高斯投影及换带计算
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高斯投影的邻带坐标换算
LL0 l
高斯坐标正算实用步骤
1、根据经纬度计算中央子午经度和带号及经度差
（点到中央子午线的距离）
6带： n6
int
L 6
1
3带： n3
int
L 3
0.5
6带中央子午L0线 6n： 63
3带中央子午L0线 3n： 3
经度差（到中的 央距 子离 l午 ） L线 L0
120 5
5、对y的值进行加工 正算公式计算出的自然值＋500公里，前面冠以带号
例一 已知某测区四个点平面坐标
A
4074700.925
B
4078073.834
C
4075083.899
D
4069122.263
20763357.427 20236570.978 20690755.754 20277596.488
X 1. 0 1 B o 1 0 1 . 5 6 5 1 s 2 B 2 i 0 1 3 . 8 n 8 s 3 6 3 4 B 3 i 0 . 8 0 n 3 s 6 B 2
3、计算正算公式中的各符号的值
ttanB 2 e'2co2sB
W 1e2si2nB
N a W
Nc V
重复迭代直至 Bif1Bif 为止
3、计算反算公式中的各符号的值
tf tanBf
2 f
e'2co2sBf
Wf 1e2si2nBf
Mf
a(1 e2 Wf3
)
Nf
a Wf
4、代入反算公式计算经度差、纬度
1
l Nf coBsf
1 y6N3coBsf
12t2f 2f
高斯坐标正算实用步骤
1、根据经纬度计算中央子午经度和带号及经度差
（点到中央子午线的距离）
6带： n6
int
L 6
1
3带： n3
int
L 3
0.5
6带中央子午L0线 6n： 63
3带中央子午L0线 3n： 3
经度差（到中的 央距 子离 l午 ） L线 L0
120 5
5、对y的值进行加工 正算公式计算出的自然值＋500公里，前面冠以带号
例一 已知某测区四个点平面坐标
A
4074700.925
B
4078073.834
C
4075083.899
D
4069122.263
20763357.427 20236570.978 20690755.754 20277596.488
X 1. 0 1 B o 1 0 1 . 5 6 5 1 s 2 B 2 i 0 1 3 . 8 n 8 s 3 6 3 4 B 3 i 0 . 8 0 n 3 s 6 B 2
3、计算正算公式中的各符号的值
ttanB 2 e'2co2sB
W 1e2si2nB
N a W
Nc V
重复迭代直至 Bif1Bif 为止
3、计算反算公式中的各符号的值
tf tanBf
2 f
e'2co2sBf
Wf 1e2si2nBf
Mf
a(1 e2 Wf3
)
Nf
a Wf
4、代入反算公式计算经度差、纬度
1
l Nf coBsf
1 y6N3coBsf
12t2f 2f
高斯投影换带计算分解
虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计算 的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标 x2 , y2 。
➢ 根据 x1, y1 ,利用高斯反算公计算换算 (B, L) ，得到
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式 正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:
平面坐标
大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换 算，且适用于任意带之间的坐标换算。
1） 3°带与6°带的中央子午 线重合
如图所示， 3°第41带与6° 带的第21带的中央子午线重 合，中央子午线经度均为 123°。既然中央子午线一致， 坐标系统也就一致。所以， 图中P1点在6°带第21带的坐 标，也就是该点在3°带第41 的坐标。在这种情况下， 6° 带与3°带不存在坐标换带的 计算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标 x2 , y2 。
➢ 根据 x1, y1 ,利用高斯反算公计算换算 (B, L) ，得到
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式 正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:
平面坐标
大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换 算，且适用于任意带之间的坐标换算。
1） 3°带与6°带的中央子午 线重合
如图所示， 3°第41带与6° 带的第21带的中央子午线重 合，中央子午线经度均为 123°。既然中央子午线一致， 坐标系统也就一致。所以， 图中P1点在6°带第21带的坐 标，也就是该点在3°带第41 的坐标。在这种情况下， 6° 带与3°带不存在坐标换带的 计算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
6高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
二、正形投影特性 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
三、正形投影的一般条件 正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
y/（km）
10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
二、正形投影特性 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
三、正形投影的一般条件 正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
y/（km）
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长度变形m-1
1/810000
1/202000
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1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
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第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
高斯投影坐标计算
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
式中m0 , m1 , 是待定系数，它们都是纬度B的函数
2) 由第三个条件即正形投影条件可知
y x x y 和 l q l q
分别对l 和q求偏导数并代入上式得
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y) 函数式：
l 2 ( x, y)
同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x (2) x (3) 正形投影条件。
1) 由第一个条件（x 坐标轴投影成中央子午线，是投 影的对称轴）可知
Bf为x值对应的底点纬度， tf ηf Mf Nf 均为底点纬度 的函数。
当l＜3.5°时，
上式换算精度达0.0001″
高斯投影反算公式的几何解释
B B f ( n2 y 2 n4 y 4 = Bf高斯投影坐标正算的数值公式 将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正算公式。 高斯投影正算公式:
B 2 2 2 x 6367452 .1328 (a0 (0.5 (a4 a6l )l )l N ) cos B sin B y (1 (a3 a5l 2 )l 2 )lN cos B
实用公式的系数
N 6399596 .652 [21565 .045 (108.996 0.603cos2 B) cos2 B] cos2 B 2 2 2 a 32144 . 5189 [ 135 . 3646 ( 0 . 7034 0 . 0041 cos B ) cos B ] cos B 0 cos2 B) cos2 B 0.04167 a4 (0.25 0.00253 2 2 a ( 0 . 167 cos B 0 . 083 ) cos B 6 0.001123 cos2 B) cos2 B 0.1666667 a3 (0.3333333 a 0.00878 (0.1702 0.20382cos2 B) cos2 B 5
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
10
6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
测绘学院《大地测量学基础》课件
8
• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
测绘学院《大地测量学基础》课件
4
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
（1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？
（L。=6º×19-3º=111˚）
（3）该点在中央子午线的哪一侧？
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
24
高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
测绘学院《大地测量学基础》课件
Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y3
6N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
测绘学院《大地测量学基础》课件
30
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。
高斯投影坐标计算
高斯投影坐标计算
本节要点提要
1、高斯投影坐标正算公式 2、高斯投影坐标反算公式 3、高斯投影坐标正算的数值公式 4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影
a=b
• 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 切投影
a=1 or b=1
圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 割投影
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
d m d m d m 1 1 0 1 m m m = 2 1 2 3 d q 2 d q 3 d q
m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
Байду номын сангаас
a· b=1
平面投影 斜轴投影
• 按投影的中心轴线: • 按椭球面与投影面的切割情况分:
高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变； 其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长 度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其 它纬线呈凸向赤道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线 与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投 影。
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影 坐标正算公式精度为0.001m
本节要点提要
1、高斯投影坐标正算公式 2、高斯投影坐标反算公式 3、高斯投影坐标正算的数值公式 4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影
a=b
• 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 切投影
a=1 or b=1
圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 割投影
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
d m d m d m 1 1 0 1 m m m = 2 1 2 3 d q 2 d q 3 d q
m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
Байду номын сангаас
a· b=1
平面投影 斜轴投影
• 按投影的中心轴线: • 按椭球面与投影面的切割情况分:
高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变； 其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长 度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其 它纬线呈凸向赤道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线 与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投 影。
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影 坐标正算公式精度为0.001m
高斯克里格换带计算中国
高斯克里格换带计算中国高斯克里格换带计算是地理信息系统（GIS）中常用的一种坐标转换方法，它在中国的应用也非常广泛。
本文将从介绍高斯克里格换带的原理开始，然后探讨其在中国的具体应用。
高斯克里格换带是一种将地理坐标（经纬度）转换为平面坐标（东北坐标）的方法。
它基于大地测量的理论和数学模型，通过将地球表面划分为一系列的高斯投影带，然后在每个投影带内使用克里格插值方法进行坐标转换。
这种方法的优点在于能够实现较高的转换精度，并且适用于各种地理区域。
在中国，高斯克里格换带被广泛应用于测绘、地理信息系统、地质勘探等领域。
中国的地理区域广阔，地形复杂多样，因此需要一种能够适应不同地理环境的坐标转换方法。
高斯克里格换带正好满足了这个需求。
中国的高斯克里格换带采用的是克里格插值方法，该方法是一种基于统计学原理的插值方法，用于根据已知点的属性值推算未知点的属性值。
在高斯克里格换带中，我们可以将中国的地理区域划分为一系列的高斯投影带，在每个投影带内使用克里格插值方法进行坐标转换。
高斯克里格换带的计算需要使用一些数学模型和算法。
其中，高斯投影带的划分需要根据中国的地理范围和投影方式进行确定。
在每个投影带内，需要计算的参数包括中央经线、投影原点、投影坐标系的参数等。
这些参数的计算可以通过一些专业的地理信息系统软件来实现。
在实际应用中，高斯克里格换带可以用于将经纬度坐标转换为东北坐标。
这对于地理信息系统的数据叠加、空间分析等操作非常重要。
例如，在城市规划中，我们可以通过高斯克里格换带将不同地理数据（如地形地貌、道路网络、建筑物分布等）转换为统一的坐标系统，以便进行综合分析和决策。
高斯克里格换带还可以用于地质勘探中的数据处理。
地质勘探需要对地质信息进行精确的定位和分析，而高斯克里格换带可以提供准确的坐标转换，使得地质勘探工作更加高效和精确。
高斯克里格换带是一种在中国广泛应用的坐标转换方法，它通过将地理坐标转换为平面坐标，为地理信息系统、地质勘探等领域的数据处理和分析提供了基础支持。
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高斯投影及换带计算
一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐标正反算及换带计算）
二、把椭球面元素归算到高斯投影面 （方向改化，距离改化）
三、各种投影方法概述
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测绘学院《大地测量学基础》课件
11
本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上 直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地 坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向 平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和 方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相 邻带的坐标坐标换算。
66
2）按投影面的形状分类
• （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
• （2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱 面展为平面而成。
• （3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥 面展为平面而成。
测绘学院《大地测量学基础》课件 语言优教资源PPT
12 12
1).高斯投影的原理:
高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差
分带，分别进行投影。
高斯投影平面
N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
测绘学院《大地测量学基础》课件 语言优教资源PPT
13 13
2)、高斯投影必须满足：
（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影；
长度变形比均大于l。
（7）离中央子午线愈远，长度 中央子午线
变形愈大。
测绘学院《大地测量学基础》课件 语言优教资源PPT
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
测绘学院《大地测量学基础》课件 语言优教资源PPT
33
6.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
测绘学院《大地测量学基础》课件 语言优教资源PPT
99
4、常用的几种地图投影
从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用 的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最 常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国 成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克 拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我 国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变 形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。
测绘学院《大地测量学基础》课件 语言优教资源PPT
22
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
—高斯投影的正算与反算 4．椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算； 5．高斯投影的邻带换算； 6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
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长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
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• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
m AB EA
AB
EA
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55
2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
（1）等角投影
•
又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应
两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比
都相等，但在不同地点长度比是不同的。
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11 11
2、高斯投影的基本概念
• 高斯投影是等角横切椭圆柱投影。 • 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，
1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger， 1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投影”， 简称“高斯投影”。
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10 10
6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
午线为对称轴。投影后有长
度变形。 （3） 赤道线Biblioteka 影后为直线，但有长度变形。
中央子午线
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15 15
x
（4） 除赤道外的其余纬线，投
影后为凸向赤道的曲线，并以赤 平行圈 道为对称轴。
（5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。
赤道
O
y
（6） 所有长度变形的线段，其 子午线
• （2）等积投影
•
在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形
等于零。
• （3）等距投影
•
定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方
向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方
向上没有长度变形。
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（2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；
（3）中央子午线投影后长度 不变。
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14 14
3)、高斯投影的特点:
x
（1）中央子午线投影后为直
线，且长度不变。
平行圈
（2） 除中央子午线外，其余
子午线的投影均为凹向中央
赤道
O
y
子午线的曲线，并以中央子 子午线
一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐标正反算及换带计算）
二、把椭球面元素归算到高斯投影面 （方向改化，距离改化）
三、各种投影方法概述
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本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上 直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地 坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向 平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和 方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相 邻带的坐标坐标换算。
66
2）按投影面的形状分类
• （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
• （2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱 面展为平面而成。
• （3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥 面展为平面而成。
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12 12
1).高斯投影的原理:
高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差
分带，分别进行投影。
高斯投影平面
N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
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13 13
2)、高斯投影必须满足：
（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影；
长度变形比均大于l。
（7）离中央子午线愈远，长度 中央子午线
变形愈大。
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概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
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6.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
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4、常用的几种地图投影
从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用 的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最 常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国 成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克 拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我 国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变 形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。
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22
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
—高斯投影的正算与反算 4．椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算； 5．高斯投影的邻带换算； 6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
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长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
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• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
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AB
EA
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2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
（1）等角投影
•
又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应
两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比
都相等，但在不同地点长度比是不同的。
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2、高斯投影的基本概念
• 高斯投影是等角横切椭圆柱投影。 • 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，
1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger， 1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投影”， 简称“高斯投影”。
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6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
午线为对称轴。投影后有长
度变形。 （3） 赤道线Biblioteka 影后为直线，但有长度变形。
中央子午线
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x
（4） 除赤道外的其余纬线，投
影后为凸向赤道的曲线，并以赤 平行圈 道为对称轴。
（5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。
赤道
O
y
（6） 所有长度变形的线段，其 子午线
• （2）等积投影
•
在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形
等于零。
• （3）等距投影
•
定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方
向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方
向上没有长度变形。
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（2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；
（3）中央子午线投影后长度 不变。
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3)、高斯投影的特点:
x
（1）中央子午线投影后为直
线，且长度不变。
平行圈
（2） 除中央子午线外，其余
子午线的投影均为凹向中央
赤道
O
y
子午线的曲线，并以中央子 子午线