固体物理(第11课)金属电子论和索末菲模型
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固体物理第二章金属自由电子论
欧姆定律：20世纪以前，有关金属导电的一些经验规律 分子运动论：成功地处理了理想气体问题 电子的发现：1897年J. J汤姆生发现电子
原子核
价电子 芯电子
3
（3）弛豫时间近似 在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为 dt/τ 其中τ称为弛豫时间：电子在与离子实的相继两次碰撞之 间的平均自由时间。 不论碰撞前如何近似，认为与离子实碰撞后电子速度的统 计分布将恢复到平衡态——近似认为电子经历一个弛豫时 间τ后将恢复到平衡态。
1 ❖ 假设二： 电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计； f(E)e(E)/kBT 1
❖ 假设三：电子在一有限深度的方势阱中运动，电子运动就是个一维方势井问题，
电子间的相互作用忽略不计；
能态问题，就是k的问题！
电子密度
波矢k密度
18
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
思路回顾
1. 假设在E~E+dE的区间里有dN个电子，那么dU可以写成： 2. dN=dE内电子密度× dE
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
电流的定义是什么?
9
特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
金属中取一垂直于电流线的面元S。从宏观的平均 效果来看，我们可以认为所有自由电子以同一速度u运动。
q neutS
ut
I q neuS
t
S
j I neu S
ne： 1202 /cm 3或 1203 /cm 3
即金属中传导电子的浓度比标准状况下经典理想气体的浓 度约大数千倍 。
由此可见，Drude 等人将金属中这种高浓度的传导 电子看成自由电子气体确实是一个极其大胆的简化。
2.特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
原子核
价电子 芯电子
3
（3）弛豫时间近似 在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为 dt/τ 其中τ称为弛豫时间：电子在与离子实的相继两次碰撞之 间的平均自由时间。 不论碰撞前如何近似，认为与离子实碰撞后电子速度的统 计分布将恢复到平衡态——近似认为电子经历一个弛豫时 间τ后将恢复到平衡态。
1 ❖ 假设二： 电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计； f(E)e(E)/kBT 1
❖ 假设三：电子在一有限深度的方势阱中运动，电子运动就是个一维方势井问题，
电子间的相互作用忽略不计；
能态问题，就是k的问题！
电子密度
波矢k密度
18
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
思路回顾
1. 假设在E~E+dE的区间里有dN个电子，那么dU可以写成： 2. dN=dE内电子密度× dE
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
电流的定义是什么?
9
特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
金属中取一垂直于电流线的面元S。从宏观的平均 效果来看，我们可以认为所有自由电子以同一速度u运动。
q neutS
ut
I q neuS
t
S
j I neu S
ne： 1202 /cm 3或 1203 /cm 3
即金属中传导电子的浓度比标准状况下经典理想气体的浓 度约大数千倍 。
由此可见，Drude 等人将金属中这种高浓度的传导 电子看成自由电子气体确实是一个极其大胆的简化。
2.特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
3.金属自由电子气的Sommerfeld模型
http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型
EF k BTF
k BT9
被激发电子数
电子经典能量
N U (T / TF )k BT 2
U c N (T / TF )k B T
el V
2
• 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 一般金属的TF~104-105K，因此，室温下，电子经 典比热被高估两个量级 注意，我们仅仅根据量子统计的规律，估计了参与 这个过程的电子数，其能量仍是经典的。这就抓住 了问题的本质！恰恰说明这是个量子问题。 • 思考：Drude模型中还有什么困难应该也只考 虑应用这个结论，即只有费米能级附近的电子 起作用，就会得到接近正确的结果？
L
k (r ) e
ik y L
ik r
边界条件导致k取值 的量子化，分立值
循环边界条件既保持 ik x L ik z L e e e 1 了固体的有限尺寸， 又易于操作。另一种 2 4 6 k x , k y , k z 0; ; ; ; 边界条件即驻波条 L LSommerfeld L 模型 件，作为习题。 14 http://10.107.0.68/~jgche/
8
3、比热的定性估计(半经典)
• 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目 N N ~ (k BT / k BTF ) (T / TF ) 2 2
V 4 3 N 2 k F 3 2 3
自旋 状态密度 体积
16
最高占据能级Fermi能级
EF k BTF
k BT9
被激发电子数
电子经典能量
N U (T / TF )k BT 2
U c N (T / TF )k B T
el V
2
• 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 一般金属的TF~104-105K，因此，室温下，电子经 典比热被高估两个量级 注意，我们仅仅根据量子统计的规律，估计了参与 这个过程的电子数，其能量仍是经典的。这就抓住 了问题的本质！恰恰说明这是个量子问题。 • 思考：Drude模型中还有什么困难应该也只考 虑应用这个结论，即只有费米能级附近的电子 起作用，就会得到接近正确的结果？
L
k (r ) e
ik y L
ik r
边界条件导致k取值 的量子化，分立值
循环边界条件既保持 ik x L ik z L e e e 1 了固体的有限尺寸， 又易于操作。另一种 2 4 6 k x , k y , k z 0; ; ; ; 边界条件即驻波条 L LSommerfeld L 模型 件，作为习题。 14 http://10.107.0.68/~jgche/
8
3、比热的定性估计(半经典)
• 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目 N N ~ (k BT / k BTF ) (T / TF ) 2 2
V 4 3 N 2 k F 3 2 3
自旋 状态密度 体积
16
最高占据能级Fermi能级
索末菲模型的主要内容
索末菲模型的主要内容
哎呀呀，亲爱的朋友，你问我索末菲模型的主要内容？这可真是个有点难又特别有趣的问题呢！
我跟您说哈，索末菲模型就像是给原子世界搭的一个特别奇妙的舞台。
您想想，原子就像一个小小的宇宙，里面的电子可不是随便乱跑的哟！
在这个模型里呀，电子不再像以前人们想的那样，只是简单地绕着原子核转圈圈。
而是像一群调皮的小精灵，在不同的轨道上欢快地跳跃着。
比如说，电子的轨道不再是单一的圆形，还有椭圆形的呢！这就好比我们跑步，不只是沿着一个圆圆的操场跑，还能沿着椭圆形的跑道跑，是不是很神奇？
还有呢，索末菲提出了一些新的概念，像什么精细结构常数。
这东西可重要啦，就好像是给电子们的舞蹈定了一些特别的规则。
您可能会问，研究这个模型有啥用呀？那用处可大了去啦！它能帮助我们更好地理解原子的行为，就像我们了解好朋友的脾气一样，这样就能搞清楚很多物质的性质啦。
比如说，为啥有的材料能导电，有的就不能？这背后都有索末菲模型的功劳呢！
总之，索末菲模型给我们打开了一扇通往原子微观世界的神奇大门，让我们能更深入地探索其中的奥秘。
您说，这是不是超级厉害？。
固体物理(第11课)金属电子论和索末菲模型解读
V
2 3
k被限制在第一布里渊区
k
2
nx
I
2
V
ny
J
2
nz
K
L
L
L
2 a
2
Na
2 a
kz
2
Γ
a
kx
2
a
ky
2
Na
k
2
nx
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
L Na1 L Na2 L Na3
k空间 波矢空间 倒易点阵
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx ny nz
独立电子：电子之间无相互作用 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 引入了泡利不相容原理 服从费米－狄喇克统计分布 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由 电子的薛定谔方程。
平均势能为能量零点，电子处于无限深度的势阱内， 需作功才能逸出,电子的运动满足薛定谔方程。
波与晶面垂直。
➢可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩
-卡门周期性边界条件。 ➢驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
5.2 索末菲自由电子论
前提:1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：一 切由自度等于半整数的粒子——费米子组成的系统中， 不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。
晶格常数为a 的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V
第五章--金属电子论
——但是即使是在自由电子模型最为适用的碱金属中，传导 电子的电荷分布实际上也与离子实的强静电势密切相关。
尽管如此，在讨论那些主要依赖于传导电子动力学的相 关性质时，自由电子模型仍然获得了很大成功。
§5.1 特鲁德(Drude)经典自由电子气理论 特鲁德模型(1900年):
当金属原子聚集在一起形成金属时，原来金属原子的内层电子仍然紧 紧的被原子核束缚着，他们和原子核一起被称为原子实，在三维空间构成 长程周期性结构（金属晶体）。而金属原子的外层电子由于受到原子核的 束缚较弱，可以脱离原子，在金属体内自由的移动，称为传导电子。特鲁 德将这个由大量传导电子构成的系统称为自由电子气系统，并利用经典的 分子运动学进行处理，这就是特鲁德模型。Leabharlann va 83b
V L3
在k空间中，电子态的分布是均匀的，
分布密度只与金属的体积有关
每个波矢占据的体积为(2/L)3
3. 能态密度
在自由电子近似下，k空间的等能面是一个球面，即
2k 2 2 2 2 2 E k kx k y kz 2m 2m 在能量为E的球体中，波矢 k 的取值总数为 4 3 k k 3
电子气的浓度(1022～1023/cm3): Z m 23
n 6.02 10 A
Z 每个原子提供的传导电子 ρm 元素的密度 A 元素的原子量
电子的经典半径（1 ～ 2 Å）：
将电子视作带电的刚性小球
V 1 4 Vs rs3 N n 3
3 rs 4 n
——电子气系统和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的， 碰撞前后电子的速度毫无关联，且方向是随机的，其速度是和 碰撞发生处的温度相对应的。
金属,杜德,索末菲模型
m v 2 ~ k BT
has to change when going through regions with different T
1 2
1 2
Mechanics: Collision with ions, with other electrons, etc, where energy transfer can take place. Length scale to distinguish different v 2 :
忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似）， 忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似）， 电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与离子实（杂质 原子）之间的散射； 电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫 时间（relaxation time / life time）； 电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞 之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。
| x1 x2 | l v
Thermal conductivity(3)
1D model:
j q ( x)
n n v (T ( x v )) v (T ( x v )) 2 2
n average left (right) going electron number per unit volume 2 v average velocity average energy carried by electrons If temperature varies slowly with x (on scale of mean free path l )
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
固体物理第二章金属自由电子论
u为平均附加速度: v
v :电场附加给电子的平均速度(平均附加速度)。?? 10
考虑某一个电子，从上次碰撞发生起，有t时间的行 程。如果无外电场，其速度为v0。根据特鲁德模型德假 设，碰撞后电子出现的方向是随机的，因此v0将对总体 的电子平均速度毫无影响，即：
v0 0
但在外电场存在条件下，在上一次碰撞后立即附加
上一个速度：
eEt vt m
(E为外加电场，m为电子质量)。因此电子平均速度 只是由各电子的附加速度取平均获得。
vv0vt
eE
m
t2 t1
11
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
成功用微观量解释了宏观量！
12
特鲁德模型的其他成功之处
Nat. Photon. 1, 641, 2007
EF0 ~ 几个eV
定义 Fermi 温度：
TF
E
0 F
kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度 下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K 36
一些金属元素费米能与费米温度的计算值
元素
Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be
EF0 (eV) 4.72 3.23 2.12 1.85 1.58 7.00 5.48 5.51 14.14
怎么求dN！ 接下来问题就来了！ dU EdN
Here comes the problem U EdN
16
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
对于理想气体貌似有某个方法 对于dV范围内的分子数为： dN=dV内分子密度×dV
对于dE范围内的：
5 金属电子论
A= 1 1 = ( )3 2 V L
2
2
1 sin( k x x ) sin( k y y ) sin( k z z ) V
π2 2 2 ( n x + n y + n z2 ) E= 2 mL2
ψ ( x, y , z ) =
2
1 sin( k x x ) sin( k y y ) sin( k z z ) V
其典型值为 1 ∼ 2 A
特鲁德将金属体内高浓度电子气视为理想气体, 运用 当时已经发展起来的解释理想气体性质的分子运动论来解 释金属的一些特性.
特鲁德模型的基本假设
(1) 独立电子假设 忽略电子-电子之间的相互作用(库仑斥力) (2) 自由电子假设 除了在碰撞瞬间, 忽略电子-原子实之间的相互作用
但是考虑所有正电荷所构成的平均势场， 电子各自独立地在平均势场中运动。
（2）索末菲电子气的能量状态
一维金属晶体中自由电子的能级
假设在长度为L的金属丝中有一个自由电子在运动. 金属晶体正电荷形成的势场是均匀的, 通常取其势能为能量零点. 由于电子不能逸出金属丝外, 在金属的边界处可取电 子的势能
U p (0) = U p ( L ) = ∞
需要考虑其行波解
波恩-卡门周期性边界条件
一维情况下
ψ (0) = ψ ( L)
ψ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx
长L的金属线首尾相连
A + B = Ae ikL + Be − ikL
则
kx =
2π nx L
2π ⎧ kx = nx ⎪ L ⎪ 2π ⎪ ny ⎨k y = L ⎪ 2π ⎪ kz = nz ⎪ L ⎩
注:
2
2
1 sin( k x x ) sin( k y y ) sin( k z z ) V
π2 2 2 ( n x + n y + n z2 ) E= 2 mL2
ψ ( x, y , z ) =
2
1 sin( k x x ) sin( k y y ) sin( k z z ) V
其典型值为 1 ∼ 2 A
特鲁德将金属体内高浓度电子气视为理想气体, 运用 当时已经发展起来的解释理想气体性质的分子运动论来解 释金属的一些特性.
特鲁德模型的基本假设
(1) 独立电子假设 忽略电子-电子之间的相互作用(库仑斥力) (2) 自由电子假设 除了在碰撞瞬间, 忽略电子-原子实之间的相互作用
但是考虑所有正电荷所构成的平均势场， 电子各自独立地在平均势场中运动。
（2）索末菲电子气的能量状态
一维金属晶体中自由电子的能级
假设在长度为L的金属丝中有一个自由电子在运动. 金属晶体正电荷形成的势场是均匀的, 通常取其势能为能量零点. 由于电子不能逸出金属丝外, 在金属的边界处可取电 子的势能
U p (0) = U p ( L ) = ∞
需要考虑其行波解
波恩-卡门周期性边界条件
一维情况下
ψ (0) = ψ ( L)
ψ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx
长L的金属线首尾相连
A + B = Ae ikL + Be − ikL
则
kx =
2π nx L
2π ⎧ kx = nx ⎪ L ⎪ 2π ⎪ ny ⎨k y = L ⎪ 2π ⎪ kz = nz ⎪ L ⎩
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由上式可得 :
- 2 2 p 2 ( r, t ),即p与算符 i相当. p2 E 2m
利用能量动量关系式
2 2 得到 i t 2m 设粒子在力场中的势能 为U(r), 则粒子能量和动量关系 式为 p2 E U (r) 2m
上式两边同乘以波函数 ( r, t ),并以算符 i 和 i分别 t 代替E和p,得到下列方程 2 2 i U ( r ) t 2m 2 2 2 或 E U ( r ) [ 2 U ( r )] 2m 2m 上式称为薛定鄂方程 2 2 ˆ 表示 算符 [ U ( r )] 称为哈密顿算符 , 通常以 H 或H 2m 于是上式可写成 H E 这种方程称为本征值方 程, E称为算符 H的本征值, 称为 算符H的本征函数 .
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
19+ 18-
金属自由电子模型（钾）
1 电子气浓度 势垒限制电子逸出 N ZN Lna NA N A
同理有
2 t 2 px 2 ( r, t ) 2 2 p y ( r, t ) 2 2 t
2 ( r, t ) 2 t
2
p2 y
将以上三式相加得
2 2 2 2 p 2 同理有 2 ( r, t ) 2 2 2 x y z 其中是劈形算符, i j k x y z
未考虑波粒二象性，电子散射。
金属的比热
特鲁德模型认为金属中电子具有经典理想气体分子的 运动特征，它们遵循玻尔兹曼统计规律：每个电子有 三个自由度，每个自由度有kBT/2的平均能量，共有3 kBT/2内能，电子气比热CV=3kBn/2,在高温下相当于 晶格振动的比热,这与实验不相符。 从经典理论来看，只能说明电子没有热运动，直接动 摇了经典电子运动论。 量子力学和费米统计规律建立后，这一矛盾才解决。 并在此基础上建立了新的金属电子理论。
5.2 索末菲自由电子论
前提:1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：一 切由自度等于半整数的粒子——费米子组成的系统中， 不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。 这一原理解释了原子的电子壳层结构和元素周期律，推 动了电子自旋概念的确立。 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基 础上，提出电子服从某一统计规律，后来称为费米－狄 喇克统计分布。电子、质子、中子（全同粒子）
如果U(r) 不含时间,自由粒子的薛定谔方程 的解 可以用分离变量法简化 考虑写成下列形式： (r, t) ( r ) f (t ) 将其代入薛定谔方程 ,并把方程两边用 ( r ) f (t )去除 i df 1 2 2 得到 [ U ( r ) ] f dt 2 m 上式左边只含 t ,而右边只含 r, t和r是互相独立的变量 , 所以只有两边都等于同 一常量时, 等式才被满足 , 以E表示这个常量.
b3 N3
b2 N2
说 明
电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k
确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶 格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。 故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面 波与晶面垂直。 可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩 -卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
作业1
1.
2.
特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假 设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与 电流的关系. 试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的 贡献.
补充
3. 自由粒子的能量 E ,动量P,波长 , 频率满足以下方程： E h P h n k
上述公式称为德布罗意 公式.由于自由粒子能量和动 量都 是常数 , 所以由德布罗意公式可 知,与自由粒子联系的波 , 它的频率和波矢 (或波长 )都不变,即它是 A cos[2 ( x t )]
补充资料：三维晶格情况下的波矢
k的分布密度（单位体积中k点的数目）： 3 2 V 2 nx 2 n y 2 nz k被限制在第一布里渊区 k I J K
L L L
1
V 2 3
2 a
2 Na
2 aΒιβλιοθήκη kzky2 a
kx
Γ
2 Na
金属电子的平均自由程
me 平均自由时间 测量ρ即可知 2 ne 如铜在T 273K时 1.56 cm 得到 2.7 1014 s 平均自由程 v 1 3 2 根据经典的能量均分定理，有 me v k BT 2 2 7 1 根据上述模型，室温下，v 的值约为10 cm s 算出金属中电子的平均自由程为 1 ~ 10 A ，特鲁德模型有较大误差 实验测试值为10 3 A
由等式左边得到
i df df E 即 i Ef f dt dt
2
由等式左边得到 2 U ( r ) E 2m 解出 则有 f(t) Ce
iE t iE t
( r, t ) ( r )Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程： 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) V x, y , z, t i 2m x y z t 式中Ψ Ψ(x,y, z, t)是粒子在势场V x,y,z,t 中运动 的波函数。
2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
a
a1、a2、a3 b1、b2、b3 N N1 N 2 N 3 n N1、N 2、N 3 h1 h2 h3 1. k b1 b2 b3 , h1、h2、h3 Z N1 N2 N3 平均一个k点占据的体积： 示意图 3 3 b1 b2 b3 1 1 2 2 * N1 N 2 N 3 N N V
n 利用气体压强 P RT NA 金属中的电子气体压强非常大 电子不会逸出到金属晶体以外。
5条假设
1. 独立电子假设 ：忽略电子-电子之间的库仑排斥力 2. 自由电子假设：电子速度各向同性，电子和离子碰 撞，忽略电子-离子的库仑吸引力。 3. 碰撞假设：碰撞后电子方向随机，速度只与温度有 关，单个电子的平均能量为：
5.1 经典的金属自由电子论
5.1.1 特鲁德模型(示意图) 为了说明导电、导热等物理现象。 金属由正离子和电子组成，满壳层电子与原子核构 成原子实，外壳层电子即价电子数为-eZ，受到原子 核束缚较弱，称为传导电子，弥散于金属内部，构成 自由电子气体。 服从玻尔兹曼统计：e-hω/kT，在外电场作用下服从 牛顿运动定律。 每个电子对热容的贡献是3kBT/2。但与实验值相差 较大。
2. 定态薛定谔方程： 在恒定势场条件下，即V x, y , z, t V x, y , z 波函数应有以下形式： ( x, y , z, t ) e
E i t
其空间部分ψ ψ(x , y , z)应满足如下方程： 2 2 V x, y , z E , 定态薛定谔方程 2 2m x ( x, y , z ) 粒子的定态波函数
2 a
2 nx 2 n y 2 nz k I J K L L L
L Na1 L Na2 L Na3
k 空间 波矢空间 倒易点阵
b 1 N1
电子具有的波长 k L L L 2 n x n y nz Na Na Na nx ny nz
1 2 3 E mv k BT 2 2
4. 驰豫时间近似(relaxation time approximation) 电子与离子两次碰撞之间的平均时间间隔，1/ 为碰 撞概率，平均自由程(mean free path)：l=v。在无外 力作用时，电子的平均集体运动速度按照exp(-T/ )的 方式趋于0，弛豫时间与电子速度和位置无关。 5 . 隐含假设：电子是经典粒子（当时没有量子力学）
n V N La
3
Z
M
Z
M
其中NL为单胞数，na为单胞中 原子数，Z为价电子数，a3为单 胞体积，ρ为元素密度，NA为 阿伏加德罗常数，M为原子量， 典型值为1022~1023个/cm3 电子平均半径 rs
电子势垒模型
V 1 4 3 rs N n 3 3 13 3 13 rs ( ) ( ) a 典型值： 1 ~ 2A 4n 4na Z
i ( pr Et ) Ae
这种波称为德布罗意波
对自由粒子波函数 i E t 由上式可得 i E 即E与算符 i 相当 t t 对自由粒子波函数
2
i ( pr Et ) Ae 求偏微商,得到
i ( pr Et ) Ae 进行二次偏微商 ,得到 2 Ap x 2 i ( p x x p y y p z z Et ) e
平面波.
波长 , 频率 ,沿x方向传播的平面波可用 下式来表示 :
如果波沿单位矢量 n的方向传播 ,则 A cos[2 ( r n
t )] 其中k 2 n
A cos[k r t ] 将其改写成复数形式 :