高斯投影及换带计算讲解共50页
大地测量学第六章高斯投影及其计算
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
chap6高斯投影及其计算课件
§6.2.3 高斯投影的分带 应用大地测量学 为限制长
应用大地测量学
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-33°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：Ln=3n6°带与3°带带号之间的关系为:n=2N-1
国家统一坐标的表示方法：X坐标为正，Y坐标加500km后前面冠以带号。如在39带中Y坐标自然值分别为12345.678和-12345.678m，国家统一坐标分别为39512345.678和39487654.322m。但在坐标计算中应去掉带号，减去500km，恢复坐标自然值。
§6.1.1 地图投影及其变形§6.1.2 正形投影特性§6.1.3 正形投影的一般条件§6.1.4 正形投影的一般公式
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学§6.1.1 地图投影及其变形§6.1 地图
§6.1.1 地图投影及其变形
应用大地测量学
（一）几何投影及其变形 几何投影——又叫透视投影，有中心投影、平行投影等。特点：有几何意义，有投影函数。 数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐标（B、L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。无几何意义，是一种数学变换。 x=F1（B、L） y=F2（B、L） （6-1） 上式表示椭球面上一点与投影面上对应点之间坐标的解析关系，称为坐标投影公式，函数F1、F2称为投影函数。 给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形§6.2.3 高斯投影的分带§6.2.4 高斯投影的计算内容
§6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学§6.2.1 高斯投影的基本概念§6.2 高
§6.2.3 高斯投影的分带
高斯投影换带计算分解
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标 x2 , y2 。
➢ 根据 x1, y1 ,利用高斯反算公计算换算 (B, L) ，得到
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式 正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:
平面坐标
大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换 算，且适用于任意带之间的坐标换算。
1） 3°带与6°带的中央子午 线重合
如图所示， 3°第41带与6° 带的第21带的中央子午线重 合，中央子午线经度均为 123°。既然中央子午线一致， 坐标系统也就一致。所以， 图中P1点在6°带第21带的坐 标，也就是该点在3°带第41 的坐标。在这种情况下， 6° 带与3°带不存在坐标换带的 计算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
高斯投影及其计算
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
三、正形投影的一般条件
正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程： 正形投影必要和充分的条件是满足柯西 黎曼方程： 黎曼方程
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
三、正形投影的一般条件
其推证步骤为： 其推证步骤为： 1、从长度比表达式出发 系式； 系式； 求出m ，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关
200 1/2000
250 1/1300
300 1/900
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
三、高斯投影的分带
为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
L0 3° 9° 75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
二、高斯投影的长度比和长度变形
用大地坐标表示的高斯投影长度比m 1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中： 式中： 用平面坐标表示的高斯投影长度比m 2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
y2 y4 m = 1+ + 2 R 2 24 R 4
式中y为投影点的横坐标， 为该点处椭球平均曲率半径。 式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、 高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离 改正计算，统称为高斯投影计算。 改正计算，统称为高斯投影计算。
应用大地测量学第六章-高斯投影及其计算
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78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138° 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
2 3
应用大地测量学
§6.2.3 高斯投影的分带
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-3 3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：Ln=3n
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投 影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角， 在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
§6.2.4 高斯投影的计算内容
第二种方法的具体推算内容如下:
应用大地测量学
1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1）——高 斯投影坐标计算。 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12； T12=A12-γ+δ12 式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12： D12=S12+△S 式中△S为距离改正。 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离 改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计 算，推求各控制点的平面直角坐标。
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y）
高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
y2 y4 m 1 2 2R 24R 4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
工程测量中高斯-克吕格投影换带计算的应用
工程测量中高斯-克吕格投影换带计算的应用在测量工程中，有些测区刚好处于投影带边缘，甚至有些工程横跨两个或两个以上投影带，如交通、水利、电力等较长的线路，为了坐标统一的需要，可以进行坐标换带，将相邻带的坐标换成同一系统的数据。
坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种，间接换带计算法就是根据第一带的平面坐标某1,y1和中央子午线的经度L1，按高斯-克吕格投影坐标反算公式求得大地坐标B、L，然后根据B,L和第二带的中央子午线经度L2，按高斯-克吕格投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标某2、y2。
由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。
这种方法理论上严密，精度高，而且通用性强，虽然计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，已成为坐标换带中最根本的方法。
2、换带计算公式用a表示椭球长半轴，b表示椭球短半轴，f=为扁率，e=为第一偏心率，eˊ=为第二偏心率，N=为卯酉圈曲率半径，R=为子午圈曲率半径，B表示经度，L表示纬度。
2.1高斯-克吕格投影反算公式：B=Bf-[-(5+3Tf+Cf-9TfCf)+(61+90Tf+45Tf2)]L=L0+[D-(1+2Tf+Cf)+(5+28Tf+6Cf+8TfCf+24Tf2)]式中：Nf==,Rf=Bf=+(-)in2+(-)in4+in6,e1==,Tf=tg2Bf,Cf=eˊ2co2Bf,D=2.2高斯-克吕格投影正算公式：某N=k0{M+NtgB[+(5-T+9C+4C2)]+(61-58T+T2+270C-330TC)YE=FE+k0N[A+(1-T+C)+(5-18T+T2+14C-58TC)]式中：k0=1,T=tg2B,C=eˊ2co2B,A=(L-L0)coB,N==M=a[(1---)B-(--)in2B+(-)in4B-in6B东西偏移量FE=500000米+带号某10000003.1进行换带计算的步骤分析通常建立独立坐标系的方法是以一个国家控制点和方位角作为起算数据，观测边投影到平均高程面。
高斯投影及计算
上式的计算精度为0.1″。
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 三、距离改正计算
• 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投 影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
高斯投影坐标计算
大地经度L是从起始子午面开始起算的
起始子午线作为投影的中央子午线 高斯投影各投影带以L0为中央子午线
L L0 ρ
l
x=F1（B , l） y=F2（B , l）
高斯投影坐标计算
一、由（B，L）计算（x，y） －－正算
高斯投影坐标计算
• • • • 一、由（B，L）计算（x，y）－－正算 推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式 x+iy=f（q+il） 以及高斯投影的条件推导正算公式，可以 将一般公式在q处展为il 的台劳级数。
12、13为大地线
高斯投影计算内容
• 高斯投影为等角投影，所以椭球面上大地 线之间的夹角与高斯平面上投影曲线之间 的夹角相等。但是，各大地线的长度与投 影平面上的投影曲线长度并不相等，因为 投影存在长度变形。 • 为了在平面进行三角网的平差和计算，必 须把椭球面上以大地线构成的三角网，换 算成高斯投影平面上以直线边构成的三角 网。
24 R
上式即为大地线长度S归算到高斯平面上直线距离D的计算公式，对于 4 一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 项， ym 2 y 项。 对于三四等边长的归算又可再略去
• 一、平面子午线收敛角的计算 • 2、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角γ
高斯投影及分带介绍
高斯投影及分带介绍2011年09月29日星期四 10:17高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2 (60)带。