非负限制，对y有上限限制，对z有下限 限制；分别用FREE、SBU、SLB三个命令可以实现这些功能。具体输入 如下：
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。 该软件包功能强大，版本也很多，而我们 使用的只 是演示版（试用版），演示版与正式版功能基本上是 类似的，只是能够求解问题的规模受到限制，总变量数 不超过30个，这在我们目前的使用过程中，基本上是 足够。
线 性 规 划 模 型
显然，人数应该是正整数，所以
x 0 i 1 , 2 , 7 i
问题归结为在以上约束条件下求解min z的 整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于 决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向 行规划模型。
线 性 规 划 模 型
例-2 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成 接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。 5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示， 问应该如何选拔队员组成接力队？
主成分分析优化模型三要素
主成分分析优化模型三要素
主成分分析（PCA）优化模型的三个要素是：
1. 变量选择：PCA分析是基于协方差矩阵或相关系数矩阵进行的,因此需要根据研究目的和数据类型选择适合的变量。
一般来说,变量数目应该比样本数少,并且变量之间不能存在高度的共线性。
2. 主成分数目选择：主成分数目应该足够大以解释数据的大部分变异,并且足够小以保留数据的主要信息。
一般来说,可以采用Kaiser准则和Scree图两种方法确定主成分数目。
3. 主成分旋转方法选择：主成分旋转是为了将主成分与原始变量联系起来,使得每个主成分都有解释上的可比性。
常用的旋转方法有Varimax、Quartimax、Equamax等方法。
选择旋转方法要基于数据类型和实际需求来进行。
优化模型的三要素
定所有变量非负，也不区分大小写；约束条件中的“>=” 及“<=”可分别用“>”“<”代替；输入的多于空格和回车也 会被忽略；
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
三章优化模型-PPT文档资料153页
乘以图中三角形 A 的面积，缺货损失费是c 3 乘以三角形
面积B , 加上准备费，得一周期内的总费用为
C c 1 c 2 Q T 1 /2 c 3 r T T 1 2 /2 , ⑼
q
则每天的平均费用为
Q
R Ar
B
T1 T
t
C T,Q c1c2Q 2c3rTQ 2. ⑽
法，对⑶式求导，并令其为零:
cTTc12
c2r0. 2
即有:
T2 2c1 ,T 2c1 .
⑷
c2r
c2r
而
Q rT 2c1r .
⑸
c2
将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为
C 2c1c2r.
⑹
⑷，⑸被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.
结果解释
由⑷，⑸式可以看到，当 c 1 （准备费用）提高时，生
c22cr1
1/2
1, 2c1c2r
而
c1 c1
c1c2r ,
T 2c1/c2r
2
代入上式，得
sT,c1
dT dc1
c1 T
1. 2
同理可得:
sT,c21 2,sT,r1 2.
即：c 1 每增加 1 % ，T 增加 0 .5 % , c 2 每增加 1 % ，T 减
Q rT rT
由第二个方程, 得
T c2 c3 Q, c3r
再由第一个方程, 得
2 r c 1 c 2 Q 2 r 2 c 3 T 2 c 3 Q 2 0 .
即
T2 2rc1c2 c3Q2,
c3r2
再代入前一式, 有
T 2c1c2c3,Q 2c1c3r .⑾
数学建模最优化模型 ppt课件
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
第一讲 优化模型·
• 0-1整数规划
0-1型整数规划
★变量xi 仅取值0或1，这时候 xi 成为0-1变量，或称二进制 变量（Excel中就是称作二进制变量）。 例 某8名实习生, 在生产流水线上按2人一队负责某产 品同一道工序, 共分成四队. 假设8名实习生两两之间组 队的工作效率如下表所示,由于对称性,只列出上三角部 分。为使工作效率最高, 问应如何组队?
1 2 B( b A( aij ) 4 0 i 0 4
1x1 2 x2 8 4 x1 0 x2 16 s.t . 8 0 x 4 x 12 1 2 ) 16 x 、 x 0 12 1 2
Ⅰ 设备 1 Ⅱ 2 8台时
例
一、引入决策变量
16kg 12kg
原材料A 原材料B
4 0
0 4
产品Ⅰ的生产量
x1
产品Ⅱ的生产量 x2
二、确定目标函数
max z 2 x1 3 x2
Ⅰ
设备 原材料A 原材料B 1 4 0
Ⅱ
2 0 4 8台时 16kg 12kg
从而，得到了如下模型：
三、约束条件的确定
优化模型的一般形式
目标
Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n )T
约束
s.t . gi ( x) 0, i 1, 2,m
决策变量包含在数学表达式中
• 线性规划
线性规划
某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单 位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如 表所示。该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一 单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获得 最多收益？
ordU( X ) (U ( X 1 ),U ( X 2 ),....,U ( X p ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
优化模型.ppt
模型实例: 模型实例:存贮模型
问题
第一讲 简单的优化模型
配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 ），每次产量多少 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要建立生产周期、 要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
重点在模型的建立和结果的分析
§2.1
奶制品的生产与销售
空间层次
企业生产计划
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 车间级：根据生产计划、工艺流程、 车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化， 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划 否则应制订多阶段生产计划。 单阶段生产计划， 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。 本节课题
c1 c 2 rT + → Min 求 T 使 C (T ) = T 2
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性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
模
目标函数：目标函数即是聘用总人数，即
型
z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条件：由每天需要的人数确定。由于每人连续
工作五天，所以一周的雇员应该是周四到周一聘用的， 按照需要至少50人，于是
优化模型
优化模型的三要素
（1）决策变量，通常是某一问题需要求解的未知量，
用n维向量x= x1 ,x2 ,L xn T 表示，当对x赋值后它通常
称为该问题的一个解；
（2）目标函数，通常是某一问题需要优化（最大或 最小）的那个目标的数学表达式，它是决策变量x的 函数，可以 抽象的记作f ( x )；
（3）约束条件，由该问题对决策变量的现实条件给 出，即x允许的取值范围为x ，称为可行域，常
用一组关于x的等式hi( x ) 0i 1,2,L m和（或）不 等式g j( x ) 0 j 1,2,L n来界定，分别称为等式约
束和不等式约束。
于是，优化模型从数学上可以表述为
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.
规
记甲、乙、丙、丁、戊分别为队员 i=1，2，3，4，5；
划
记蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿 j=1，2，3，
模
4；记队员 i 的第 j 种泳姿的百米成绩为 cij（s），则表 一可以表示成为：
ai xi
bi , bi
, bi ,
形 式
xi 0,i 1,2,...,n
（2）二次规划问题
常
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束。
用 的
n
1n
min f
x
i 1
ci xi
2
i,
bij
j 1
xi
x
j
优 化 模 型 形 式
n
ai xi bi , bi
划
x3 x4 x5 x6 x7 90
模
显然，人数应该是正整数，所以
型
xi 0 i 1, 2,L 7
问题归结为在以上约束条件下求解min z的 整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于 决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向 行规划模型。
例-2 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成
两个约束条件：
① 每人最多只能入选4种泳姿之一，即对于员 i=1，2，3，
x1 x4 x5 x6 x7 50
类似的，有
x1 x2 x5 x6 x7 50
x1 x2 x3 x6 x7 50
线 性 规
x1 x2 x3 x4 x7 50 x1 x2 x3 x4 x5 80 x2 x3 x4 x5 x6 90
型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
opt z f ( x )
（1）
s. t. h( x ) 0 i 1,2,L ,2,L ,n （3）
这里opt 最优化的意思，可以是min（求极大， 即minamize的缩写）或max （求极小，即minamize 的缩写）的两者之一；s.t. （即subject to）“受约 束于”之意。
接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。
5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示，
线
问应该如何选拔队员组成接力队？
性
规
表一 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
划
队员
甲
乙
丙
丁
戊
模
蝶泳 1’06”8 57”2 1’18” 1’10” 1’07”4
型
仰泳 1’15”6 1’06” 1’07”8 1’14”2 1’11”
蛙泳 1’27” 1’06”4 1’24”6 1’09”6 1’23”8
自由泳 58”6
53”
59”4
57”2 1’02”4
问题分析：问题要求从5名队员中选出4人组成接
力队，每人一种泳姿，且四人的泳姿各不相同，使
接力队成绩最好。容易想到穷举法，组成接力队的
方案有5！=120中，逐一计算并做比较即可找出最优
, bi .
s
.t
.
i 1
xi
0.
i, j 1,2,...,n.
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
3.此外，为了解决实际问题的需要，还可以分为： 单目标规划，多目标规划，动态规划，多层规划等。
（1）线性规划（LP）的一般形式
常
目标函数和所有的约束条件都是变量的线性 函数。
用
n
的 min f x ci xi , i 1,2,...,n
优
i 1
化 模 型
n
s.t. i1
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
优化模型基本类型
1.决策变量x的所有分量xi均为连续数值
a）f ,hi ,gi都是线性函数，则为线性规划（LP） b）f ,hi ,gi至少有一个是非线性，则为非线性规划（NLP）
c） f 是二次函数,hi ,gi 都是线性，则为二次规划（QP）
2.决策变量x的的一个或多个分量xi取离散值
a） x的至少一个分量只取整数数值，则为整数规划（IP） b） x的分量限定只取整数0或1，则为0-1规划（ZOP）