3.2(2)比的基本性质 连比
比的意义和基本性质
比的意义和基本性质（1）【知识点详解】1. 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
（1） 比的前项：在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项。
（2） 比的后项：在两个数的比中，比号后面的数叫做比的前项。
（3）比值：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2. 连比：三个或三个以上的数也能够用比表示，这样的比叫做连比。
3. 反比：假如一个比的前项和后项是另一个比的后项和前项，这两个比叫做互为反比。
如：a ：b 和b ：a 互为反比。
4. 互为反比的两个比的比值互为倒数。
5. 前项为0的比没有反比，因为比的后项不能为0。
6. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，这叫做比的基本性质。
7. 最简单的整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。
8. 化简比：把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。
9. 把一个数量按照一定的比实行分配，这种方法通常叫做按比例分配。
典 型 例 题 精 讲知识点一：求比值。
（1） 求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。
（2） 比值和比都能够用分数形式来表示，（3） 比表示一种除法关系，比值是一个数值。
（4） 比值不能写成比的形式，但是它能够是分数，也能够是小数或整数。
（5） 比与分数、除法的关系为：a ：b=a ÷b=ba (b ≠0) 【例1】：求比值。
（1）12：0.7 （2）41：13 （3）0.36：52【例2】：求比值（有单位名称的比：先统一单位名称再求比值）。
（提示：任何一个比的比值都不带有单位名称）.（1）3km ：4km (2)20分：0.25时 （3）3.75吨：250千克知识点二：化简比。
1.整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
【例3】（1）15：10 (2)180：1202.分数比的化简方法：（1）比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘他们分母的最小公倍数，变成整数比，再实行化简；（2）利用求比值的方法也能够化简分数比，但结果必须写成比的形式。
3.2(2) 比的基本性质
年级 课题日期 六年级（上）3.2（2） 比的基本性质教学 目标知识与技能理解连比的意义的连质，掌握化简连比和求连比的方法.过程与方法 由学生思考、讨论、归纳得出连比的性质，渗透从特殊到一般及数学建模思想情 感 态 度 与 价 值 观 培养学生认真审题，规范解答的良好学习习惯 教材 分析教学重点 三项连比的性质 教学难点 根据条件求连比 相关链接最小倍数、最大公因数教学内容教学过程教后记课前练习一： 1. 配制某种农药药液时，农药与水的重量的比是1：1000.，你知道这个比表示的意义吗？按这个比配农药药液，如果取农药5克，那么应取 水克。
2. 某班男生与女生的比为3：4，这个比表示什么意义？如果该班男生有21人，那么女生 人；如果设该班男生有3x 人，那么女生有 人。
课前练习二 3. 化简下列各比。
（1）18：9＝ ； （2）0.28：0.3＝ ；（3）134 ：56 ＝ ；（4）1.6：135＝ 。
4. 求下列各比的比值。
（1）18：9＝ ； （2）0.28：0.3＝ ； （3）134 ：56 ＝ ；（4）1.6：135 ＝ 。
这两题有何异同？课前练习三：4.把下列各比化成后项是100的比。
（1）3：25＝ ；（2）135 ：4＝ ；（3）320500 ＝新课探索一(1) 一种糕点的部分配料是30克可可粉，10克白砂糖，20克奶粉。
根据条件，请提出有关求两个数的比的问题，并请其他同学回答。
（1）可可粉与白砂糖的比是 ；（2）白砂糖与奶粉的比是 。
你能说出可可粉、白砂糖、奶粉三个量之间的比吗？ 可可粉、白砂糖、奶粉的比是 。
新课探索一(2) 可可粉、白砂糖、奶粉的比是30：20：10。
像这样的比叫做三个数的连比（continued ratio ），其中30、10、20都是这个连比的项。
在比较两个以上量时，往往可以采用连比。
1、出示课前练习一。
2、由学生独立思考两分钟。
3、教师提问学生回答问题。
(完整版)人教版六年级数学上册比知识点
第四章 比一、比的基本概念1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个有联系的不同类量的比表示一个新的量2、比的符号和读、写法 1015是分数形式的比，是比的另一种书写形式 3、比的各部分名称（1）比的前项：在两个数的比中，比号前面的数（2）比的后项：在两个数的比中，比号后面的数（3）比值：比的前项除以后项所得的商4、求比值的计算方法：比的前项除以比的后项比值可用分数、小数或整数表示5、比和比值的联系与区别都可以用分数形式表示：53既可表示3：5，又可表示3：5的比值；比表示两个数的一种关系，比值是一个数；比只能写成a:b 或ba 的形式，比值可以是分数、小数、整数 6、比与分数、除法的关系（1）联系 a:b=a ÷b=ba (b ≠0) 除法 被除数 ÷ 除数 商分数 分子 — 分母 分数值比 前项 ： 后项 比值（2）区别①意义不同：比表示两个量的一种关系；除法是一种运算；分数则是一个数②表示方法不同：除法算式不能用分数表示；比可以用分数表示；但分数不一定表示两个量的比 ③结果表达不同：除法要求出商；比只有求比值才求出商；分数本身就是一个数值7、求比中未知项的方法比的前项=比的后项×比值比的后项=比的前项÷比值8、转化法解决问题：把不变量看作单位“1”小明读一本书，已读页数和未读页数只比是5：4.如果再读27页，已读与未读只比为2：1，求这本书多少页2：（1+2）=32 5：（5+4）=95 27÷（32-95）=243（页） 二、比的基本性质1、、比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
同样适用于连比2、化简比的意义（1）最简整数比：比的前项和后项是互质数的比（2）化简比的意义：把两个数的比化成最简单的整数比3、整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数4、分数比的化简方法（1）比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变整数比，再化简（2）利用求比值的方法，但结果必须写成比的形式5、小数比的化简方法：先把前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再化简6、黄金比较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，约为0.618：1三、解决问题1、用转化单位“1”的方法和找中间量的方法解题甲数是乙数的103，乙数是丙数的94，求这三个数的连比 方法一：把乙数看作单位“1”，丙数是乙数的49，所以甲：乙：丙=103：1：49 方法二：找中间量的方法甲：乙=3：10=6：20 乙：丙=4：9=20：45 所以甲：乙：丙=6：20：452、按比例分配问题应用把一个数量按照一定的比来进行分配。
连比的定义及性质
連比
例題練習
1. 若 4 : 5 : 9 8 : x : y , 求 x , y
性質證明
若 m 0 則 a : b : c am : bm : cm
証
a:b = am : bm b:c= bm : cm
2. 若
2 3
:a :
16 15
4 : 6 : b, 求 a , b
若 x：y ＝ a：b y：z ＝ b：c 則 x：y：z ＝ a：b：c
[解答: (1) x = 10, y = 18 (2) a 1, b
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32 5
]
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連比的性質(3) – 重要的解題技巧
証
x : y a :b
x a
y b
...
x a
z c
例 x:y:z
a : b = am : bm
5:2 3:4
15 : 6 6:8
性質(2) (擴分、約分)
a : b : c am : bm : cm a b c : : m m m
証 a:b
= am : bm b:c= bm : cm
z c
a
[解答: (1)
蘇德宙 老師
4 7
(2) 2 : 1 : 3,
1 6
]
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重點整理
連比例式的定義
x：y：z ＝ a：b：c
(兩個連比的比例相等)
連比
x：y = a : b y:z= b:c x: z=a: c
比的基本性质
比的基本性质知识点归纳 一、比的有关概念（1）两个数a 和b 相除，叫做a 和b 的比，记作b a :，或ba，其中0≠b ．a 称比的前项，b 称比的后项．（2）前项a 除以后项b 所得的商叫做a 与b 的比值，即：ba b a =÷． 二、比、分数和除法三者之间的关系（1）比是指两个数相除的关系；分数表示一个数；除法表示一种运算． （2）比的前项相等于分数的分子和除法中的被除数；比的后项相等于分数的分母和除法中的除数；比值相等于分数的分数值和除法中的商． 三、比的基本性质比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变，即)(:)(::m b m a bm am b a ÷÷==．四、最简整数比比中的各数除了1之外，没有其他的公因数，这样的比称之为最简整数比． 五、三连比的性质（1）如果n m b a ::=，k n c b ::=，那么k n m c b a ::::=． （2）如果0≠m ，那么mcm b m a cm bm am c b a ::::::==． 例题讲解例1、比的前项相当于除法中的（ ），相当于分数中的（ ）；比的后项相当于除法中的（ ），相当于分数中的（ ）；比值相当于除法中的（ ），相当于分数中的（ ）。
例2、填空。
(1) 6÷8＝( 6× ) ÷( 8× ) ＝ 12÷16 → 被除数和除数同时乘（ ） ↓ ↓ ↓6﹕8＝( 6× ) ﹕( 8× ) ＝ 12﹕16 → 前项和后项同时乘（ ）（2）6÷8＝( 6÷ ) ÷ ( 8÷ ) ＝ 3÷4 → 被除数和除数同时除以（ ） ↑ ↑ ↑6﹕8＝( 6÷ ) ﹕( 8÷ ) ＝ 3﹕4 → 前项和后项同时除以（ ）总结：结合商不变的性质，根据比与除法关系，我们得出： 比的前项和后项 乘或除以 （0除外），比值不变。
3.2(2)比的基本性质
3.2比的基本性质(2)教学目标知 识 与 技 能:进一步巩固运用比的基本性质化简比，通过实例理解连比的概念，并会运用连比的性质。
发展学生的类比学习能力和主动探究的意识和能力；培养学生的比较、分析和概括能力，提高学生的应用意识。
过 程 与 方 法：经历从现实背景中学习连比的性质的过程。
启发、讲、练结合，引导学生加强知识之间的联系，形成知识系统。
情感态度与价值观：在数学活动中，知道数学与人类生活有密切联系，形成正确的学习动机。
通过讨论的学习方式，感悟合作学习的乐趣；教学重点：通过类比的方法，掌握连比的性质。
教学难点：熟练运用三项连比的性质。
教学过程设计一、 复习1、复述比的基本性质及作用2、判断下列各题：（1）16:4的最简比是4。
（ ）（2）5:2.5 的比值是2。
（ ）（3）6 :0.3 的最简比是20:1。
（ ）（4）比的前项和后项都乘或都除以相同的数，比值不变。
（ ）3、试试身手：化简下列各比：（1）60小时:3天 （2）11:46二、介绍连比以及三连比的性质1、思考：克莉丝汀饼屋生产一种糕点，部分配料是，30克可可粉，10克白砂糖，20克奶粉。
可可粉与白砂糖的比是：30:10白砂糖与奶粉的比是：10:20可可粉、白砂糖、奶粉的比是： 30:10:20引出：三项连比的性质：（1）如果 k n m c b a k n c b n m b a ::::,::,::===那么（2）如果kc k b k a ck bk ak c b a k ::::::,0==≠那么 2、例1、把下列各比化为最简整数比（运用性质2）（1）15：30：40 （2）111::246（1）解：原式=)540(:)530(:)515(÷÷÷=3:6:8（2）解：原式=)1261(:)1241(:)1221(⨯⨯⨯ =6:3:2 3、例2、（1）已知,5:3:,3:2:==c b b a 求c b a ::（2）已知,5:4:,3:2:==c b b a 求c b a ::（3）已知a :b=2:3,c :b=4:5,求c b a ::（1）解：5:3:,3:2:==c b b a5:3:2::=∴c b a（2）解：a :b=2:3=(2×4):(3×4) = 8:12↓ ↓ ↓b:c= 4:5 =(4×3):(5×3)=12:15所以a:b:c=8:12:15(3)解:a:b=2:3=(2×5):（3×5） =10:15↓ ↓ ↓b:c= 5:4 = (5×3):(4×3)=15:12三、课堂练习书本81页练习3.2 /4四、小结三项连比的性质五、布置作业1、练习册：习题3.2 /1/(6)(7)(8)、3、4教学设计说明根据课改精神，教师在教学中应充分关注学生的主动参与和主动发展，提供给学生自行获取数学知识的时间和空间，因此本节课我尝试根据学生的实际，从知识结构的完整性，系统性以及学生已具备了分数基本性质知识等方面考虑，学生完全可以通过类比分数的基本性质的知识结构和探究方法，以问题探究的方式，借助小组合作的力量，进行比的基本性质的自主探索。
3.2比的基本性质
一种糕点的部分配料是30克可可粉、10克白沙糖、 20克奶粉。其中可可粉与白沙糖的比是30：10，白砂糖 与奶粉的比是10：20。由此可以说可可粉、白砂糖、 奶粉的比是30：10：20.
像这样的比叫做三个数的连比。其中30、10、20都是这个连比 的项。 在比较两个以上量时，往往采用连比。
三项连比的性质： （1）如果a:b=m:n ，b:c=n:k, 那么a:b:c=m:n:k
（2 ）如果k不等于0，那a:b:c=ak:bk:ck=
a k
b ： k
c ： k
小明、小丽、小杰三个人的身高分别是1.36m、1.45m、 1.50m三个人身高的比就是三个人身高的连比，即： 1.36m : 1.45m ：1.50m =136cm : 145cm : 150cm =136 : 145 : 150
例题1、 (1） 已知：a:b=2：3，b:c=3 ：5，
求a:b:c
(2)已知 a:b=2:3， b:c=4:5 ，求 a:b:c
练习一：根据条件，求x:y:z (1)若x:y=2:7,y:z=3:5 (2)若x:y=4:5,x:z=8:7
练习二：化最简整数比
2 3 5 （ 1） ： ： 3 4 6 （2）0.18 ： 0.27 ： 4.5
1 （ 3） 1 千克 ： 500克 ： 4 1:6= ，0.5: = 15
4、把15克盐放在100克水中，溶成盐水， 盐与盐水重量的最简整数比是
六年级数学上册第四单元的必背知识点
六年级数学上册第四单元的必背知识点一、比和比例1. 比的概念：比表示两个数相除的关系，记作a:b或a/b（b≠0）。
比号(∶)前面的数叫前项，比号后面的数叫后项，比的前项除以后项的商叫做比值。
2. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数 （0除外），比值不变。
3. 比与除法、分数的关系：比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母；比值相当于除法中的商、分数中的分数值。
4. 化简比：化简比的结果仍然是一个比，不是一个数。
常用的方法有：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
如果两个数是分数，可以用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
5. 求比值：求比值的结果是一个数 （或分数），相当于商，不是比。
方法是将比的前项除以后项。
6. 连比：三个或三个以上的数也可以用比表示，例如5:4:3，这样的比叫做连比。
二、圆的特征与性质1. 圆的定义：圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2. 圆心与半径：圆心：圆中心的点叫做圆心，用字母O表示。
圆心确定圆的位置。
半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。
半径确定圆的大小。
3. 直径：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。
在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。
直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍，即d=2r或r=d÷2。
4. 圆的对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴。
5. 圆的周长与面积：圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示，近似值为3.14。
圆的周长公式为C=πd或C=2πr。
圆的面积：圆的面积公式为S=πr²。
三、按比例分配问题定义：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
解题步骤：1. 找出单位“1”的量。
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1 (2)x:y=2 :1.5，y:z=1.3:3.9
5
11
(3)x:y=1:3 ，y:z=1 3 : 2
练2:一次数学测验,小明分数是小杰分数的 3 ,小
4 杰分数与小强分数的比是5:6，已知小强分数比
小明分数多36分,求这三人的成绩分别是多少分
练习3: 一根绳子，先分成两段，长度的比值 为 4 ,再把其中较短的一段分成1:3 的两段,
4
2
(4) 220g : 1 kg : 0.02t 5
例4: 已知:ab:bc:ac=15:12:16；?
求a:b:c的最简整数比
(1 ) 已知:xy :y z: xz= 10 :1 2:1 5；? 求x:y:z的最简整数比
(2 )已知:3 x=4 y=5z；? 求x:y:z的最简整数比
练习1:求x:y:z的最简整数比
若 a :b= m :n， b:c =n:k
则 a :b:c = m:n:k
例2、根据下列条件求 a : b : c
(1)a:b=3:5，b:c=4:7
(2 )a:b= 0.5: 0.8 ，b:c =1 .2 :0.5
23
11
(3)a:b= 5 : 5 ，b:c=1 3 : 2
要点：求 a:b:c 时需要注意哪些方面？
3
已知在这三段中最短的一段和最长的一段的 长度和为38米,求这根绳子的原长.
• 1、先找出a:b与b:c中相同的字母。 • 2、找出前后两个比中相同字母对应的数值。 • 3、若相同字母对应的数值相等则直接写出连
比； 若相同字母对应的数值不同，则利 用比的基本性质先将相同的字母对应的数值 化一致，然后写出连比。
例3、化简下列各比
(2) 2.8: 2 : 0.8 (3) 5 :1.2 : 2 1
连比
学习目标：
1、能利用连比的性质化简“各类比”。 2、能利用连比的性质来求三个数的连比。
学习目标：
比的基本性质
比a 的k前a 项a和÷k后项(同k \时0) 乘以或除以一个相同的数
==
(b0除k外b )，b ÷比k值不变.
ab a : b = ak : bk = : (k 0)
a ak a k (k 0)
kk
ห้องสมุดไป่ตู้
b bk b k
在比较两个以上的量时，可以采用 连比 a:b:c
连比性质一
a :b :c
ak : bk : ck
a k
b k
c k
(k
0)
例1、根据下列条件求 a : b : c
若a:b= 2:3，b:c =3 :5
则 a :b :c = _ _2_:_3_:5_ _ _
连比性质二