线性代数 线性相关性与秩
将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表 示，则r ≤ s. ⎛ β1 ⎞ ⎛β ⎞
a22 ar 2 b12 b22 bs 2
⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ a1n ⎞ β2 ⎟ ⎜ β2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ βs ⎟ → ⎜ βs ⎟ ⎜ C= ⎟ ⎜O⎟ ⎟ ⎜α ⎟ a rn ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ O⎟ α ⎜ b1n ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ b2 n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ O⎠ ⎝ ⎟ α ⎝ r⎠ ⎟ bsn ⎟ ⎠ ∴ r = r ( A) ≤ r (C ) ≤ s
证明：
⎛ α1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ α 2 ⎟ ⎜ a 21 a 22 A=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜α ⎟ ⎜ a ⎝ m ⎠ ⎝ m1 a m 2 ⎛ β1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ a 21 a 22 B=⎜ = ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ β ⎟ ⎜a ⎝ m ⎠ ⎝ m1 a m 2
1 ⎛1 1 ⎜ A → ⎜0 −1 1 ⎜0 1 0 ⎜ ⎜0 2 − 2 ⎝
证明定理4. " ⇒": α1 , α 2 , , α m 线性相关, 由定理1知，必有某个向量（不 妨设α m )可由其余m − 1个 写成分量形式为 a mj = k1a1 j 对A作初等变换
向量线性表示为α m = k1α1 +
推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。
推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= Am × n 的秩r(A)=m。 推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n. 推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)<n. 定理5：若 m 个 r 维向量 α i = ( ai1 , ai 2 , , air ) (i = 1,2, , m ) 线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量 β i = ( ai1 , ai 2 , , air , ai , r +1 ) (i = 1,2, , m ) 也线性无关。 用语言叙述为： 线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。 推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
考虑A的r+1阶子式
m
r ( A) = r < m, 不妨设 r > 0,且A的最左上角的 r阶子式Dr ≠ 0
a11 Dr +1 = a r1 a r +1,1
a1r a rr a r +1,r
a1, j a r, j a r +1, j
j = r + 1, r + 2,
,n
r ( A) = r ⇒ Dr +1 = 0
推论1：若向量组α1 , α 2 , , α r 可由向量组 β1 , β 2 , , β s 线 性表示，且r >s,则向量组 α1 , α 2 , , α r 线性相关。 推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个
数相等。 定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个 数相等。
向量组的秩
×
向量组 α1 ,
α m 中,α m不能由余下向量线性表示 ⇒ 该向量组线性无关
×
向量组 α1 , α m 线性相关,且α m不能由余下向量线性表示 ⇒ 向量组α1 , α m −1线性相关
含有零向量的向量组必线性相关
√
√
相关性的判定---利用定义方法
(1) 设 k1a1+…+ kmam=0,得到一向量方程 (2) 将向量方程转化为关于 k1,…, km的方程组,并求 解 (3) 根据解的情况判断向量组的线性相关性: k1=…= km=0, 线性无关; 否则, 线性相关
2.相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。 推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。
定理4：m个n维向量αi = (ai1, ai2 , , ain ) (i =1,2, m)线性 相关的充要条件是由αi (i =1,2, m)构成的矩阵 a12 a1n ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎛ a11 ⎜ α2 ⎟ ⎜ a21 a22 a2n ⎟ A=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎜ a ⎟ a a m2 mn ⎠ ⎝ m ⎠ ⎝ m1 的秩r( A) < m.
∴ r ( A) = 2 < 3 ⇒ α1 , α 2 , α 3线性相关。
= ( 4,1,−1) − 1⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎟→ ⎜ 0 − 7 3 ⎟ ⎜0 0 ⎟ 3⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠
但α1 , α 2 线性无关， ∴ α1 , α 2是一个极大无关组； α1 , α 3也线性无关， ∴α1 , α 3也是一个极大无关组。
=n
, α s 与 β1 , β 2 , , βs , 若
a1s ⎞ ⎟ a2 s ⎟ ⎟ ⎟ a ss ⎟ ⎠
例2： 设有两个n维向量组 α1 , α 2 ,
α1 , α 2 ,
, α s 线性无关且
a12 a 22 as2 ⎛ a11 a12 a1s ⎞⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 a 2 s ⎟⎜ α 2 ⎟ K =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜ ⎟ a ss ⎠⎝ α s ⎠ ⎝ s1 a s 2
向量组的极大无关组
定义1：设 向量组 T 的部分向量组 α1 , α 2 , , α r 满足 (i ) α1 , α 2 , , α r 线性无关； (ii ) T 中向量均可由 α1 , α 2 , , α r 线性表示。 或T 中任一向量 α . α , α1 , α 2 , , α r 线性相关。 则称α1 , α 2 , , α r 是向量组 T 的一个极大线性 无关组，简称极大无关组。 极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.
⎛ β1 ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ a 21 ⎜ ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜β ⎟ ⎝ s⎠ ⎜ ⎝ a s1
证明 : 若r ( K ) = s，则β1 , β 2 ,
例 设向量组α1 , α s与α1 , α s , γ 都是线性无关的.但α1 , α s , β 线性相关 证明: α1 , α s , γ − β 线性无关.
例 设A为n阶方阵,向量组ξ1 , ξt 线性无关,满足Aξi = 0, i = 1 t. 且存在向量ηi 使Aηi = ξi , i = 1, t. 证明: ξ1 , ξt ,η1 , ηt 线性无关.
α3 = （2， 3， 2， 2， 5），α 4 = （1， 3， − 1， 1，λ）线性相关？
解： ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ α2 ⎟ ⎜2 ⎜ A= =⎜ ⎜α ⎟ 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝α 4 ⎠ ⎜ ⎝1
1 2 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ 1 3 2 3 ⎟ ⎜0 −1 1 → 0 3 2 2 5 ⎟ ⎜0 1 ⎜ ⎟ ⎜0 2 − 2 3 −1 1 λ ⎟ ⎠ ⎝
一个向量组只要含有非零向量,则一定有 极大线性无关组 极大线性无关组一般不唯一,但是它们所含 向量个数是否相等
极大无关组的性质 定理1：设有两个n维向量组
( I ) α1 , α 2 , , α r , ( II )
β1 , β 2 ,
, βs ,
证：设 ⎛ α1 ⎞ ⎛ a11 a12
⎜ ⎟ ⎜ ⎜ α 2 ⎟ ⎜ a 21 A=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎜α ⎟ ⎟ ⎜ ⎜a ⎝ r ⎠ ⎝ r1 ⎛ β1 ⎞ ⎛ b11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ b21 B=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎜β ⎟ ⎟ ⎜ ⎜b ⎝ s ⎠ ⎝ s1
线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
矩阵的秩与向量组线性相关性的判定
矩阵的秩与向量组线性相关性的判定作者：单彩虹李慧珍夏静来源：《文理导航·教育研究与实践》2016年第06期【摘要】向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，本文通过两个例子来看一下矩阵的秩在向量组线性相关性判定中的应用。
【关键词】向量；矩阵；线性代数矩阵、向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，它们关系密切，无法割裂开来。
矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩也是判定向量组线性相关性常用的方法。
下面我们就通过两个例子来看一下矩阵的秩在判定向量组线性相关性时的应用。
向量组线性相关性判定定理向量组a1，a2，…am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=（a1，a2，…am）的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。
例1设b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1，b2，…，br线性无关。
证先把向量组b1，b2，…，br由向量组a1，a2，…，ar线性表示的关系式写成矩阵形式：记为B=AK，因为detK=1，所以K是可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）又因为a1，a2，…，ar线性无关，由向量组线性相关性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，从而有R（b1，b2，…，br）=r，再次运用定理知向量组b1，b2，…，br线性无关。
例2 设b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量组b1，b2，…，br线性相关。
证一根据题设可得b1-b2+b3-b4=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0由定义，知向量组b1，b2，…，br线性相关。
证二两向量组表示的矩阵形式为：因为detK=0，所以R（K）由矩阵秩的性质知R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）由判定定理，向量组b1，b2，…，br线性相关。
线性代数167;4.2
(4)设
短的无关
长的无关；
j
a1
a2
j j
,
arj
j
a1 j
a2 j
长的相关
,
( j 1,2,,m),
短的相关。
arj
ar1, j
即j 添上一个分量后得向量j. 若向量组A: 1, 2, ···,
m线性无关, 则向量组B: 1, 2, ···, m也线性无关; 反
言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.
证明: 本定理的4个结论均由定理4证明.
(1) 记A=(1, 2, ···, m), B= (1, 2, ···, m, m+1),
则有: R(B)R(A)+1. 若向量组A线性相关, 则由定理4知
R(A)<m, 从而R(B)R(A)+1<m+1. 因此, 根据定理4得, 向量组B线性相关.
证二是利用定理4, 证明向量组构成的矩阵的秩等 于向量组向量的个数, 借用齐次线性方程组只有零解 的结果证明其系数矩阵的秩;
证三仍是利用定理4, 但过程利用了矩阵秩的性质.
线性相关性是向量组的重要性质, 给出如下结论:
定理5: (1)若向量组A:1, 2, ···, m线性相关, 则
向量组B: 1, 2, ···, m, m+1也线性相关; 反言之, 若
2. 线性相关与线性无关的判定方法: 定义, 5个定 理(难点).
思考题
试证明:
(1) 一个向量线性相关的充要条件是=O; (2) 一个向量线性无关的充要条件是O; (3) 两个向量, 线性相关的充要条件是存在k1使 =k1 或者存在k2使 =k2, 但两式不一定同时成立.
线性代数习题册(第四章 向量组的线性相关性参考答案)
r4 − r2
0
5
2
0 0 2
0
0
2
8
6
r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2
1 2 r2
0 0
0 0
1 0
2
4
3 1
0
0
1
0 →
0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0
注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向 量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)
1 0
1 1
0
1
0 0 1
1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,
线性代数
思考· ：能否给出一个线性无关的充要条件？
三、向量组线性相关性的判定
由定理1及矩阵的秩可以得到如下一个很 实用的线性相关性判定定理： a1 j 补充定理 设有列向量组 j
a2 j a nj
( j 1,2,, s ),
则向量组 1 , 2 ,, s 线性相关的充要条件是: 矩阵 A (1 , 2 ,, s ) 的秩小于向量的个数 s. 证 （由于矩阵A的某一列可全化为零）
二、线性相关性的概念
定义8 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
成立. 因而存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,, kr ,0,,0
使 k1 1 k2 2 kr r 0 r 1 0 n o 成立, 即 1 , 可叙述如下:
线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关. 例如, 含有零向量的向量组线性相关.
因零向量线性相关, 由定理可知, 该向量组也线性相关.
定理4
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2,, m ), a rj a rj a r 1, j 即 j 添上一个分量后得向量 b j .若向量组 A： 1 , 2 ,
1 a3 2 , 4
2a1 a2 a3 0,
因此 a1 , a2 , a3 是3个线性相关的3维向量.
线形代数-向量的线性相关性与矩阵的秩
∴当 t＝-1 或 t＝2 时，线性相关。 4．若 α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，问 ⑴ 向量组 α 1 − α 2 ， α 2 − α 3 ， α 3 − α 4 ， α 4 − α 1 是否线性无关？ 解：设 α 1 − α 2 ， α 2 − α 3 ， α 3 − α 4 ， α 4 − α 1 线性相关 有 k 1 (α 1 − α 2 ) + k 2 (α 2 − α 3 ) + k 3 (α 3 − α 4 ) + k 4 (α 4 − α1 )
∴
2 x1 + 7 x2 + 3 x3 + x4 = 6 − 11x2 − 5 x3 + x4 = −10
2 x3 0 x1 − 11 当 = 时， = 10 （特解） x4 0 x 2 11 1 x 3 − 1 x1 − 11 x 0 x1 − 9 ；当 3 = = 时， = 时， = 5 x4 0 x 2 11 x4 1 x2 1
3． 如下方程组有解的充分必要条件是什么？有解时，求其通解
x1 − x 2 x − x 2 3 x3 − x4 x − x 5 4 x5 − x1
= a1 = a2 = a3 = a4 = a5
解：上述 5 个等式相加，得 a1 + a2 + a3 + a 4 + a5 = 0 ，是有解的充分必要条件；
6 4 2
3 1 6 3 1 6 2 7 3 1 6 2 7 2 7 解：∵ 3 5 2 2 4 ⇒ 0 − 11 − 5 1 − 10 ⇒ 0 − 11 − 5 1 − 10 0 0 0 9 4 1 7 2 0 − 11 − 5 1 − 10 0 0
线性代数(同济大学第五版)第四章
3. 将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于 是得齐次线性方程组的一个基础解系:
b11 b12 b1,n r b21 b22 b2,n r br 1 br 2 br ,n r 1 , 2 , , n r . 1 0 0 0 1 0 0 0 1
提示：可用方法2证明！
课后题9 设 b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1 , 证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关. 2011期选考题
1、 设 向 量 组 1 , 2 , 3线 性 无 关 ， 则 向 量 组 D） （ （A） 1 2 , 2 3 , 3 1线 性 无 关 ； （B） 1 2 , 2 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ； （C） 1 2 3 ,2 1 3 2 3 , 1 4 2线 性 无 关 ； （D） 1 2 2 ,2 2 3 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ；
如无特殊要求，建议用第三章的方法求解线性方程组！
d1 d2 dr , 0 0
考试类型题
一、向量组线性相关性的判定
方法1. 从定义出发 令 k11 + k22 + · + kmm = 0, 即 · ·
若只有零解, 则1, 2, · , m线性无关; 否则, 1, · · 2, · , m线性相关. · · 方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组n维向量1, 2, · , m, 就得到一个相应 · · 的矩阵A=(1, 2, · , m), 求R(A), 则 · · 若R(A)=m, 则 1, 2, · , m线性无关; · · 若R(A)<m, 则 1, 2, · , m线性相关. · · 利用相关定理(秩的相关性质)
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。
向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。
考研数学三线性代数(向量组的线性关系与秩)模拟试卷2(题后含答
考研数学三线性代数（向量组的线性关系与秩）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．AB=0，A，B是两个非零矩阵，则A．A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关．B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关．B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关．B的列向量组线性相关．正确答案：A解析：用秩．矩阵的行(列)向量组线性相关，即矩阵的秩小于行(列)数．设A是m×N矩阵，b是N×s矩阵，则由AB=0得到r(A)+r(B)≤n．由于A，B都不是零矩阵，r(A)＞0，r(B)＞0．于是r(A)＜n，r(B)＜n．n是A的列数，B的行数，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．知识模块：线性代数2．设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2,…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs使得c1α1+c1α2+…+csαs=0，用A左乘等式两边，得c1Aα1+c1A α2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：1．α1，α2，…，αs线性无关r(α1，α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩阵(Aα1，Aα2,…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．于是，若α1，α2，…，αs线性相关，有r(α1，α2，…，αs)＜s，从而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数3．α1，α2，α3，β线性无关，而α1，α2，α3，γ线性相关，则A．α1，α2，α3，cβ+γ线性相关．B．α1，α2，α3，cβ+γ线性无关．C．α1，α2，α3，β+cγ线性相关．D．α1，α2，α3，β+cγ线性无关．正确答案：D解析：由于α1，α2，α3，β线性无关，α1，α2，α3是线性无关的．α1，α2，α3，cβ+γ(或β+cγ)线性相关与否取决于cβ+γ(或β+cγ)可否用α1，α2，α3线性表示．条件说明β不能由α1，α2，α3线性表示，而γ可用α1，α2，α3线性表示．cβ+γ可否用α1，α2，α3线性表示取决于c，当c=0时cβ+γ=γ可用α1，α2，α3线性表示；c≠0时cβ+γ不可用α1，α2，α3线性表示．c不确定，(A)，(B)都不能选．而β+cγ总是不可用α1，α2，α3线性表示的，因此(C)不对，(D)对．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3线性无关，则( )线性无关：A．α1+α2，α2+α3，α3一α1．B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D．α1+α2+α3，2α1一3α2+22α3，3α1+5α2—5α3．正确答案：C解析：容易看出(A)中的向量组的第2个减去第1个等于第3个，所以相关．(B)组的前两个之和等于第3个，也相关．于是(A)和(B)都可排除．现在只用判断(C)组是否相关(若相关，选(D)，若无关，选(C)．) α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1对α1，α2，α3的表示矩阵为C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而(C)组向量线性无关．知识模块：线性代数填空题5．设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为_______．正确答案：(1，0，0)T．解析：设A=(α1，α2，α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T 知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
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4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠