探索图形变化规律二
中考数学复习 专题2 规律探索型问题数学课件
2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，
人教版二年级下找规律(二)图形的变化规律教学设计及反思
5、引导学生完成练习二十三中第1、3题
6、自由设计有规律的图案，并说说为什么要这样设计？它的规律是什么？
学生练习，说发现。
[设计意图]：这个活动既激发了学生的兴趣,又巩固了新知,同时培养了学生的动手能力.
四、汇报收获，回顾总结
这节课你学会了什么？掌握了什么规律？
学生说收获。
【设计意图】：在教师引导下，总结所学的知识。
板书设计
图形的变化规律
七、教学反思
教学反思可以从以下几个方面思考，不必面面俱到：
1.反思在备课过程中对教材内容、教学理论、学习方法的认知变化。
2.反思教学设计的落实情况，学生在教学过程中的问题，出现问题的原因是什么，如何解决等，避免空谈出现的问题而不思考出现的原因，也不思考解决方案。
3.对教学设计中精心设计的教学环节，尤其是对以前教学方式进行的改进，通过设计教学反馈，实际的改进效果如何。
课题
找规律（二）图形的变化规律
课时
1课时
班级
二（7、8）
编写者
一、教材内容分析
教学内容：课本第116页例1
本课教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数学实践活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。
【设计意图】：通过独立尝试、交流、讨论、进一步感受找规律的重要性与生活性。
教学新课，发现规律
1、出示例1、画一画
◇◆□■、◆□■◇、□■◇◆
请同学们小组讨论，认真审题，明确解题要求
2、请同学们尝试，动手画一画
3、让学生小组交流讨论
4、请学生汇报一下这幅图的排列有什么规律。
中考数学压轴题重难点突破一 规律探索 类型二：图形规律
10．★(2022·大庆)观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第 16 个 图案中的“ ”的个数是 4949 .
…
11．★(2022·十堰)如图，某链条每节长为 2.8 cm，每两节链条相连接
部分重叠的圆的直径为 1 cm，按这种连接方式，50 节链条总长度为 991 cm. 1
12．★(2022·牡丹江)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列， 则第 5 个图形中所有正三角形的个数是 48485 个．
16．★(2022·遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角 形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所 画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分 别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图 原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 12127.
对于图形个数变化规律探索题，解决的一般步骤： 1．标序号：记每个(组)图形的序数为“1，2，3，…，n”； 2．数图形个数：对应的图形个数用 a1, a2, a3，…，an 表示；
3．观察：a1，a2，a3，…，an 与对应序数之间的关系； ①图形个数与图序数是倍数或平方关系； ②图形个数与图序数关系不明确时，按照以下步骤找寻关系： 步骤一：列表表示 an－an－1 的值； 步骤二：将所列等式左右相加，得到(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝an－a1 的值； 步骤三：表示 an； 4．验证：代入序号检验所得式子是否正确.
类型二：图形规律 (省卷 2017T18；天水 2017T16)
(一题多设问)
(1) ★如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需
要 3 根火柴棍；拼第二个图形共需要 5 根火柴棍；…，照这样拼图，则 第 n 个图形需要 ((22n＋n＋1) 根火柴棍；
探索图形规律的方法总结
探索图形规律的方法总结一、规律探索型问题的分类1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。
猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律。
它是发现和认识规律的重要手段。
平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律。
2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。
解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想。
二、规律探索型问题常用解法1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。
所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。
所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
如：一组按规律排列的式子：，，，，…()，其中第7个式子是，第个式子是(为正整数)。
分子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘。
2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多。
对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。
3.3探索与表达规律(一)——图形变化类2024-2025学年北师大版(2024)数学七年级上册
探索与表达规律(一) ——图形变化类
·数学
1．(2022新课标)了解代数推理． 2．能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一 般性，并对具体现象做出解释．
抽象能力 运算能力 推理能力 应用意识
·数学
探索规律的一般方法 (1)从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相 互之间的变化规律； (2)由此及彼，合理联想，大胆猜想； (3)善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点； (4)总结规律，作出结论，并验证结论正确与否； (5)在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，达到事半 功倍的效果．
以采用横着看、竖着看、斜对角看等方法，有时题目的问题
也是找规律的方向．
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·数学
2．(北师7上P96)观察如左图所示的日历图． (1)日历图中的数有什么规律？ 横着看：每横行中相邻两数相差 1 ； 竖着看：每竖行中相邻两数相差 7 ； (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有 什么关系？
·数学
(1)框中的四个数的关系是 对角两数的和相等 ； (2)在图中任意画一个类似(1)中的框，设左上角的一个数为x， 那么其他三个数怎样表示？你能求出这四个数的和吗？
解：(2)其他三个数分别为x＋2，x＋8，x＋10，四个数的和 为x＋(x＋2)＋(x＋8)＋(x＋10)＝4x＋20．
第六单元第3课《探索规律》教案-四年级数学下册(西师大版)
3．探索规律第1课时探索规律（一）学习内容：教科书第75页例1，课堂活动1，练习二十一第1、2题。
学习目标：1．结合现实情境，自主探索事物的排列规律，理解掌握探索规律的方法，增强解决问题的策略意识。
2．通过观察、猜测、计算、推理等活动，发展学生的逻辑推理能力，培养创新意识和合作精神。
3．在探索规律的过程中体会挑战性，发现和欣赏规律美，获得成功的体验。
学习重难点：学习重点：经历自主探索、合作交流的过程，发现事物排列中的规律。
学习难点：理解掌握探索规律的方法，初步学会应用规律解决简单实际问题。
课前准备：课件，各种图形若干。
导学过程：一、情境引入，感知规律1．“猜一猜”游戏。
多媒体依次出示各种情境:春节街上有规律排列的彩灯，小红裙子上有规律排列的图案，地板砖上有规律排列的图形，校园升旗台旁边有规律排列的各种盆花……2．猜一猜，接下来会是什么？你是怎么知道的？3．生活中有规律排列的事物有很多，透过现象找规律，我们会感受到规律的奇妙！今天我们一起来探索事物排列中的规律。
（揭示课题）二、引导探究，认识规律活动一：1．教学例1（1）自主摆小兴在数学活动课上玩摆图形，他摆的图形有规律吗？请你像他那样摆一摆。
（2）合作学习小组合作要求：1.①认真观察，找一找小兴摆的图形的规律，你是怎样找到的？②想一想接下来会摆什么图形，第16个摆的是什么图形。
2.和你的同桌说说你的想法。
（3）汇报交流预设1：小兴摆的图形排列的规律是1个圆形，2个三角形，1个正方形。
我先看小兴摆的是什么图形，然后再数了数个数，看了看它们摆的顺序，就发现了规律。
小结：在寻找规律的过程中要学会观察，看图形的形状，数图形的个数，更要看图形的排列顺序。
（板书：观察形状数量顺序）预设2：按这个规律接着摆下去，后面应该摆1个圆形。
我发现每摆4个图形就重复一次，说明4个图形是1组，2组摆8个……4组正好摆完16个，所以第16个是正方形。
小结：1个圆形，2个三角形，1个正方形称为一组，像这样图形按一定的顺序不断重复出现的排列规律称为“重复排列规律”，寻找重复排列的规律，我们一般要先对图形分组。
探索平移旋转和翻折的变化规律
探索平移旋转和翻折的变化规律平移、旋转和翻折是数学中的基本操作，它们在几何学和图形变换中起着重要的作用。
通过对图形应用这些操作，我们可以探索它们的变化规律，并且更好地理解平移、旋转和翻折的特性。
本文将介绍这三种操作，并通过具体的示例来探索它们的变化规律。
一、平移平移是指将图形在平面上保持大小和形状不变的情况下，沿着指定的方向和距离移动。
平移操作可以用矢量表示，其中矢量的大小和方向确定了平移的路径和距离。
对于平移操作来说，图形上的所有点都按照相同的距离和方向进行移动，因此图形的大小和形状不会改变。
以正方形ABC...为例，我们将这个正方形向右平移2个单位，可以得到新的正方形A'B'C'...。
这说明，经过平移操作后，图形上的每个对应点都按照相同的距离和方向进行移动，保持了原有的形状和大小。
通过对不同的图形进行平移操作，我们可以观察到它们的位置关系具有对称性，即对于任何一点P，将其平移后的位置P'与原来的位置之间的距离和方向是相同的。
二、旋转旋转是指将图形绕着一个中心点旋转一定角度，使得图形产生位置上的变化。
旋转操作可以用角度和方向表示，其中角度决定了旋转的大小，而方向则决定了旋转的方向。
对于旋转操作来说，图形上的所有点都沿着以中心点为轴进行旋转，因此图形的大小和形状不会改变。
以正三角形ABC...为例，我们以顶点A为中心点，将这个正三角形逆时针旋转60度，可以得到新的正三角形A'B'C'...。
这说明经过旋转操作后，图形上的每个对应点都绕着中心点旋转，保持了原有的形状和大小。
通过对不同的图形进行旋转操作，我们可以观察到它们的位置关系具有对称性，即对于任何一点P，将其旋转后的位置P'与原来的位置之间的角度和方向是相同的。
三、翻折翻折是指将图形沿着一条线进行折叠，使得图形的一部分覆盖在另一部分上，产生位置和形状上的变化。
翻折操作可以用折叠线表示，折叠线决定了图形的翻折路径和方式。
【精品】2020年中考数学典例精做专题06 探索规律(2) (教师版)
五、等比数列型1．如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到________条折痕．【答案】(22018－1)2．如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_______.【答案】【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案.3．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求的值．【答案】4．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：……（1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图1 1图2 1+3图3 1+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数f n(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为f n+1，求f n+1-f n【答案】（1）40；（2）f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1；（3）∵f n+1=3n+3n-1+…+32+3+1，f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1∴f n+1−f n=3n．点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．六、正整数平方型1．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a2015+a2016=________ ．【答案】201622．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第105个图形中所有点的个数为（）A．1016个B．11025个C．11236个D．22249个【答案】C【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．当n=105时，（105+1）2=11236，故选：C．七、正整数求和型1．观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A．171 B．190 C．210 D．380【答案】B2．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【答案】（1）6条线段；（2）；（3）990次.【解析】（1）从左向右依次固定一个端点A、C、D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴x=m（m﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．3．细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;….(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA10的长;(3)求出+…+的长.【答案】（1）O=n;S n=.（2）OA10=.（3）4．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n.(1)请写出29后面的第一个数；(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…由此推算a100－a99的值；(3)根据你发现的规律求a100的值．【答案】(1) 37；(2) a100－a99＝100；(3)5 051.八、平面直角坐标系1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为A．B．C．D．【答案】D【解析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为；偶数列的坐标为，由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．代入上式得，即．故选D．2．如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是A．B．C．D．【答案】C3．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9）B．（9，0）C．（0，8）D．（8，0）【答案】C∵当n=8时，n2+n=82+8=72，∴当质点运动到第72秒时到达（8，8），∴质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，∴此时质点的横坐标为8-8=0，∴此时质点的坐标为（0，8），∴第80秒后质点所在位置的坐标是（0，8），故选C.4．如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_____．【答案】（21010﹣2，21009）由题意O1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y=x+1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009=x+1，∴x=21010﹣2，∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009），故答案为：（21010﹣2，21009）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，，这样依次得到l上的点，，，，，记点的横坐标为，若，则______；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是______．【答案】0、-1即当时，，，，，，，，，，，；点不能在y轴上此时找不到，即，点不能在x轴上此时，在y轴上，找不到，即，解得：；综上可得不可取0、．故答案为：；0、．九、其它型1．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．【答案】n（n+2）2．观察下列方程的特征及其解的特点．①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.解答下列问题：(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解．【答案】x＋＝－9 x1＝－4，x2＝－5 x＋＝－(2n＋1) x1＝－n，x2＝－n－1【解析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；（3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可.3．对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数13、12、23，有112323<<，所以12为13和23的一个中间分数，在表中还可以找到13和23的中间分数25，37，47，35．把这个表一直写下去，可以找到13和23更多的中间分数．（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：①上表中括号内应填的数为；②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的35和23的中间分数是；（2）写出分数ab和cd（a、b、c、d均为正整数，a cb d<，c d<）的一个．．中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；（3）若sm与tn（m、n、s、t均为正整数）都是917和815的中间分数，则mn的最小值为．【答案】（1）①27；②58（2）证明见解析（3）1504（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：结论： a c b d++． ∵a 、b 、c 、d 均为正整数，a cb d <，cd <， ∴()()()201c a b a c a b d a c a bc ad d b b b d b b b d b bd d-+-++--===>++++， ()()()201a c d a c c b d a c c ad bc b d d b d d d b d bd d b-+-++--===<++++． ∴a a c c b b d d+<<+． （3）根据排列可知917和815的中间分数有1732， 3566， 2649， 2547等，由此可得mn 的最小值为1504， 故答案为：1504.。
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第二节 探索图形变化的规律
探索性问题是指给出一列数、一列等式，一列图形的前几项，然后让我们通过归纳加工、猜想，推出一般的结论；或者是给出一个图形，要求我们探索图形成立的条件、变化图形的不变规律。
这类问题需要学生通过对题目进行深刻理解，然后进行合情推理，就其本质进行加工、猜想、类比和联想，做出合理判断和推理。
解题时要关善于从所担供的数学或图形信息中，寻找其共同之处，存在于俱全中的共性，就是规律。
其中蕴含蕴含着“特殊—— 一般 ——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识事物的一般过程。
例题解析
例1. 依次观察下面的三个图形，并判断照此规律从左向右第4个图形是（ ）
A ． B. C. D.
例2. 用边长为1cm 的小正方形搭如下所示的塔状图形，则第n 层所搭图形的周长是________cm(用
含n 的代数式表示) 。
第1次 第2次 第3次 第4次
例3. 观察下列图形的排列规律（其中
是圆形）：
…
若第一个图形是正方形，则第2012个图形是______。
（填图形名称）
例4. 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设成如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要
用白色棋子______枚。
（用含有n 的代数式表示）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
第3个
第2个
第1
个（3）（2）（1）
例5. 在数学活动中，小明为了求n
4322
1
21212121+⋅⋅⋅++++的值（结果用n 表示），设计了
如图1所示的几何图形。
（1）请你利用这个几何图形，求出
n 43221
21212121+⋅⋅⋅++++ 的值为______； （2）请你利用图2，再设计一个能求n 4322
1
21212121+⋅⋅⋅++++ 的值几何图形。
习题训练
1. 如图，
两种圆按某种规则排列，则前2006个圆中有个。
2. 观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是______。
3. 下列图中有大小不同的菱形，第1幅图有1个，第2幅图有3个，第3幅图有5个，则第n 幅图有______个。
（4）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（3）
（2）
（1）
4. 按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为______，第n 堆三角形的个数为______。
5. 下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律拼接而成。
依此规律第5个图中小正方形的个数为______。
第3个
第2个
第1
个
图5
图4
图2
图
1
第3个
第2个
第1
个
6.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试写出第10个图中有______个点，并猜测第n 个图中有______个点。
7.如下图所示，用同样规格的灰白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，①第四个图形中需要灰色瓷砖______块，②第n个图形中需要灰色瓷砖______块（用含n的代数式表示）
8.找规律：
（1）如图，第一个中有几个正方体？第2个中有几个正方体？第3个中呢？
（2）照图示的方法摆下去，第5个中有几个正方体？第10个中有几个正方体？第n个中呢？
9.在桌面上，棱长为a的若干正方体摆成如图的模型。
①模型中有多少个正方体？
②该模型的表面积是多少？（不包括底面）
10.
示），然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：
（1）如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？
（2）如果剪n次共有
n
a个正方形，试用含有n、
n
a的等式表示这个规律。
图4图3图2图
1
图1（3）利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ （4）能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？
（5）若原正方形的边长为1，设n a 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示n a 。
（6）试猜想n n a a a a a a ++⋅⋅⋅++++-14321与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系。
11.如图所示是一个边长为1的正方形，第一次将它对折，得到面积为2
1
的长方形， 12.第二次再对折，得到面积为
4
1
的长方形。
猜想：这样一直下去， 13.问对折到100次时，最后的面积是多少？已经截去的面积是多少？
14.下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形。
仔细观察图形可知：
图①有1块黑色的瓷砖，可表示为1=
(11)2
2
+⨯; 图②有3块黑色的瓷砖，可表示为1+2=(12)2
2
+⨯；
图③有6块黑色的瓷砖，可表示为1+2+3=(13)3
2
+⨯；
实践与探索：（1）请在图④的虚线框画出第4个图形；（只须画出草图） （2）第10个图形有______块黑色瓷砖；（直接填写结果） （3）第n 个图形有______块黑色瓷砖。
（用含n 的代数式表示）
13. 观察下列图形，如图所示，若第1个图形中的空白面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为
43，第3个图形中非阴影部分的面积为169，第4个图形中非阴影部分的面积为64
27，……。
探究：第n 个图形中非阴影部分的面积为多少？（用字母n 表示）
第3个第2个第1
个
14. 观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形寻找规律。
如图（1），共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见。
如图（2），共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见。
如图（3），共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见。
……
则第6个图中，看不见的立方体共有______个。
15. 观察各例题右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律。
①1×2=1-2
1 ②2×32=2-3
2 ③3×43=3-4
3 ④4×
54=4-5
4
（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示。
（2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。