固体物理索末菲模型
y
y
pz
z
Et
)
p
2 x
2
(r, t)
2 t 2
p
2 y
2
(r, t)
2 t 2
p
2 y
2
(r, t )
将以上三式相加得
同理有
2 x 2
2 y2
2 z 2
2
p2 2
(r, t)
其中是劈形算符, i j k x y z
由上式可得 : - 22 p2(r, t),即p与算符 i相当.
波长,频率 ,沿x方向传播的平面波可用 下式来表示 :
Acos[2 ( x t)]
如果波沿单位矢量 n的方向传播,则
Acos[2 ( r n t)]
Acos[k r t] 其中k 2 n 2
将其改写成复数形式 : Aei(krt)
将P k和E 代入上式,得到与自由粒子联系
8.2 索末菲的量子自由电子论
• 前提:物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自旋 等于半整数的粒子——费米子组成的系统中，不能有 两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原 理推动了电子自旋概念的确立。
• 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计 基础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米－ 狄喇克统计分布。
(r)
(
1
3
)2
ei (kx xky y kz z )
L
补充
3. 自由粒子的能量 E,动量P,波长,频率满足以下方程： E h
P h n k
上述公式称为德布罗意 公式.由于自由粒子能量和动 量都 是常数,所以由德布罗意公式可 知,与自由粒子联系的波 ,
平面波. 它的频率和波矢 (或波长 )都不变,即它是
f dt
dt
由等式左边得到 - 2 2 U (r) E
2m
解出
iE t
f(t) Ce
iE t
则有 (r, t) (r)Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程：
2 2m
(
2 x2
2 y 22 z 2)V Nhomakorabeax,
y,
z, t
i t
式中Ψ Ψ(x,y, z,t)是粒子在势场V x,y,z,t中运动
8.2.2索末菲电子气的能量状态
8.2.2.1 无限势阱 定态薛定谔方程的解
一维金属晶体中自由电子的能级
Ep (L) E0 (L) 0 Ep (L)
Ep (0) 0
2 8 2m E ( x) 0
x 2
h2
边界条件：x=0,(x)=0; x=L,(x)=0
波函数在X=0~L区间归一化
的波函数。
2. 定态薛定谔方程：
在恒定势场条件下，即V x, y, z,t V x, y, z
的平面波 :
i ( prEt)
Ae 这种波称为德布罗意波
i ( prEt)
对自由粒子波函数 Ae
求偏微商,得到
i E t
由上式可得 i E 即E与算符i 相当
t
t
i ( prEt)
对自由粒子波函数 Ae
进行二次偏微商,得到
同理有
2 t 2
Ap
2 x
2
e
i(
px
x
p
1
0
采用分离变量法求解，令 (x, y, z) x (x) y ( y) z (z)
经上 解得电子的波函数的驻波解
(x,
y,
z)
(
1
)
3 2
sin
nx
x sin ny
y sin nz
z
L
L
L
L
电子的能量
E
h2 8mL2
(nx2
ny2
nz2 )
电子的状态可以有一组正整数来确定，波函数所描 述的金属块中的电子是在势垒的反射下做来回往复的运 动，尽管电子并不是静止的，但电子的平均动量和平均 速度等于零，与实际不符。此外，对于驻波态的解，当 L趋于无穷大，得不到平面波。
2m
2m
上式称为薛定鄂方程
算符 [- 2 2 U (r)] 称为哈密顿算符,通常以H或Hˆ 表示 2m
于是上式可写成 H E
这种方程称为本征值方 程, E称为算符H的本征值, 称为
算符H的本征函数 .
如果U(r)不含时间,自由粒子的薛定谔方程 的解
可以用分离变量法简化 考虑写成下列形式：
(r, t) (r) f (t)
解得自由电子的波函数是：
(x) 2 sin n x
LL
自由电子的能量是：
E
h2
8 2m
k2
h2
8 L
n2
式中，n=1,2,3﹍这正 好表明金属丝中自由 电子的能量不是连续 的，此处的n仅代表 自由电子的可取能级。 每个能级可容纳两个 自旋方向相反的电子。
•三维金属自由电子的能级
设一电子在边长为L的立方体金属块中运动，取势阱内 Ep (x, y, z) 0
人们采用波恩-卡门条件即所谓的周期边界条件让电 子波函数能够在三维相界面上周期性重现，来求得行波 解。
(0, y, z) (L, y, z); (x, 0, z) (x, L, z) (x, y, 0) (x, y, L)
有此求得波矢
kx
2 nx
L
;ky
2 ny
L
; kz
2 nz
L
自由电子定态波函数的行波解为：
三维定态薛定谔方程式为：
2
x2
2
y 2
2
z 2
8 2m
h2
E
(
x,
y,
z
)
0
驻波边界条件：
x 0, (x) 0; x L, (x) 0 y 0, ( y) 0; y L, ( y) 0 z 0, (z) 0; z L, (z) 0
归一化条件：
V
| (x,
y, z) |2dV
利用能量动量关系式
E p2 2m
得到
i - 2 2 t 2m
设粒子在力场中的势能 为U(r), 则粒子能量和动量关系 式为
E p2 U(r) 2m
上式两边同乘以波函数 (r,t),并以算符i 和 i分别 t
代替E和p,得到下列方程
i - 2 2 U (r) t 2m
或
E - 2 2 U (r) [- 2 2 U (r)]
将其代入薛定谔方程 ,并把方程两边用 (r) f (t)去除
得到
i df 1 [- 2 2 U (r) ] f dt 2m
上式左边只含 t,而右边只含 r, t和r是互相独立的变量,
所以只有两边都等于同 一常量时,等式才被满足 ,
以E表示这个常量.
由等式左边得到 i df E 即 i df Ef
PE
k
能量不连续
5.2.1 索末菲自由电子气模型
• 独立电子：电子之间无相互作用 • 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 • 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 • 引入了泡利不相容原理 • 服从费米－狄喇克统计分布 • 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电
子的薛定谔方程。
固体物理 第五章 固体电子论基础1
5.一些金属元素的自由电子密度 一些金属元素的自由电子密度
元 素 Li Na K Cu Ag Mg Ca Zn Al In Sn Bi z 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 n/1028m-3 4.70 2.65 1.4 8.47 5.86 8.61 4.61 13.2 18.1 11.5 14.8 14.1 rs/10-10m 1.72 2.08 2.57 1.41 1.60 1.41 1.73 1.22 1.10 1.27 1.17 1.19 rs/a0 3.25 3.93 4.86 2.67 3.02 2.66 3.27 2.30 2.07 2.41 2.22 2.25
n= z
ρNA
M
ne2E j = nev = τ 2m
设电子平均自由程为l， 设电子平均自由程为 ，则 τ
2
zρNAe2E j= τ 2mM
(A m )
2
=l v
电流密度可写成
zρNAe E l j= × 2mM v
6.电导率σ 电导率
(A m )
2
j zρNAe l σ= = × 2mM v E
2
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动 电子的运动不同于气体分子的运动， 电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典 理论来描述。 理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计 即费米 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 3.电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的 4.电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成
固体物理考试重点(广工版、复习资料)
一、晶体宏观特征（必考其一）1.晶体的自限性（自范性）：自发形成封闭几何外形的能力。
2.晶面角守恒定律：同一种晶体在相同的温度和压力下，对应晶面之间的夹角不变。
3.晶体的解理性（Cleave property）：晶体受到外力作用时会沿着某一个或几个特定的晶面劈裂开的性质称为解理性。
4-晶体的各向异性（anisotropy）：沿晶体内部的不同方向上有不同的物理性质。
5.晶体的均匀性（homogeneity ）：内部各部分的宏观性质相同。
6.晶体的对称性（symmetry）：由于内部质点有规则排列而形成的特殊性质。
7.晶体的稳定性：与同种物质的其他形态（气态、液态、非晶态、等离子态等）相比，晶体的内能最小、最稳定。
晶体具有固定的熔点，而非晶体则没有固定的熔点。
二、空间点阵（基元、原胞（primitive cell）> 晶胞（conventional cell）> B 格子、WS 原胞）1.基元：组成晶体的最小结构单元。
2.初基原胞（原胞）：一个晶格最小的周期性单元，称为原胞。
3.惯用原胞（晶胞）：能使原胞同时反映晶体对称性和周期性特征的重复单元,称为晶胞。
4.B格子：如果晶体只由一种原子构成，且基元是一个原子，则原子中心与阵点重合，这种晶格称为布拉菲格子，或称B格子。
5.WS原胞：WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。
作法：（1）任选一格点为原点；（2）将原点与各级近邻的格点连线，得到几组格矢；（3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂面绕原点围成的最小区域称W-S原胞。
三、第一布里渊区（二维）：从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
注：写出二维坐标系j> b P b2（ b为倒格子基矢）。
四、晶体的对称性、晶系、密堆积、配位数（一至二）；1.晶体的对称性：晶体经过某种对称操作后物体能自身重合的性质，2.晶系：根据晶体空间点阵中6个点阵参数之间相对关系的特点而将其分为7类，各自称一晶系。
福州大学固体物理第五章
2
2
εK
k
(k x k y k z )
2m
2m
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数 ms 1
2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上自旋相反的
一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
2 2
εk
(k x k y2 k z2 )
2m
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等能面是一
系列同心球面。
➢费米能级和费米面：
在T=0K时,电子的能级与轨道填充时有两个原则:
① 先填能量低的能级
② 服从泡利原理
在T=0K时，由N个电子组成的自由电子系
2
1
3
相应的费米能：
2
kF
2
EF
(3 2 n) 2 / 3
2me
2m
2
也是由电子气的密度唯一地决定。
费米速度：
k F
vF
(3 2 n)1/ 3
m
m
也唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，
F .VF .k F
都越大。
思考： 晶体膨胀时，费米能级如何变化？
如一些典型金属的费米面参数：
面，即E到E+dE之间的体积，可以转化为半径k
到k+dk的两个球面之间的体积。转化公式：
k 2mE /
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：4/3πk3，
每个k值占的体积为(2π/L)3，每个k又对应自旋相反的一
对电子，则：
合工大微电子专业固体物理习题,考试原题哦
格 波
为方便对波的描述, 引入 倒格子空间, 用k表征波 的状态.
平移对称性
简单格子: 声学支, max 或 min, 复式格子: 光学支,
无, 平底势阱中的 平面波 功函数 各向同性
max 和 min 格波数. （ max ～1014, 红外） 各向异性
能带论是一种理论方法, 对系统作充分的近似后， 即把多体问题简化为单 电子问题. 可解方程
1
2
Sk B k BT 2 2 D2 2 NkB v p 2T
Page 17
当温度较低时，
D T
积分
e
0
e x x 3dx
x
1
2
ne
n 1 0
nx
1 x dx 6 3 6 (3) n 1 n
Page 33
将上述十二组坐标代入能带的表达式，得
a a a a i k k i k k i k k i kx k y x y x y 2 x y at E s E s C s J s e e 2 e 2 e 2 a a a k x k z i k x k z i k x k z i k x k z ia e 2 e 2 e 2 e 2 a a a k y kz i k y k z i k y k z i k y k z ia 2 2 2 2 e e e e
如果考虑到每个轨道状态可容纳自旋相反的两
个电子，则可得电子的状态密度
Page 53
dZ Am (E) 2 dE 2
索末菲模型
由等式左边得到
i df df E 即 i Ef f dt dt
2
由等式左边得到 2 U ( r ) E 2m 解出 则有 f(t) Ce
iE t iE t
( r, t ) ( r )Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程： 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) V x, y , z, t i 2m x y z t 式中Ψ Ψ(x,y, z, t)是粒子在势场V x,y,z,t 中运动 的波函数。
i ( pr Et ) Ae
这种波称为德布罗意波
对自由粒子波函数 i E t 由上式可得 i E 即E与算符 i 相当 t t 对自由粒子波函数
2
i ( pr Et ) Ae 求偏微商,得到
i ( pr Et ) Ae 进行二次偏微商 ,得到 2 Ap x 2 i ( p x x p y y p z z Et ) e
i k x x k y y k z z Ae Ae 2 2 － E 2k 2 2m E 2m ik r
1 3 / 2 dr 1 A dr 1 A V A L 1 A L V
ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。
波矢k
Ae Aei k x x k y y k z z 2k 2 h2 2 2 2 E n n n x y z 2 2m 2mL 2 0 nx , ny , nz k x L n x n x Z 2 ny ny Z k kx I k y J kz K k y L k z 2 nz nz Z L 2n x 2n y 2nz I J K L L L 其中 L Na a为晶格常数
索末菲模型
图2.5 K空间的状态分布
由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带 中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能 带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子， 所以每个能带可以容纳2N个电子。
在k 空间中：
3 3 2 8 1. 每个k 点占据的体积： V L 3 k 点的分布密度 V L 2. ： 3 （单位体积中含有的k 点数） 2 8
由等式左边得到
i df df E 即 i Ef f dt dt
2
由等式左边得到 2 U ( r ) E 2m 解出 则有 f(t) Ce
iE t iE t
( r, t ) ( r )Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程： 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) V x, y , z, t i 2m x y z t 式中Ψ Ψ(x,y, z, t)是粒子在势场V x,y,z,t 中运动 的波函数。
如果U(r) 不含时间,自由粒子的薛定谔方程 的解 可以用分离变量法简化 考虑写成下列形式： (r, t) ( r ) f (t ) 将其代入薛定谔方程 ,并把方程两边用 ( r ) f (t )去除 i df 1 2 2 得到 [ U ( r ) ] f dt 2 m 上式左边只含 t ,而右边只含 r, t和r是互相独立的变量 , 所以只有两边都等于同 一常量时, 等式才被满足 , 以E表示这个常量.
i k x x k y y k z z Ae Ae 2 2 － E 2k 2 2m E 2m ik r
晶体中的电子状态
nx、ny、nz取零、正负整数 <
三.能态密度
一组量子数 （nx、ny、nz） 确定
kx、ky、kz （电子的某个状态）
1.K 空间
以波矢 K 的三个分量为坐标轴组成的空间 <
2.K 空间的状态密度（用驻波解）
kx
nx
L
相邻状态点的间隔
ky
ny L
kz
nz L
L
每个点占有的体积
3 L3
单位体积的状态数（状态密度）
L3 V 3 3
3.等能面
E
2k2 2 2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
kx2
k
2 y
kz2
2mE
2
（1）在K 空间中，能量为定值的等能面
是个球面，半径为 2mE
<
（2）落在球面上的状态点具有相同的能量。
（3）等能面所包含的体积
4
3
(
2mE
2
)
3
2
4.能态密度
能量0 E之间的状态数G
G V 4 ( 2mE )32
波函数：
1( x) Axeikxx
2 ( y) Ayeiky y
3 (z) Azeikz z
(x、y、z) Aei(kxxky ykzz)
行波
<
能量：
eikxL 1
kx L 2nx
kx
2nx
L
同样：
ky
2ny L
kz
2nz L
2
E 2m
kx2
k
2 y
k
2 z
2 2 2
mL2
nx2 ny2 nz2
固体物理的思考题
固体物理的思考题1.解理⾯是⾯指数低的晶⾯还是⾯指数⾼的晶⾯，为什么？答：解理⾯是指⾯与⾯之间的相互作⽤⼒⽐较弱，容易解离的⾯，若⾯间距⽐较⼤，则容易形成解理，晶⾯指数越⼤，⾯间距越⼩，晶⾯指数越⼩，⾯间距越⼤，所以是⾯指数低的晶⾯容易解离。
2.⾼指数的晶⾯族与低指数的晶⾯族相⽐，对于同级衍射，那⼀晶⾯族衍射光弱？为什么？答：由布拉格衍射公式，其中θ为⼊射x射线的掠射⾓，⾼指数的晶⾯族晶⾯间距d⽐较⼩，对于同级衍射，d越⼤，则越⼩，光的透射能⼒就越弱，此时形成的衍射光就⽐较弱。
也可以从另⼀⽅⾯考虑，晶⾯指数越⼤，晶⾯间距越⼩，原⼦密度也越⼩，此时对⼊射光的反射作⽤就⽐较弱，所以⾼指数晶⾯组的衍射光弱。
3.对于x射线衍射，可否将⼊射光改为可见光？答：不可以，主要由于原⼦的间距在?的数量级，根据布拉格衍射公式，可知⼊射光波的波长也应在?的数量级，然⽽可见光的波长⼀般为⼏百nm所以不可以改为可见光⼊射，常⽤的⼊射光⼀般为Cu的线1.54?。
4.在⼀般的单式格⼦中是否存在强烈的红外吸收，为什么？答：在离⼦晶体中的长光学⽀格波有特别重要的作⽤，因为不同离⼦间的相对振动产⽣电偶极矩，从⽽可以和电磁波相互作⽤，长光学波与红外光波的共振，引起对⼊射波的强烈吸收，但是对于单式格⼦（简单晶格）⽽⾔，由于是只包含单个原⼦，并不存在光学⽀格波，所以不会引起对红外光波的强烈吸收。
5.⾊散曲线中，能否判断哪知格波的模式密度⽐较⼤，是光学⽀格波还是声学⽀格波？答：在⾊散曲线中，光学⽀格波的⾊散曲线⽐较平缓，⽽声学⽀的⾊散曲线⽐较陡峭，模式密度表⽰在频率ω附近单位频率间隔内的格波数，由于光学⽀格波⾊散曲线变化平缓，对应⼩的ω区间就具有了较⼤的波⽮q的变化，所以光学⽀格波的模式密度⽐较⼤。
6.拉曼散射中光⼦会不会产⽣倒逆散射？答：拉曼散射是长光学波声⼦与光⼦（红外光）的相互作⽤，长光学波声⼦的波⽮很⼩，响应的动量⼩，产⽣倒逆散射的条件要求波长⼩，波⽮⼤，散射⾓⼤，拉曼散射不满⾜条件所以不会产⽣倒逆散射。
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
三维自由电子体系，在低能态的能态密度趋于零，因而低温下所引起的热涨落极
小，体系可具有长程序。对一维自由电子体系来说，从图中可以看出，在低能态
的能态密度很大，而且随能量的降低而趋于无穷，因而低温下所引起的热涨落极
大，导致一维体系不具长程序。从图中可以看出，二维自由电子体系的能态密度
是常数，介于一维和三维中间，体系可具有准长程序，而且极易出现特殊相变，
费米分布函数可表示为：
f
(εi )
=
1 e(εi −µ ) kBT
+1
上 式 直 接 给 出 了 体 系 在 热 平 衡 态 (温 度 为 T)时 ，能 量 为 εi 的 单 电 子 本 征 态 被 一
个电子占据的概率。根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分
布函数实际上给出了一个量子态的平均电子占据数。
∵εF =
2kF 2 2m
,
kF 3
=
3π
2n
2
2
( ) ∴εF
= 2m
3π 2n
3
( ) 1.0557 ×10−34 2
2
( ) ∴ε F = 2 × 9.11×10−31 × 3× 3.142 ×8.48×1028 3 = 1.13×10−18 J = 7.06eV
固体物理学教学大纲
《固体物理学》教学大纲（适用于本科物理学专业）课程编码：140613040学时：64学分：4开课学期：第七学期课程类型：专业必修课先修课程：理论力学，电动力学，热力学与统计物理，量子力学教学手段：多媒体一、教学目的与任务：本课程是物理学专业本科生的专业选修课。
通过本课程的学习，使学生了解固体物理学发展的基本情况，以及固体物理学对于近代物理和近代科技的发展起的作用，培养学生的科学素质和科学精神；了解固体物理所研究的基本内容和固体物理研究前沿领域的概况，培养学生的现代意识和科学远见；掌握固体物理学的基本概念和基本规律，培养掌握科学知识的方法；掌握应用固体物理学理论分析和处理问题的手段和方法，培养科学研究的方法。
二、课程的基本内容：1.晶体的结构2.固体的结合3.晶格振动与晶体的热学性质4.能带理论5.晶体中电子在电场和磁场中的运动6.金属电子论三、课程的教学要求：（1）掌握晶体的空间点阵，晶体基矢的表达，倒易点阵，晶面、晶向的概念以及正点阵和倒易点阵的关系。
（2）掌握晶体的结合类型和结合性质。
（3）掌握一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念。
爱因斯坦模型和德拜模型解释固体的比热性质。
（4）掌握自由电子气的概念，自由电子气的费密能量，布洛赫波以及自由电子模型。
（5）掌握布里渊区的概念以及近自由电子近似和紧束缚近似方法计算能带的理论。
（6）了解晶体的对称操作类型，了解非谐效应，确定振动谱的实验方法以及晶格的自由能。
（7）了解金属中电子气的热容量，金属、半导体、绝缘体以及空穴的概念。
四、课程学时分配：第一章晶体结构(8学时)【教学目的】通过本章的教学，使学生了解晶格结构的一些实例；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述方法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述方法；理解和掌握倒格子的定义及其与正格子的关系。
【重点难点】重点：晶体结构的周期性特征及其描述方法、晶体结构的对称性特征及其描述方法、倒格子及其与正格子的关系。