高斯投影换带计算
高斯投影及换带计算
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
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长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
y N cos B l N cos3 B(1 t 2 2 )l3
6 3
N
120 5
cos5
B(5
18t 2
t4
14 2
58 2t 2 )l5
t tan B,2 e2 cos2 B
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29 29
2、高斯投影坐标反算公式：x,y B,l
满足以下三个条件： ①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； ② x坐标轴投影后长度不变； ③投影具有正形性质，即正形投影条件。
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[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
—高斯投影的正算与反算 4．椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算； 5．高斯投影的邻带换算； 6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
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6.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
高斯投影换带计算分解
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标 x2 , y2 。
➢ 根据 x1, y1 ,利用高斯反算公计算换算 (B, L) ，得到
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式 正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:
平面坐标
大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换 算，且适用于任意带之间的坐标换算。
1） 3°带与6°带的中央子午 线重合
如图所示， 3°第41带与6° 带的第21带的中央子午线重 合，中央子午线经度均为 123°。既然中央子午线一致， 坐标系统也就一致。所以， 图中P1点在6°带第21带的坐 标，也就是该点在3°带第41 的坐标。在这种情况下， 6° 带与3°带不存在坐标换带的 计算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
高斯投影换带计算
2） 3°带中央子午线与 6°带分带子午线重合
差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式
正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标: 平面坐标 大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻 带坐标换算，且适用于任意带之间的坐标换算。 虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计 算的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。
1、核心思想
首先将某投影带内已知点的平面坐标（x1, y1）， 按高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大 地坐标（B, L）；然后根据纬度和所需换算的投 影带的中央子午线经度L02，计算该点在新投影 带内的经差l2，再按高斯投影坐标正算公式计算 该点在新投影带内的高斯平面坐标（x2, y2）。 至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标
x2 , y2 。
( B, L) ，得到
根据 x1 , y1 ,利用高斯反算公计算换算
' '' 。 B 32 24'57.6522'' ，L 1185415.2206
80椭球高斯投影坐标换带计算编程
辽宁工程技术大学大地测量基础综合训练二教学单位测绘与地理科学学院专业测绘工程名称 80椭球高斯投影坐标换带计算编程班级测绘14-1学号学生姓名指导教师王佩贤目录一、高斯投影坐标换带的原理 (3)二、高斯投影坐标换带的目的 (6)三、坐标换带的意义 (8)四、程序设计基础 (8)五、程序界面及源码 (11)六、程序验证 (15)七、软件评价 (15)八、软件使用说明 (16)一、高斯投影坐标换带的原理1.1高斯投影基本概念想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
特点：（1）正形投影（角度不变，a=b:长度比与方向无关）；（2）中央子午线投影为纵坐标轴；（3）中央子午线投影后长度不变。
1.2高斯投影邻带换算1.定义：将一个带的高斯平面坐标换算为另一带的高斯平面坐标称为高斯坐标的邻带换算2.内容： 1 ）不同六度带和不同三度带之间的化算2 ）三度带和六度带之间的化算3.方法： 1 ）直接法: 利用相邻两带坐标之间关系式进行坐标互换2 ）间接法：通过大地坐标进行高斯正反算互相换算目前广泛采用间接换带计算法，因此下面就此方法作介绍。
如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y和中央子午线的经度L。
按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标B,L然后根据B,L和第二带的中央子午线经度按高斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标。
由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。
这种方法理论上是严密的，精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。
6高斯投影及其计算
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
二、正形投影特性 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
三、正形投影的一般条件 正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
y/（km）
10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
C#高斯换带计算报告和代码资料
设计说明书设计题目: 高斯投影换带计算姓名：指导教师：专业：测绘工程2013 年 7月 2 日成绩评分表1 设计内容1.1设计意义高斯投影虽然保证了角度投影前后没有变形，但其长度变形仍然存在，并且距离中央子午线愈远，长度变形愈大。
为了限制高斯投影的长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影带，把投影范围限制在中央子午线东西两侧一定的狭长地带内分别进行投影。
由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一的大地坐标系，分割成为各带独立的平面坐标系。
为了得到统一的坐标系，必须进行换带计算。
在实际测量工作中，我们常常遇到坐标不统一的情况，为了计算简便，把不同形式的坐标转换成我们所需的坐标，为我们的工程服务，经常需要进行高斯投影正算、反算、坐标换带和子午线收敛角的计算工作。
为此，我们编写了这一程序设计，希望能使以后的转换工作更加简便。
本软件主要应用相关的转换公式，采用C#编程可随时随地实现任何参考椭球体下高斯坐标转换与大地坐标之间的正反算和换带计算，达到高斯平面坐标转换的目的。
本文所编程序的特点是，操作简单．输出简捷、结果完整，不需要另加辅助内容。
本设计主要是利用C#作为前端开发工具进行应用程序开发。
1.2基础理论正算是指：由大地坐标（L,B）求得高斯平面坐标（x,y）的过程。
反算是指：由高斯平面坐标（x,y）求得大地坐标（L,B）的过程。
正算：高斯投影必须满足的三个条件：（1），中央子午线投影后为直线。
（2），中央子午线投影后长度不变。
（3），投影具有正性性质，即正性投影条件。
由第一个条件可知，中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
设在托球面上有P1 ，P2，且对称于中央子午线。
其大地坐标为（l,B）,(-l,B)则投影后的平面坐标一定为P1·（x,y）,P2·（x,-y）.由第二个条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
高斯投影的邻带坐标换算
（2）计算B点在邻带的经度差为
经度差= 4.7
（3）计算B点在邻带的坐标
换带后x坐标=4078347.2553 换带后y坐标=272139.1392
第三步 C和D点的3度带坐标计算 （1）通过高斯反算C、D点的经纬度
（3）计算C、D点在3度带的坐标
C点 换带后x坐标=4072996.0939 换带后y坐标=40527098.4464
D点 换带后x坐标=4066353.4723 换带后y坐标=38545609.639
第四步 根据四点经度计算经度差
Ａ点经度差=1.565732639521
Ｂ点经度差=-3.570440179783
小结
✓高斯投影相邻带的坐标换算产生换带的原因。
产生换带的原因有二： 一、国家只有标准分带坐标，工程建设中用的坐标采用 的是任意度带的； 二、一个测区可能跨几个带，要统一坐标后才能利用。
✓应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算
1、高斯反算得到点的大地坐标 2、计算点新带的经度差 3、高斯正算计算点在新带的坐标
120 5
5、对y的值进行加工 正算公式计算出的自然值＋500公里，前面冠以带号
例一 已知某测区四个点平面坐标
A
4074700.925
B
4078073.834
C
4075083.899
D
4069122.263
20763357.427 20236570.978 20690755.754 20277596.488
Ｃ点经度差=1.0
Ｄ点经度差-3.292195770666
四个点在118度带的坐标
高斯投影正反算及换带计算VB程序设计
摘要本设计主要阐述了高斯投影分带以及高斯投影坐标正、反算的推导公式，从而根据公式来编写基于VB语言基础上的换带及坐标转换程序。
作者系统介绍了测量中经常使用的坐标系以及地图投影的概念和高斯投影的具体含义，叙述了换带和临带计算的原因以及它们在运算时的原理、过程，详细叙述了在VB语言中实现的原理基础以及代码的编写设计。
在设计中根据高斯的正反算公式写出了基于VB语言的程序设计，其程序设计任务完成了由地理坐标向54平面坐标系和80平面坐标系转换的功能，以及由54坐标系和80坐标系向地理坐标系转换的功能，同时也有同一平面坐标系不同投影带之间的换带计算和同一平面坐标系相同投影带临带计算等相互转换的功能。
关键词：高斯投影、坐标正反算、换带计算、临带换算、程序设计5程序设计5.1界面设计本程序要实现的功能是根据所选择的椭球参数和指定的分带情况，将已知地理坐标或高斯投影坐标经正算和反算求得相应的高斯坐标和地理坐标，以及相应的换带计算和临带计算。
因此需要用一个框架控件来组织椭球参数、两个框架分别组织分带选择和换算方式选择，两个框架组织地理坐标和高斯坐标，三个命令按钮分别执行投影计算、换带和临带计算。
程序设计界面如图5-1[9]图5-1 高斯投影计算程序设计界面命令按钮属性设置表如表5-1表5-1 命令按钮属性设置表对象属性值Command1 Caption BL->xy Command1 Name cmdCalc Command2 Caption 6->3 Command2 Name cmdChange Command3 Caption 临带计算Command3 Name cmdNear选择椭球框架内控件的属性值表5-2表5-2 择椭球框架内控件的属性值单选按钮控件属性设置表5-35-3 单选按钮控件属性设置表5.2程序代码设计在这里主要介绍高斯投影坐标转换的正反算代码设计，完整的代码见附录1所示。
5.2.1投影计算过程的正算子过程代码设计①54系高斯投影正算子过程Public Sub Pro54()Dim ll#, N#, a0#, a4#, a6#, a3#, a5#, cosB#cosB = Cos(B)ll = L - DoToHu(L0)N = 6399698.902 - (21562.267 - (108.973 - 0.612 * cosB * cosB) * cosB * cosB) * cosB * cosBa0 = 32140.404 - (135.3302 - (0.7092 - 0.004 * cosB * cosB) * cosB * cosB) * cosB * cosBa4 = (0.25 + 0.00252 * cosB * cosB) * cosB * cosB - 0.04166a6 = (0.166 * cosB * cosB - 0.084) * cosB * cosBa3 = (0.3333333 + 0.001123 * cosB * cosB) * cosB * cosB - 0.1666667a5 = 0.0083 - (0.1667 - (0.1968 + 0.004 * cosB * cosB) * cosB * cosB) * cosB * cosBX = 6367558.4969 * B - (a0 - (0.5 + (a4 + a6 * ll * ll) * ll * ll) * ll * ll * N) * Sin(B) * cosBY = (1 + (a3 + a5 * ll * ll) * ll * ll) * ll * N * cosBEnd Sub②80系高斯投影正算子过程Public Sub Pro80()Dim ll#, N#, a0#, a4#, a6#, a3#, a5#, cosB#cosB = Cos(B)ll = L - DoToHu(L0)N = 6399596.652 - (21565.045 - (108.996 - 0.603 * cosB * cosB) * cosB * cosB) * cosB * cosBa0 = 32144.5189 - (135.3646 - (0.7034 - 0.0041 * cosB * cosB) * cosB *cosB) * cosB * cosBa4 = (0.25 + 0.00253 * cosB * cosB) * cosB * cosB - 0.04167a6 = (0.167 * cosB * cosB - 0.083) * cosB * cosBa3 = (0.3333333 + 0.001123 * cosB * cosB) * cosB * cosB - 0.1666667a5 = 0.00878 - (0.1702 - 0.20382 * cosB * cosB) * cosB * cosBX = 6367452.1328 * B - (a0 - (0.5 + (a4 + a6 * ll * ll) * ll * ll) * ll * ll * N) * Sin(B) * cosBY = (1 + (a3 + a5 * ll * ll) * ll * ll) * ll * N * cosBEnd Sub5.2.2投影计算过程的反算子过程代码设计①54系高斯投影反算子过程[12]Public Sub ConPro54()Dim Bf#, bet#, Z#, Nf#, b2#, b3#, b4#, b5#, cos2B#, cos2Bf#bet = X / 6367558.4969cos2B = Cos(bet) * Cos(bet)Bf = bet + (50221746 + (293622 + (2350 + 22 * cos2B) * cos2B) * cos2B) * 0.0000000001 * Sin(bet) * Cos(bet)cos2Bf = Cos(Bf) * Cos(Bf)Nf = 6399698.902 - (21562.267 - (108.973 - 0.612 * cos2Bf) * cos2Bf) * cos2BfZ = Y / (Nf * Cos(Bf))b2 = (0.5 + 0.003369 * cos2Bf) * Sin(Bf) * Cos(Bf)b3 = 0.333333 - (0.166667 - 0.001123 * cos2Bf) * cos2Bfb4 = 0.25 + (0.16161 + 0.00562 * cos2Bf) * cos2Bfb5 = 0.2 - (0.1667 - 0.0088 * cos2Bf) * cos2BfB = Bf - (1 - (b4 - 0.12 * Z * Z) * Z * Z) * Z * Z * b2L = DoToHu(L0) + (1 - (b3 - b5 * Z * Z) * Z * Z) * ZEnd Sub②80系高斯投影反算子过程Public Sub ConPro80()Dim Bf#, bet#, Z#, Nf#, b2#, b3#, b4#, b5#, cos2B#, cos2Bf#bet = X / 6367558.4969cos2B = Cos(B) * Cos(B)Bf = bet + (50221746 + (293622 + (2350 + 22 * cos2B) * cos2B) * cos2B) * 0.0000000001 * Sin(bet) * Cos(bet)cos2Bf = Cos(Bf) * Cos(Bf)Nf = 6399698.902 - (21562.267 - (108.973 - 0.612 * cos2Bf) * cos2Bf) * cos2BfZ = Y / (Nf * Cos(Bf))b2 = (0.5 + 0.00336975 * cos2Bf) * Sin(Bf) * Cos(Bf)b3 = 0.333333 - (0.166667 - 0.001123 * cos2Bf) * cos2Bfb4 = 0.25 + (0.161612 + 0.005617 * cos2Bf) * cos2Bfb5 = 0.2 - (0.16667 - 0.00878 * cos2Bf) * cos2BfB = Bf - (1 - (b4 - 0.147 * Z * Z) * Z * Z) * Z * Z * b2L = DoToHu(L0) + (1 - (b3 - b5 * Z * Z) * Z * Z) * ZEnd Sub5.3程序的操作介绍下面以实例来介绍程序的操作步骤。
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若已知P2点在6°第21 带的坐标，求它在3°带第 42带坐标。由于这两个投影 带的中央子午线系统不一致， 坐标系统不一致，必须进行 换带计算。不过P2点在6° 带第21带的坐标与它在3° 带的第41带的坐标相同，所 以6°到3°的坐标换带计算， 也可以看作是两个3°带之 间的坐标换带计算。
四、换带的计算
3)当大比例尺(1:0 000或更大)测图时,特别是在工程测量 中，要求采用3°带、1. 5°带或任意带，而国家控制点 通常只有6°带坐标,这时就产生了6°带同3°带(或1. 5“带、任意带)之间的相互坐标换算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
如图所示， 3°第41带 与6°带的第21带的中央子午 线重合，中央子午线经度均 为123°。既然中央子午线一 致，坐标系统也就一致。所 以，图中P1点在6°带第21带 的坐标，也就是该点在3°带 第41的坐标。在这种情况下， 6°带与3°带不存在坐标换 带的计算问题。
2） 3°带中央子午线与 6°带分带子午线重合
高斯投影换带计算
第一学习小组
高斯投影换带计算
一、换带概述 二、需要换带的情况 三、换带的分类（重点） 四、换带的计算（重点）
一、换带概述
1、换带的原因
高斯投影虽然保证了角度投影前后没有变形，但 其长度变形仍然存在，并且距离中央子午线愈远， 长度变形愈大。为了限制高斯投影的长度变形， 将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影 带，把投影范围限制在中央子午线东西两侧一定 的狭长地带内分别进行投影。 由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一 的大地坐标系，分割成为各带独立的平面坐标系。 为了得到统一的坐标系，必须进行换带计算。
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
1） 3°带与6°带的中央子 午线重合
采用已求得的 ( B, L) ，并顾及到40带的中央子午线 L02 120 °，
'' 求得 l2 L L02 1 44.7794 ，利用高斯正算公式计算第40带的直角
坐标
x1 =3588576.591m，y =40396922.874m 1
为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算
差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式
正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标: 平面坐标 大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻 带坐标换算，且适用于任意带之间的坐标换算。 虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计 算的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。
1、核心思想
首先将某投影带内已知点的平面坐标（x1, y1）， 按高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大 地坐标（B, L）；然后根据纬度和所需换算的投 影带的中央子午线经度L02，计算该点在新投影 带内的经差l2，再按高斯投影坐标正算公式计算 该点在新投影带内的高斯平面坐标（x2, y2）。 至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标
x2 , y2 。
( B, L) ，得到
根据 x1 , y1 ,利用高斯反算公计算换算
' '' 。 B 32 24'57.6522'' ，L 1185415.2206
2、高斯投影坐标的换带计算
高斯投影坐标的换带计算：将一个投影带的平 面直角坐标，转换成另外一个投影带的平面直 角坐标。
二、需要换带的情况
1 ）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并 横跨两个投影带，为了能在同一带内进行平差计 算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投 影带内。
2)在分界子午线附近测图时，往往需要用到另一带的三 角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中； 为实现两相邻带地形图的拼接和使用，在于45＇( 或 37.5＇)重叠地区的平面控制点需要具有相邻带的坐标值。
由某带 x1 , y1
反算
1 l1
( B, L)
l2 L L02
正算
到某带
x2 , y2
2、计算步骤
1. 根据高斯投影坐标 x, y，反算得纬度B和经度差l； 2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度 L = L0 +l； 3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经