七年级数学下册 同底数幂的乘法教学设计 (新版)北师大版
《同底数幂的乘法》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】
第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法教学设计一、教学目标1.掌握同底数幂的乘法的运算法则并能用符号表示；2.会用同底数幂的乘法进行计算；3.通过同底数幂乘法运算法则的导出及运用，让学生体会知识具有普遍联系性和相互转化性以及通过同底数幂乘法运算，培养学生的运算能力．学会横向纵向的思考，鼓励学生解决问题策略的多样性．二、教学重点及难点重点：理解并掌握同底数幂的乘法运算法则并能应用法则进行计算．难点：灵活运用同底数幂的乘法运算法则进行运算．底数互为相反数时的乘法运算，及其结果符号的确定．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习回顾】1.什么叫乘方？乘方的结果叫做什么？2.填空：2×2×2=2( )a·a·a·a·a=a( )3.说出a n的各部分名称及意义，并将下列各式写成乘法形式：108=（-2）4=设计意图：让学生回顾旧知识，经历知识展现的过程；让学生知识再现、独立完成问题、积极回答.【探究新知】活动1．探索851010⨯等于多少？（鼓励学生大胆猜想）学生会出现以下几种结果：①13100；②40100；③4010；④1310．那到底谁的猜想是正确的呢？小组合作讨论（教师提示：根据幂的意义）．师生共同得出结果：851010⨯．810510101010101010=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅个个（）（）． 1310101010=⨯⨯⋅⋅⋅个．13851010+==．即：8585101010+⨯=．设计意图：学生在已有的知识基础上，利用集体的智慧，找出猜想中的正确答案，并通过“转化”思想得出结论．活动2．计算下列各式：1.（1）102×103；（2）105×108；（3）10m ×10n (m 、n 都是正整数)；你发现了什么？2.2m ×2n 等于什么？1177m n ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()()33m n -⨯-呢? (m 、n 都是正整数)3.议一议：如果m 、n 都是正整数，那么m n a a ⋅等于什么？为什么？m n a a ⋅a aa a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )个( )个（）（）． aa a a ⋅⋅⋅=( )个． =a （ ）． 于是我们得到：m n m n a a a +⋅= （m ，n 都是正整数）．教师补充解释m ，n 都是正整数的原因，并请学生用自己的语言概括该结论，最后师生共同用精炼的文字概括表述同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：m n p m n p a a a a +++⋅⋅⋅=． 设计意图：由于前面的计算打好了坚实的基础，m n a a ⋅的推导过程是用填空的形式简化公式的推导过程，即避免了重复教学过程，也节约时间，同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程．【典型例题】例1.计算：（1）()()7633-⨯-； （2）311111111⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）35x x -⋅；（4）221m m b b +⋅ 解：（1）()()()()7676133333+-⨯-=-=-；（2）33141111111111111111+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）35358x x x x +-⋅=-=-；（4）22122141m m m n m b b b b ++++⋅==.例2.光在真空中的速度约为3×108m /s ，太阳光照射到地球上大约需要5×102s .地球距离太阳大约有多远？解：3×108×5×102=15×1010=1.5×1011（m ）答：地球距离太阳大约有1.5×1011m .设计意图：例1让学生运用同底数幂的乘法的运算性质进行计算，进一步巩固解题的书写步骤，在积累解题经验的同时，体会将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算的思想．例2通过实际应用题，让学生体会同底数幂乘法在现实中的应用．例3．计算：(1)(2a ＋b )2n +1·(2a ＋b )3·(2a ＋b )n -4；(2)(x －y )2·(y －x )5．分析：将底数看成一个整体进行计算．解：(1)原式＝(2a ＋b )(2n +1)+3+(n -4)＝(2a ＋b )3n ；(2)原式＝－(x －y )2·(x －y )5＝-(x －y )7．设计意图：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．【随堂练习】1．判断下列计算是否正确，错误的请改正．（1）358n n n ⋅=； （2）257a aa +=； （3）； （4）55x x x ⋅=； 5420y y y ⋅=（5）4442a a a ⋅=．答案：1．（1）正确；（2）（3）（4）（5）错误，（2）已不能运算，（3）（4）（5）的正确结果分别为9y ，6x ，8a ．2.计算：（1）25x x ⋅；（2）6a a ⋅；（3）43222-⨯-⨯-（）（）（）；（4）3+1m m x x ⋅． 解：（1）25257x x x x +⋅==；（2）6167a a a a +⋅==；（3）43143822222256++-⨯-⨯-=-=-=（）（）（）（）（）；（4）3+13141m m m m m x x x x +++⋅==．3．计算：（1）23222111（）（）（）---⨯⨯； （2）26a a ⋅；（3）24222（）（）---⨯⨯； （4）47a b a b （）（）+⋅+； （5）74n m n m （）（）-⋅-； （6）579m n m n m n （）（）（）-⋅-⋅-． 答案．（1）164；（2）8a ；（3）-128；（4）11a b +（）；（5）11n m -（）；（6）21m n -（）． 设计意图：给学生充足的思维空间，养成独立思考的习惯，进一步加强对同底数幂的乘法的运算性质的理解和掌握．4.我国自行研制的“神威I ”计算机的峰值运算速度达到每秒3 840亿次．如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次（结果保留3个有效数字）？解：3840亿次＝3.84×103×108次，24小时＝24×3.6×103秒．由乘法的交换律和结合律，得3833.84101024 3.610⨯⨯⨯⨯⨯（）（）3833.8424 3.6101010⨯⨯⨯⨯⨯＝（）（）14331.77610⨯＝163.3210⨯≈（次）答：它一天约能运算3.32×1016次．5．若82a +3·8b -2＝810，求2a ＋b 的值．分析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a 、b 的关系，根据a 、b的关系求解．解：∵82a +3·8b-2＝82a +3+b -2＝810，∴2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9．设计意图：利用同底幂的乘法法则解决问题，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．6．已知a m ＝3，a n ＝21，求a m+n 的值．分析：把a m ＋n 变成a m ·a n ，代入求值即可．解：∵a m ＝3，a n ＝21，∴a m+n ＝a m ·a n ＝3×21＝63．设计意图：逆用同底数幂的乘法法则把a m ＋n 变成a m ·a n ．7.（1）（m ＋n －p ）（p －m －n ）（m －p －n ）4（p ＋n －m ）2等于（ ）．BA ．－（m ＋n －p ）2（p ＋n －m ）6B ．（m ＋n －p ）2（m －n －p ）6C ．（－m ＋n ＋p ）8D ．－（m ＋n ＋p ）8（2）已知a m ＝3，a n ＝2，那么a m+n+2的值为（ ）．CA ．8B ．7C ．6a 2D ．6＋a 28．(1)若x n-3·x n+3=x 10，则n =___________．5(2)（a －b ）2n -1·（b －a ）2n =___________．（a －b ）4n -1(3)如果+1211n n a a a -⋅=，则n ＝ ．6设计意图：考查同底数幂的乘法的运算性质和列关于n 的方程解决问题．9．在我国，平均每平方米的土地大约一年从太阳得到的能量相当于燃烧1．3×108千克的煤所产生的热量．我国960万平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤?（结果用科学记数法表示）解：依题意，有1.3×108×960×104×（103）2=1.248×1021．答：一年从太阳得到的能量相当于燃烧1．248×1021千克的煤．设计意图：通过练习，让学生熟悉同底数幂的乘法的运算法则，同时提高学生运用同底数幂法则在底数为负数，多项式，及需要化为同底数的幂的乘法的计算的能力．使学生了解公式应用的广泛性和多样性．10．为了求2320151222+2++++的值，可令2320151222+2S =++++，则2S＝2＋22＋32＋…＋20162，因此2016221S S -=-， 所以1＋2＋22＋32＋…＋20152＝20162－1．仿照以上推理，计算2320161555+5++++的值．解：根据题中的规律，设2320161555+5S =++++， 则2320175555+5S =+++．因此20175451S S S -==-． 所以2017232016511555+54S -=++++=． 设计意图：利用类比的思想解决问题，考查学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．六、课堂小结1．同底数幂的乘法的运算性质的推导过程．2．同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解和掌握同底数幂的乘法的运算性质，进一步体会数式通性、从具体到抽象的思想方法．七、板书设计。
北师大版七年级数学下册1.1《同底数幂的乘法》优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是北师大版七年级数学下册的1.1《同底数幂的乘法》，这是幂的运算法则之一，对于学生来说是一个新的概念和运算规则。在之前的学习中，学生已经接触过有理数的乘除法和加减法，但对幂的运算还是相对陌生。因此，在教学本节内容时，我以学生的已有知识为基础，通过生活实例引入同底数幂的乘法概念，引导学生理解并掌握运算法则。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，培养他们的自我评价和自我调整能力。例如，在学习同底数幂的乘法后，可以让学生回顾自己的学习过程，思考自己在学习中的优点和不足，以及如何改进和提高。
2.设计具有针对性和指导性的评价表，让学生对自己的学习进行评价。例如，可以设计一个关于同底数幂的乘法的评价表，包括对概念理解、运算能力、问题解决能力的评价。
（四）总结归纳
1.引导学生总结同底数幂的乘法法则和运算规则，加深他们对知识点的理解和记忆。
2.强调同底数幂的乘法在实际生活中的应用，让学生明白学习同底数幂的乘法的意义和价值。
3.对学生的学习进行评价和反馈，鼓励他们继续努力和改进。
（五）作业小结
1.布置具有针对性和挑战性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实例引入同底数幂的乘法概念，如讲解化学实验中药品的配比问题，让学生感受到数学与实际生活的紧密联系。
2.通过多媒体展示同底数幂的乘法在生活中的应用场景，如楼层高度的计算、卫星发射的燃料配比等，让学生深刻理解数学的实际意义。
3.创设具有挑战性的问题情境，激发学生思考和解决问题的欲望，如设计一个关于科幻小说中星球探险的问题，需要学生运用同底数幂的乘法来解决。
同底数幂的乘法教学设计北师大
同底数幂的乘法教学设计北师大这是同底数幂的乘法教学设计北师大，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
同底数幂的乘法教学设计北师大第1篇教学目标在了解同底数幂乘法意义的基础上掌握法则，会进行同底数幂的乘法基本运算。
在推导法则的过程中，培养观察、概括与抽象的能力。
通过对具体事例的观察和分析，归纳、总结出同底数幂乘法的法则，培养学生归纳、总结，以及从特殊到一般的抽象概括等思维能力。
让学生通过参与探索过程，培养合作、探索问题的能力，以及质疑、独立思考的习惯。
重点难点重点同底数幂相乘的法则的推理过程及运用难点同底数幂相乘的运算法则的推理过程教学过程一、温故知新1. 表示什么意义？（是乘方运算，表示10个2相乘；也可以用来表示运算的'结果）2.下列四个式子① ，② ，③ ④ 中，运算结果是的有哪些？你能说明理由吗？（学生通过讨论，明确两个幂只有当底数相同时才可以乘起来，同时初步感受计算的方法）3.光的传播速度是每秒米，若一年以秒计算，那么光走一年的路程是多少米呢？学生列出式子。
这个式子怎样运算呢？解决这个问题的关键是弄清楚两个同底数幂相乘的一般方法，下面我们就来探索同底数幂的乘法法则。
二、新课讲解探究新知你能计算出吗？学生解答，教师板书那么等于多少呢？更一般的，等于多少呢？学生回答，教师板书你发现运算的方法了吗？师生共同概括归纳出同底数幂乘法的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
用公式表示是：（m、n都是正整数）动脑筋当3个或三个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果呢？学生思考并讨论解答，最后教师总结：（m，n，p都是正整数）三、典例剖析例1 计算：（1）；（2）分析：直接运用公式计算，教师板书计算过程，强调初学时要注意弄清楚计算的步骤。
例2 计算：（1）；（2）让学生独立完成。
这题意在进一步训练运用法则进行计算，注意观察学生是否会用法则进行计算，点评时要强调对法则的运用。
例3 计算：（1）；（2）学生解答并讨论，教师注意拓展学生对法则的运用，培养符号演算的能力，指出公式中的底数可以是具体的数，也可以是字母或式子表示的数，提高学生的运算能力。
第1章1同底数幂的乘法(教案)2023-2024学年七年级下册数学(教案)(北师大版)
-举例：计算2^3⋅2^4时，应得出2^(3+4)=2^7的结果，而非2^12。
2.教学难点
-难点识别：理解同底数幂乘法法则中指数相加的概念。
-学生难点：在具体计算中，容易混淆指数相乘与指数相加的区别。
在实践活动中，分组讨论和实验操作让学生们有了实际操作的机会，这有助于他们更好地理解同底数幂乘法的原理。同时，我也发现学生在讨论过程中，能够相互启发，共同解决问题。但在小组分享成果时，有些同学的表达能力还有待提高。
学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，让学生发挥主体作用。我发现，当学生围绕一个主题展开讨论时，他们的思维非常活跃，能够从不同角度去思考问题。但在这个过程中，我也注意到，部分学生在提出观点时，还需要进一步培养逻辑思维能力。
第1章1同底数幂的乘法（教案）2023-2024学年七年级下册数学（教案）(北师大版)
一、教学内容
本节课选自北师大版数学七年级下册，第1章“整式的运算”中的第1节“同底数幂的乘法”。教学内容主要包括以下方面：
1.掌握同底数幂的乘法法则，即：am⋅an=am+n（m、n是正整数）。
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行简便计算。
1.加强对基础知识的讲解和巩固，让学生真正理解同底数幂乘法的内涵。
2.注重培养学生的抽象思维能力，帮助他们从具体实例中提炼出一般规律。
3.提高学生的表达和沟通能力，让他们在合作交流中更好地展示自己。
4.继续采用引导式教学，激发学生的思考，培养他们的逻辑思维能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
北师大版数学七年级下册1.1同底数幂的乘法教学设计
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计具有梯度、覆盖不同知识点的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
2.学生练习：学生在规定时间内完成练习题，教师巡回检查，了解学生的掌握情况。
3.解题指导：针对学生练习中的共性问题，进行集中讲解，指导学生正确运用同底数幂乘法法则。
-内容要求：反映学生对同底数幂乘法的理解，以及在解决问题过程中的心得体会。
-形式要求：字数不限，力求真实、生动，体现学生的个性特点。
5.家长评价：请家长协助监督学生的作业完成情况，并对学生的学习态度、作业质量进行评价，共同促进学生的成长。
作业布置时，请注意以下事项：
1.作业量适中，避免过多增加学生的负担。
2.学会运用类比、迁移等方法，将同底数幂的乘法与之前所学的乘法知识进行联系。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养其主动探究的精神。
2.培养学生合作交流的意识，使其在讨论、分享中体验到学习的快乐。
3.增强学生对数学美的感受，使其认识到数学在现实生活中的重要作用。
二、教学内容
1.同底数幂的概念及乘法法则
（1）引导学生通过实例认识同底数幂，如：2^3、2^4等。
（2）探索同底数幂的乘法法则，如：2^3 × 2^4 = 2^(3+4)。
（3）通过具体计算，让学生感受同底数幂乘法的简便性。
2.同底数幂乘法在实际问题中的应用
（1）将实际问题转化为同底数幂的形式，如：计算一个正方体的体积，可以表示为2^3 × 2^3 × 2^3。
（2）运用同底数幂的乘法法则解决问题，如：计算2^3 × 2^3 × 2^3 = 2^(3+3+3)。
北师大版七年级下册数学教案：1.1 《同底数幂的乘法》
北师大版七年级下册数学教案：1.1 《同底数幂的乘法》x一. 教材分析《同底数幂的乘法》是北师大版七年级下册数学的第一课时内容，主要介绍了同底数幂相乘的法则。
这一节内容是初中学员掌握幂的运算的重要基础，对于学生理解幂的运算法则和拓展学习其他数学知识有着重要的意义。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法、幂的定义等基础知识，但对于幂的运算规则还比较陌生。
同时，由于幂的运算涉及到抽象的数学概念，学生可能对此难以理解。
因此，在教学过程中，需要注重让学生理解幂的运算规则，并通过大量的练习来巩固知识点。
三. 教学目标1.让学生理解同底数幂相乘的法则。
2.使学生能够运用同底数幂相乘的法则进行计算。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：同底数幂相乘的法则。
2.教学难点：理解同底数幂相乘的法则，并能够灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索同底数幂相乘的法则；通过案例分析，让学生理解并掌握运算规则；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件：包括同底数幂相乘的法则、案例分析、练习等内容。
2.练习题：包括基础题、提高题和拓展题。
3.板书：准备黑板和粉笔，用于板书重点内容和解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入同底数幂相乘的概念，如“已知x^3 * x^2 = x^(3+2)，求x的值。
”引导学生思考同底数幂相乘的法则。
2.呈现（10分钟）讲解同底数幂相乘的法则，用PPT展示案例，如：x^3 * x^2 = x(3+2)，x4 * x^-1= x^(4-1)。
让学生理解并记忆同底数幂相乘的规则。
3.操练（10分钟）让学生进行同底数幂相乘的练习，教师巡回指导。
可设置一些基础题，如：2^3 * 22，以及一些提高题，如：34 * 3^-2。
在此过程中，提醒学生注意指数的加减法。
《同底数幂的乘法》教学设计
《同底数幂的乘法》教学设计一、教学背景分析（教学内容分析、学情分析、教学环境分析）（一）、教学内容分析1.内容整式的乘法中，最基本的运算性质：同底数幂的乘法法则，会运用它熟练的进行计算。
2.内容解析《同底数幂的乘法》是北师大版数学七年级下册第一章第一节内容，本节课是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），又是幂的三个运算性质中最基本的一个运算性质，学好了同底数幂的乘法，其他两个运算性质和整式乘法的学习便容易了．因此，同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位和作用。
整式乘除是整式运算的重要组成部分，是数与代数的重要基础知识，同时也是以后学习因式分解、分式、函数等知识的基础。
（二）学情分析学生知识技能基础：学生通过对七年级上册数学课本的学习，已经掌握了用字母表示数的技能，会判断同类项、合并同类项，同时在学习有理数乘方运算后，知道了求n个相同数〃的积得运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，这些基础知识为本节课的学习奠定了基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生完全可以借助于已知的幂的意义，通过个人思考、小组合作等方式，进行知识迁移，总结出新的知识。
基于以上分析，可以确定本节课的教学难点为：运用法则计算底数互为相反数的幂的运算。
二、教学设计理念与整体思路基于对教学内容和学生学情的分析，我采取以下的教学理念首先复习学生学习过的乘方和科学计数法，然后引出情景问题计算机的计算次数，从而引出我们要学习本节课的教学内容同底数幂的乘法。
思路：1.在“创设情境，引入新课”这一环节，通过复习学生学过的乘方的运算以及科学计数法，引导学生类比有理数运算的学习内容和路径，引出本章学习内容《整式的乘除》一是为本节课及本单元学习提供了知识准备和研究素材，二是为新知学习提供研究线索和研究方法。
2.在“幂的运算”这一单元中，从方法性结构来看，都通过“从特殊到一般”的认知方法认识新知；从过程性结构来看，它们都需要经历“发现和猜想f验证和去伪f归纳与概括f应用与拓展”的知识形成过程。
七年级数学下册 第一章 第1节 同底数幂的乘法参考教案1 (新版)北师大版
七年级数学下册第一章第1节同底数幂的乘法参考教案1 （新版）北师大版●教学目标(一)教学知识点1.经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义.2.了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.(二)能力训练要求1.在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力.2.学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心.●教学重点同底数幂的乘法运算法则及其应用.●教学难点同底数幂的乘法运算法则的灵活运用.●教学方法引导启发法教师引导学生在回忆幂的意义的基础上，通过特例的推理，再到一般结论的推出，启发学生应用旧知识解决新问题，得出新结论，并能灵活运用.●教具准备投影片第一张：问题情景，记作(§1.1 A)第二张：做一做，记作(§1.1 B)第三张：议一议，记作(§1.1 C)第四张：例题，记作(§1.1 D)第五张：随堂练习，记作(§1.1 E)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们还记得“a n”的意义吗？［生］a n 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂，a 叫做底数，n 是指数.［师］我们回忆了幂的意义后，下面看这一章最开始提出的问题(出示投影片§1.3 A): 问题1：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球距离太阳大约有多远？问题2：光在真空中的速度大约是3×108米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年.一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？［生］根据距离=速度×时间，可得：地球距离太阳的距离为：3×108×5×102=3×5×(108×102)(米)比邻星与地球的距离约为：3×108×3×107×4.22=37.98×(108×107)(米)［师］108×102，108×107如何计算呢？［生］根据幂的意义：108×102=10(1010101010101010)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯8个× 102)1010(个⨯ =1010101010⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯10个=1010108×107=10710(1010101010101010)(101010)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯8个个=15151010101010⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个 ［师］很棒！我们观察108×102可以发现108、102这两个因数是同底的幂的形式，所以108×102我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，108×107也是同底数幂的乘法.由问题1和问题2不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法. Ⅱ.学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质1.做一做出示投影片(§1.1 B)计算下列各式：(1)102×103；(2)105×108；(3)10m ×10n (m,n 都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述.(4)2m ×2n 等于什么？(71)m ×(71)n呢，(m,n 都是正整数).［师］根据幂的意义，同学们可以独立解决上述问题.［生］(1)102×103=(10×10)×(10×10×10)=105=102+3因为102的意义表示两个10相乘；103的意义表示三个10相乘.根据乘方的意义5个10相乘就表示105同样道理，可求得：(2)105×108= 105101010个⨯⋅⋅⋅⨯⨯×108101010个⨯⋅⋅⋅⨯⨯ =1013=105+8(3)10m ×10n= 10101010个m ⨯⋅⋅⋅⨯⨯×10101010个n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯ =10m+n从上面三个小题可以发现，底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10，指数为两个同底的幂的指数和.［师］很好！底数不同10的同底的幂相乘后的结果如何呢？接着我们来利用幂的意义分析第(4)小题.［生］(4)2m ×2n= 2)222(个m ⨯⋅⋅⋅⨯⨯×2)222(个n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯ =2m+n (71)m ×(71)n =个m )717171(⨯⋅⋅⋅⨯⨯× 个n )717171(⨯⋅⋅⋅⨯⨯ =(71)m+n我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和.2.议一议出示投影片(§1.1 C)a m ·a n等于什么(m,n 都是正整数)？为什么？［师生共析］a m ·a n 表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得a m ·a n = a m a a a 个)(•••⋅⋅⋅·a n a a a 个)(•••⋅⋅⋅ =a n m a a a 个)(+•••⋅⋅⋅=a m+n即有a m ·a n =a m+n (m,n 都是正整数)用语言来描述此性质，即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.［师］同学们不妨再来深思，为什么同底数幂相乘，底数不变，指数相加呢？即为什么a m ·a n =a m+n 呢？［生］a m 表示m 个a 相乘，a n 表示n 个a 相乘，a m ·a n 表示m 个a 相乘再乘以n 个a 相乘，即有(m+n)个a 相乘，根据乘方的意义可得a m ·a n =a m+n .［师］也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降低一级运算，变为相加.Ⅲ.例题讲解出示投影片(§1.1 D)［例1］计算：(1)(－3)7×(－3)6；(2)(101)3×(101)； (3)－x 3·x 5;(4)b 2m ·b 2m+1.［例2］用同底数幂乘法的性质计算投影片(§1.3 A)中的问题1和问题2.［师］我们先来看例1中的四个小题，是不是都能用同底数幂的乘法的性质呢？ ［生］(1)、(2)、(4)都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变，指数相加.［生］(3)也能用同底数幂乘法的性质.因为－x 3·x 5中的－x 3相当于(－1)×x 3,也就是说－x 3的底数是x,x 5的底数也为x,只要利用乘法结合律即可得出.［师］下面我就叫四个同学板演.［生］解：(1)(－3)7×(－3)6=(－3)7+6=(－3)13； (2)(101)3×(101)=(101)3+1=(101)4； (3)－x 3·x 5=［(－1)×x 3］·x 5=(－1)［x 3·x 5］=－x 8;(4)b 2m ·b 2m+1=b 2m+2m+1=b 4m+1.［师］我们接下来看例2.［生］问题1中地球距离太阳大约为：3×105×5×102=15×107=1.5×108(千米)据测算，飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要20年.问题2中比邻星与地球的距离约为：3×105×3×107×4.22=37.98×1012=3.798×1013(千米)想一想：a m ·a n ·a p 等于什么？［生］a m ·a n ·a p =(a m ·a n )·a p =a m+n ·a p =a m+n+p ;［生］a m ·a n ·a p =a m ·(a n ·a p )=a m ·a n+p =a m+n+p ;［生］a m ·a n ·a p = a m a a a 个)(•••⋅⋅⋅· a n a a a 个)(•••⋅⋅⋅· ap a a a 个)(•••⋅⋅⋅=a m+n+p .Ⅳ.练习出示投影片(§1.1 E)1.随堂练习(课本P 3)：计算(1)52×57;(2)7×73×72;(3)－x 2·x 3;(4)(－c)3·(－c)m .解：(1)52×57=59；(2)7×73×72=71+3+2=76；(3)－x 2·x 3=－(x 2·x 3)=－x 5;(4)(－c)3·(－c)m =(－c)3+m .2.补充练习：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x 3·x 5=x 15 ( )(2)x ·x 3=x 3 ( )(3)x 3+x 5=x 8 ( )(4)x 2·x 2=2x 4 ( )(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5=－x 5 ( )(6)a 3·a 2－a 2·a 3=0 ( )(7)a 3·b 5=(ab)8 ( )(8)y 7+y 7=y 14 ( )解：(1)×.因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8.(2)×.x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4.(3)×.x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算.(4)×.x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·x2=x2+2=x4.(5)√.(6)√.因为a3·a2－a2·a3=a5－a5=0.(7)×.a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.(8)×.y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7.Ⅴ.课时小结［师］这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？［生］在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.［生］同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加.即a m·a n=a m+n(m、n是正整数).Ⅵ.课后作业课本习题1.1 第1、2、3题Ⅶ.活动与探究计算：2－22－23－24－25－26－27－28－29+210.［过程］注意到210－29=29·2－29×1=29·(2－1)=29，同理，29－28=28，…23－22=22，即2n+1－2n=2·2n－2n=(2－1)·2n=2n.逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n+1化为21·2n.［结果］解：原式=210－29－28－27－26－25－24－23－22+2=2·29－29－28－27－26－25－24－23－22+2=29－28－27－26－25－24－23－22+2=…=22+2=6●板书设计1.1 同底数幂的乘法一、提出问题：地球到太阳的距离为15×(105×102)千米，如何计算105×102.二、结合幂的运算性质，推出同底数幂乘法的运算性质.(1)105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=107=105+2;(2)105×108= 1051010101010个⨯⨯⨯⨯×108101010个⨯⋅⋅⋅⨯⨯=1013=105+8； (3)10m ×10n = 10101010个m ⨯⋅⋅⋅⨯⨯×10101010个n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=10m+n ; (4)2m ×2n = 2222个m ⨯⋅⋅⋅⨯⨯×2222个n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=2m+n ; (5)(71)m ×(71)n = 71)717171(个m ⨯⋅⋅⋅⨯⨯× 71)717171(个n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=(71)m+n;综上所述，可得a m ·a n = a m a a a 个)(⨯⋅⋅⋅⨯⨯×a n a a a 个)(⨯⋅⋅⋅⨯⨯=a m+n(其中m 、n 为正整数)三、例题：(由学生板演，教师和学生共同讲评)四、练习：(分组完成)●迁移发散迁移 运用本节课所学知识，解答下列题目：a m ·a m-3+a 2m-4·a点拨：先利用公式进行乘法运算，若所得结果是同类项再进行合并.在运用公式时，a 的指数是1，不要漏掉.解：a m ·a m-3+a2m-4·a =am+m-3+a 2m-4+1 =a 2m-3+a2m-3 =2a 2m-3发散 本节课会用到的以前知识：1.幂的知识在a m 中，a 是底数，m 是指数，a m叫幂.2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.3.合并同类项法则：在合并同类项时，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.4.乘法结合律a ·b ·c=a ·(b ·c)运用公式时，适当地利用乘法运算律，可简化运算.●备课资料一、参考例题［例1］计算：(1)(－a)2·(－a)3 (2)a5·a2·a分析：(1)中的两个幂的底数都是－a;(2)中三个幂的底数都是 a.根据同底数幂的乘法的运算性质：底数不变，指数相加.解：(1)(－a)2·(－a)3=(－a)2+3=(－a)5=－a5.(2)a5·a2·a=a5+2+1=a8评注：(2)中的“a”的指数为1，而不是0.［例2］计算：(1)a3·(－a)4(2)－b2·(－b)2·(－b)3分析：底数的符号不同，要把它们的底数化成同底的形式再运算，运算过程中要注意符号.解：(1)a3·(－a)4=a3·a4=a3+4=a7;(2)－b2·(－b)2·(－b)3=－b2·b2·(－b3)=b2·b2·b3=b7.评注：(1)中的(－a)4必须先化为a4,才可运用同底数幂的乘法性质计算；(2)中－b2和(－b)2不相同，－b2表示b2的相反数，底数为b,而不是－b,(－b)2表示－b的平方，它的底数是－b,且(－b)2=(+b)2,所以(－b)2=b2,而(－b)3=－b3.［例3］计算：(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1(2)(x－y)2(y－x)3分析：分别把(2a+b),(x－y)看成一个整体，(1)是三个同底数幂相乘；(2)中底不相同，可把(x－y)2化为(y－x)2或把(y－x)3化为－(x－y)3,使底相同后运算.解：(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1=(2a+b)2n+1+3+m－1=(2a+b)2n+m+3(2)解法一：(x－y)2·(y－x)3=(y－x)2·(y－x)3=(y－x)5解法二：(x－y)2·(y－x)3=－(x－y)2(x－y)3=－(x－y)5评注：(2)中的两个幂必须化为同底再运算，采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.［例4］计算：(1)x3·x3 (2)a6+a6 (3)a·a4分析：运用幂的运算性质进行运算时，常会出现如下错误：a m·a n=a mn,a m+a n=a m+n.例如(1)易错解为x3·x3=x9;(2)易错解为a6+a6=a12;(3)易错解为a·a4=a4,而(1)中3和3应相加；(2)是合并同类项；(3)也是易忽略的地方，把a的指数1看成0.解：(1)x3·x3=x3+3=x6;(2)a6+a6=2a6;(3)a·a4=a1+4=a5二、在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.(a－b)=－(b－a)(a－b)2=(b－a)2(a－b)3=－(b－a)3(a－b)2n－1=－(b－a)2n－1(n为正整数)(a－b)2n=(b－a)2n(n为正整数)●方法点拨［例1］计算：(1)-a·(-a)3·(-a)2(2)-b3·b n(3)(x+y)n·(x+y)m+1点拨：应用同底数幂的乘法公式时，一定要保证底数相同.(1)中底数是-a,-a可看作(-a)1；(2)中-b3可看作(-1)·b3,这样b3与b n可利用公式进行计算；(3)中底数是x+y,将它看作一个整体.解：(1)-a·(-a)3·(-a)2（不要漏掉指数1）= (-a)1·(-a)3·(-a)2=(-a)6(2)-b3·b n=(-1)·(b3·b n)——乘法结合律=(-1)·b3+n=-b3+n(3)(x+y)n·(x+y)m+1=(x+y)n+(m+1)=(x+y)n+m+1［例2］计算：(1)a6·a6(2)a6+a6点拨：对于（1），可利用“同底数幂的乘法公式”计算,而第（2）题，是两个幂相加，需进行合并同类项，注意两者的区别.解：(1)a6·a6=a6+6=a12(2)a6+a6=2a6注意区分：同底数幂的乘法是乘法运算，且底数不变，指数相加．．.而合并同类项是加（减）法，且系数相加，字母与字母的指数不．变．.［例3］计算：(1)8×2m×16(2)9×27-3×34点拨：这两道题的乘法中，底数都不相同，但可进行相应的调整，变为同底数幂，即可利用公式进行计算.而（2）中先进行乘法，再进行减法，注意运算顺序.解：(1)8×2m×16=23×2m×24=23+m+4=2m+7(2)9×27-3×34=32×33-3×34=35-35=0。
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第一章 整式的运算
３．同底数幂的乘法
一、 学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过对七年级上册数学课本的学习，已经掌握了用字母表示数的技能，会判断同类项、合并同类项，同时在学习了有理数乘方运算后，知道了求n 个相同数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即n a n a a a a =⨯⨯⨯
个，在n
a 中，a 叫底数，n 叫指数，这些基础知识为本节课的学习奠定了基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生完全可以借助于已知的幂的意义，通过个人思考、小组合作等方式，进行知识迁移，总结出新的知识。
二、 教学任务分析
本节课的设计，教科书从天文中的有趣的问题引入新课，学生要经历从实际情境中抽象出数学符号的过程，在探索中，学生将自然地体会同底数幂运算的必要性，有助于培养训练学生的数感与符号感，同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力。
在教学过程中，教师可进一步启发要求学生往更深一层次去研究、剖析知识，概括出“底数互为相反数”时的运算方法，培养学生知识的运用能力，加深了对所学知识的理解。
本节课的具体教学目标为：
1．能够在实际情境中，抽象概括出所要研究的数学问题，增强学生的数感符号感。
2．在已有的对幂的知识的了解基础之上，通过与同伴合作，经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力。
3．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，训练他们养成学会分析问题、解决问题的良好习惯。
三、 教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：复习回顾、探究新知、巩固落实、应用提高、拓展延伸、课堂小结、布置作业。
第一环节 复习回顾
活动内容：复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：
活动目的：通过此活动，让学生回忆幂与乘方之间关系，即
a n n
a a a a 个⨯⨯⨯=，即多个相同因数乘积的形式，从而为下一步探索得到同底数幂的乘法法则提供了依据，培养学生知识迁移的能力。
活动的注意事项：教师要引导学生回忆七年级上册课本中有关乘方的知识，能把幂的形式与同底数幂的乘法之间的联系通过回忆后彻底搞清楚、搞透彻，弄明白。
在最初回忆时，或许学生会出现思维上的盲点，教师根据具体情况，可以从最基本的数学形式上进行引导，
如?23=，你是怎样知道的？等。
而学生作为教学活动的主体，一定要积极进行思考，切不可仅听取他人意见。
这个内容是探索新知识的主要依据，绝不能省略。
第二环节 探究新知
活动内容：以课本上有趣的天文知识为引例，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了同底数幂相乘的形式，给出问题，启发学生进行独立思考，也可采用小组合作交流的形式，结合学生现有的有关幂的意义的知识，进行推导尝试，力争独立得出结论。
活动目的：在很多人的印象中，代数除了繁琐的计算就是空洞的符号，是一门内容枯燥、脱离实际的课程，事实上，代数是一门具有丰富内容并且与现实世界、学生生活、其他科学联系十分紧密的学科，它的符号表示手段，深刻地揭示了存在于一类实际问题中的共性，有助于人们对现实世界的认识。
本节课的内容正是体现了这一点，用字母揭示一般规律性的东西，是我们应该引导学生掌握的，这是一种非常简洁的方式。
活动的注意事项：探求新知的过程应留给学生独立思考，在教学时要尽量留给学生更多的时间与空间，让他们充分发挥个人的主体作用。
用字母表达式体现一般的规律性，学生不是首次接触，如原来所学的各种几何图形面积公式就是一种体现。
在本节课中，让学生从数字入手，首先研究510可以写成怎样的乘积形式，710呢？如若把指数换为字母，又可以怎样理解？在此基础上，把底数换为分数的形式，进而又换作字母的形式，由学生个人思考，小组合作得到结论，结论共享，使全班在认识上又有大的提高，从而得到一般的规律性结论表达式n m n m a a a +=⋅。
由前面的层层铺垫得到结论并非难事，多数同学完全可以理解。
字母表达式中“m 、n 都是正整数”这一限定条件不必过分严格强调，随着今后所学数的范围的扩大，这一条件不起作用。
让学生能识别并记忆表达式特征是关键。
第三环节 巩固落实
活动内容：以基本习题为落脚点，让学生学会判别、应用所学字母表达式，以达到巩固新知的作用。
参照教材提供的例题，不断要求学生分辨，是否符合“同底数幂乘法”特征：①是乘法运算吗？②因式部分底数是多少？③对于（3）题中“一”你是怎样理解的？这道题仍是“同底数幂乘法”的形式吗？④你会处理（4）题中的指数问题吗？说一说你的处理方式。
活动目的：教科书例题是落实基本知识的主要习题类型，特别是刚刚接触，还没有消化吸收的新知识，理解不透彻往往会为今后的学习带来麻烦，所以在处理例题时，可设计一连串的问题串，由浅入深地进行剖析、分解，这样的设计帮助学生以表达式为依据，根据表达式特征会对形式变化的习题进行分析，从而找到突破口，实践次数多了，学生自然提高对问题的分析、解决能力，使自己在不知不觉中进步。
活动的注意事项：例题中后两个是难点，（3）题中或许会出现对“一”的不理解，无从下手，此时可与（1）题比较，负数作底数在形式上是加括号的，所以此时的“一”不存在于底数之中，因而底数为x ，可以看作是同底数幂相乘，“一”在这里起到的是表示相反数的意义。
第四环节 应用提高
活动内容：1．完成课本“想一想”：p
n m a a a ⋅⋅等于什么？
2．通过一组判断，区分“同底数幂的乘法”与“合并同类项”的不同之处。
3．独立处理例2，从实际情境中学会处理问题的方法。
4．处理随堂练习（可采用小组评分竞争的方式，如时间紧，放于课下完成）。
活动目的：进一步熟悉同底数幂的乘法性质，并运用同底数幂的乘法性质解决一些实际问题。
活动注意事项：扎扎实实的落实了字母表达式，学生已对本节主要知识有了清醒的认识，此处应留给学生充分的空间进行思考交流。
由于知识难度跨度不大，思维上不会造成过度混乱，因而不需花费过多时间。
第五环节 拓展延伸
活动内容：写成幂的形式：1．（1）()38
77⨯-； （2）()37
66⨯-； （3）()()4
35555-⨯⨯-. 2．（1）()()b a b a -⋅-2
； （2）()()b a a b -⋅-2
活动目的：面对底数互为相反数时怎样把乘积结果写为幂的形式？这也是同底数幂乘法中会遇到的问题。
因为有难度，已在北师大教材中删除，但如果学生整体水平比较好，教学中可以引导学生思考。
活动的注意事项：对于底数互为相反数的这种形式，学生刚一接触可能思想跳跃性较大，有无从下手的感觉，而引导他们从幂的意义的角度去分析自然不难得到：“负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负”的结论。
而对于这一结论的认识单凭引导得出，在学生脑海中的映象自然不清晰，应鼓励学生先去探索，分组合作，尽量在小组内合作消化掉。
对于个别合作不佳的小组或数学抽象思维不强的同学，仍需教师进行指导，从而让学生体会到遇到这类问题应先确定结果符号，再进行指数相加。
对于2题中两个小问题，要体现整体的思想，同时也是底数互为相反数的幂的乘积形式一类问题的知识升华，在此只对能力高的学生作要求。
第六环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结本节课上应该掌握的同底数幂的乘法的特征，教师对课堂上学生掌握不够牢固的知识进行强调与补充，学生也可谈一谈个人的学习感受。
活动目的：学生畅谈自己学习所得的新知识与个人切身体会，教师予以鼓励，激发学生的学习兴趣与自信心，特别是课上这种由特殊到一般的知识推导方式，更是学数学应掌握的必要方法。
活动的注意事项：发挥学生学习的主体地位，从他们已有的知识结构出发，通过观察、操作、归纳总结等活动，来探究新知，小结中更要体现这一点，教师只是起适时的点拨作用。
第七环节 布置作业
1．请你根据本节课学习，把感受最深、收获最大的方面写成体会，用于小组交流。
2．完成课本习题1.4中所有习题。
四、教学设计反思：
1.要把所学知识与未学知识有机的结合起来
学生的知识体系是一步步建立起来的，怎样通过引导能让学生把已熟悉的知识与未学知识巧妙联系起来是在教学过程中必须深入思考的环节。
在教学中的复习回顾不能仅仅限于上堂课中所学知识的蜻蜓点水式回忆，而应把有利于学生自主探究新知的已有知识作为复习的重点，从而为新课的学习做好准备。
2.要把培养学生的能力放于学习的首位
学习知识的过程不能简单的理解为“教——学”的过程，教师在教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会到数学知识之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。
3.可以把适当的拓展题补充到教学之中
在教学上，可根据学生的学习水平将知识作适当的拓展，尤其是对一些学有余力的学生可为他们提供进一步发展的机会。