变换的定义与收敛域()
z , | z || a | za
(a )z
n
1
n
[ (az ) 1] (a 1 z ) n 1
1 n n n 0
0
1 z X 2 ( z ) ( )1 , 1 1 a z za
(z a)
不同序列，可能对应于相同的 z 变换，但具有不同的收敛域， 故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
n1 n n n2
2．右边序列的收敛域
x(n) a un
3．左边序列的收敛域
n
x(n) a u n 1
4．双边序列的收敛域
xn b
n
n b 0
3、 几类序列收敛域情况讨论
（1）有限长序列
X (z)
n1 < 0, n2 ≤ 0 n1 < 0, n2 > 0 n1 ≥ 0, n2 > 0
证明： (略) X s ( s ) [ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
改变积分与求和顺序 x(nT ) (t nT )e st dt
n 0 0
x(nT ) (0)e snT dt
n 0 0
2、级数收敛判定方法 （1） 比值判定法
对一个正项级数 n
设 lim n
a n1 an
X (z)
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
an
，
则： <1：收敛 >1：发散
=1：可能收敛也可能发散
（2） 根值判定法
a 对一个正项级数
n2 n n1
x(n),
n x ( n ) z
n1 n n2
0≤ |z| < ∞ 0 < |z| < ∞ 0 < |z| ≤ ∞
n1
n2
n1
n2
n1 = 0, n2 = 0
0 ≤ |z| ≤ ∞
n1
n2
有限长序列的收敛域至少为 0 < |z|n1 < ∞。 n2
例8-1
n1 2,
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义
z 变换的收敛域
典型序列的z 变换
《信号与系统》
BUPT EE
§8.1
ห้องสมุดไป่ตู้
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义——两种定义方式：
借助抽样信号的拉氏变换引出
直接对离散时间信号给出z变换定义
z变换的导出
抽样信号的拉氏变换→离散信号的z 变换
x( t ) xs ( t )
对 xs ( t ) 取拉氏变换
n 0
n 0
X s ( s) Lxs (t ) L x(nT ) (t nT ) n 0
X s s L[ x(nT ) (t nT )] x(nT ) e
n 0 n 0
snT
n n
X (z)
n
x ( n) z n
，
n
x ( n) z n
n a lim n 令： n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
3、 几类序列收敛域情况讨论
1．有限长序列的收敛域
x(n),
n
n1 n n2
A/ D
x k (n) 数字滤 波器
x n
g k ( n)
g( t )
D/ A
p( t )
xs t x nT t nT
O
T 2T
t
O
1 2
n
xs ( t ) x( t ) T ( t ) x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
第8章 z变换, 离散系统 的z域分析
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算 机的研究和实践，推动了z变换的发展； •20世纪70年代引入大学课程； •主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理 等问题。
x(nT )e snT (0)dt x(nT )e snT
n 0 0 n 0
X s ( s ) x( nT )e snT
n 0
其中
s σ jω
引入复变量
z e sT ， 为连续变量，将xnT 表示为xn
X s ( s ) |z e sT x( n) z n X ( z )
n 0
单边z变换 对任一信号 x(n)的（双边） z变换式为
X (z)
n n x ( n ) z
双边z变换
（一） z 变换的定义
任一信号x(n) 的z变换定义为：
X (z)
n x ( n ) z ZT[ x( n)]
n
双边z变换
X ( z ) x ( n) z
使用z变换工具的好处
代数方程 差分方程
Z变换
可以将时域卷积 z 域乘积
连续时间系统 离散时间系统 拉普拉斯变换 Z变换
本章主要讨论：
Z变换的定义 收敛域 性质 与傅氏变换和拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 利用z平面零极点的分布研究系统的特性
§8.1
x ( n) z n
充要条件
ROC:Region of convergence
例：求下列2个序列的z变换,并指出其收敛域
x1 (n) a u(n)
n
X1 ( z) a z
n 0
n n
x 2 n a n u n 1 X 2 (z)
n
n 0
n
单边z变换
ze
sT
z 为复数: z＝Re(z)+jIm(z)= |z| ejarg(z)
（二） z变换的收敛域
1、收敛域的定义
对于任意给定的有界序列 x(n)，能使级数X ( z ) x( n) z n
n
收敛的所有 z 值之集合。即满足下式的区域：
n
n1 < 0, n2 ≤ 0
0≤ |z| < ∞
0 < |z| < ∞
n2 3 n1 ≥ 0, n2 > 0
n2 3 n n1 n 2
n1 < 0, n2 > 0
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
∫
∞
s
a s s π ds = arctan = − arctan 2 2 s +a as 2 a
21
四、延时（时域平移） 延时（时域平移）
若LT [ f (t )] = F ( s ), 则当t0 > 0时, 有 : LT [ f (t − t0 )u (t − t0 )] = e
− st0
F ( s)
1 (18) (1 − e − at ) t
−3t
∫ ∫
∞
s
1 1 s ( − )ds = ln s s+a s+a
∞
s
s = − ln s+a
∞
(19)
e
−e t
−5t
∞
s
1 1 s+3 s+5 ( − )ds = ln = ln s+3 s+5 s+5 s s+3
∞
sin( at) ( 20) t
11
例4 − 1 求f (t ) = sin( ωt )的拉氏变换F ( s).
1 jωt − jω t f (t ) = sin(ωt ) = (e − e ) 2j
e j ω t − e − jω t F ( s ) = LT [sin(ωt )] = LT [ ] 2j 1 1 1 1 jω t − jω t = − ( LT [e ] − LT [e ]) = [ ] 2j 2 j s − jω s + j ω
18
三、时域积分与复频域积分特性 1、时域积分特性
若LT [ f (t )] = F ( s ), 则LT [ ∫ 其中 : f
( −1) t −∞
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 1、基本定义： ⎰∞∞--=dt e t x s X st )()(2、收敛域：（1）右边信号：−→−=<0)(0t x t t 时，极点右侧 （2）左边信号：−→−=>0)(0t x t t 时，极点左侧（3）双边信号：占有整个时间域的信号−→−带状区域 （4）时限信号：有限长信号，只在某一个时间区间不等于0，在其他所有时间内全为0−→−整个s 区域（意味着变换式中没有极点）4、拉式变换的主要性质：)()()()()()(11s X t x s X t x s X t x LLL−→←−→←−→← ROC: 21R R R5、用拉普拉斯变换分析与表征LTI 系统一个LTI 系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即)()()(s X s H s Y =当ωj s =时，)(s H 就是这个LTI 系统的频率响应；在拉普拉斯变换范畴内，一般称)(s H 为系统函数或转移函数（1）因果性（2）稳定性6、由线性常系数微分方程表征的LTI 系统 见504P7、系统函数的代数属性与方框图表示两系统级联：单位冲激响应 )()()(21t h t h t h *=→)()()(21s H s H s H=两系统并联：单位冲激响应 )()()()()()(2121s H s H s H t h t h t h +=→+=两LTI 系统的反馈互联：)()(1)()()()(211s H s H s H s H s X s Y +==−→−+)(t x )(t y8、单边拉式变换：重要价值在于求解非零状态下的系统响应⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰+-∞-ωσωσπj j st st ds e s X t x dte t x s X )(21)()()(0 收敛域：要么在极点的右半平面，要么是整个s 平面（1）单边拉普拉斯变换性质（2）利用单边拉普拉斯变换求解微分方程 见518P。
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
序列Z变换与反变换
注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消 时，收敛域会扩大！
例：已知 x(n) cos(0n)u(n) 求其z变换。
cos(0n)u(n)
1 2
[e
j0n
e
j0n
]u(n)
Z
[anu(n)]
1
1 az1
,
z
a
Z[e
j0nu(n)]
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4
)]z
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzk
k
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzm
z变换的定义和收敛域PPT课件
第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意： 左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
习题课-拉氏变换
1 1 1 F ( s) = F δ( t) + f3 ( 0− ) = ∴ 3 s s s 这是应用微分性质应特别注意的问题。 这是应用微分性质应特别注意的问题。
12
(3)
f1′( t) =3 ( t) δ
t
f 2′ ( t ) = δ ( t )
( 1) o
f 3′ ( t ) = δ ( t )
x3 (t ) 1
o 1 2 3
t
14
解：Y( s) =Y ( s) +Y ( s) =Y ( s) +H( s) F( s) x f x
Y ( s) =Y ( s) +Y f ( s) =Y ( s) +H( s) X1 ( s) 1 x 1 x 1 =Y ( s) +H( s) =1+ x s +1 Y2 ( s ) = Yx ( s ) + Y2 f ( s ) = Yx ( s ) + H ( s ) X 2 ( s )
f (t )
1
o
ROC：整个s平面 ：整个 平面
1
2
6t
方法三： 方法三：利用微分性质求解 信号的波形仅由直线组成， 信号的波形仅由直线组成，信号导数的拉氏变换 容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号， 容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这 时利用微分性质比较简单。 时利用微分性质比较简单。 微分两次，所得波形如图9-2（ ）所示。 将 f ( t)微分两次，所得波形如图 （b）所示。
1
2
2
1 −s 1 −s 1 2 −2s −s 1 −2s −s 1 −2s 1 −s =− e + e − − ( e −e ) + 2e −e + e − e s s s s s s s 1 −s 2 = 2 (1−e ) 5 ROC：整个 平面 ：整个s平面 s
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
第三章拉普拉斯变换
f (0+ ) = f0 (0+ ) = limsF (s) 0
s→∞
下面证明上式的 正确性 设对于F(s)长除后有
F(s) = Kmsm + Km−1sm−1 +⋯+ K0 + F (s) 0
式中F0(s)是真分式.对上式取逆变换
f (t) = Kmδ (t) + Km−1δ
m
m−1
(t) +⋯+ K0δ (t) + f0 (t)
第三章 拉普拉斯变换
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F(s) = ∫ f (t)e−st dt −∞ σ + j∞ 1 F(s)est ds f (t) = 2 j ∫ − j∞ π σ
其中， = σ + jω 称为复频率，s平面为复平面。 s
−a < Re(s) < a
由上式可以看出，X(s)没有零点，在 s=a 和 s=-a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如果 a<0， 1）式和（2）式的收敛域不重叠，没有公共的 （ 收敛域，因此，x(t)的拉氏变换不存在。
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a1 f1(t) + a2 f2 (t) ⇒ a1F (s) + a2F2 (s) 1
• 尺寸变换 • 时间平移 • 频率平移
f (t)es0t ⇒ F(s − s0 )
1 f (at) ⇒ F(s / a) a
f (t − t0 )u(t − t0 ) ⇒ F(s)e−st0
• 时域微分
df (t)/ dt ⇒ sF(s) − f (0− )
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换基本要求拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dte +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt在0-时刻的取值。
（3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]tf F s f t dt s sζ---∞=+⎰式中0(1)(0)()ff t dt ---∞=⎰（4） 延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=（5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=，则[()]()atf t e F s a ζ-=+（6） 尺度变换若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()sf at F a aζ=（a >0） （7） 初值定理lim()(0)lim ()t o s f t f sF s ++→→∞==（8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞→∞=（9） 卷积定理若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=12121[()()][()()]2f t f t F s F s jζπ=*=121()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞-∞-⎰3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数()f t 。