4-5多缝夫琅禾费衍射和衍射光栅
（1）位置 由： dI
0 ，d 2I
0
d
d 2
得： k（k 0,1. 2,）时
sin N 0，sin 0
在d sin k的位置出现主极大
主极大的位置与缝数N无关
（2）光强：
I N 2I0
（3）数目：
sin 1时，
k d / ，k 0,1,2,
2 极小值位置、次极强的数目和
k
k cos k (k 1/ N
,中 的央 半主 角极 宽强 度： k
)
d
Nd
讨论：Nd 越大， 越小，条纹越细锐。
5.5 单缝衍射因子的作用
令：(sin N )2 N（2 取极大值时）
sin
I
N
2
I
0
(
sin
)2
1 单缝的调制作用
2 缺级
a sin m m 1,2, 由d sin k k 0,1,2,
，
是整个光栅中心到观察点P的光程。
，
a0IaCI~0，(sina) 2si(nssinin，N
d
)2
sin
5.4 缝间干涉因子的特点
(sin )2：衍射因子
(sin N )2：干涉因子 sin
令： (sin )2 1（取极大值时）
I
sin N I0 ( sin
)2
1 主极强峰值的位置、强度和数目
由：m 1,2, , N 1可知
相邻主极强间有 N 1个极小值（暗线） 因此，相邻主极强间共有 N 2个次极强。
（3）主极强的半角宽度
由 d sin (k 1 )
sin
k
sin( k
k )
N
(k
1 N
)
d
cos k sin k cos k (k
1 N
)
d
k
sin k
Nd cos
Sn
首项
1－（公比）n 1－公比
E° a eikr01 (1 e2i e4i e2(N1)i )
a
eikr01
1 e2Ni 1 e2i
a ei[kr01( N 1) ]
e Ni ei
eNi ei
E°
a0
sin
sin N sin
eikr0
其中：r0 r01 [(N 1)d sin ]/ 2
和 (N 2)个次极强。
（4）外部轮廓呈单缝衍射的曲线包络
5.3 多缝夫琅禾费衍射的复振幅和光强分布
1 不同单缝衍射的差异
n （1）第 个单缝的复振幅分布：
Ò E°
n(
E°
P)
rn
n (P)
ri0arC(0%n0－s) E°in(xQs)ienexikprd(ikr0nC)% aa//2a2 exsipn(ikrn
)dx
（2）第 n 个单缝的光强度：
Inຫໍສະໝຸດ (P)I0(
sin
)2
（3）结论
（a）每个单缝单独产生的光强分布完全相同
（b）复振幅分布中仅仅光程r0n 不同
2 利用矢量图解法求光强分布
a
a0
sin
, L d sin
2d sin 2
_____
OC
a
2sin
_____
_____
，OBN 2 OC sin( N )
r0 (0 )
n1
r r0（n1） r0n d sin
，
2d sin 2
r0n r01 (n 1)d sin
E° n (P) C°a sina0esxipn(ikre0nx)p(ikr01) exp(2i(n 1) )
E° nN1aa0C%sinsinexepx(pik(irk01r)0nnN)1 exp(2i(n 1) )
主极强的半角宽度 （1）极小值位置：sin N 0 ，sin 0时
N m'，m'：整数
(m' / N ) , (m' / N ) ：非整数。
m' (k m )
N
N
mk
0,1,2, 1,2, , N
1
(k m / N)
在 d sin (k m ) 位置出现极小值。
N
（2）次极强数目
§5 多缝夫琅禾费衍射和光栅
5.1 光栅及其种类
1 定义：
具有周期性的空间结构或光学 性能（如折射率、透射率）的 衍射屏统称为光栅。
2 光栅的种类：
透射式光栅、反射式光栅。
平面光栅、凹面光栅。
黑白光栅、正弦光栅。 一维光栅、二维光栅、 三维光栅。
5.2 实验装置和衍射图样
1 实验装置
a 狭缝宽度：
b 缝间不透明部分宽度： d 相邻狭缝中心点距离： a b
d ：光栅常数
每毫米光栅的狭缝数目： 数百条～两千左右条。
2 多缝夫琅禾费衍射图样
3 衍射图样的特征
（1）有一系列主极强、次极强和极小值。
（2）主极强的位置与缝数N无关， 宽度随N增加减小（更细锐）。
（3）相邻主极强间有(N 1)条暗纹（极小）
，
缺级级次： k m d
a
，
m 1,2,
sin N A a sin
合振幅的矢量图
A
a0
sin
sin N sin
I
a02
(
sin
)2
(
sin N sin
)
2
a sin ，
d
sin ，I 0
a02
I
sin I0(
)2 (sin N sin
)2
3 利用复振幅积分法求光强分布
Ò E°(P) i
N
E°(Q)eikrd C% eikrdx E° n (P)
光栅衍射现象衍射光栅
光栅公式
(a b) sin k
k=0, 1, 2, 3 · · ·
单色平行光倾斜地射到光栅上
0
(a )
0
(b)
相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差 (a+b)sin0
(a+b)(sin sin0 )=k
k=0,±1, ±2, ±3 · · ·
2、单缝对光强分布的影响
明纹与明纹重叠条件：
1 2 a sin (2k1 1) (2k 2 1) 2 2
明纹与暗纹重叠条件：
1 a sin (2k1 1) k 22 2
例、一束波长为 =500nm的平行光垂直照射在一个单 缝上。(1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角1=300， 求该单缝的宽度a=? 解： (1) a sin k (k 1,2,3) 第一级暗纹 k=1,1=300
第3节圆孔衍射光学仪器的分辨率一圆孔衍射第一暗环所围成的中央光斑称为爱里斑爱里斑半径d对透镜光心的张角称为爱里斑的半角宽度点光源经过光学仪器的小圆孔后由于衍射的影响所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑
光在传播过程中遇到障碍物时，会偏离直线传 播的现象，称为光的衍射现象。
第1节 惠更斯-菲涅耳原理
一、惠更斯-费涅耳原理
惠更斯原理： 波前上每一点都可以看作是发出球面子波的新 波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波前。 惠更斯-菲涅耳原理: 波面上的任一点都可以看作能向外发射子波 的新波源，波的前方空间某一点P的振动就是到达 该点的所有子波的相干叠加。
面元 dS 处的振动媒质在P点引起的振动：
A . .. . C A1 .
A 2.φ B φ P f x
《大学物理教程》郭振平主编第四章光的衍射课后习题答案
第四章 光的衍射一、基本知识点光的衍射：当光遇到小孔、狭缝或其他的很小障碍物时，传播方向将发生偏转，而绕过障碍物继续前行，并在光屏上形成明暗相间的圆环或条纹。
光波的这种现象称为光的衍射。
菲涅耳衍射：光源、观察屏（或者是两者之一）到衍射屏的距离是有限的，这类衍射又称为近场衍射。
夫琅禾费衍射：光源、观察屏到衍射屏的距离均为无限远，这类衍射也称为远场衍射。
惠更斯－菲涅耳原理：光波在空间传播到的各点，都可以看作一个子波源，发出新的子波，在传播到空间某一点时，各个子波之间可以相互叠加。
这称为惠更斯－菲涅耳原理。
菲涅耳半波带法：将宽度为a 的缝AB 沿着与狭缝平行方向分成一系列宽度相等的窄条，1AA ，12A A ，…，k A B ，对于衍射角为θ的各条光线，相邻窄条对应点发出的光线到达观察屏的光程差为半个波长，这样等宽的窄条称为半波带。
这种分析方法称为菲涅耳半波带法。
单缝夫琅禾费衍射明纹条件：sin (21)(1,2,...)2a k k λθ=±+=单缝夫琅禾费衍射暗纹条件：sin (1,2,...)a k k θλ=±=在近轴条件下，θ很小，sin θθ≈, 则第一级暗纹的衍射角为 1aλθ±=±第一级暗纹离开中心轴的距离为 11x f faλθ±±==±, 式中f 为透镜的焦距。
中央明纹的角宽度为 112aλθθθ-∆=-=中央明纹的线宽度为 002tan 2l f f faλθθ=≈∆=衍射图样的特征：① 中央明纹的宽度是各级明纹的宽度的两倍，且绝大部分光能都落在中央明纹上。
② 暗条纹是等间隔的。
③ 当入射光为白光时，除中央明区为白色条纹外，两侧为由紫到红排列的彩色的衍射光谱。
④ 当波长一定时，狭缝的宽度愈小，衍射愈显著。
光栅: 具有周期性空间结构或光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统称为光栅。
光栅常数: 每两条狭缝间距离d a b =+称为光栅常数。
中山大学信息光学习题课后答案--习题4-5-6作业
习 题 44.1 尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 00(,)t x y = (2) 001,(,)0,a t x y ⎧⎪≤=⎨⎪⎩其它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。
观察平面与光栅相距z 。
当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) 22r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 242r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。
4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。
P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。
观察平面位于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。
求衍射图样的强度分布。
4.6 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。
其透射率可以表示为：001,()0,a r a t r ε≤≤⎧=⎨⎩其他度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。
它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
4.8 参看下图，边长为2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在(,)x y ''点。
采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。
光的衍射和夫琅禾费衍射的特点
光的衍射和夫琅禾费衍射的特点光的衍射和夫琅禾费衍射是光学领域中重要的现象和理论。
它们描述了光在通过障碍物或狭缝时发生弯曲和扩散的现象，对解释光的传播和干涉起到了关键作用。
本文将介绍光的衍射和夫琅禾费衍射的特点，并探讨它们在科学和工程应用中的重要性。
一、光的衍射的特点光的衍射是指光通过狭缝或障碍物后发生的波动现象。
其特点如下：1. 波动性：光的衍射是光的波动性质的直接表现。
光可以被看作是一种电磁波，在通过狭缝或障碍物时会发生波峰和波谷的干涉，形成一系列明暗的衍射图样。
2. 弯曲扩散：光通过狭缝或障碍物后会发生弯曲和扩散，波前会扩展成波纹状，这是光的衍射所特有的现象。
3. 衍射图样：光的衍射会在远处形成明暗交替的衍射图样。
衍射图样的形状与光的波长、光源和狭缝或障碍物的尺寸有关，通过观察衍射图样可以推断出光的传播和干涉特性。
二、夫琅禾费衍射的特点夫琅禾费衍射是基于夫琅禾费原理的一种衍射现象。
其特点如下：1. 空间相干性：夫琅禾费衍射要求光源具有一定的空间相干性，即光源的波前不能随机分布。
只有空间相干性较高的光源才能形成夫琅禾费衍射的特殊图样。
2. 多次衍射干涉：夫琅禾费衍射发生的过程中，光线通过多个狭缝或多个障碍物进行衍射和干涉，形成更为复杂的衍射图样。
这种多次衍射干涉是夫琅禾费衍射的独特之处。
3. 透射和散射：夫琅禾费衍射既包括了透射现象（光线通过狭缝传播），也包括了散射现象（光线在物体表面发生反射）。
这使得夫琅禾费衍射可以应用于材料表征、成像和物体识别等领域。
三、在科学和工程中的应用光的衍射和夫琅禾费衍射的特点使得它们在科学和工程领域有着广泛的应用。
1. 光学成像：光的衍射和夫琅禾费衍射可以用于光学成像技术，例如通过衍射光学元件可以实现光学显微镜的分辨率提高和图像增强。
2. 模拟计算：夫琅禾费衍射可以被用于模拟计算，例如光在透镜或衍射光栅中的传播过程可以模拟成信号传输和处理。
3. 光学测量：光的衍射和夫琅禾费衍射在光学测量中有着重要的应用，例如通过衍射图样的变化可以测量物体尺寸、形状和折射率等参数。
第四章光的衍射第五节衍射光栅
衍射极小位置 sinθ2 = j'λ/a
当干涉的1 2
j
d
j
a
j d j a
sin N 2
sin
5.1 多缝夫琅禾费衍射
单缝衍射因子的作用
j d j a
N=6,d=5a
N=20,d=3a
5.1 多缝夫琅禾费衍射
多缝夫琅禾费衍射图样的特点总结
① 存在主极强与次极强； ② 主极强的位置与缝数N无关，宽度随 N 减小，强度与 N2 成正比； ③ 相邻主极强间有 N-1 条暗纹和 N-2 条次极强。 ④ 会出现缺级。
5.1 多缝夫琅禾费衍射
光栅的有效宽度
（1）平行光射向光栅，被入射光覆盖的部分才能起到衍射的作用。 （2）有效宽度指的是光栅上入射光斑的宽度。
( j 1)L
单元间的干涉。 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式
U ( ) C U0 (x)eikr dx () N C U0 (x j )eikrj dx j j 1 ( j )
x
rn
n
Ln
xn
z
rj Lj xj sin
5.1 多缝夫琅禾费衍射
用积分法进行复振幅的计算
U0 ( x j )eikrj dx j eikLj
U 0 ( x j )eikx j sin dx j
( j )
( j )
d /2
eikLj
U0 ( x)eikxsin dx
d /2
U
(
)
C
N
eikL j
d /2
U0 ( x)eikxsin dx
j1
d/2
N ( )u( )
N ( ) C
N
eikL j
第3章光的衍射2(光栅夫琅禾费)_168209982
a0 -- 单缝衍射 = 0
处的振幅
9
图示光栅衍射的物理机制
1
再进行 一次多 光束干 涉
2
f
f
π sin sin N d sin A a0 sin
10
sin N A A0 sin
光栅衍射的光强： 1）单缝衍射和多光束干涉的结果共同决定。 2）干涉主极大处受到衍射极小的影响，导 致所谓的“缺级”现象。
12
四. 光栅夫琅禾费衍射光强分布特点 （1）各干涉主极大受到单缝衍射的调制。
I0 I单 单缝衍射光强曲线 -2 -1 多光束干涉因子 N2 0
例 N 4 , d 4a
2
sin
sin N sin
单缝衍射因子
2
多光束干涉因子
11
光强分布与缺级现象
sin I I0
2
sin N sin
2
π
a sin
π d sin
内的干涉主极大个数减少， 若出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
15
▲
若 d 不变 各干涉主极大位置不变；
单缝中央亮 a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽， 纹内的干涉主极大个数增加，缺级的级次变高。 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变 极端情形： 为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各 干涉主极大光强几乎相同。
§3.3 多缝的夫琅禾费衍射
一. 光栅（grating） 光栅是现代科技中常用的重要光学元件。 光通过光栅衍射可以产生明亮尖锐的亮纹， 复色光入射可产生光谱，用以进行光谱分析。
第四章 衍射
a为圆孔半径
3、艾里斑—中央亮斑: 光强占入射光的84%。 第一暗环的角半径（爱里斑半角宽 ）
0.61
a
or
1.22
D
(4.50)
D为圆孔直径
f t an 很小 , t an sin 1.22
D
f
D
~ U k P0
k
A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
4.13
(4.14)
由惠更斯-菲涅耳原理:
k Ak f ( k ) rk
k R rk Rb
与k无关 (4.16)
f (k )随k 增大缓慢减小
~ A( P0 ) U P0
~ U k P0
k
A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
1 A( P0 ) [ A1 (1) n 1 An ] 2 (4.17 )
4.13
自由传播: 孔径ρ→∞
f (k ) 0, Ak 0 1 A( P0 ) A1 ( P0 ) (4.18) 2
照相机镜头的孔径至少应为:
1.22 S 1.22 5.0 107 1.6 105 D 1.952m d 0.05
§4-5 多缝夫琅禾费衍射和光栅
衍射光栅: 任何具有空间周期性的衍射屏。
透射光栅 反射光栅 transmission grating reflexion grating
每两个相邻带的边缘到P0点的距离都相差半波长。这样，由任何相邻 的两带的对应部分发的子波到达P0点时的光程差为：λ／2，亦即相位 相反，这样分成的环形带称为菲涅耳半波带。
光的衍射
❖ 多缝衍射图样的强度分布用夫琅禾费衍射公式计算
E~ x, y
ikz ik x2 y2
e e2z
iz
E~
x1, y1
e
ik z
x
x1
y
y1
dx1dy1
x2 y2
xy
C
A'
ik
e
(
f
2f
)
f
ik (
e
f
x1
f
y1 )
dx1dy1
只考虑x周的复振幅分布，屏上任意一点P的复振幅为
E~(P) C ' eikxx1 / f dx1
多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是Δθ，主
极大的条纹角宽度为：
2 2 1
Nd cos
N
该式表明：狭缝数N愈大，主极大的角宽度愈小。
（a）单缝 （b）双缝 （c）3缝 （d）5缝 （e）6缝 （f）20缝
(B) 单缝衍射因子
(sin )2
m
主极大：α=0
极小：
＝1 kla
2
a sin x
C'
a
e dx 2 ikxx1 / f
a
1
2
e d a 2
ikxx1
da
/
f
dx1
2
( N 1)d a 2
ikxx1 / f
e dx ( N 1)d a
1
2
E~(P) C ' eikxx1 / f dx1
C
'
a
e dx 2 ikxx1 / f
a
1
2
e d a 2
3）多缝衍射次极大
由多光束干涉因子可见，在相邻两个极小值之间，除了
第6讲 夫琅禾费光栅衍射
AN
A1
A2
A3
2. 条纹特点(半定量讨论)
明纹中心(主明纹、主极大)条件
d sin k
A1 A2
(k 0，1， 2)
位置: sin k
d
A NA1 k: -2 -1 0 1
夫琅禾费光栅衍射
AN
A 2
亮度: I N 2I1 最高级次:
2 0 2 sin
dd
dd
| sin | 1
相邻两条主明纹间有(N-1)条暗纹
次极大条件
对应按多边形法则 叠加,不正好为直线, 也不正好闭合的其余 位置.
(N-1)条暗纹由(N-2) 个次极大隔开,相邻 两条主明纹间有(N-1) 条暗纹和(N-2)个次 极大.
夫琅禾费光栅衍射
AN
A
A2 A1
(N-1)个极小
(N-2)次极大
0
d
sin
I
sin N
I1
sin
2
M
R
AN
C N
A
A2
O
A1
P
x
合振动最强: k2π
夫琅禾费光栅衍射
A
A1
sin N sin
1 (π) 1 (π N) N 1
2
2
2
x Acos(t )
多边形 直线 A NA1
合振动最弱：N k2π
k 0,1,2, k Nk
A
多边形闭合 A=0
km
d
(例：d
4 2, km 4;
d
4, km
3)
暗纹条件
夫琅禾费光栅衍射
N 2πk
N 2 π d sin 2 π k
位置: sin k (k Nk)
光学 衍射--光栅衍射
2 sin 4.2 考虑衍射因子
2
若在某衍射方向是 n 级衍射极小 , 又是 m 级 干涉主极大,则有
a sin n d sin m .
由于衍射因子
( n 1, 2, L)
sin
2
2
0,
I 0,
由上面两方程, 得
d m . a n
第m级干涉主极大被n级衍射极小调制掉,
因此, 在两个干涉主极大之间 有(N-2)个干涉次极大. 例如 0 和 1级干涉主极大之间,次极大分别位于
（4）次最大的角位置和数目
次最大的角位置可由
d sin N 0 d sin
2
求得
可以证明，各级次最大的光强远比主最大弱得多。其 值不超过零级主最大的1/23，所以次最大和暗纹实际 上混成一片，形成光强很弱的黑暗背景。对于总缝数 N很大的光栅，次级大完全观察不到。 因为在两相邻主最大之间有N－1个暗纹，而相邻 两零光强暗纹之间应有一个次最大。 因此，两相邻主最大之间必有N－2个次最大。
v {m [(2 m '' 1) / 2 N ]} ,
2m '' 1 或 d sin ( m ) 2N
( m 0, 1, 2 L ; m '' 1, 2, 3L N 2)
3 sin , 2N d 5 2N 3 , . 2N d 2N d
j 0, 1, 2, 3,L
27
三.光栅光谱 如果入射光是包含几种不同的波长的复色光，则 除零级以外，各级主最大的位置各不相同。我们 将可以看到在衍射图样中有几组不同颜色的谱线 ，分别对应于不同的波长。