2010年高考数学四川卷理科(20)题解法探究

３－＝３，ｘ－２＝３，ｘＩｙＩ３２ｙ
：
＋＋—
—
综上，Ｍ．：，ＦＬＮ — Ｆ赢０即Ｍ＿Ｆ．
故以线段ＭＮ为直径的圆过点
两式相减。得
３ｘ２（－２（ｌＹ）Ｙ－２（ｌ）ＩＸ）－ｙ＋２（ｌＹ）＝０，
而，争
）．
同可蔚（，．理得：寻詈）一
因赢・＝寻ｘ吾＋此南（）一）一（
堡
．
解法２（利用待定系数法）
设双曲线方程为
，
－
、
２告＝２１～
，
Ｕ
Ｕ
由题意知＋ｍ＝１
，
ｃ＋ｍ＝２，Ｃ＝２一
（Ｉ试判断以线段ＭＮ为直径的圆是否过点Ｆ，１）并说明理由．
ｃ＝２一１三＝２一，口＋６：ｃ．，
ＣＺ０
解得ａ１６，－ｃ２－，：３，＝．
由此可知，所求双曲线的中心在原点、焦点在轴
（Ｙ≠０．）
解法３（利用圆锥曲线的第二定义）
由圆锥曲线的第二定义知，Ｐ的轨迹是以Ｆ２点（，
＝３３）同理可得赢：３３）（（
，—
．
，
．
０为焦点、）定直线ｚ＝： ÷为相应准线的双曲线，从而此
因此・：一３ｘ一３＋一）：０肃（）（）（ ×３：，因此・：一）（）（ × 删（ｘ一＋一３）
・试题赏析・
。７歆・（０ｏ７２１年第７期・高中版）
５７
２１０高考数学四川卷理科（０题解法探究０年Ｉ２）
６１０四川省内江市第六中学４００
２１００年高考数学四川卷理科（０题：２）已知定点
（ｔＩｙ＋２ｙ９０３ｚ）２１ｔ＋＝． —
设Ｂ（，Ｉ，ｘ，２，ｌＹ）ｃ（２Ｙ）
的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想．由于本题的解法很多，这
能有效考查学生思维的发散性、活性、谨性、择灵严选
与曲方Ｘ予ｌ≠）立去得双线程２：（ｏ消ｙ＿ｙ联
１
何代森
Ａ一，）Ｆ２０，（１０，（，）定直线ｆ＝，： ÷ 不在轴上的动点Ｐ
与点Ｆ的距离是它到定直线ｚ的距离的２倍．设点Ｐ的
轨迹为Ｅ，过点，的直线交Ｅ于Ｂ，Ｃ两点，直线ＡＡＢ，Ｃ分别交于点，＿ Ⅳ （Ｉ）Ｅ的方程；求
性，心理学的研究表明，发散思维是创造性思维的核心，从而，本题达到了考查考生创新意识的目标．因此，本题是一道能有效考查数学基础知识、基本思想和思维能力的优秀试题，值得探究和思考．解（Ｉ）解法１（利用求轨迹方程的一般方法或
解法４因为直线ＢＣ与轴不平行，可设Ｃ的故
方ｔ２双线程等＝（≠ ）立程为＝＋，曲方一ｌ，０，消ｙ与，联
去得
从而ｋｋｃｏ＝ｎ＿ｙ：ｘｙ－２３ｌ
＝
Ｙｏ
，
（ｏ）ｘ＃２，
因此Ｙ３ｏ６ｏ显然此式对＝ｏ＝ｘｘ，２也成立．
ｃ一＝等
由， ≠一，－ｌ则直线ＡＢ的方程为ｙ＝
因此肼点的坐标为（１
，
（＋）１，
称五步法）
啬），
设（ｙ，￣孵Ｐ，则／）ｉ
化简得一：１））（，． ≠０
－Ｉ＋，２－ｌｘ
（－２ｘ＋ｋｘ（＋）．３ｋ）４２一４３＝０
由题意知，－且 △ ０设Ｂｘ，。，（２Ｙ）３ｋ ≠Ｏ＞．（。）ｃｘ，２，Ｙ
则。＝＝２拟篙酉３：４，ｋ＋
ＹＹ：一） — ） — （。）４ｌ２（ｌ２（２２＝ｋ［ｌ２２ｘ＋，．＝，ＦＩＮ０即Ｍ＿Ｆ．＿
◆・擞－（ｏ第期・中）？７２年７高版ｍ
・试题赏・析
堑二一：．－下一０）Ｌｂ１
．
故以线段ＭＮ为直径的圆过点
解法２设Ｂ（，，，２，Ｃ的中点为Ｙ）Ｃ（Ｙ）ＢＰｘ，）则（０Ｙ，ｏ
上故求曲方为２＝（０，所双线程Ｘ｝１≠）＿ｙ．
（Ⅱ）解法１ ① 当直线ＢＣ与轴不垂直时，Ｂ设Ｃ
的方程为ｙｋ一） ≠ ）＝（２（Ｏ，
此题第（Ｉ）小题是以人教社教材中的例题改编的．
第（Ｉ小题是圆锥曲线的一个性质，Ｉ）带有数学探究的意味，查了解析几何的通性通法，考并考查了函数与方程
：毳： — ＋～０．
② 当直线ＢＣ与轴垂直时，其方程为ｘ２则Ｂ２３，＝，（，）ｃ２一）Ａ（，３，Ｂ的方程为，ｌ因此点的坐标为（，，＋，＝
３）劢
，
解得ｏ１ｃ２ｍ：．以双曲线方程为一：１＝，＝，０所

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凉山州2010级高考情况分析暨2010年四川高考数学试题评析及复习

635 11.3%
2007年 6295 356.3 637 559
48 0.8%
510
294 4.7%
485
585 9.3%
2008年 6539 379.0 645
598
56 0.86%
548
367 5.61%
522
668 10.22%
2009年 6667 323.25 604
540
59 0.89%
560
340 6.0%
512
939 16.6%
485
1343 23.8%
2007年 6472 354.6 630
2008年 7077 398.6 684
2009年 7151 325.4 612
2010年
8200
327.8 9
629
533
266 4.1%
593
250 3.5%
498
254 3.6%
512
108 547 104 523 117 511 202 489
精选课件ppt
100 1955 97 2765 90 1942 85 2686 100 1968 93 2722 163 1884 146 2689
5
凉山州高2010级高考（全体）情况
文科参加统计人数：7232
平均分
难度系数
最高分
英语 0.46 0.4842 0.55987 0.5366 0.5097
综合 0.51 0.4885 0.562 0.5315 0.5249
总成绩
0.50
0.4878 0.5716 0.5222 0.5213
精选课件ppt
20
四川省近五年理科高考成绩情况统计

2010年四川省数学高考压轴题巧解

ｎ
又孝虑到ｌ＜ｌ１≤ ３．旱干
＜
）＜１）＋ｎ＋１＜ｎ＋４
ｋ）一凡Ｉ＜４．
１
综上所述，总有Ｉ
∑ｇ）＞（
＝２
说明考生很难想到命题组给出的上述解
（）当０＜。≤ 了时３１
，
试比 ∑ ）ｎ较ｌ一ｌ
１解答
行了不容易想到的放缩，缩之后再累加，放累加中抵消大部分项，显然在放缩时就已经考虑到了之后的 “ 消 ” 至此才基本证明完毕．抵，笔者查过很多解
答，几乎全部提供这种解法，至有些粗糙的答案甚
凡＋一
凡＋ｌ
＜ｎ“
是．）厂的反函数．（（设关于的方程ｌｎ）ｏｇｇ）（在区间［，］有实数解，ｔ２６上求的取值范围；（）ａ＝ｅｅ自然对数的底数），明：２当（为时证
Ｌ２
一
２＋］１ … ）１ ≤ ≤ ＋
∑ ∑㈦ ” ２、：， ¨ 一０由于，≤
，，
，＝ｌ２ … ，，，，孔因此
）１－÷ ｌ＋＋・＋＇．＋
即（ ≤１＋＋１ｎ＋１ … 寻＋＝）寺＋＝
１
一
∑㈦Ｌ一
与的大小
了不同的做法．解法２是利用
第（）题考查了反函数、程、数及其应１小方导用等基础知识，度不大，大部分学生都能顺利难绝

2010年四川高考(理)20(2)别解及推广

ＡＦ．ＢＧ＝ＡＦ．Ｆ是ＡＢＧ，‘ ．ＦＧ，’ Ｍ．Ｆ的平分线．同理Ｆ是ＡＦ的平分线．ＮＣ
（—×一）一）（‘十３３
２
—
＝＋号
‘
３
。
．
．
ＭＦ＝９。故以线段ＭＮ为直径的圆过Ｎ０，
，
把上述结果推广到一般的圆锥曲线上？经研究
发现是可以的．推广１设双曲线ｚ＝１口＞ｏｂ＞Ｘ＂一（
，
（２３）～３
，，
＝
右右，（号一）理得０）的左顶点为Ａ，焦点为Ｆ，准线为ｚ过一，３，可而・同Ｆ的直线交双曲线右支于Ｂ、两点，ＡＣ连Ｂ、
一
口一２十１
口口
２＋
丑“
口
＋
＞一＝．瘩
ａ一２＋
ａ
应一２＋１
● ａ
口一２十
ａＪＩ－
ｉＥ￣２＂１＝：＂－
一
学１－＞２．ａ
和示范性，深入地挖掘其潜在的价值，对其延伸
拓羼．把引喜半僖特渠能右剁－－－甩维ＴＴ阔ｒ
厶
（）当直线Ｂ与ｚ轴不垂直时，Ｂ２① Ｃ设Ｃ的方程为＝ｋｚ一２（ ≠ ０，（）ｋ）与双曲线方程
ｚ
直线的距离的２倍．点Ｐ的轨迹为Ｅ，点设过
Ｆ的直线交Ｅ于Ｂ、两点，Ｃ直线ＡＢ、分别ＡＣ

对2010年高考数学湖北卷理科第20题的解法研究

～
摘要：通过对一道高考题的解法的研究，从学生角度、教师角度、命题人角度分别审视该题，把命题人本意、学生思考、教师发挥三个方面有机统一起来，明确今后教学的方向．关键词：高考试题；等比数列；等差数列；反证法
则数列｝以为项，以为公比的等比数列，是
３
，
累加构造、累乘构造和补（拆）项构造ｊ种不同形式．采用哪种方法取决于题意 “ １！：ｌ ” 标准答案选择突 ± ＿ ±堡
．
ｊ —
Ｊ一 ‰ ＋Ｉ
故ｌ一
＝３
，
破ｒ令ｃ＝Ｉ，ｃ＝拿ｃ，这就成功地构造出了特殊Ｉ“ 一则 ”
等比数列｛｝Ｃ，从而利用ｃ求出％继而求出６．（）第２问考查数
列内容的反证法，反证法的难点在于如何导出矛盾，矛盾的产
所以：１一
又ｎ＝ＩＩ＞０帆
，
～．
＋＜０，１
生在于通过对假设的等价变形后产生与题目条件或者已有数学
基本原理相矛盾的结论，标准答案的设计非常简洁清晰，直接根据数论知识加以变形，导致奇偶相等这一矛盾．其关键之处在于 “ 两边同乘３２～，化简得３＋２－２× 一～，ｃ．所以上式左边为奇数，右边为偶数 ” ，这种做法对学生的数论知识要求较
ｎ
ｌ一
＋１
（ｎ≥ １，数列｛，满足ｂ＝）６

2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科综合能力测试试卷分析报告2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）的试卷评阅已经顺利结束。

今年四川省参考理科综合的考生近30 万人，共评阅试卷约28.9万份。

为了有效地评价理科综合试题的考试情况，同时为今后改进试题的命制提供参考建议，能更好地引导中学理化生教学向素质教育的方向发展，特对今年理科综合能力测试试题的得分情况、难易程度分布、以及与《2010年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》的符合情况等进行以下分析。

一、总体评价（一）题型、分数比例、题量等符合《2010年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》的要求四川省高考试题物理、化学、生物三个学科的试题个数、题型保持不变，各学科Ⅰ、Ⅱ卷分值保持稳定。

各学科的总分与高中课程计划的课时比例基本一致；继续采取拼盘式的构卷形式，学科界限明显，有利于中学教学。

试题科学、规范，未出现科学性、知识性错误。

难易题的编排顺序总体较合理，有利于考生答题。

评分标准制定准确严格，能够有效的降低评分误差。

表1 2010年高考理科综合能力测试试卷结构比较2010年试题结构试题Ⅰ卷Ⅱ卷题目数分值总题量21 10 31 300物理8 4 12 120化学8 4 12 108生物 5 2 7 72（二）较好地体现了命题指导思想与原则命题遵循了教育部颁布的《普通高等学校招生全国统一考试分省命题工作暂行管理办法》，坚持“有助于高等学校选拔人才、有助于中等学校实施素质教育和有助于扩大高校办学自主权”的原则，体现了“着眼于正确导向，立足于平稳推进，确保试题宽严适度”的指导思想。

贯彻了明确的指导思想，坚持了正确的命题原则。

命题思路清晰，试题科学规范，稳中有新，兼顾了四川的地方特点。

试题严格按照《2010年普通高等学校招生全国统一考试大纲》和《2010年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》的规定和要求命制试题，坚持能力立意，突出主干知识，引导回归教材，考查考生所学物理、化学、生物课程基础知识、基本技能的掌握程度和综合运用所学知识分析、解决问题的能力。

2010四川省高考试卷含解析考试重点和考试技巧

1、依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是研究伊始，该团队选取了华北、西北地区生产的几十种马铃薯进行分析，从营养成分、、硬度等方面多次试验，确定了适合加工马铃薯面条的两个品种。

随后，又从诸多面粉种类中试验选取了的小麦粉加以调试。

A．鉴别色泽终于适量B．鉴别色彩终于适当C．甄别色泽最终适当D．甄别色彩最终适量2、填入下面空缺处的语句，最恰当的一项是我需要清静……最好去处是到个庙宇前小河旁边大石头上坐坐，。

雨季来时上面长了些绿绒似地苔类。

雨季一过，苔已干枯了，在一片未干枯苔上正开着小小蓝花白花，有细脚蜘蛛在旁边爬。

A．阳光和雨露把这石头漂白磨光了 B．这石头被阳光和雨露漂白磨光了C．阳光和雨露已把这石头漂白磨光了的 D．这石头是被阳光和雨露漂白磨光了的3、下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A．棱角/菱形窒息/对峙稽首/稽查B．侥幸/阻挠绚烂/驯服称职/职称C．塑料/朔风叫嚣/发酵本末倒置/倒行逆施D．延伸/筵席瓦砾/罹难挑三拣四/挑拨离间4、在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是（3分）自宋元至明清，清明节除了要祭扫家墓，还要在门楣、窗户上插上柳条。

，。

，，，。

①达到人丁兴旺、身体健康的目的②于是在郊游踏青时③它便成了人类文化中生命力的象征④人们企盼将这种生命力转移到自家门庭和家庭成员身上⑤不会忘记顺便折一些柳条回来⑥由于柳树最先送来春的消息并且具有旺盛的生殖力A．⑥③④①②⑤ B．②⑤①④⑥③ C．②④⑥③①⑤ D．⑥④②⑤③①A．风电属于绿色清洁能源，行业主管部门和相关企业不能墨守成规，应该把握机遇，发挥我们幅原辽阔、风能资源丰富的优势，大力发展风电。

B．许多造诣远不能与他媲美的人早已声名雀起，他却仍然不急不躁，保持着艺术家应有的淡泊与执着，相信自己终究会跻身真正的大师行列。

C．为了抑制城市机动车数量的快速膨胀，某市实施限牌新政，规定参与摇号竞价的申请人必须持有驾照，这一门槛绊住了7万多人。

2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解四川理

2010年四川理一、选择题（共12小题；共60分）1. i是虚数单位，计算i+i2+i3= A. −1B. 1C. −iD. i2. 下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是 A. B.C. D.3. 2log510+log50.25= A. 0B. 1C. 2D. 44. 函数f x=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 A. m=−2B. m=2C. m=−1D. m=15. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16，AB+AC=AB−AC，则AM=A. 8B. 4C. 2D. 16. 将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 A. y=sin2x−π10B. y=sin2x−π5C. y=sin12x−π10D. y=sin12x−π207. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A. 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B. 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C. 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D. 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱8. 已知数列 a n 的首项a 1≠0，其前n 项的和为S n ，且S n +1=2S n +a 1，则lim n→∞a nS n= A. 0B. 12C. 1D. 29. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A. 0,22B. 0,12C. 2−1,1D. 12,110. 半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ，那么M ，N 两点间的球面距离是 A. R arccos 1725B. R arccos 1825C. 13πRD. 415πR11. 设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a a−b −10ac +25c 2的最小值是 A. 2B. 4C. 2D. 512. 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是 A. 72B. 96C. 108D. 144二、填空题（共4小题；共20分） 13. 直线x −2y +5=0与圆x 2+y 2=8相交于A ，B 两点，则 AB = ．14. 如图，二面角α−l −β的大小是60∘，AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30∘，则AB 与平面β所成角的正弦值是．15. 设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ,y ∈S ，都有x +y ,x −y ,xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题： ①集合S = a +b i a ,b 为整数,i 为虚数单位为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）16. 2− x3 6的展开式中的第四项是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．18. 已知正方体ABCD −AʹBʹCʹDʹ的棱长为1，点M 是棱AAʹ的中点，点O 是对角线BDʹ的中点．（1）求证：OM 为异面直线AAʹ和BDʹ的公垂线；（2）求二面角M −BCʹ−Bʹ的大小；（3）求三棱锥M −OBC 的体积．19. （1）（i ）证明两角和的余弦公式C α+β :cos α+β =cos αcos β−sin αsin β；（ii ）由C α+β 推导两角和的正弦公式S α+β :sin α+β =sin αcos β+cos αsin β．（2）已知△ABC 的面积S =12，AB ⋅AC =3，且cos B =35，求cos C ．20. 已知定点A −1,0 ，F 2,0 ，定直线l :x =12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ．（1）求E 的方程；（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．21. 已知数列 a n 满足a 1=0，a 2=2，且对任意m ，n ∈N ∗都有a 2m−1+a 2n−1=2a m +n−1+2 m −n 2．（1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n +1−a 2n−1 n ∈N ∗ ，证明：数列 b n 是等差数列；（3）设c n = a n +1−a n q n−1 q ≠0,n ∈N ∗ ，求数列 c n 的前n 项和S n ．22. 设f x =1+a x1−a x a >0 且 a ≠1 ，g x 是f x 的反函数．（1）设关于x 的方程log a tx −17−x =g x 在区间 2,6 上有实数解，求t 的取值范围；（2）当a =e （e 为自然对数的底数）时，证明： g kn k =2>2 2n n +1；（3）当0<a ≤12时，试比较 f k n k =1−n 与4的大小，并说明理由．答案第一部分1. A2. D3. C4. A5. C6. C7. B 【解析】设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则x+y≤70,10x+6y≤480,x,y∈N.目标函数z=280x+200y.由线性规划可得：当x=15，y=55时z最大．8. B 【解析】由S n+1=2S n+a1，且S n+2=2S n+1+a1，作差得a n+2=2a n+1．又S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1，即a2=2a1．故a n是公比为2的等比数列，且S n=a11−2n1−2=−a11−2n，则lim n→∞a nS n=lim n→∞2n−12n−1=lim n→∞12⋅11−12n=12.9. D 【解析】答案：D解析：线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，而 FA =a 2c −c=b2c， PF ∈a−c,a+c，于是b2c∈a−c,a+c，即ac−c2≤b2≤ac+c2．所以ac−c2≤a2−c2,a2−c2≤ac+c2⇒ca≤1,ca≤−1 uo ca≥12.又e∈0,1，故e∈12,1．10. A【解析】在Rt△ABC中，由AB=2R，BC=R，得AC=5R,从而cos∠BAC=25.由于OA=OM，则△AOM为等腰三角形，从而AM=2R cos∠BAC=45R.因为MN∥CD，所以AM=MN,解得MN=4 R.在△OMN中，由余弦定理得cos∠MON=R2+R2−45R22R⋅R=1725,从而∠MON =arccos17. 故M ,N 间的球面距离为R arccos 1725．11. B 【解析】2a 2+1ab +1a a −b−10ac +25c 2= a −5c 2+a 2−ab +ab +1ab +1a a −b= a −5c 2+ab +1+a a −b +1≥0+2+2=4.当且仅当a −5c =0，ab =1，a a −b =1，即a = 2，b = 22，c =25时，最小值为4． 12. C 【解析】先选一个偶数排个位，有3种选法． ①若5在十位或十万位，共有24种． ②若5排在百位、千位或万位，共有12种．所以共计3× 24+12 =108种．第二部分 13. 2 3 14. 34【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ．连接AD ，容易得知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α−l −β的平面角，大小为60∘．又由已知，∠ABD =30∘，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，设AD =2，则AC = 3，CD =1，AB =ADsin 300=4，所以sin ∠ABC =ACAB =34．15. ①②【解析】直接验证可知①正确；当S 为封闭集时，因为x −y ∈S ，取x =y ，得0∈S ，②正确；对于集合S = 0 ，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；取S = 0 ，T = 0,1 ，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0−1=−1∉T ，故T 不是封闭集，④错误． 16. −160x【解析】T 4=C 63×23 x3 3=−160x．第三部分17. （1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P A =P B =P C =1,所求概率为P A⋅B⋅C =P A P B P C=16⋅562=25216.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216．（2）ξ的可能值为0，1，2，3．那么Pξ=k=C3k 1k53−kk=0,1,2,3.所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P 12521625725721216数学期望Eξ=0×125216+1×2572+2×572+3×1216=12.18. （1）法一：如图，连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK．因为M是棱AAʹ的中点，点O是BDʹ的中点．所以AM∥DDʹ∥OK，AM=12DDʹ=OK，所以AKOM为平行四边形．所以MO∥AK，MO=AK．由AAʹ⊥AK，得MO⊥AAʹ，因为AK⊥BD，AK⊥BBʹ，所以AK⊥平面BDDʹBʹ，所以AK⊥BDʹ，所以MO⊥BDʹ．又因为OM与异面直线AAʹ和BDʹ都相交，故OM为异面直线AAʹ和BDʹ的公垂线．法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz．则A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，Aʹ1,0,1，Cʹ0,1,1，Dʹ0,0,1．因为点M是棱AAʹ的中点，点O是BDʹ的中点．所以M1,0,12，O12,12,12，所以OM=12,−12,0,AAʹ=0,0,1,BDʹ=−1,−1,1,所以OM⋅AAʹ=0,OM⋅BDʹ=−12+12+0=0.所以OM⊥AAʹ，OM⊥BDʹ．又因为OM与异面直线AAʹ和BDʹ都相交，故OM为异面直线AAʹ和BDʹ的公垂线．（2）解法一：取BBʹ中点N，连接MN，则MN⊥平面BCCʹBʹ，过点N作NH⊥BCʹ于H，连接MH，则由三垂线定理得BCʹ⊥MH．从而∠MHN为二面角M−BCʹ−Bʹ的平面角，所以MN=1,NH=BN sin45∘=12×22=24,在Rt△MNH中，tan∠MHN=MNNH =24=22．故二面角M−BCʹ−Bʹ的大小为arctan22．解法二：设平面BMCʹ的一个法向量为n1=x,y,z，BM=0,−1,12，BCʹ=−1,0,1，则n1⋅BM=0,n1⋅BCʹ=0,即−y+1z=0,−x+z=0,取z=2，则x=2，y=1，从而n1=2,1,2．取平面BCʹBʹ的一个法向量为n2=0,1,0，所以cos n1,n2=n1⋅n212=19⋅1=1.由图可知，二面角M−BCʹ−Bʹ的平面角为锐角，故二面角M−BCʹ−Bʹ的大小为arccos13．（3）解法一：易知S△OBC=S△OAʹDʹ，且△OBC和△OAʹDʹ都在平面BCDʹAʹ内，点O到平面MAʹDʹ距离 =12，所以V M−OBC=V M−OAʹDʹ=V O−MAʹDʹ=1S△MAʹDʹ =1.解法二：易知S△OBC=1S四边形BCDʹAʹ=1×1×2=2,设平面OBC的一个法向量为n3=x1,y1,z1，BDʹ=−1,−1,1，BC=−1,0,0，则n3⋅BDʹ=0,n3⋅BC=0,即−x1−y1+z1=0,−x1=0.取z1=1，得y1=1，从而n3=0,1,1．点M到平面OBC的距离d=BM⋅n33=122=2,所以V M−OBC=13S△OBC⋅d=13×24×24=124.19. （1）（i）如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与−β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角−β的始边为OP1，终边交⊙O 于P4．则P11,0，P2cosα,sinα，P3cosα+β,sinα+β，P4cos−β,sin−β．由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得cosα+β−12+sin2α+β=cos−β−cosα2+sin−β−sinα2,展开并整理，得2−2cosα+β=2−2cosαcosβ−sinαsinβ,所以cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ.（ii）由（i）易得cos π2−α =sinα,sin π2−α =cosα.sinα+β=cos π2−α+β=cos π2−α +−β=cos π−α cos−β−sinπ−α sin−β=sinαcosβ+cosαsinβ.（2）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S=12bc sin A=12,AB⋅AC=bc cos A=3>0,所以A∈0,π2,cos A=3sin A,又sin2A+cos2A=1，所以sin A=1010,cos A=31010,由题意cos B=35，得sin B=45，所以cos A+B=cos A cos B−sin A sin B=1010,故cos C=cosπ−A+B=−cos A+B=−10 10.20. （1）设P x,y，则x22=2x−1 2 ,化简得x2−y2=1y≠0.（2）以线段MN为直径的圆经过点F．理由如下：①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k x−2k≠0,与双曲线x2−y23=1联立消去y，得3−k2x2+4k2x−4k2+3=0.由题意知3−k2≠0且Δ>0．设B x1,y1，C x2,y2，则x1+x2=4k2 2,x1x2=4k2+3 k2−3,所以y1y2=k2x1−2x2−2=k2x1x2−2x1+x2+4=k24k2+3k2−3−8k2k2−3+4=−9k2 2,因为x1,x2≠−1，所以直线AB的方程为y=y1x1+1x+1,因此M点的坐标为12,3y12x1+1．所以FM= −3,3y11,同理可得FN= −32,3y22x2+1.因此FM⋅FN= −32+9y1y212=94+−81k2k2−344k2+3k2−3+4k2k2−3+1=0.②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B2,3，C2,−3，AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为12,32，所以FM= −32,3 2,同理可得FN= −32,−32．因此FM⋅FN= −32+3× −3=0.综上，FM⋅FN=0，即FM⊥FN，故以线段MN为直径的圆经过点F．21. （1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2−a1+2=6,再令m=3，n=1，可得a5=2a3−a1+8=20.（2）当n∈N∗时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n−1=2a2n+1+8.于是a2n+1+1−a2n+1−1−a2n+1−a2n−1=8,即b n+1−b n=8.所以数列b n是公差为8的等差数列．（3）由（1）（2）解答可知b n是首项为b1=a3−a1=6，公差为8的等差数列，则b n=8n−2，即a2n+1−a2n−1=8n−2.另由已知（令m=1），可得a n=a2n−1+a12−n−12.那么a n+1−a n=a2n+1−a2n−12−2n+1=8n−22−2n+1=2n,于是c n=2nq n−1.当q=1时，S n=2+4+6+⋯+2n=n n+1；当q≠1时，S n=2⋅q0+4⋅q1+6⋅q2+⋯+2n⋅q n−1．两边同乘以q，可得qS n=2⋅q1+4⋅q2+6⋅q3+⋯+2n⋅q n.上述两式相减得1−q S n=21+q+q2+⋯+q n−1−2nq n=2⋅1−q n1−q−2nq n=2⋅1−n+1q n+nq n+1.所以S n=2⋅nq n+1−n+1q n+11−q2.综上所述S n=n n+1,q=1, 2⋅nq n+1−n+1q n+1,q≠1.22. （1）由题意得a x=y−1y+1>0 y=f x,故g x=log a x−1x+1,x∈−∞,−1∪1,+∞.由log atx2−17−x=log ax−1x+1,得t=x−127−x,x∈2,6,则tʹ=−3x2+18x−15=−3x−1x−5.列表如下：x22,555,66tʹ+0−t5↗极大值32↘25所以t最小值=5，t最大值=32，所以t的取值范围为5,32．（2）由题意得g k nk=2=ln1+ln2+ln3+⋯+lnn−1 =ln1×2×3×⋯×n−1=−lnn n+12.令u z=−ln z2−1−z2z=−2ln z+z−1zz>0,则uʹz=−2z+1+1z2=1−1z2≥0.所以u z在0,+∞上是增函数．又因为n n+12>1>0，所以u n n+12>u1=0,即ln 2−1−n n+122>0,即g k nk=2>22n n+1（3）设a=11+p，则p≥1,1<f1=1+a1−a=1+2p≤3.当n=1时，f1−1=2p≤2<4；当n≥2时，设k≥2，k∈N∗时，则f k=1+p k+1=1+2=1+2C k1p+C k2p2+⋯+C k k p k,所以1<f k≤1+2C k1+C k2=1+4k k+1=1+4k−4k+1.从而n −1< f k nk =2≤n −1+42−4n +1=n +1−4n +1<n +1. 所以n < f k nk =1<f 1 +n +1≤n +4.综上所述，总有 f k n k =1−n <4．。

2010四川高考理科数学

2010年四川省高考数学（文史类）试题第Ⅰ卷本试卷共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、设集合{}3,5,6,8A =,集合{}4,5,7,8B =,则AB 等于（）（A ）{}3,4,5,6,7,8 (B) {}3,6 (C) {}4,7 （D ）{}5,8 2、函数2log y x =的图象大致是（）（A ） (B) (C) (D) 3、抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（）（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 84、一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人。

为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）（A ）12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,65、函数2()1f x x mx =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是（）（A ）2m =- （B ） 2m = （C ）1m =- （D ）1m =6、设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =+=-,则AM =( )(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 7、将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是（）（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-8、某工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品。

甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版)答案与解析

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2]D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】常规题型；计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】计算题；应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】偶函数；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A． B．C．2 D．﹣2【考点】半角的三角函数；弦切互化．【专题】计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C． D．5πa2【考点】球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型．【专题】计算题．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】简单空间图形的三视图．【专题】阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+...+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+ (2)+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【考点】用向量证明垂直；直线与平面所成的角．【专题】计算题；作图题；证明题；转化思想．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【考点】简单随机抽样；独立性检验．【专题】计算题．【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【点评】本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角．【专题】证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象；其他不等式的解法．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或x≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

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