高斯投影原理doc资料
第3(4)讲 高斯克吕格投影
二、几种投影方式圆锥投影 圆柱投影 方位投影 高斯克吕格投影 通用横轴墨卡托投影高斯克吕格投影高斯投影概念 高斯投影原理 高斯投影的变形分析 投影带的划分 高斯平面直角坐标系 通用横轴墨卡托投影高斯投影的基本概念高斯投影是等角横切椭圆柱投影。
高斯投影是一种等角投影。
它是由德国数学家高斯 (Gauss，1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格 (Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕 格投影”，简称“高斯投影”。
返回高斯投影的原理高斯投影采用分带投影。
将椭球面按一定经 差分带，分别进行投影。
N 中 央 子 午 线 高斯投影平面中 央 子 午 线c赤道赤道S高斯投影的基本条件：（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影； （2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴； （3）中央子午线投影后长度 不变。
高斯投影坐标正算公式根据三个条件，推导出投影的平面直角坐标表达如下自赤道量起的到所求点的子午线弧长x=X +N N sin B cos B ⋅ l ′′2 + sin B cos 3 B (5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) 2 ρ ′′2 24 ρ ′′4所求点的大地经度与该点所在带 的中央子午线的大地经度之差N sin B cos 5 B (61 − 58t 2 + t 4 )l ′′6 + 720 ρ ′′6N N y= cos B ⋅ l ′′ + cos 3 B (1 − t 2 + η 2 ) l ′′3 ρ ′′ 6 ρ ′′3 N cos 5 B (5 − 18t 2 + t 4 + 14η 2 − 58η 2 t 2 ) l ′′5 + ′′5 120 ρt = tan B,η = e′ cos B2 2 2高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面 是椭球面，已知的是平面坐标 (x, y)，要求的是大地坐 标 (B，L)，相应地有如下投影方程：B = ϕ 1( x, y )⎫ ⎬ l = ϕ 2 (x, y) ⎭同正算一样，对投影函数提出三个条件。
高斯投影原理
高斯投影原理高斯投影原理是地图投影中常用的一种方法，它是由德国数学家高斯在19世纪提出的。
高斯投影原理的基本思想是将地球表面上的经纬度坐标系投影到一个平面上，以便于制作地图和进行测量。
在实际应用中，高斯投影原理被广泛用于各种地图的制作和测量工作中。
高斯投影原理的核心是将地球表面上的三维坐标投影到一个二维平面上。
这种投影会引入一定的形变，但是可以通过适当的数学变换来减小形变的影响。
高斯投影原理的优势在于可以将地球表面上的曲线投影成直线或者近似直线，这样就方便了地图的制作和使用。
在高斯投影原理中，地球被看作是一个椭球体，而投影面通常是一个圆柱面或者圆锥面。
根据投影面的不同，高斯投影可以分为圆柱高斯投影和圆锥高斯投影两种。
在实际应用中，圆柱高斯投影常用于大范围的地图制作，而圆锥高斯投影常用于局部地图的制作。
高斯投影原理的具体数学表达可以通过一系列的数学公式来描述。
这些公式涉及到大量的数学知识，包括球面三角学、微积分、线性代数等。
通过这些数学公式，可以将地球表面上的经纬度坐标转换为平面坐标，或者将平面坐标转换为经纬度坐标。
在实际应用中，高斯投影原理需要考虑到地图的精度和形变的影响。
由于地球是一个椭球体，而不是一个完美的球体，因此在进行投影时需要考虑到椭球体的形状参数。
此外，由于地图投影会引入形变，因此需要通过一些数学手段来补偿这种形变，以保证地图的精度。
总的来说，高斯投影原理是地图投影中非常重要的一种方法。
它通过将地球表面上的经纬度坐标投影到一个平面上，方便了地图的制作和使用。
在实际应用中，需要考虑到地球的形状参数和形变的影响，以保证地图的精度。
通过高斯投影原理，我们可以更好地理解地图的制作和使用，为地理信息系统的发展提供了重要的理论基础。
高斯投影
高斯-克吕格投影（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes K ruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。
三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。
高斯投影正反算原理
高斯投影正反算原理高斯投影是一种常用于地图制图的投影方式，也被广泛应用于其他领域的空间数据处理。
高斯投影正反算是对于已知的地球坐标系上的位置（经纬度），通过计算得到该点的平面坐标（东、北坐标），或者对于已知的平面坐标（东、北坐标），通过计算得到该点的地球坐标系上的位置（经纬度）的过程。
本文将详细介绍高斯投影正反算的原理。
一、高斯投影简介高斯投影是一种圆锥投影，其投影面在地球表面的某个经线上，也就是说，投影面是以该经线为轴的圆锥面。
经过对圆锥体的调整后，使其切于地球椭球面，在该经线上进行投影，同时保持沿该经线方向的比例尺一致，从而达到地图上各点在包括该经线的垂直面上映射的目的。
这种投影方式在某一特定区域内得到高精度的结果，因此广泛应用于地图制图。
二、高斯投影数学模型对于高斯投影正反算，需要先建立高斯投影坐标系与地球坐标系的转换模型。
1.高斯投影坐标系的建立高斯投影坐标系的建立需要确定圆锥面的基本参数，首先需要确定其所处的中央子午线，再确定该子午线上的经度为零点，并利用该经线上某一点的经度和该点的高度来确定该点所在的圆锥体。
圆锥体的底面包括所有与地球椭球面相切的圆面，通过对这些圆面进行调整，使得圆锥体转动后能够在中央子午线上进行投影。
在此基础上，可建立高斯投影坐标系，其中投影面为圆锥面，且中央子午线与投影面的交点称为该投影坐标系的中心，投影面的上端点和下端点分别对应正北方向和正南方向。
2.地球坐标系的建立地球坐标系是以地球椭球体为基础建立的，其坐标系原点确定为地球椭球体上的一个特定点。
在已知该点经纬度和高度的前提下，可确定以该点为中心的地球椭球体，并可根据它与地球坐标系之间的转换关系得到平面坐标系。
3.高斯投影坐标系与地球坐标系之间的转换关系由于高斯投影坐标系与地球坐标系存在不同的坐标体系和基准面，因此需要通过数学关系式来建立它们之间的转换关系。
（1）高斯投影坐标系转地球坐标系：已知高斯投影坐标系中任意一点的东北坐标（N，E），以及所属的中央子午线经度λ0、椭球参数a和e，则可通过以下公式求出该点的地球坐标系经纬度（φ，λ）和高度H：A0为以地球椭球体中心为原点，高斯投影坐标系中心投影坐标为（0，0）的点到椭球面的距离。
高斯投影介绍
高斯投影的公式它是一种横轴等角切圆柱投影。
它把地球视为球体,假想一个平面卷成一个横圆柱面并把它套在球体外面,使横轴圆柱的轴心通过球的中心,球面上一根子午线与横轴圆柱面相切。
这样,该子午线在圆柱面上的投影为一直线,赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。
将横圆柱面展开成平面,由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。
为减少投影变形,高斯-克吕格投影分为3o带和6o带投影。
高斯－克吕格投影是设想用一个椭圆柱横套在地球椭球的外面,并与设定的中央经线相切。
高斯－克吕格投影分带规定:该投影是国家基本比例尺地形图的数学基础,为控制变形,采用分带投影的方法,在比例尺1:2.5万-1:50万图上采用6°分带,对比例尺为1:1万及大于1:1万的图采用3°分带。
6°分带法从格林威治零度经线起,每6°分为一个投影带,全球共分为60个投影带,东半球从东经0°-6°为第一带,中央经线为3°,依此类推,投影带号为1-30。
其投影代号n和中央经线经度L0的计算公式为:L0=(6n-3)°;西半球投影带从180°回算到0°,编号为31-60,投影代号n和中央经线经度L0的计算公式为L0=360-(6n-3)°。
3°分带法从东经1°30′起,每3°为一带,将全球划分为120个投影带,东经1°30′-4°30′,...178°30′-西经178°30′,...1°30′-东经1°30′。
东半球有60个投影带,编号1-60,各带中央经线计算公式:L0=3°n ,中央经线为3°、6°...180°。
西半球有60个投影带,编号1-60,各带中央经线计算公式:L0=360°-3°n ,中央经线为西经177°、...3°、0°。
第八章 椭球面元素归算至投影面——高斯投影
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
上式转换精度至0.01“
32
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。 ②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经 线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y 值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。 ③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是 凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反， 这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线 和纬线的投影是互相垂直的。 ④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
若已知某点的经度为L，则该点所在3º
带的带号按下式计算：
n L 3
入）
（四舍五
20
高斯平面直角坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影 y轴 — 赤道的投影 原点O — 两轴的交点
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
赤道
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
中央子午线
21
由于我国的位于 北半球，东西横跨12 个6º带，各带又独自 构成直角坐标系。
2
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件； 3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
高斯投影
高斯-克吕格投影高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱投影，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推倒出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。
该投影以中央经线和赤道投影后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。
所以，高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS坐标系的Y和X。
为了控制变形，本投影采用分带的办法。
我国1:2.5-1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个投影带，全球共分为60个投影带。
东半球的30个投影带的中央经线用L0=6n-3 计算（n为投影带带号），从0到180度，其编号为1-30。
西半球也有30个投影带，从-180度回到0度，其编号为31-60，各带的中央经线用L0=6(n-30)-3-180计算。
该投影带将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。
一般从南纬度80到北纬度84度的范围内使用该投影。
3度分带法从东经1度30分算起，每3度为一带。
这样分带的方法在于使6度带的中央经线均为3度带的中央经线。
但是，在标准比例尺图幅编号中，带号是从西经-180度算起，每6度为1带，自西向东1-60。
这样，我们国家的高斯带号在标准图幅编号中，要加30，如20带，表示为J50等。
6度分带投影区的代号与其所对应的经度范围如6度分带图表所示。
由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，使用时只需变一个带号即可。
因此，计算一个带的坐标值，制成一个表，就可以供查取各投影带的坐标时使用，称为高斯坐标表，表中的值成为通用坐标值。
在高斯坐标系中，为了避免横坐标Y有负值，将其起算原点向西移动500公里，即对横坐标Y值按代数法加上500000米。
《高斯投影教材》课件
应用
常用于航海图、航空图等 需要精确方向信息的地图 。
等距投影
定义
等距投影是一种保持距离不变的 投影方法，即投影前后对应的距
离相等。
特点
等距投影的特点是形状和距离都与 实地一致，但方向和面积会有所变 形。
应用
常用于制作人口分布图、经济指标 地图等需要展示数量信息的地图。
等面积投影
定义
等面积投影是一种保持面 积不变的投影方法，即投 影前后对应的面积相等。
离中央经线越远，变形越大
在其他经线上，高斯投影会产生长度、角度和形状的变形，且离中 央经线越远，变形越大。
高斯投影的应用场景
地图制作
地球科学
高斯投影广泛应用于地图制作，特别 是地形图、交通图等需要保持面积不 变的地图。
地球科学家使用高斯投影来研究地球 表面的地理特征和现象。
地理信息系统（GIS）
GIS中需要将地理坐标转换为平面坐 标，高斯投影是一种常用的转换方法 。
感谢您的观看
THANKS
实时动态数据处理
高斯投影需要处理大量的动态数据，如何快速、准确地处理这些数据是未来的一个挑战 。
投影算法优化与改进
投影算法的稳定性
为了提高地图的精度和稳定性，需要不断优化高斯投影算法，减少误差。
投影算法的可扩展性
随着地图数据量的增长，需要保证算法的可扩展性，以适应大规模数据处理的需求。
跨学科领域的应用拓展
高斯投影以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，他 在19世纪初提出了这种投影方法。
高斯投影的特点
等面积投影
高斯投影保持了地球表面椭球面上各点的面积不变，因此在投影 后的地图上，各区域的面积与实际面积保持一致。
中央经线无变形
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高斯投影是一种等角投影。它是由德国数 学家高斯(Gauss，1777~1855)提出，后经德 国大地测量学家克吕格(Kruger，1857～1923) 加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投 影”，简称“高斯投影”。在有些资料中也 称横轴墨卡托(Transverse Mercator, TM) 投影
子午线的投影均为凹向中
央子午线的曲线，并以中 赤道 O
y
央子午线为对称轴。投影 子午线
后有长度变形。 ③ 赤道线投影后为直线，
但有长度变形。
中央子午线
④ 除赤道外的其余纬线，
投影后为凸向赤道的曲线，
x
并以赤道为对称轴。
⑤ 经线与纬线投影后仍然 平行圈
保持正交。
⑥ 所有长度变形的线段， 赤道 O
y
其长度变形比均大于l。 子午线
一定经差分带，分别进行投影。
N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
高斯投影平面
中
央
子
午
赤道
线
高斯投影必须满足：
1．高斯投影为正形投影， 即等角投影；
2．中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；
3．中央子午线投影后长度 不变。
4)、高斯投影的特性
① 中央子午线投影后为直
线，且长度不变。
x
② 除中央子午线外，其余 平行圈
例：20带中央子午线的经度为 L。＝6º× 20－3º＝117 º
按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3ºn （n为3º带的带号）
例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º× 120＝360 º
若已知某点的经度为L，则该点的6º 带的带号N由下式计算：
N＝ L （取整）+1
6
若已知某点的经度为L，则该点所在 3º带的带号按下式计算：
n＝ L （四舍五入） 3
6)、高斯平面直角坐标系
坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影
y轴 — 赤道的投影
赤道
原点O — 两轴的交点
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
中央子午线
由于我国的位于 北半球，东西横跨12 个6º带，各带又独自 构成直角坐标系。
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？ （L。=6º×19-3º=111˚） （3）该点在中央子午线的哪一侧？
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
由高斯-克吕格投影的直角坐标基本公式(3—2)
建立平面直角坐标(x,y)与地理坐标(λ,φ)之间的函数关系：
高斯平面直角坐标系数学上的笛卡尔平面直角坐标 系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
Ⅳ x α Ⅰp
⑦ 离中央子午线愈远，长
度变形愈大。
中央子午线
整个投影变形最大的部位在赤道和投影最外一条经线的交点上(纬 度为0°经差为±3°时，长度变形为1.38‰ ，面积变形为
5)、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º进行投影分带。 6º带自首子午线开始，按6º的经差自西 向东分成60个带。 3º带自1.5 º开始，按3º的经差自西向东分 成120个带。
p1
xp 1xp 1 ,xp2xp2
o
y
y y p1 =500000+ p1
=+（带号）636780.360m
y y p2 = 500000+ p 2
=+（带号）227559.720m
500km
例：
有一国家控制点的坐标:
x=3102467.280m ,y=19367622.380m，
（1）该点位于6˚ 带的第几带？
2)、测量对地图投影的要求：
①测量中大量的角度观测元素，在投影前后 保持不变，这样免除了大量投影计算工作； ②保证在有限范围内使得地图上图形同椭球 上原形保持相似，给识图用图带来很大方便。 ③投影能方便的按分带进行，并能用简单的、 统一的计算公式把各带连成整体。
3)、高斯投影的原理
高斯投影采用分带投影。将椭球面按 高斯投影平面
故：X值均为正， 而Y值则有正有负。
赤道
世界地图
xp2 2x3p2 28.21338m 6208.1386m 0 x yp2 （yp带 2 2号 2277） 245.7.245280m 9m 00
国家统一坐标：
p2
xp1xp1 3300228.865.6555m 50m 0 yp1yp1 (带 13号 )6673.386607.m 03860m 0
D
o
y
Ⅲ
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y
x=Dcosα
y=Dsinα
Ⅱ
o
Ⅲ
p
DⅠ
α
x
Ⅳ
笛卡尔坐标系
高斯投影带划分
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中工程可采用1.5 º带 或任意带。
按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6ºN－3º （N为6º带的带号）