3,生存年金
☺☺
人寿保险保费的确定
➢ 保费确定三原则：
➢ 充足性：保费至少能满足给付与费用支出； ➢ 公平性：不同出险概率的人保费不应一样； ➢ 适量性：还应考虑投保人的利益
➢ 总结成一个原则，即期望收支平衡原则
☺☺
人寿保险保费的确定
➢ 保费确定的方法：
➢ 净保费附加法 ➢ 资产份额法 ➢ 现金流量法
m
1 m
t
m t px
t0 m
☺☺
年付m次的生存年金
➢ n年延付期末终身生存年金
a(m)
n| x
n
Ex
a (m) xn
☺☺
年付m次的生存年金
➢ n年延付期初终身生存年金
a (m)
n| x
n
Ex
a (m) xn
☺☺
年付m次的生存年金
➢ 期末付n年生存年金
a (m) x:n
1 m
mn t 1
产品开发 实施
产品 上市
各部门信 息如精算 部经验数 据、投资 部投资机 会分析等
宏观经 济和目 标市场 及竞争 对手等 的分析
…
产品结 构、开 发所需 资源 研 究；
建立定 价假设 与价格 模型， 进行利 润与敏 感性测 试等；
…
修正产品 特征和定 价，制定 产品的费 率和检测 利润
产生最终 产品结构， 确定产品 最终费率， 现金价值 等数据
t Ex
m
1 m
mn t
m t px
t 1 m
a (m) x
n|
a (m) x
☺☺
年付m次的生存年金
➢ 期初付n年生存年金
a (m) x:n
1 m
m ( n 1) t0
t Ex
m
1 m
m ( n 1) t0
t
m t px
m
a (m) x
n|
a (m) x
☺☺
每年连续给付生存年金
➢ 终身年金：
☺☺
1.
N年定期生存年金的终值
☺☺
2.
用现值函数转换
☺☺
练习：期初付N年生存年金终值
☺☺
下列生存年金给付给现龄30岁的人，年金为每 月初支付$10,000元，求下列年金现值：
A、终身生存年金 B、延期十年的终身生存年金 C、十年定期生存年金
X
30
1656619.42 25838731.53
1
1 m
m
1 m
px
1
2 m
m
2
m
px
1 m
t 1
t Ex
m
1 m
t
m t px
t 1 m
☺☺
a (m) x
1
1 m
m
1
m
px
1
2 m
m
2 m
px
ax
m 1 2m
☺☺
年付m次的生存年金
➢ 期初付终身生存年金
a (m) x
1 m
1
1 m
m
1 m
px
1
2 m
m
2
m
px
1 m
t 0
t Ex
生存年金
➢ 概述 ➢ 一年给付一次的生存年金
➢ 期首 ➢ 期末 ➢ 延付
➢ 一年内多次给付
☺☺
概述
➢ 以人的生存为支付条件的一类年金 ➢ 特征：
➢ 以特定人的生存为给付条件（必要条件） ➢ 给付期间或次数事先无法确定 ➢ 是一种不确定年金，其有关计算不仅要考虑利
息还要考虑生存率
➢ 分类：
➢终身年金、定期生存年金、延付年金、即时 年金
➢ 附：计算技术对精算发展的影响
☺☺
健康与人身意外伤害保险保费的确定
➢ §3.6.2 人身意外伤害保险保费的厘定
➢ 计息意外伤害保险费的一般方法
危险程 度分级
计算纯 费率E(x)
计算附加费率=附加费 用总和÷保险金总额
计算 总费率
☺☺
补充：某公司开发新产品流程
信息收集与 市场调研
产品开发可 行性研究
➢ n年延付终身生存年金：
n| ax
t Ex
t t
px
tn
tn
☺☺
一年给付一次的生存年金
➢ 期初年金（给付发生在被保人生存之年的年初）
➢ n年延付m年生存年金：
n m 1
n m 1
a n|m x
t Ex
tt px
tn
tn
☺☺
年付m次的生存年金
➢ 期末付终身生存年金
a (m) x
lim ax
m
1 m t1
t m
Ex
0
t m
Ex
0
t
t
px
dt
➢其他年金类似可得，以n年延付连续终身年金
为例
n| ax
n
t m
Ex
n
t
t
pxdtBiblioteka ☺☺常见基数表☺☺
用基数表示的年金公式－终身年金
期初付终身生存年金
☺☺
期末付定期生存年金
☺☺
期初付定期生存年金
☺☺
期末付与期初付间的关系
➢定额年金与变额年金
☺☺
一年给付一次的生存年金
➢ 一单位金额的n年纯粹生存保险现值：
E p n x
n
这种以生存为条件所作给付
n x 的现值通常称为精算现值。
☺☺
一年给付一次的生存年金
➢ 期末年金（给付发生在被保人生存之年的年末）
➢ 终身年金： ax
t Ex
tt px
t 1
t 1
n
n
➢n年定期生存年金： ax:n|
t Ex tt px
t 1
t 1
☺☺
一年给付一次的生存年金
➢ 期末年金（给付发生在被保人生存之年的年末）
➢ n年延付终身生存年金：
n| ax
t Ex tt px
t n1
t n1
☺☺
一年给付一次的生存年金
➢ 期末年金（给付发生在被保人生存之年的年末）
➢ n年延付m年生存年金：
nm
nm
a n|m x
t Ex tt px
t n1
t n1
☺☺
一年给付一次的生存年金
➢ 期初年金（给付发生在被保人生存之年的年初）
➢ 终身年金：
ax
t Ex
t t
px
t0
t0
n1
n1
a
➢n年定期生存年金： x:n
t Ex
t0
tt px
t0
☺☺
一年给付一次的生存年金
➢ 期初年金（给付发生在被保人生存之年的年初）
…
产品 改进 或停 办
☺☺
31
1560015.11 24182112.11
40
903396.25 13020779.33
41
849301.57 12117383.08
☺☺
解： （1） （2）
☺☺
（3）
☺☺
李某现龄30岁投保一份保险，如果在投保 后20年内死亡则于第二十年末其子成年时 给予保险金$100,000元；如果二十年后死 亡，则于死亡时即刻给付$100,000。试求 该保险的纯保费。
寿险精算 第四讲 生存年金
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
寿险精算第六章生存年金
（1）按年；（2）按半年；（3）按季；（4）按月
9、某人以期末延期终身生存年金10000元遗留给其 子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精 算现值。
6、很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定： 在每年的年初，生存者缴纳R元于此基金，直至 缴付到64岁为止。到65岁时，生存者将基金均分， 使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领 取的金额为3600元。试求R的值。
7、某人现年40岁，在人寿保险公司购有终身生存年 金，每月末给付金额250元，试在UDD假设和利率 6%条件下，计算其趸缴净保费。
ax
E
(a K
)
1 vK E(
i
)
E (1 (1 i ) v K 1 ) i
1 (1 i ) A x i
1iaxiAxAx
解释：在x岁上的1单位元等于(x)死亡年末的
1元现值 A x ，加上(x)存活期每年i元的利息
现值i a x 和死亡年年末i元利息的现值i A x 。
对终身寿险和连续终身生存年金，有
988427
例：计算（25）购买40年定期纯生存险的趸缴 纯保费，假定i＝6％，保险金额为1万元。
解：1000040E25 10000v40 40 p25 10000 D65 D25 10000 18537.44 811.675（元） 228384.94
＊利率和生者利下的累积系数和折现系数：
(1) 1 1 (1i)n lx
m nax
a x:mn
a x:m
1
(A A )
x:m
x :mn
m
Ex
a xm
寿险精算_卓志_生存年金
Sx ( Ia) x ，Sx Nx Nx1 Nx2 ... Dx S x S x n nN x n ( Ia) x:n Dx
Sx Sxn ( I n a) x Dx S x 1 ( Ia) x Dx S x 1 S x n1 nN x n1 ( Ia) x:n Dx S x 1 S x n 1 ( I n a) x Dx
ax
( m)
1 (1 v m
1 m
2．延付n年的终身生存年金：
n
1 m
px v
2 m
2 m
px ...)
ax
( m)
n Ex a
(m) x
( m) xn (m) x
3．n年定期生存年金：
a
( m) x:n
a
na
1． a x:n
2． a x 3．
n
0
n
2
2.n年定期生存年金：
2 2
ax:n 1 vpx v
px ... v
n 1
N x N xn n 1 px Dx
3．延付n年的终身生存年金：
4．延付n年的m年定期生存年金：
N xn a n x Dx
N xn N xnm a nm x Dx
本章主要介绍生存年金的基本概 念，基本计算原理和不同条件下 的生存年金的计算方法。
一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精 算现值
n
Ex v
n n
px
二、转换函数
Dx v lx
x
保险精算原理与实务(第五版)课件-生存年金
1000 40 p20 0 (1 40 p20 ) 1000 40 p20
这笔给付在李先生20岁时的现值通过利率折现得到：
1000 40 p20 1.02540
根据附表中国人身保险业经验生命表（2010～2013）年养老类业务
表（男）的资料得，l20 =995 780，l60=943 460，可以计算得,
yx
设 (1 g) ' 1 ，即 j i g 上式成为，
1 j
1 g
x n 1
( APV )x b
( ' ) yx
yx
px
ba x:n
j
yx
（这是一个以利率j计算的给付额为b的确定年金的精算现值）
29
生存年金递推公式
可见，对(x)的终身生存年金的趸缴净保费，等于永续年 金与一系列逐年因死亡不能得到的将来年金部分之差。
解：
1 000+1 000 p30 1.021 1 000 2 p30 1.022 =1 000 k p30 1.02k k 0 代入相应的存活概率和利率，就可以计算出这一年金的精算现值。 8
期首付终身生存年金
一般地，对(x)的每年1单位元期首终身生存年金，其精算现
值 之以和，a如x 下表图示所，示它：是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险
17
连续生存年金给付现值
延期连续生存年金 延期定期连续生存年金
18
生存年金与寿险的关系
19
年付m次生存年金
背景：实践中年金常常是每半年、一季度或一个月支付一次， 由于生命表不直接提供非整数年龄的存活概率和死亡概率， 必须在一定的假设下近似计算。
对（x）的每年给付1元，一年给付m次的期首付终身生存年
社会保险精算
第一章精算：以概率论和数理统计为基础，与人口、经济、金融等学科相结合，对各种经济活动中未来的风险进行分析、评估和管理，是现代保险、金融、投资实现稳健经营的基础。
大数法则：又称“大数定律”或“平均法则”。
是指大量的、在一定条件下重复出现的随机事件将呈现出一定的规律性和稳定性。
收支平衡原则：保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。
具体有三种平衡等式，即期初的现值相等、期末的终值相等、期中的当前值相等。
第二章资金时间价值：又称货币时间价值，是指在排除通货膨胀和风险性因素之后，资金在周转使用过程中由于时间因素而形成的差额价值。
累积函数：期初投资额即本金为1单位，在纯利息的效应下在时刻t 时的累积额，用a(t) 表示，t≥0。
总额函数：期初投资额即本金为k单位，在纯利息的效应下在时刻t 时的累积额，用A(t) 表示，t≥0。
实际利率：（1）表示某一时期开始时投资1单位本金，在该时期末所获利息的数额。
（2）表示某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金金额之比。
实际贴现率：是在度量期内获得的利息与期末资金的比值，常用d表示。
年金：每隔相等的时间（月、季、年等）收付一次的系列款项。
年金的分类：按支付期限：定期年金、永续年金按支付开始时期：即期年金、延期年金按支付日期：期首付年金、期末付年金生命表：是反映在封闭人口条件下，一批人从出生后以怎样的死亡概率陆续死亡的全部过程的一种统计表，又称死亡表、寿命表。
多减因模型：是研究封闭人口条件下，同一批人受两个或两个以上减因影响陆续减少的数学模型，通常以多减因表的形式表示。
第三章生存年金：以被保险人生存为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。
生存年金与确定性年金的关系：（1）相同点都是间隔相等时间收付一次（2）不同点确定性年金的支付次数确定生存年金的支付次数不确定（以被保险人生存为条件）生存年金的分类：按支付期限：定期生存年金、终身生存年金按支付开始时期：即期生存年金、延期生存年金按支付日期：期首付生存年金、期末付生存年金纯生存保险：以被保险人生存为给付条件的保险，即在约定的保险期满或达到某一年龄时，如果被保险人存活将得到一次性的保险金给付。
寿险精算教案
河南城建学院教师教案（2014~2015学年第1学期）目录课程简介2第1章利息的基本概念3第2章确定型年金8第3章生命表基础14第4章人寿保险的精算现值17第5章年金的精算现值20第6章均衡纯保费23第7章责任准备金25第8章保单现金价值与红利27第9章资产份额定价法28课程简介21(1)(1)n n v i i -+=++++n n a s ----所有付款在时刻所有付款在时刻1111(1)(1)(1)114.(1)1(1)1n n n n n n nn nn n n n n n n n a v v s i a i s da s a a i a a s s i s s ---++==++++•+==+=+=+=+=-＝1+【公式解读】公式1与期末付年金现值公式相比较，差别在于分母不同，在期末付年金公式终，i 是利息在每期期初支付的度量标准【例题讲解】P23 例n mn m n ma v a a a +==-在最后一期付款后某时刻的年金积累值)(1))(1)m n m n m mn m n mn s i s s n s i s s +++=+=-+=+=-付款期间某时刻的年金当前值）次付款时所有付款的当前值(1)n m n m n m m n m n n m n mv s s a a i v s s a ----==++==+1n k k kv v+=2(1)1(1n ki -+++=+其他同上。
(1)11nk n kka va --+=-(1(1)knn k ks s i a a +++=％，甲于每季度初在银行存款元,共存3年,以后计算甲在第5年末的存款积累值。
计息频率低于付款频率的年金 1mn mv-++(1)ni i ++=()(1m nad -=()(1m ni sd +=某人在银行采取零存整取的方式存款，拟在％，计算该储户到时刻支取的存款本利和。
()(),,,m m n n n na a a a 大小关系年1月1日需要50000年的年金，每次领取款项为每年初存入银行K 元，共25年,存入款项时每年计息领取年金时，每年计息2次的年名义利率为某保险受益人以年金形式从保险公司分期领取末领取一次，共领取25年，年利率为ni )1+1)0,1,2k =((x s x s x μ'=-11,0,1,2,1nK n---=---其他x A 1:x n iA δ11::x n x n A A +让学生掌握一般保险金给付额变化情况下的计算。
生存年金的精算现值
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望
保险精算-生存年金（1）
第四章 生存年金生存年金就是以约定的人仍然生存作为给付条件的年金，它与确定年金相对；前者除了考虑利率因素外，还必须考虑生存概率，而后者与生死无关，只考虑利息率的作用，给付的数额与给付的次数事先确定。
生存年金在整个人寿保险、社会养老保险中占有极其重要的地位，如投保人（或被保险人）分期交纳的保险费形成一种生存年金，劳动者从退休之日起每月或每年领取的养老金也形成一种生存年金。
生存年金有如下一些分类方式。
按给付期限是否有具体的规定，可分为：按是否期初期末给付，可分为：按各次给付数额是否相等，可分为：按签约后是否立即开始给付期，可分为：按与约定生死相关的人的数目多少，可分为：按给付频率来划分，可分为多年给付一次的生存年金、每年给付一次的生存年金、每年给付多次的生存年金、连续给付的生存年金。
前三者属于离散型生存年金，最后一种年金又称为连续生存年金。
连续生存年金完全按生存时间长短进行给付，而离散型生存年金，无论期初给付还是期末给付都存在一定的局限性，需要进行调整，从而演变为比例期初生存年金与完全期末生存年金，留在最后一节讨论。
本章主要以这种划分作为其逻辑体系加以研究。
本章的主要内容就是求生存年金的精算现值与精算终值。
与生存年金相关的概念就是年金保险。
所谓年金保险就是以生存年金方式提供保险金的保险。
显然，年金保险的实质就是生存年金，因而本章关于生存年金的结论，适合于年金保险。
第一节 多年给付一次的生存年金本节在考虑多年给付一次的年金时，为了简化起见，仅考虑n 年期满生存时给付一次的精算现值，那么多年给付一次的年金的精算现值也就是各次给付的精算现值之和，这一定义也适合于更一般的生存年金。
一、投保人缴纳的趸缴纯保费设n x E 为x 岁的人购买n 年期保额为1的纯生存保险所缴纳的趸缴纯保险费。
运用团体法，假设依据生命表活过x 岁的x l 人都参加了这种纯生存保险，那么依收支平衡原则可得1n x n x x n l E l v +=⋅⋅ （4.1.1）或(1)1n x n x x n l E i l ++=⋅ （4.1.2） 解之得nn x n x E v p ==x nxD D + （4.1.3）二、保险人给付保险金现值的期望值设1:x nY 表示保险人对参加保额为1的n 年期纯生存保险所给付的现值，显然它是一个随机变量，其分布律为1:()n n x x nP Y v p == 1:(0)n x x nP Y q == 由此可得1:()nn x x nE Y v p ==n x E 上式表示，保险人平均给付的现值等于保险人收支的保险费，这也体现保险双方权利义务对等与公平性。
《保险精算学》笔记：生存年金
《保险精算学》笔记：生存年金第一节生存年金简介一、生存年金的定义和分类1、生存年金的定义：以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。
2、生存年金的分类（1）延付年金、初付年金（2）连续年金、离散年金（3）定期年金、终身年金（4）非延期年金、延期年金（5）被保险人支付的保费年金、保险人支付的保险赔付年金3、生存年金与确定性年金的关系（1）确定性年金：支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）。
（2）生存年金与确定性年金的联系：都是每隔一段时间的系列付款（3）生存年金与确定性年金的区别：确定性年金的支付期数是确定的，而生存年金的支付期数是不确定的（以被保险人生存为条件）二、生存年金的用途1、被保险人保费交付常使用生存年金的方式2、某些场合保险人理赔时支付的保险金采用生存年金的方式，特别在：养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合。
第二节与生存相关联的一次性支付一、年期生存保险定义现龄岁的人在投保年后仍然存活，可以在第年末获得生存赔付的保险称为年期生存保险。
这就是我们在第三章讲到的纯生存保险。
单位元数的年期生存保险的趸缴纯保费为。
在生存年金研究中习惯用表示该保险的精算现值二、相关公式及意义理解：一、连续生存年金简介1、定义：在保障时期内，以被保险人生存为条件，连续支付年金的保险。
2、分类：终身（永久）连续生存年金、定期连续生存年金延期连续生存年金、非延期连续生存年金3、连续生存年金精算现值估计方法u 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和u 综合支付技巧：考虑年金在因死亡或到期而结束时的总值。
二、终身连续生存年金精算现值的估计1、综合支付技巧步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，记作：2、当期支付技巧步骤一：计算在时刻所支付的当期年金的现值步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值3、相关公式1、综合支付技巧2、当期支付技巧3、相关公式四、延期连续生存年金精算现值的估计1、延期年终身生存年金：当活到岁之后，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作也等价于2、延期年年定期生存年金：当在岁与岁之间存活时，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作也等价于第四节离散生存年金一、离散生存年金简介1、定义：在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时间支付一次年金的保险。
保险精算学-生存年金(1)
P 60000
a30 60000
N 30 D30
60000 91,698 ,459 3,905 ,782
140865 .7（1 元）
19
20
21
(3) 终身生存年金的趸交净保费
• 保险公司的收费原理是期望意义下的现 值或终值的收支相等，这样计算出来的 费用称为净保费.
• 对于1元的终身生存年金，如果要计算 投保人在投保初的一次性交清（趸交） 净保费，则其数额应该等于相应的年金 的精算现值，
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex
nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
nEx
现时值
1
E n t x t
1
S
tE x
1
10
第2节
离散生存年金
11
简介
• 离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。
Dx
m
ax
Nxm1 Dx
a m x:n
Nxm1Nxmn1 Dx
54
年金计算一般公式
：首次支付
年金的年龄
n：支付
N N 次数
α
αn
特别： N∞ = 0
Dz
z :需要计算价 值的时间点
55
谢谢您的关注！
(h)ax(h)
其 中 ： (h) i(hi)d d(h)
• 近似公式（实际操作公式）
ii(h)
(h) i(h)d(h)