多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学复习题

及答案

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第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1.极限lim x y x y x y →→+00

242

= （ B ）

(A)等于0； (B)不存在； (C)等于

12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =）

2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=⎧⎨⎪⎩⎪110

00，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩

⎪22

2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续；

(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =

，

2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续。）

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）

(A)必要而非充分条件；

(B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件

5、设u y x =arctan ，则∂∂u x

= （ B ） (A)

x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D)

-+x x y 22

6、设f x y y x

(,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14；

（B ）14； （C ）-12； （D ）12

7、若)ln(y x z -=，则=∂∂+∂∂y

z y x z x （ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2

1-． 8、设y

x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u u v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32； (B) x -32； (C) 21x +； (D) -+21x

10、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x z y

+=21 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1

11、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ）

（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；

（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。

12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有 （ C ）

2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则

（A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点；

（C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定。

二、填空题

1、极限lim sin()x y xy x

→→0

π= 。答：π 2、极限lim ln()

x y x y e x y →→++0

1222= 。答：ln2

3、函数z x y =+ln()的定义域为 。答：x y +≥1

4、函数z x y

=arcsin 的定义域为 。答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭

⎪22，则f kx ky (,)= 。答：k f x y 2⋅(,) 6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= 。答：22

2x y x

- （22

()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x

+--+-==++-） 7、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z

x x y ===2

1_________ 。答：3cos5

8、函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()所确定，则22z x

∂∂= 0 9、、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ 。答：1y

9、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________。答：（1，－1）

三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.

(1) z = (2)ln()z x y =+(3)1ln()

z x y =+ (4)ln(1)z xy =-

解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.

故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图

(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为

{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图

(3)要使函数1ln()

z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠. 故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图

(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为

{(,)|1}D x y xy =>，图形为图

图 图