河南省中考数学总复习考点全解第六章圆第21讲圆的基本性质(312分)课件
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中考数学总复习第六章圆课件
例1
提分技法
利用 圆周角 定理及 其推论 解题时 的思路 1.在利 用圆周 角定理 解答具 体问题 时,找准 同弧所 对的圆 周角及 圆心角 ,并结 合圆周 角定理 进行相 关计 算是关 键.与圆 周角有 关的常 用辅助 线有 :① 过圆 上某点 作直径, 连接 过直径 端点的 弦;② 弦垂 直平 分半径 时可构 造直角 三角形 ;③ 构造 同弧所 对的圆 周角. 2.在利 用圆周 角定理 的推论 解答具 体问题 时,要找 准直径 及等弦 或同弦 所对应 的圆周 角, 一般 会结 合圆 周角定 理进行 相关计 算或证 明.
中考
2019
数学
第六章 圆
目录
CONTENTS
第一节 圆的基本性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 与圆有关的计算
第一节 圆的基本性质
PART 01
考点帮
考点1 垂径定理及其推论(2011年新 课标
选学内容) 考点2 弦、弧、圆心角之间的关系
考点3 圆周角定理及其推论
考点4 圆内接四边形的概念和性质
∵OA=OB,PA=PB,
∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB 是☉O 的切线.
(2)解:连接 BC,设 OP 交 AB 于点 F. ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC=90°. ∵OA=OB,AP=BP, ∴OP 垂直平分 AB,∴BC∥OP, ∴∠OPC=∠PCB. ∵∠APC=3∠BPC,∠APO=∠BPO, ∴∠OPC=∠CPB,∴∠PCB=∠CPB,∴BC=BP. 设 OF=t,则 PB=BC=2t,易得△FPB∽△BPO,
方法帮 命题角度 2 圆内接四边形的性质
例2
[ 2 0 1 8 山东济宁] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上, 若∠B C D = 1 3 0 °, 则∠B O D 的度数是( D )
北师大版中考数学知识点复习课件第21讲圆的基本性质
第六单元圆第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上。
2019版中考数学第一部分基础知识过关第六章圆第21讲圆的有关性质课件
2 ∴CF= OC 2 OF = 2 =0.8(m),∴CD=1.6 m. 12 0.6
考点二
圆心角、弧、弦的关系
l︵ l︵
l︵
BC =
例2 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥
OB,CD=CE,则 AC 与 BC的大小关系是
AC
l︵
.
解析 ∵CD⊥OA,CE⊥OB,
1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角
泰安考点聚焦
考点一 垂径定理及其推论
考点二
考点三 考点四
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理及其推论 圆内接四边形的性质
考点一
垂径定理及其推论
中考解题指导 大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点
的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论.
考点三
例3 ( D )
圆周角定理及其推论
(2017泰安)如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α ,则∠OBC等于
A.180°-α B.2α C.90°+α D.90°-α
解析 连接OC,则∠BOC=2∠A=2α ,
∵OB=OC,
1 ∴∠OBC=∠OCB= (180°-2α )=90°-α . 2
2.垂径定理及其推论
(1)定理:垂直于弦的直径平分 弦所对的两条弧 . 弦 ,并且平分
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
. 温馨提示 优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的
考点二
圆心角、弧、弦的关系
l︵ l︵
l︵
BC =
例2 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥
OB,CD=CE,则 AC 与 BC的大小关系是
AC
l︵
.
解析 ∵CD⊥OA,CE⊥OB,
1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角
泰安考点聚焦
考点一 垂径定理及其推论
考点二
考点三 考点四
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理及其推论 圆内接四边形的性质
考点一
垂径定理及其推论
中考解题指导 大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点
的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论.
考点三
例3 ( D )
圆周角定理及其推论
(2017泰安)如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α ,则∠OBC等于
A.180°-α B.2α C.90°+α D.90°-α
解析 连接OC,则∠BOC=2∠A=2α ,
∵OB=OC,
1 ∴∠OBC=∠OCB= (180°-2α )=90°-α . 2
2.垂径定理及其推论
(1)定理:垂直于弦的直径平分 弦所对的两条弧 . 弦 ,并且平分
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
. 温馨提示 优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的
2024年河南省中考数学一轮复习专题：+圆的基本性质+课件
1考）
3.[2016河南，18] 如图，在 中， ，点 是 的中点，以 为直径作 分别交 ， 于点 ， ，连接 .
（1）求证： .
证明：在 中，点 是 的中点， ， . 四边形 是圆内接四边形， .又 , .同理可证： . ， .
【自主解答】证明: 是圆内接四边形 的外角, . , , .又 , .又 , , .
（2）若 ， 的半径为2，求 ．
[答案] .
（3）连接 ， ，若四边形 是平行四边形，则 的度数为_ ____.
（4）若 平分 ， ，求 的值.
（2）填空：
①若 ，当 时， ___；
2
②连接 ， ，当 的度数为_ ____时，四边形 是菱形.
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
90
一图串考法
考法1 圆周角定理及其推论（8年5考）
1.[2023河南，6] 如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
2.[2019河南，17] 如图,在 中, , ,以 为直径的半圆 交 于点 ,点 是 上不与点 , 重合的任意一点,连接 交 于点 ,连接 并延长交 于点 .
考点2，4→
（第1题）
1.一题多问 如图，在 中， 是直径， 是弦， 与 交于点 ，连接 , , , , .
（1） ____ .
90
（2）若 ，则 ____ ， ____ ， ____ .
60
30
60
（3）若 ， ，则 ___.
2
（4）若 平分 ， ，则 _ ____.
1.垂径定理：垂直于弦的直径⑩______弦，并且⑪______弦所对的两条弧.
平分
平分
2.垂径定理的推论：平分弦（⑫________）的直径垂直于弦，并且⑬______弦所对的两条弧.
3.[2016河南，18] 如图，在 中， ，点 是 的中点，以 为直径作 分别交 ， 于点 ， ，连接 .
（1）求证： .
证明：在 中，点 是 的中点， ， . 四边形 是圆内接四边形， .又 , .同理可证： . ， .
【自主解答】证明: 是圆内接四边形 的外角, . , , .又 , .又 , , .
（2）若 ， 的半径为2，求 ．
[答案] .
（3）连接 ， ，若四边形 是平行四边形，则 的度数为_ ____.
（4）若 平分 ， ，求 的值.
（2）填空：
①若 ，当 时， ___；
2
②连接 ， ，当 的度数为_ ____时，四边形 是菱形.
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
90
一图串考法
考法1 圆周角定理及其推论（8年5考）
1.[2023河南，6] 如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
2.[2019河南，17] 如图,在 中, , ,以 为直径的半圆 交 于点 ,点 是 上不与点 , 重合的任意一点,连接 交 于点 ,连接 并延长交 于点 .
考点2，4→
（第1题）
1.一题多问 如图，在 中， 是直径， 是弦， 与 交于点 ，连接 , , , , .
（1） ____ .
90
（2）若 ，则 ____ ， ____ ， ____ .
60
30
60
（3）若 ， ，则 ___.
2
（4）若 平分 ， ，则 _ ____.
1.垂径定理：垂直于弦的直径⑩______弦，并且⑪______弦所对的两条弧.
平分
平分
2.垂径定理的推论：平分弦（⑫________）的直径垂直于弦，并且⑬______弦所对的两条弧.
中考河南人教版数学第一部分 教材知识梳理(课件)：第六章 圆第一节 圆的基本性质
图①
3. 圆的有关概念 同心圆 圆心相同、半径不等的圆叫做同心圆
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆
半圆 弧
圆的任意一条①_直__径__的两个端点把圆 分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 弧，大于半圆的弧叫做②_优__弧__，小于半 圆的弧叫做③_劣__弧__
弦 连接圆上任意两点的④_线__段__叫做弦 直径 经过⑤_圆__心__的弦叫做直径 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距 圆心角 顶点在⑥_圆__心__的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上，并且⑦_两__边__都与圆相交的角
推论 图②
a.平分弦(不是直径)的直径 11_垂__直__于弦， 并且12 _平__分_弦所对的两条弧.如图②，已知
直且径A︵CC＝DB平︵C分，弦A︵DA＝B(不 B︵D是直径)，则CD⊥AB，
b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧.如图②，弦︵AB的︵垂直平分线为直 径CD，直径CD平分ACB和ADB
例1题图
【解析】∵AC∥OB,∴∠OCA=∠BOC=50°.∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=50°.∴∠AOC=180°-50°-50°＝80°， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=80°+50°=130°. ∵OA=OB,∴∠OAB=(180°-130°)÷2=25°. 【答案】A
【方法指导】①同弧所对的圆周角、圆心角、 弦、弦心距都相等；②解决圆周角问题时，常 考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系，找到 例1题图 一条弧，利用此关系进行角之间的转化和计算.
拓展题1图
类型二 垂径定理
例2 (’14北京)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，
∠Ａ=22.5°，OC=4，CD的长为( ) C
2024年河南中考数学专题复习第六章+第一节+圆的基本性质+课件
ABC (或 ABD 或 BAC 或 BAD或 CAD)
_____A__C__(或___A_D__或__B__C_或___B_D__或___C_D__)____________是劣弧；(4)图中 和
_______A_D， 和BD______A__C，B 和ADB A是B等D弧. BAD Nhomakorabea图①
与圆有关 的性质
河南9年真题子母题
命题点 与圆周角、圆心角有关的计算9年4考
1. (2023河南6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则 ∠AOB的度数为( D ) A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°
第1题图
回归教材 1.1变设问——将求角度变为证明圆周角定理如图，点A，B，
例2题解图①
拓展探索 探究：直径所对的角
例3 已知AB是⊙O的直径，点C为直线AB外一点，连接AC，BC. (1)如图①，当点C在⊙O上时，∠C为直角，依据是 _直__径__所__对__的__圆__周__角__是__直__角_______；(2)如图②，当点C在⊙O内时，请证明： ∠C是钝角；
D
(2)证明：如图，延长AC交⊙O于点D， 连接BD，
正多边形 和圆
内角
外角 中心角
边心距 周长 面积
考点精讲
如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且点D为弧AB
的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案)(1)图中________是
与圆有关 的概念 (图①)
圆周角，∠__B_A__C____________∠__A_O__C_(_或__∠__B_O_C__或__∠__A_O__D_或是∠圆B心O角D或(写∠出C小OD于) 180°的角即可)；(2)图中__________是弦，其中________是最长的弦；(3) 图中___A__C_(_或__A_B_)_______________A_B_________是优弧，
_____A__C__(或___A_D__或__B__C_或___B_D__或___C_D__)____________是劣弧；(4)图中 和
_______A_D， 和BD______A__C，B 和ADB A是B等D弧. BAD Nhomakorabea图①
与圆有关 的性质
河南9年真题子母题
命题点 与圆周角、圆心角有关的计算9年4考
1. (2023河南6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则 ∠AOB的度数为( D ) A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°
第1题图
回归教材 1.1变设问——将求角度变为证明圆周角定理如图，点A，B，
例2题解图①
拓展探索 探究：直径所对的角
例3 已知AB是⊙O的直径，点C为直线AB外一点，连接AC，BC. (1)如图①，当点C在⊙O上时，∠C为直角，依据是 _直__径__所__对__的__圆__周__角__是__直__角_______；(2)如图②，当点C在⊙O内时，请证明： ∠C是钝角；
D
(2)证明：如图，延长AC交⊙O于点D， 连接BD，
正多边形 和圆
内角
外角 中心角
边心距 周长 面积
考点精讲
如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且点D为弧AB
的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案)(1)图中________是
与圆有关 的概念 (图①)
圆周角，∠__B_A__C____________∠__A_O__C_(_或__∠__B_O_C__或__∠__A_O__D_或是∠圆B心O角D或(写∠出C小OD于) 180°的角即可)；(2)图中__________是弦，其中________是最长的弦；(3) 图中___A__C_(_或__A_B_)_______________A_B_________是优弧，
河南省中考数学总复习第一部分教材考点全解第六章圆第
1．直接用公式求解； 2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解； 3．将阴影中某些图形等面积变形后移位，重组成规则图形求 解；
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后， 组成规则图形求解； 5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分， 用整体和差法求解．
考点五
圆与正多边形
第六章
第23讲
圆
与圆有关的计算(3分)
【版本导航】人教：九上第二十四章 P105—P120 北师：九下第三章 P97—P102； 华师：九下第二十七章 P58—P76.
与圆有关的计算在河南中考中最多设置一道题，分值 3 分，主要考查：弧长和面积的计算；与扇形有关的阴影部分 面积的计算．阴影部分面积的计算在近几年的河南中招考试 中，每年均设置一道填空题，常位于第 14 题．考查背景有： ①在扇形中作弧(如 2016、 2015 年 14 题)， 扇形结合直角三角 形、等边三角形(如 016 年 14 题)等；②三角形(一般指特殊 三角形)、菱形等特殊图形的旋转(如 2014、2012 年 14 题)； ③在矩形中作圆求阴影部分的面积(如 2010 年 14 题)．
2．(2017· 河南 10 题)如图，将半径为 2， 圆心角为 120° 的扇形 OAB 绕点 A 逆时 针旋转 60° ，点 O，B 的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部 分的面积是( C ) 2π A. 3 2π C．2 3－ 3 π B．2 3－3 2π D．4 3－ 3
3．(2016· 河南 14 题)如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90° ， 以点 A 为圆心， OA 的长为半径作 OC 交 AB 于点 C.若 OA 1 3－ π ＝2，则阴影部分的面积为___________. 3
河南省中考数学总复习第一部分考点全解第六章圆第21讲圆的基本性质(312分)课件
尺∠AOB＝90°，将点 O 放在圆上，分别确定 OA，
OB 与圆的交点 C，D，读得数据 OC＝8，OD＝9，则此圆的直径约为( C )
A．17
B．14
C．12
D．10
2．(2018·平顶山一模)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠ABC＝40°，
过圆心 O 作 OD⊥BC 交弧 BC 于点 D，连接 DC，则∠DCB 的度数为( B )
考点四 圆内接四边形及其性质 1．定义：四边形的四个__顶__点_____都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四 边形． 2．性质： (1)圆内接四边形的对角__互__补_____. (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)．
类型一 垂径定理及其应用
(2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2，BP
2．垂径定理(选学内容)：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果__圆__心__角__、__弧__、__弦____中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等．
第21讲 圆的基本性质(3～12分)
考点一 圆的有关概念 1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，也可以 看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，这个定点叫做__圆__心_____， 定长叫做__半__径_____.
2．圆的有关概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做__优__弧_____， 小于半圆的弧叫做___劣__弧____. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_圆__心______的弦叫做直径． (3)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． (4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，_能__够__重__合_____的弧叫做 等弧．
OB 与圆的交点 C，D，读得数据 OC＝8，OD＝9，则此圆的直径约为( C )
A．17
B．14
C．12
D．10
2．(2018·平顶山一模)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠ABC＝40°，
过圆心 O 作 OD⊥BC 交弧 BC 于点 D，连接 DC，则∠DCB 的度数为( B )
考点四 圆内接四边形及其性质 1．定义：四边形的四个__顶__点_____都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四 边形． 2．性质： (1)圆内接四边形的对角__互__补_____. (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)．
类型一 垂径定理及其应用
(2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2，BP
2．垂径定理(选学内容)：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果__圆__心__角__、__弧__、__弦____中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等．
第21讲 圆的基本性质(3～12分)
考点一 圆的有关概念 1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，也可以 看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，这个定点叫做__圆__心_____， 定长叫做__半__径_____.
2．圆的有关概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做__优__弧_____， 小于半圆的弧叫做___劣__弧____. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_圆__心______的弦叫做直径． (3)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． (4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，_能__够__重__合_____的弧叫做 等弧．