流体力学 第四章 流体动力学基础 (3)
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工程流体力学 第4章 粘性流体动力学基础
沿程损失水头 (hf)：
hf
LV2 D 2g
达西(Darcy)公式
λ：为沿程损失系数，与流动状态、管壁的粗糙度等有关
hf不仅与管段长度成正比，还与管道直径成反比
2020年1月10日
FESTO气动中心
局部阻力水头损失 ：当流体在运动中遇到局部障 碍（半开阀门、管道弯头、粗细管接口、滤网等）时， 流线会发生局部变形，并且由于流动分离、二次流等 原因产生漩涡运动，从而耗散一部分机械能，造成水 头损失。
2020年1月10日
FESTO气动中心
解 :（1）求管中心最大流速 umax 2V 2 6.35 12.7cm/s
（2）离管中心 r=20mm 处的流速
u
umax
p
4L
r2
当r=50mm时，管轴处u=0，则有
0 12.7 p 52
4L
p 0.51
4L
则r=20mm在处的流速 u 12.7 0.51 22 10.7cm/s
LV2
d 2g
64 / Re
2020年1月10日
FESTO气动中心
克服沿程阻力而消耗的功率
W
ghf Q
pQ
128 LQ 2 d 4
动能修正系数
1
R2
R u 32rdr 2
0 V
2020年1月10日
FESTO气动中心
例: 设有一恒定有压均匀管流，已知管径d=20mm，管长l=20m， 管 中 水 流 流 速 V=0.12m/s ， 水 温 t=10℃ 时 水 的 运 动 粘 度 ν=1.306×10-6m2/s。求沿程阻力损失
李玉柱流体力学课后题标准答案第四章
第四章 流体动力学基础4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为1/7max /2/2u B y u B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0y ≥总流的动能修正系数为何值?解：172max max 0127282B A A B y v ud u dy u B A B ⎛⎫- ⎪=== ⎪⎝⎭⎰⎰因为31.0A A u d A v α∆⎛⎫≈+⎪⎝⎭⎰ u u v ∆=-所以 172233821.0 1.01 1.0572B B A A B y u v d dy B A v B α-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎪≈+=+⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度00.03m δ=，平均流速V 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。
试求(1)在倾斜角45θ=o 处的平均流速V ；(2)该处的水股厚度δ。
解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V=︒45sin 8=11.31m/s （2）水股厚度由流量守恒可得：VD D V δδ=000，由于缝狭长，所以两处厚度近似相等，所以000.0380.02111.31V V δδ⨯===m 。
4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V 2=20m/s ，管径d 1＝0.1m ，管嘴出口直径d 2＝0.05m ，压力表断面至出口断面高差H ＝5m ，两断面间的水头损失为210.5(/2)V g 。
试求此时压力表的读数。
解：取压力表处截面为截面1-1，收缩管嘴处截面为截面2-2，选择两截面包围的空间为控制体，由实际流体的恒定总流能量方程得：2211221222wV p V p z z h g g g g ρρ'++=+++， 由连续性方程2211V A V A =可得1-1断面流速s m 51=V ，由上述两个方程可得压力表的读数（相对压强）：222112212wV V p p z z h g g ρ⎛⎫-'-=+-+ ⎪⎝⎭， 上式计算结果为：2.48at 。
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
38
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
25
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
流体力学第四章
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
工程流体力学课件3流体动力学基础
恒质
量
三
守
大
守
恒能
恒 定
量 守
律
恒动
量
守
程连
续 方
程恒 定
总
程能 量 方
流 三
大
程动
方
量
方
• v1 A1 = v2 A2
说明流量不变时，过流断面越小， 流速越大 —— 水射器原理
Φ
D
小头
大头
消防水枪喷嘴
收缩段 亚音速
喉部 音速
扩散段 超音速
拉瓦尔喷管
由拉瓦尔喷管可获得超音速气流，其原理广泛应用 于超音速燃气轮机中的叶栅，冲压式喷气发动机，火箭 喷管及超音速风洞等处。
3）在恒定流情况下，当判别第II段管中是缓变 流还是急变流时，与该段管长有无关系？
区分均匀流及非均匀流与过流断面上流速 分布是否均匀有无关系？是否存在“非恒定 均匀流”与“恒定急变流”？
当水箱水面恒定时： a)为恒定均匀流；b)为恒定非均匀流。 当水箱水面不恒定时： a)为非恒定均匀流；b)为非恒定非均匀流。
uz F3(x, y, z,t)
x,y,z,t —欧拉变量
由
dux
ux t
dt
ux x
dx
ux y
dy
ux z
dz
a
x
a y
az
dux
dt du y
dt duz
dt
dF1
dt dF2
dt dF3
dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
u y t
ux
u y x
uy
u y y
重、难点
工程流体力学课件3流体动力学基础
总结词
边界层理论是研究流体在固体表面附近流动的理论， 其特征包括流体的粘性和湍流状态。
详细描述
边界层理论主要关注流体与固体表面之间的相互作用 ，特别是流体的粘性和湍流状态对流动的影响。在边 界层内，流体的速度和压力变化梯度较大，湍流状态 较为明显。
边界层分离现象和转捩过程
总结词
边界层分离现象是指流体在经过曲面或突然扩大区域 时，流速减小，压力增加，导致流体离开壁面并形成 回流的现象。转捩过程则是从层流到湍流的过渡过程 。
有旋流动
需要求解偏微分方程组，如纳维-斯托克斯 方程（Navier-Stokes equations），该方 程组较为复杂，需要采用数值方法进行求解
。
05 流体动力学中的湍流流动
湍流流动的定义和特征
湍流流动的定义
湍流是一种高度复杂的流动状态，其中流体的速度、压 力和其它属性随时间和空间变化。
湍流流动的特征
质量守恒定律在流体中的应用
质量守恒定律
物质的质量不会凭空产生也不会消失，只会从一种形式转化为另一种形式。在流体中，质量守恒定律表现为流体 微元的质量变化率等于进入和离开微元的净质量流量。
质量守恒方程
根据质量守恒定律，流体微元的质量变化率可以表示为流入和流出微元的净质量流量。这个方程是流体动力学基 本方程之一，用于描述流体的运动特性。
流体流动的描述方法
描述流体流动的方法包括拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法是以流体质点作为描述对象，追踪各个质点的运动轨迹，研究其速度、加速度等参数随时 间的变化。欧拉法是以空间点作为描述对象，研究空间点上流速、压强等参数随时间和空间的变化。
03 流体动力学基本方程的推 导
牛顿第二定律在流体中的应用
能源
边界层理论是研究流体在固体表面附近流动的理论， 其特征包括流体的粘性和湍流状态。
详细描述
边界层理论主要关注流体与固体表面之间的相互作用 ，特别是流体的粘性和湍流状态对流动的影响。在边 界层内，流体的速度和压力变化梯度较大，湍流状态 较为明显。
边界层分离现象和转捩过程
总结词
边界层分离现象是指流体在经过曲面或突然扩大区域 时，流速减小，压力增加，导致流体离开壁面并形成 回流的现象。转捩过程则是从层流到湍流的过渡过程 。
有旋流动
需要求解偏微分方程组，如纳维-斯托克斯 方程（Navier-Stokes equations），该方 程组较为复杂，需要采用数值方法进行求解
。
05 流体动力学中的湍流流动
湍流流动的定义和特征
湍流流动的定义
湍流是一种高度复杂的流动状态，其中流体的速度、压 力和其它属性随时间和空间变化。
湍流流动的特征
质量守恒定律在流体中的应用
质量守恒定律
物质的质量不会凭空产生也不会消失，只会从一种形式转化为另一种形式。在流体中，质量守恒定律表现为流体 微元的质量变化率等于进入和离开微元的净质量流量。
质量守恒方程
根据质量守恒定律，流体微元的质量变化率可以表示为流入和流出微元的净质量流量。这个方程是流体动力学基 本方程之一，用于描述流体的运动特性。
流体流动的描述方法
描述流体流动的方法包括拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法是以流体质点作为描述对象，追踪各个质点的运动轨迹，研究其速度、加速度等参数随时 间的变化。欧拉法是以空间点作为描述对象，研究空间点上流速、压强等参数随时间和空间的变化。
03 流体动力学基本方程的推 导
牛顿第二定律在流体中的应用
能源
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令 ( x, y) C ，或
d 0
积分
( x, y )
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线 等势线方程式
例题2：已知某二维液流流速场为
ux U uy 0
要求：（1）证明该平面流动为势流； （2）求其等势线方程式。
1 u y ux )0 解：（1） z ( 2 x y
若平面流动是无旋流（亦即有势流）时，有
1 u y ux z ( )0 2 x y
即
ux
u y x
ux 0 y
将
y 代入上式，得： uy x
2 2 2 0 2 x y
拉普拉斯方程
三、恒定平面势流的流速势函数及等势线
无旋流
例题1：已知某二维液流流速场为
解：由 d uy dx ux dy Udy 积分得： Uy C1
ux U uy 0
y
求其流线方程式
5 4 2
令 C2，即得流线方程式
y C2 C1 C U U
1
0
x
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于该两
p p ( ) 2 r
（ b）
所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图b所示。最后，上式中C的确定： 由单位深度（z=1）的流量
2 2 C Q ur rd rd 2C 0 0 r Q C 2 称为平面点源（汇）强度。
ux y uy x
其中
（二）流函数的性质 流函数的性质之一：同一流线上各点的流函数值为常数。
值相等的点连
等流函数线——某一时刻，把流函数 接起来所得的曲线
等流函数线方程式为 C或d 0 即有 d uy dx ux dy 0 恰好为流线方程式
（1）问是无旋流还是有旋流； （2）若是无旋流，求其速度势； （3）求平面流动的流函数； （4）求压强分布。
ux
Cx ; 2 2 x y
uy
Cy ; 2 2 x y
uz 0
y
u
y
u=ur u
解：（1） 因
u
x 2Cxy y ( x2 y 2 )2
u
2Cyx y x ( x2 y 2 )2
Y
A
O
r X
q 2u 0
(c)
•
叠加后的流动流速场 x q q cos u u u x x 0 2 ( x 2 y 2 ) 0 2 r y q q sin u y y 2 ( x 2 y 2 ) 2 r
Y
•通过驻点的流线方程
驻点A
所以该液流为平面势流。
（2）依 d ( x, y) ux dx u y dy Udx 积分得： ( x, y) Ux C1 令 ( x, y) C2 则得等势线方程式为 x
C2 C1 C U U
y
0 1 2 3 4 5
x
流函数与流速势函数的关系
流线的流函数值之差。
y
证明：通过ds段的微小流量为
a
ds
M
dx
dy
ux
a
b
x
dq ux dy uy dx
所以通过曲线ab的流量为
详见教材P96
b
uy
a
q dq ux dy u y dx d a b
b b b
a
a
流函数的性质之三：平面势流的流函数是一个调和函数。
u x u y y x
；
二、恒定平面流的流函数及其性质 （一）流函数的形式
ux u y 0 不可压缩恒定平面势流的连续性方程式为 x y 流函数 ux (u y ) 也即： 必存在一函数 ( x, y) x y dx dy u y dx u x dy 且其全微分可记为 d x y
该流网如图a所示。 点源流：
1 u0 x 1 u0 y
3q 8
y
u=ur u
x r x q q 1 d 2 u r dr u rd dr 2 ln r 2 =0 2r 2 3 q q d 2 ur rd u dr d 2 2 2 58q 即流线是辐射线，等势线是一簇与流线正交的同心圆（图b）。 (b)
从上式中可见，流线是一簇通过原点的射线（ =Const ）由此说明了等 势线与流线互相正交。
（4）由平面势流流场的伯努利方程，若不计重力的影响，应
将 u C 代入整理得
u2 C1 2g p
p
r
p C设r时u=0，p=p则C´= p ，于是 C 2
r
2
x
x
u y
u u u z z x 0 z y x z
1
∴
x y z 0
为无旋流。
(a)
（2）对于点源汇流动，为方便起见采用极坐标示（如图a），此时：
u 0
2 2 ur u u x uy
C x2 y 2
C r
因： d ux dx u y dy
例1：求均匀流与点源流动叠加后的流动
(1)均匀流： ux u0 (常数),u y 0 (2)点源流：ur q / 2r, u 0 y C 1 2 3 4 3 C 2 1 (a) x u
y
解：
叠加后的流速势函数与流函数
均匀流：
d1 u x dx u y dy u0 dx d 1 u y dx u x dy u0 dy
叠加后的流速势函数与流函数（图c）
q q q ln r u0 r cos ln r u0 x ln x 2 y 2 2 2 2 q q 1 2 u0 y u0 r sin 2 2
1 2 u0 x
ux dy 其上任意点的斜率 m2 dx uy uy ux m1 m2 ( ) 1 所以流线与等势线在该点上正交 ux uy
五、势流叠加原理 势流叠加原理： 流速势可以进行叠加。 当几个势流叠加后，其流动仍为势流。
先看下源流和汇流的速度势和流函数的极坐标表达式（P99）
参考教材P104，设定角度 值
q 2u 0
(c)
结论：通过驻点的流线将流场分为两部分；由均匀流引起的这部分流
量皆在这条流线之外流动，而由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内 流动。这样便可把通过滞止点的这一条流线视为固壁，并且仅考察其外部 绕流，这就是所谓“二元半体绕流”。
例2：对于下面平面点源汇流动：
0
存在流速势函数 ( x, y, z)
dx dy dz ux dx u y dy u z dz 且有 d ( x, y, z ) x y z
对于平面势流，则有二维流速势函数 ( x, y )
x uy y ux
d ( x, y) dx dy ux dx u y dy x y
ux 0, u y 0
,r
q 2u0
则： A
r X
O
通过驻点的流线为：
u0 r sin
或
q C 2
q u0 y C 2
q 2u 0
(c)
通过驻点
A(
q q , ) 则有： C 2u0 2
A
Y
通过驻点的流线：
O
r
X
q q u0 r sin 2 2
流函数与流速势函数为共轭函数
ux y uy x ux x uy y
ux x y uy y x
等流函数线与等流速势线相正交，即流线与等势线正交。
证明：等流函数线就是流线，其方程式为 d uy dx ux dy 0 dy u y 其上任意点的斜率 m1 dx ux 等流速势线就是等势线，其方程式为 d ( x, y) ux dx u y dy 0
第十讲
第四章
流体动力学
§4.6 恒定平面势流 流函数及其性质 流速势函数及等势线 势流叠加原理
§4.6 恒定平面势流
一、基本方程组
不可压缩恒定平面流动：
1、平面流动，即
uz 0
；
2、不可压缩液体，即=Const 。 3、连续性方程：
ux uy 0 x y
4、平面无旋流动，即
z 0
d u y dx ux dy
Cy Cx u y dx u x dy 2 dx 2 dy 2 2 x y x y y d( ) xdy ydx x C tg 1 y Const C Const C 2 C y2 x y2 x 1 ( ) x
u x dx u y dy u dr ur dr u rd
C dr C ln r C C ln x 2 y 2 C r
上式中积分常数可任意给定，现取积分常数 C/ 等于0，由该式可见，等势线 是一簇以原点为圆心的同心圆（r=Const） (3) 因：
d 0
积分
( x, y )
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线 等势线方程式
例题2：已知某二维液流流速场为
ux U uy 0
要求：（1）证明该平面流动为势流； （2）求其等势线方程式。
1 u y ux )0 解：（1） z ( 2 x y
若平面流动是无旋流（亦即有势流）时，有
1 u y ux z ( )0 2 x y
即
ux
u y x
ux 0 y
将
y 代入上式，得： uy x
2 2 2 0 2 x y
拉普拉斯方程
三、恒定平面势流的流速势函数及等势线
无旋流
例题1：已知某二维液流流速场为
解：由 d uy dx ux dy Udy 积分得： Uy C1
ux U uy 0
y
求其流线方程式
5 4 2
令 C2，即得流线方程式
y C2 C1 C U U
1
0
x
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于该两
p p ( ) 2 r
（ b）
所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图b所示。最后，上式中C的确定： 由单位深度（z=1）的流量
2 2 C Q ur rd rd 2C 0 0 r Q C 2 称为平面点源（汇）强度。
ux y uy x
其中
（二）流函数的性质 流函数的性质之一：同一流线上各点的流函数值为常数。
值相等的点连
等流函数线——某一时刻，把流函数 接起来所得的曲线
等流函数线方程式为 C或d 0 即有 d uy dx ux dy 0 恰好为流线方程式
（1）问是无旋流还是有旋流； （2）若是无旋流，求其速度势； （3）求平面流动的流函数； （4）求压强分布。
ux
Cx ; 2 2 x y
uy
Cy ; 2 2 x y
uz 0
y
u
y
u=ur u
解：（1） 因
u
x 2Cxy y ( x2 y 2 )2
u
2Cyx y x ( x2 y 2 )2
Y
A
O
r X
q 2u 0
(c)
•
叠加后的流动流速场 x q q cos u u u x x 0 2 ( x 2 y 2 ) 0 2 r y q q sin u y y 2 ( x 2 y 2 ) 2 r
Y
•通过驻点的流线方程
驻点A
所以该液流为平面势流。
（2）依 d ( x, y) ux dx u y dy Udx 积分得： ( x, y) Ux C1 令 ( x, y) C2 则得等势线方程式为 x
C2 C1 C U U
y
0 1 2 3 4 5
x
流函数与流速势函数的关系
流线的流函数值之差。
y
证明：通过ds段的微小流量为
a
ds
M
dx
dy
ux
a
b
x
dq ux dy uy dx
所以通过曲线ab的流量为
详见教材P96
b
uy
a
q dq ux dy u y dx d a b
b b b
a
a
流函数的性质之三：平面势流的流函数是一个调和函数。
u x u y y x
；
二、恒定平面流的流函数及其性质 （一）流函数的形式
ux u y 0 不可压缩恒定平面势流的连续性方程式为 x y 流函数 ux (u y ) 也即： 必存在一函数 ( x, y) x y dx dy u y dx u x dy 且其全微分可记为 d x y
该流网如图a所示。 点源流：
1 u0 x 1 u0 y
3q 8
y
u=ur u
x r x q q 1 d 2 u r dr u rd dr 2 ln r 2 =0 2r 2 3 q q d 2 ur rd u dr d 2 2 2 58q 即流线是辐射线，等势线是一簇与流线正交的同心圆（图b）。 (b)
从上式中可见，流线是一簇通过原点的射线（ =Const ）由此说明了等 势线与流线互相正交。
（4）由平面势流流场的伯努利方程，若不计重力的影响，应
将 u C 代入整理得
u2 C1 2g p
p
r
p C设r时u=0，p=p则C´= p ，于是 C 2
r
2
x
x
u y
u u u z z x 0 z y x z
1
∴
x y z 0
为无旋流。
(a)
（2）对于点源汇流动，为方便起见采用极坐标示（如图a），此时：
u 0
2 2 ur u u x uy
C x2 y 2
C r
因： d ux dx u y dy
例1：求均匀流与点源流动叠加后的流动
(1)均匀流： ux u0 (常数),u y 0 (2)点源流：ur q / 2r, u 0 y C 1 2 3 4 3 C 2 1 (a) x u
y
解：
叠加后的流速势函数与流函数
均匀流：
d1 u x dx u y dy u0 dx d 1 u y dx u x dy u0 dy
叠加后的流速势函数与流函数（图c）
q q q ln r u0 r cos ln r u0 x ln x 2 y 2 2 2 2 q q 1 2 u0 y u0 r sin 2 2
1 2 u0 x
ux dy 其上任意点的斜率 m2 dx uy uy ux m1 m2 ( ) 1 所以流线与等势线在该点上正交 ux uy
五、势流叠加原理 势流叠加原理： 流速势可以进行叠加。 当几个势流叠加后，其流动仍为势流。
先看下源流和汇流的速度势和流函数的极坐标表达式（P99）
参考教材P104，设定角度 值
q 2u 0
(c)
结论：通过驻点的流线将流场分为两部分；由均匀流引起的这部分流
量皆在这条流线之外流动，而由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内 流动。这样便可把通过滞止点的这一条流线视为固壁，并且仅考察其外部 绕流，这就是所谓“二元半体绕流”。
例2：对于下面平面点源汇流动：
0
存在流速势函数 ( x, y, z)
dx dy dz ux dx u y dy u z dz 且有 d ( x, y, z ) x y z
对于平面势流，则有二维流速势函数 ( x, y )
x uy y ux
d ( x, y) dx dy ux dx u y dy x y
ux 0, u y 0
,r
q 2u0
则： A
r X
O
通过驻点的流线为：
u0 r sin
或
q C 2
q u0 y C 2
q 2u 0
(c)
通过驻点
A(
q q , ) 则有： C 2u0 2
A
Y
通过驻点的流线：
O
r
X
q q u0 r sin 2 2
流函数与流速势函数为共轭函数
ux y uy x ux x uy y
ux x y uy y x
等流函数线与等流速势线相正交，即流线与等势线正交。
证明：等流函数线就是流线，其方程式为 d uy dx ux dy 0 dy u y 其上任意点的斜率 m1 dx ux 等流速势线就是等势线，其方程式为 d ( x, y) ux dx u y dy 0
第十讲
第四章
流体动力学
§4.6 恒定平面势流 流函数及其性质 流速势函数及等势线 势流叠加原理
§4.6 恒定平面势流
一、基本方程组
不可压缩恒定平面流动：
1、平面流动，即
uz 0
；
2、不可压缩液体，即=Const 。 3、连续性方程：
ux uy 0 x y
4、平面无旋流动，即
z 0
d u y dx ux dy
Cy Cx u y dx u x dy 2 dx 2 dy 2 2 x y x y y d( ) xdy ydx x C tg 1 y Const C Const C 2 C y2 x y2 x 1 ( ) x
u x dx u y dy u dr ur dr u rd
C dr C ln r C C ln x 2 y 2 C r
上式中积分常数可任意给定，现取积分常数 C/ 等于0，由该式可见，等势线 是一簇以原点为圆心的同心圆（r=Const） (3) 因：