高二数列月考试题卷
三角函数数列高二数学月考答案
高二数学月考试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 D2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．83答案 B3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( )A ．12B ．18C ．24D ．42答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.25916155.(2016·辽宁五校协作联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[解析] 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin 2C ，所以sin C ＝1，C ＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得S ＝12bc sin A ， b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ， 所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°. [答案] C6．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于（ ）A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34答案：D7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 32答案 B解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)， 得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…，由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3.8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n }为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.12答案 C解析 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12.9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( ) A ．S 17 B ．S 18 C ．S 19 D ．S 20 答案 C解析 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，∴a 11＋a 10>0. S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0.10、．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( )A.14B.94 C.134 D.174答案 C解析 由题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×(8－1)d 2＝30，4a 1＋4×(4－1)d 2＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝14，d ＝1.故a 4＝a 1＋3＝134.11．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7答案 D解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7； 当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7. 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1).设{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ， 则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100101.13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，其公差为（ ）A . 5 B. 4 C. 3 D. 214. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.答案 2414．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. 答案 n (n ＋1)2＋1解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2. 将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1 ＝n (n ＋1)2＋1.15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝2·3n解析 n ≥2时，S n ＝32a n －3，① S n －1＝32a n －1－3，②①－②知a n ＝32a n －32a n －1，即12a n ＝32a n －1. ∴a n a n －1＝3，由S n ＝32a n －3，得S 1＝a 1＝32a 1－3. 故a 1＝6，∴a n ＝2·3n .16．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.答案 4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②，①－②，得3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q＝a 4a 3＝4.17．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________．答案 n 22－n2＋3(n ≥3)解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋3(n ≥3)．18．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.[解析] 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15) ＝20＋110＝130. [答案] 130三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21（12分）．(2016·西安质检)等比数列{a n }中，已知a 3＝8，a 6＝64.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，由已知得8＝a 1q 2,64＝a 1q 5，解得q ＝2，a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12，从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 22（12分）．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0.(1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．[解] (1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C .又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.23.（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+ （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设,3log n n a b -= ，求数列{11+n n b b }的前n 项的和n T (详见《活页》P112页T21)24.(本小题满分14分）数列{a n }满足)(33,1111+++∈+==N n a a a a nn n n n . ( 1 )证明：数列{nna 3}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式 ；（3）设n n a n n b )1(+=，求数列b n }的前n 项的和S n . (详见《活页》P100页T21）。
福建省漳州市漳州康桥高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
bn
8
1 bn
3
，数列 cn 的前
n
项和为
Sn
，定义 x
为不超过
x
的最大整数，
例如 0.2 0 ，3.4 3，求Sn 的前 n 项和 Tn .
试卷第 4页，共 4页
福建省漳州市漳州康桥高级中学 2023-2024 学年高二上学期 10 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列an 中，首项为 a1 1，公差为 d 1 ，则 a4 （ ）
A．2
B．0
A．153
B．171
C．190
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D．210
8．已知数列an 满足 a1
1，an1
an an
2, n 2k, k N 3, n 2k 1, k N
，若 bn
a2n1 ，则 b5
（
）
A．28
B．26
C．21
D．16
二、多选题 9．下列命题是错误的是（ ）
A．等比数列的单调性只与 q 的正负有关
21．在数列 an 中， a1 6 ，且 an1an an1 3an .
(1)证明：
1
1
是等比数列.
an 2
试卷第 3页，共 4页
(2)求数列
n an
的前
n
项和
Sn
.
22．已知数列
an
的前
n
项积为
bn
，且
2 bn
1 an
1.
(1)证明：bn 是等差数列；
(2)设 cn
广东省佛山市顺德区2022-2023学年重点中学高二(下)月考数学试卷(3月份)及参考答案
2022-2023学年广东省佛山市顺德区重点中学高二（下）月考数学试卷（3月份）及参考答案第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知数列{}n a 中，452+-=n n a n ，则数列{}n a 的最小项是()A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项2.在数列{}n a 中，4211+==+n n a a a ，，若2022=n a ，则=n ()A.508B.507C.506D.5053.等差数列{}n a 的前11项和4411=S ，则=++873a a a ()A.9B.10C.11D.124.在等比数列{}n a 中．已知487531=+=+a a a a ，，则=+++1513119a a a a ()A.11B.6C.3D.185.已知数列{}n a 是递增的等比数列，1+2+3=14，123=64，则公比=()A.12B.1C.2D.46.若数列{}n a 对任意正整数都有1+22+33+…+B =2−1，则22+55=()A.17B.18C.34D.847.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为()A.25B.24C.20D.198.已知等差数列{}n a 的前项和为，若7+8>0，7+9<0，则取最大值时的值为()A.8B.5C.6D.7二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题有多项符合题目要求）9.正项等比数列{}n a的前项和为，已知3=2+101，4=3.下列说法正确的是()A.1=9B.{}是递增数列C.{+118}为等比数列D.{log3}是等比数列10.记为公差不为0的等差数列{}n a的前项和，则()A.3，6−3，9−6成等差数列B.33,66,99成等差数列C.9=26−3D.9=3(6−3)11.已知数列{}n a中，1=2，+1+1=1，∈+，则()A.2022=1B.1+2+3+…+2002=1011C.123…2022==1011D.12+23+34+…+20222023=−101112.如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…….记图1中正方形的个数为1，图2中正方形的个数为2，图3中正方形的个数为3，……，图中正方形的个数为，下列说法正确的有()A.5=63B.图5中最小正方形的边长为14C.1+2+3+……+10=2036D.若=255，则图中所有正方形的面积之和为8第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共24.0分）13.设数列{}n a满足1=2=2+2K1，则3=．14.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？“意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？“在这个问题中，若大夫出6钱，则上造出的钱数为．15.数列{}n a中，=−12+1−32(≥2,∈∗)，且1=1，则数列的通项公式为=．16.已知数列{}n a满足1=1，且+1=++1，则=，数列{1}的前项和=．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
湖北省武昌2023-2024学年高二12月月考数学试题含答案
湖北省武昌高二年级12月月考数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =，其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.2.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S =（）A.15 B.1C.1- D.9-【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为,d 利用基本量代换求出()()19941494a a S S a a +⨯=+⨯，进而求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为(),0d d >.∵4512a a =，∴()4412a a d =+，解得：4a d =，52a d =．∴4132a a d d =-=-，∴14a a d +=-．∴()()()199541414929499444a a S a d S a a a a d +⨯⨯⨯====-+⨯+⨯-⨯．故选：D ．3.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为（）A.22143x y += B.22163x y += C.22164x y += D.22142x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据12||F F =c =，由椭圆的定义得到122PF PF a +=，结合12PF PF a -=，求得123,22aPF PF a ==，然后在12PF F △中，由余弦定理求得a 即可.【详解】因为12||F F =c =，P 是C 上一点，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，又12PF PF a -=，所以123,22aPF PF a ==，又121sin 3PF F ∠=，则12cos 3PF F ∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠，即223322822223a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2440a a -+=，解得2a =，则2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=故选：D4.已知O 为坐标原点，F 为双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30 的直线与双曲线右支交于点P，线段PF 上存在不同的两点A，B 满足FA BP =，且OA OB =，则双曲线的离心率为()A.B.C.1D.1+【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为F '，连接PF '，取AB 的中点M ，可得M 为FP 的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'F ，取AB 的中点M ，由|FA |＝|BP |，可得M 为FP 的中点，|OA |＝|OB |，可得OM ⊥AB ，由∠PFO ＝30°，可得'2PF OM c ＝＝，即有230PF ccos ︒=＝，﹣c ＝2a ，即有ec a ===1，故选D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．5.对于集合,A B ，定义{A B x x A -=∈，且}x B ∉．若{|21,N}A x x k k ==+∈，{|31,N}B x x k k ==+∈，将集合A B -中的元素从小到大排列得到数列{}n a ，则730a a +=（）A.55B.76C.110D.113【答案】C 【解析】【分析】根据集合的特征列出集合A 与B 的前若干项，找出集合A B -中元素的特征，进而即可求解.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,11,,1,4,7,10,13,16,19,22,25,A B == ，所以{}3,5,9,11,15,A B -= ，所以721a =．A B -相当于集合A 中除去()*65x n n =-∈N 形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以3089a =．则730110a a +=，故选：C .6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于P ，Q 两点，PH l ⊥于H ，若HF PF =，O 为坐标原点，则PFH △与OFQ 的面积之比为（）A.6B.8C.12D.16【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，求出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立求出PF ，QF 的长即可求解作答.【详解】依题意，由PH l ⊥于H ，得||P H H P F F ==，即PFH △是正三角形，60PFx FPH ∠=∠= ，而(2,0)F ，则直线PQ 的方程为2)y x =-，由22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得2320120x x -+=，令1122(,),(,)P x y Q x y ，解得1226,3x x ==，又准线:2l x =-，因此128||28,||23PF x QF x =+==+=，所以PFH △与OFQ 的面积之比221||sin 60821218||||sin 60223PFH OFQPF S S QF OF ===⋅⨯ .故选：C.7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列{}n a 满足：22ππcos sin 33n n n a =-，记()31n n b n a =-，n *∈N ，则数列{}n b 的前60项和是（）A.130B.845-C.90D.860-【答案】C 【解析】【分析】结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列{}n b 的前60项和.【详解】22ππ2πcossin cos 333n n n n a =-= ，()323π2π2πcoscos 2πcos 333n n n n n a a ++⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，又12π1cos32a ==-，24π1cos 32a ==-，3cos 2π1a ==，{}nb ∴的前60项和为()()()147555825856593695760b b b b b b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++()()()11211201735142317681726179122⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021732051762081791187590518709022222⨯+⨯+⨯+=-⨯-⨯+=--+=.故选：C.8.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为A.(,)42ππ B.(,]42ππ C.(0,4π D.(,)43ππ【答案】A 【解析】【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，由椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x yC m n+=有相同的焦点求解.【详解】当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n+=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n-=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a kb ===又因为10m -<<，所以11m ->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(,)42ππ，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1263a a S +=，则（）A.70a =B.268a a a +=C.130S = D.68S S =【答案】AC 【解析】【分析】由1263a a S +=，用基本量表示得160a d +=，然后对每一个选项进行判断即可.【详解】由题意有1612362a a a a ++=⨯，化简整理得160a d +=，所以70a =，选项A 正确；261266a a a d d +=+=-，817a a d d =+=，由于0d ≠，所以268a a a +≠，故选项B 不正确；113137131302a S a a +=⨯==，故选项C 正确；1666212a a S d +=⨯=-，1888202a aS d +=⨯=，由于0d ≠，所以68S S ≠，故D 不正确.故选：AC10.已知曲线C 的方程为2216x y k k+=-（R k ∈），则下列说法正确的是（）A.当06k <<时，曲线C 表示椭圆B.“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件C.存在实数，使得曲线C 的离心率为2D.存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线【答案】BC 【解析】【分析】当3k =时可判断A ；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B ；根据曲线表示椭圆的条件可得k 的范围，再讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴上，由离心率公式列方程求得k 的值可判断C ；根据曲线表示双曲线的条件可得k 的范围，再由焦点在x 轴和y 轴上由a b =列方程求k 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ，当3k =时，曲线C 为223x y +=，曲线C 表示圆，故选项A 不正确；对于B ，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则060k k <⎧⎨->⎩，可得0k <，若0k <，则060k k <⎧⎨->⎩，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，所以“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B 正确；对于C ，假设存在实数k ，使得曲线C的离心率为2，曲线C 表示椭圆，则0606k k k k >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，可得：(0,3)(3,6)k ∈⋃，若椭圆焦点在x 轴上，由()226626k k a k c k k k ⎧>-⎪=⎨⎪=--=-⎩，可得2222262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭，可得4k =符合题意，若椭圆焦点在y 轴上，由()2266662k k a k c k k k ⎧->⎪=-⎨⎪=--=-⎩，可得22226262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪-⎝⎭，可得2k =符合题意，所以存在2k =或4，使得曲线C的离心率为2，故选项C 正确；对于D ，假设存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线，此时有(6)0k k ⋅-<，得0k <或6k >，当0k <时，6k k -=-，无解；当6k >时，(6)k k =--，无解，所以满足题意的实数k 不存在，故选项D 不正确．故选：BC.11.首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A.若100S =，则50a >，60a <；B.若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C.若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D.若89S S <，则78S S <.【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >，116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.12.已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的A ，B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（）A .对于任意直线m ，均有AE ⊥PFB.不存在直线m ，满足2BF EB=uu u r uu rC.对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D.存在直线m ，使|AF |+|BF |=2|DF |【答案】AC【解析】【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断；B 选项由2BF EB =uu u r uu r及抛物线方程求出,A B坐标，再说明,,D B A 三点共线，即存在直线m 即可；C 选项设()11,A x y ，表示出直线AE ，联立抛物线，利用Δ0=即可判断；D 选项设出直线m ，联立抛物线得到121=x x ，通过焦半径公式结合基本不等式得4AF BF +>即可判断.【详解】A 选项，如图1，由抛物线知O 为DF 的中点，l y ∥轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，所以A正确；B 选项，如图2，设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，(1,0)F ，1(1,)P y -，E 为线段PF 的中点，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12222(1,),(,)2y BF x y EB x y =--=- ，由2BF EB =uu u r uu r 得22122122()2x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得213x =，123y y =，又2211224,4y x y x ==，故13B ⎛ ⎝，(3,A ，又(1,0)D -，可得233312DA k ==+，31213DB k==+，故存在直线m ，满足2BF EB =uu u r uu r ，选项B 不正确．C 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()11,A x y ，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AE 的方程：()1112y y x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：22311120y y y y y -+=，所以43111440y y y ∆=-=，所以直线AE 与抛物线相切，所以选项C 正确．D 选项，如图3，设直线m 的方程()()10y k x k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，由()214y k x y x⎧=+⎨=⎩，得()2222240k x k x k +-+=．当()224224416160k k k ∆=--=->，即11k -<<且0k ≠时，由韦达定理，得212242k x x k-+=，121=x x ．因为11AF x =+，21BF x =+，所以12224AF BF x x +=++≥=，又12x x ≠，2DF =，所以2AF BF DF +>成立，故D 不正确．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．【答案】811【解析】【分析】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，根据42S =，7893a a a ++=，可得数列的通项公式及5a 【详解】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，则41234178914623213S a a a a a d a a a a d =+++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1411111a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()13111n n a a n d +=+-=，518411a a d =+=，故答案为：811.14.若双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的离心率与椭圆2211612x y +=的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解.【详解】由2211612x y +=知椭圆中4,a b ''==，所以2c '==，即椭圆的焦点为(20)±,，所以12c e a ''=='，由题意知双曲线的离心率12c e a e ===='，所以223b a=，故双曲线的渐近线方程为y =，不妨取椭圆左焦点(2,0)-，则由点到直线距离可得232d ==，，15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO 交抛物线的准线于点C ，若||3||,||3AF BF AC ==，则抛物线的方程为_____.【答案】23y x =【解析】【分析】根据抛物线的定义及性质，即可求得直线AB 的斜率，求得直线AB 的方程，代入抛物线方程，求得直线OB 的方程，即可求得C 点坐标，即可求得p 的值，求得抛物线方程．【详解】由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率不存在时，AF BF =，因为3AF BF =，所以直线AB 的斜率存在，因为A 在x 轴上方，所以直线AB 的斜率大于0，设直线:2p AB y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0k >，与抛物线方程联立可得：()22222204k p k x k p p x -++=，()22222222244404k p k p p k k p p ∆=+-⋅=+>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222p x x p k +=+，2124p x x =，由抛物线定义可知：12,22p p AF x BF x =+=+，因为3AF BF =，所以123322p px x +=+，即123x x p =+，将123x x p =+代入1222p x x p k +=+，2124p x x =中，222p x k =，()22243p x x p =+，所以2222234p p p p k k⎛⎫⎪⎭=+ ⎝，解得：23k =，因为0k >，所以k =则2123,362p x x x p p ==+=，12,3y y p ∴==-，所以36OB pk p -==-，所以直线OB方程为y =-，当2px =-时，C y =，1C y y ∴=，∴直线AC 与x 轴平行，3322p AC p ∴=+=，∴32p =，23y x ∴=.故答案为：23y x =.16.已知圆锥曲线k C 的方程：22194x y k k+=--.当m 、n 为正整数，且m n <时，存在两条曲线m C 、n C ，其交点P与点1(F、2F 满足12PF PF ⊥，写出满足题意的所有有序实数对(,)m n ：_____.【答案】17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】圆锥曲线的定义，易得到1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，从而根据题意可得{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，再结合椭圆与双曲线的定义与12PF PF ⊥即可得8m n +=，从而得到答案．【详解】由题意得1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，从而m n <时，存在两条曲线m C 、n C 有交点P ，必然有{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，设11||PF d =，22||PF d =，则由椭圆与双曲线的定义可得，12d d +=，12||d d -=，且12PF PF ⊥，12F F =，故221220d d +=，即2121221212()2023648()202364d d d d mm n d d d d n⎧+=+=-⇒+=⎨-=-=-⎩，所以存在两条曲线m C 、n C ，且17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．故答案为：17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 中，131a =，12n n a a +=-，（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）332n a n =-，232n S n n=-（2）221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩【解析】【分析】（1）根据条件可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；（2）先找出数列正负的分界线，分类讨论，去掉绝对值，把n T 转化为n S 求解.【小问1详解】因为12n n a a +=-，即12n n a a +-=-，所以数列{}n a 是等差数列，所以()()3112332n a n n =+-⨯-=-，231332322n nS n n n +-=⨯=-.【小问2详解】令0n a >得16n ≤，12n n T a a a =+++ ；当16n ≤时，2121232n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==- ；当16n >时，()116171616n n n T a a a a S S S =++---=-- 216251232n S S n n =-=-+.综上可得，221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩18.已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3460x y +-=或2x =（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得．【小问1详解】∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-.又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为，故弦心距1d =1=，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=.当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.故l 的方程为3460x y +-=或2x =.【小问2详解】把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上.所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =.由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .19.设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1,0p r ==，求证：{}n a 是等差数列；（2）若11,23p a ==，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n n =+.【解析】【分析】（1）把1,0p r ==代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”计算推理作答.（2）把13p =代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”求出{}n a 相邻两项间关系，再构造常数列作答.【小问1详解】当1,0p r ==时，n n S na =，当2n ≥时，()111n n S n a --=-，两式相减，得1(1)n n n a na n a -=--，整理得10n n a a --=，所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】当13p =时，1()3n n S n r a =+，令1n =，而12a =，得113r +=，解得23r =，于是12()33n n S n a =+，当2n ≥时，1111()33n n S n a --=+，两式相减，得111()312(333n n n a n n a a -+=-+，整理得1(1)(1)n n n a n a --=+，即111n n a an n -=+-，因此1(1)(1)n n a a n n n n -=+-，数列{}(1)n a n n+是常数列，从而11(1)21n a a n n ==+⨯，2n a n n =+，显然12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+.20.设双曲线C ：22x a－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值．【答案】（1）e >62且e ；（2）a ＝1713.【解析】【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，结合条件得()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，，从而可得离心率范围；（2）设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由512PA PB = 可得x 1＝512x 2，由根与系数的关系可得－2221a a-＝28960，从而得解.【详解】(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线22x a －y 2＝1中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①∴()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得0<a且a ≠1.又双曲线的离心率e＝a =，∴e>2且e.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．有P (0,1)．∵512PA PB = ，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，因此由根与系数的关系，得1712x 2＝－2221a a -，51222x ＝－2221a a-.消去x 2，得－2221a a -＝28960.由a >0，得a ＝1713.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.21.如图，已知动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F '，点F '的轨迹为H.（1）求曲线H 的方程；（2）一条直线AB 经过点F ，且交曲线H 于A 、B 两点，点C 为直线1x =-上的动点.①求证：ACB ∠不可能是钝角；②是否存在这样的点C ，使得ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）①证明见解析；②存在，且(1,C -±.【解析】【分析】（1）设(),F x y '，则可得1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的直径为FF '=，利用动圆M 与y轴相切，即可求得曲线C 的方程；（2）①设直线AB 的方程为1x my =+，点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立直线AB 的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到0CA CB ⋅≥恒成立，可得结论；②由①知()221,2N m m +，根据CN 与AB 垂直，斜率积为1-，可得324n m m =+，再由CN =，求出m 值.【小问1详解】设(),F x y '，因为点()1,0F 在圆M 上，且点F '关于圆心M 的对称点为F ，则1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，而FF '=因为动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，则11122FF x '=+，1x =+，化简得24y x =，所以曲线C 的方程为24y x =.【小问2详解】①若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线24y x =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>，由韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，()()11111,2,CA x y n my y n =+-=+- ，同理可得()222,CB my y n =+- ，所以，()()()()121222CA CB my my y n y n ⋅=+++-- ()()()221212124m y y m n y y n =++-+++()()()22222414244420m m m n n m mn n m n =-++-++=-+=-≥，故ACB ∠不可能为钝角；②假设存在这样的点C 满足条件，因为()21212242x x m y y m +=++=+，则线段AB 的中点为()221,2N m m +，若0m =，则AB x ⊥轴，此时，直线AB 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，则AB 4=，此时，NC 位于x 轴上，则122NC AB ==，所以，ABC 为直角三角形，不合乎题意，所以，0m ≠，则221122CN AB m n k k m m -=⋅=-+，可得324n m m =+，则()31,24C m m -+，则(221CN m =+，而()()212122441AB x x m y y m =++=++=+，由CN =，可得(())2223214112m m m +=+=+，解得m =，所以，存在点(1,C -±满足条件.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF QF ⊥，C 为PQ 的中点，线段PQ 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．（ⅰ）求证：A 为BC 的中点；（ⅱ）若35ABO BCF S S =△△（S 为三角形的面积），求直线PQ 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3y x =-+．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得1c =，再由e 的值，求a ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，与椭圆方程联立，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得出12,x x 的坐标关系，求出点C 坐标，得到PQ 垂直平分线AB 方程，求出点,A B 坐标，即可证明结论；（ⅱ）由35ABO BCF S S =△△结合（ⅰ）的结论，求出点A 的坐标，再由PF QF ⊥，得到,m k 关系，代入A 点坐标，求出,m k 的值即可．【详解】（Ⅰ） 椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，1c ∴=，又离心率,12c e a b a ==∴==，∴椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=，222222168(1)(21)8(21)0k m m k k m ∆=--+=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则()2121222214,2121m km x x x x k k -+=-⋅=++，设PQ 中点00(,)C x y ，则12022221x x km x k +==-+，00221m y kx m k =+=+，即C 点坐标为222(,2121km m k k -++），线段PQ 的垂直平分线AB 方程为2212(2121m km y x k k k -=-+++，令0y =，得2(,0)21km A k -+，令0x =，得2(0,21m B k -+，,22B c B c A A x x y y x y ++== ，A ∴为BC 中点；（ⅱ）由（ⅰ）得A 为BC 中点，()||36,22||21511ABO ABO A A BCF ABF A S S x AO x S S AF x ∆∆∆∆∴====∴=-，1212,(1)(1)PF QF PF QF x x y y ⊥∴⋅=--+ 221212(1)(1)()1k x x mk x x m =++-+++222222(1)(1)4(1)(1)(21)021k m mk mk m k k +---+++==+，整理得23140m km -+=，即2134m k m -=，又222222222132(13)641321(13)8112()14A m km m m x m k m m m --=-=-=-=-+-++ ，整理得4261730m m --=，解得23m =或216m =-（舍去），0,3m m k >∴==- ，此时0∆>，∴直线PQ 方程为3y x =-+。
辽宁省大连市金州高级中学2023~2024学年高二下学期4月月考数学试卷(原卷版)
（）
1
…………第 1 行
22
…………第 2 行
343
…………第 3 行
4774
…………第 4 行
5 11 14 11 5
…………第 5 行
6 16 25 25 16 6 …………
…………第 6 行
A. 数列am1 是等差数列
B. 数列a5n 是等比数列
C. a6n a67n
D. amn amn1 am1n1
A. 2024
B. 2025
C. 20242 1
D. 20252 1
7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1, 3, 6,10, 叫做三角形数；把1, 4, 9,16, 叫做
正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. 36
B. 49
C. 64
D. 81
8.
已知数列an 满足 a1
确的是（ ）
A.
S2
5 m
3
C.
a2
2 3
m
B.
S3
5 9
m
D.
a3
5 9
m
5. 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和，且满足 Sn 2n2 8n 2 ，则 a3 a4 a5 a6 a7 （ ）
A. 100
B. 130
C. 150
D. 200
6. 已知数列an 满足 n 1 an1 n 2 an n 1n 2 n N* ， a2 3 ，则 a2025 （ ）
的前多少项和最小，最小值是多少？
n
18. 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且an 8 的前 3 项和为 10，an 8 的前 6 项和为 78．
山东省青岛市西海岸三校联考2024-2025学年高二10月月考数学试题
山东省青岛市西海岸三校联考2024-2025学年高二10月月考数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为33nn S =+，则5a =（）A ．162B ．81C ．243D ．4862．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）A ．110分B ．115分C ．116分D ．120分3．从2名男生和2名女生中任选2人参加某项社会公益活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率是（）A ．12B ．23C ．34D ．564．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差0d <，573a a =．若n S 取得最大值，则n 的值为（）A ．6或7B ．7或8C ．8或9D ．9或105．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若52b =，则111219222log log log b b b +++ 等于（）A ．5B ．5-C ．9D ．9-6．已知甲袋中有标号分别为1,2,3,4的四个小球，乙袋中有标号分别为2,3,4,5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件A 表示“第一次取出的小球标号为3”，事件B 表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件C 表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件D 表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（）A ．A 与C 相互独立B ．A 与B 是对立事件C ．C 与D 是对立事件D ．B 与D 相互独立7．已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥8．正项等比数列{a n }中，存在两项,m n a a (m ，n *N ∈)使得2116m n a a a =，且7652a a a =+，则1m +25n的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题9．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失，2011~2020年每年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法不正确的是（）A ．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B ．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C ．2018年上半年的票房收入增速最大D ．2020年上半年的票房收入增速最小10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．21n a n =-B ．当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C ．2284n T n n=+D ．数列910nn a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最大项为第10项11．已知函数{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，则（）参考公式：公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为()111n n a q S q-=-.A ．{}2n a 为等比数列B ．202420232a a ->C ．20242015S <-D ．202420252S S -<三、填空题12．已知数列满足12a =，若122n n S a +=+，则的通项公式为.13．若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是.14．已知数列{}n a 满足132a =，()2*11n n n a a a n +=-+∈N ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，设x ∈R ，[]x 表示不大于x 的最大整数.则[]2023S =.四、解答题15．（1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；（2）已知事件A ，B 相互独立，试证明它们的对立事件A ，B 相互独立.16．已知数列各项均为正数，且12a =，221122n n n n a a a a ++-=+.(1)求的通项公式；(2)记数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n S ，求n S .17．某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：选修课程线性代数微积分大学物理啇务英语文学写作合计选课人数180x120y60600其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.(1)求x 和y 的取值以及抽取的10人中选修商务英语的学生人数；(2)选出的10名学生中恰好包含甲乙两名同学，其中甲同学选修的是线性代数，乙同学选修的是大学物理，现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取3人，求这3人中正好有甲乙两名同学的概率.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，且11122n n n n n n a S a S a a +++-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()122121n n n n a a b +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：13n T <.19．定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；(1)已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔(2)已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；(3)已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105i i a ==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．。
江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
江西省九江市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式22n a n =+，则123是该数列的（ ） A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项2．已知数列{}n a 满足()*πsin 3n n a n =∈N ，则7812a a a a +--=（ ） A．0B ．1C D ．23．有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（ ） A ．24B ．36C ．64D ．724．在某电路上有,C D 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C 元件的概率为0.2，需要更换D 元件的概率为0.1，则在某次通电后,C D 有且只有一个需要更换的条件下，C 需要更换的概率是（ ） A ．310B ．150C ．913 D ．345．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知{}n a 是“和差等比数列”，11a =，23a =则满足使不等式100n a >的n 的最小值是（ ） A ．8B ．7C ．6D ．56．已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+≥∈=N ，则n a =（ ） A ．22n -B ．22n n -C ．21n -D ．2(21)n -7．已知数列{}n a 满足120,1a a ==．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（ ）A ．2023213+B ．2024213+C ．2023213-D ．2024213-8．已知点()1,(1)P a a >在抛物线C ：22(0)y px p =>上，过P 作圆()2211x y -+=的两条切线，分别交C 于A ，B 两点，且直线AB 的斜率为1-，若F 为C 的焦点，点(),M x y为C 上的动点，点N 是C 的准线与坐标轴的交点，则MN MF的最大值是（ ）A B ．2 C D二、多选题9．下列叙述不正确的是（ ）A ．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B ．,,,,a a a a ⋯是等比数列C ．数列0，1，2，3，…的通项公式为n a n =D ．数列1n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列10．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则（ ）A ．{}1n n a a +的公比为9B ．{}31log n a +的前20项和为210C ．{}n a 的前20项积为2003D ．()111()231nn k k k a a -+=+=-∑11．（多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987L 是意大利数学家莱昂纳多⋅斐波那契(Leonardo?Fibonacci)在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列结论正确的有（ ）A ．3k a 不一定是偶数B ．10112120221k k a a -==∑C ．20212021202212k k a a a ==∑D ．202020221S a =-三、填空题12．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若2465πa a a ++=，246b b b =则1726tan1a a b b +=-．13．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2l o g n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =．14．设直线:10l x y +-=，一束光线从原点O 出发沿射线()0y kx x =≥向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N ．若MN =u u u u r 则k 的值为．四、解答题15．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，15932,5a a a a =+=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()*1211,N n n n n b a b a b n ++==∈，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n S .16．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；②*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}2na n a ⋅前n 项和nT的表达式.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18．已知点(1,0)S -，T 是圆F ：()22116x y -+=上的任意一点，线段ST 的垂直平分线交FT 于点N ，设动点N 的轨迹曲线为W ； (1)求曲线W 的方程；(2)过点F 作斜率不为0的直线l 交曲线W 于AB 、两点，交直线4x =于P ．过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C 点，直线BQ 交x 轴于D 点，求线段CD 中点M 的坐标．19．伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当1,1x a >-≥时，(1)1a x ax +≥+，当且仅当1a =或0x =时取等号．(1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，以此增长率为依据，试判断6年后该地区人口的估计值是否能超过107万？(2)数学上常用1ni i a =∏表示1a ，2a ，L ，n a 的乘积，*121,ni n i a a a a n ==⋅∈∏N L ．①证明：1221ni i i =⎛⎫> ⎪-⎝⎭∏②数列{}n a ，{}n b 满足：n a n =，()22213212!n n a a a b n -⋅=L L ，证明：121n b b b ++++<L。
河北省沧州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题
河北省沧州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，35a =，63a =，则9a =（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．双曲线221916y x -=的渐近线方程为（）A ．34y x=±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．54y x =±3．若平面α的法向量()1,2,3n =-r，直线l 的方向向量()1,1,1m = ，则（）A ．l α∥B ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∥或l α⊂4．若数列{}n a 的前四项依次为2，12，112，1112，则{}n a 的一个通项公式为（）A ．1102n n a -=+B ．(1)(4580)2n a n n =--+C ．1089n n a -=D ．1089n n a +=5．在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =-的距离比它到定点()3,0的距离小2，则点P 的轨迹方程为（）A ．26y x=B ．212y x=C ．26y x=-D ．212y x=-6．已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A ．1BC ．62D ．27．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线1y kx =-上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．,22⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭8．椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy 中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C 的方程为229x y xy +-=，则该“斜椭圆”C 的离心率为（）A B ．23C ．12D ．25二、多选题9．若直线l 过点(4,2)-且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为（）A ．20x y +=B ．20x y -=C ．20x y +-=D ．60x y -+=10．已知数列{}n a 满足112a =-，()*111n n a n a +=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．323a =B ．333196n n S S +-=C ．1919S =D ．()*1112,n n n a a a n n -+=-≥∈N11．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（）A ．若A 的纵坐标为2，则||3AF =B ．若直线AB 过点F ，则AB 的最小值为4C ．若4OA OB ⋅=-，则直线AB 恒过定点(2,0)D ．若BB '垂直C 的准线于点B '，且2BB OF '=，则四边形OFBB '的周长为3三、填空题12．已知椭圆2216x y m+=的焦距为2，则m =．13．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7333n nA nB n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的集合是.14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面ABCD 、侧面11BCC B 的中心，点,P Q 分别是棱11A D ，11A B 所在直线上的动点，且EP FQ ⊥，当PQ 取得最小值时，点P 到平面EFQ 的距离为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，42a =-，1025S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最小值及取得最小值时n 的值．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点00(,)P x y 在C 上．(1)判断直线00()2y y x x =+与C 的公共点个数；(2)若直线PF 与C 交于另外一点Q ，直线QR 与C 的准线垂直，垂足为R ，O 为坐标原点，求证：点P ，O ，R 共线．17．已知圆22:4250C x y x y +-+-=和点()1,5M -.(1)过点M 作一条直线与圆C 交于A 、B 两点，且6AB =，求直线AB 的方程；(2)过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求EF 所在的直线方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，1,,1,2AB AD CD AD AB AD PD CD PA ⊥⊥=====，PC =，点Q 为棱PC上一点．(1)证明：PA CD ⊥；(2)当点Q 为棱PC 的中点时，求直线PB 与平面BDQ 所成角的正弦值；(3)当二面角P BD Q --时，求PQ PC．19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ(0λ>且1)λ≠代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称2E 是由曲线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，λ称为伸缩比.(1)若不过原点的直线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是2E ，证明:2E 是与1E 平行的直线;(2)已知伸缩比12λ=时，曲线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是222:1164x yE -=，且1E 与x 轴有A ，B 两个交点（A 在B 的左侧），过点(4,0)且斜率为k 的直线l 与1E 在y 轴的右侧有M ，N 两个交点.①求k 的取值范围;②若直线AM BM BN ，，的斜率分别为123,,k k k ，证明：()213k k k -为定值.。
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高二数列月考
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列的前n项和（n∈N），则等于（）.
A.11
B.15
C.17
D.20
2.若数列满足，且，则等于（）.
A. -1
B.2
C.
D.
3.若数列是等比数列，其公比是q，且，，成等差数列，则q等于（）.
A.1或2
B.1或-2
C.-1或2
D.-1或-2
4.已知数列的前n项和为（），则
的值是（）.
A.13
B. -76
C.46
D.76
5.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的成本降低，现在的价格是8100元的计算机，则15年后价格为（）.
A. 2200元
B. 900元
C. 2400元
D. 3600元
6.已知数列为等差数列，若＜，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n=（）.
A.11
B.17
C.19
D.21
7.已知等差数列的前n项和为，若，且A，B，C三点共线（该直线不过原点O），则的值为（）.
A.1007
B.2018
C.1009
D.2007
8.对于正项数列，定义为数列的“匀称”值，已知数列的“匀称”值为，则该数列中的等于（）.
A.2
B.
C.1
D.
9.已知等差数列的前n项和为，若＜，＞，则在数列中绝对值最小的项为（）.
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.第8项
10.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数成为“和平数”，则在1~100这100个数中
能成为“和平数”的所有数的和是（）.
A.130
B.325
C.676
D.1300
11.在等比数列中，各项均为正数且非常数数列，若，且，则数列的通项公式为（）.
A.6
B.6×
C. 6×
D.6或6×
12.已知数列是等比数列，，，则（）.
A.16（1-）
B. 16（1-）
C. （1-）
D. （1-）
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分.
13.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，则这四个数为 .
14.正项数列满足：，,2（n∈，），则= .
15.若等比数列的各项均为正数，且，则
.
16.设，为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和，满足，则d的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知函数，数列满足，并且=.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且，n∈，数列满足，n∈.
（1）求，；
（2）求数列的前n项和.
19.（本小题满分12分）为数列的前n项和.已知＞，. （1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
20.（本小题满分12分）设数列的前n项和为其中，为常数，且-，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，问是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）已知数列，是其前n项和，且满足3（n∈）. （1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求的表达式.
22.（本小题满分12分）设等式数列的前n项和为，且（c是常数，n∈），,.
（1）求c的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，若2＞对任意n∈恒成立，求正整数m的最大值.。