高斯投影及换带计算分解
高斯投影6度和3度分带计算公式
高斯投影6度和3度分带计算公式高斯投影6度和3度分带计算公式什么是高斯投影6度和3度分带？•高斯投影是一种常用于大地测量和地图制图的投影方法。
根据地球的形状和表面特征，我们将地球划分成了若干个分带，每个分带的宽度为6度或3度。
•6度和3度分带指的是每个分带的经度跨度。
例如，6度分带就是每个分带的中央经线与相邻分带的中央经线之间跨越6度。
高斯投影6度和3度分带计算公式6度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2−N⋅tanφ24⋅(5−t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61−58t2+t4−270C2+330C4)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1−t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5−18t2+t4+14C2−58C4)3度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2+N⋅tanφ24⋅(5+t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61+90t2+45t4+46C2−252C4−90C6)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1+2t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5+28t2+24t4+6C2+8C4)示例解释假设我们需要计算某个点在高斯投影6度分带中的投影坐标。
高斯投影换带计算分解
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标 x2 , y2 。
➢ 根据 x1, y1 ,利用高斯反算公计算换算 (B, L) ，得到
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式 正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:
平面坐标
大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换 算，且适用于任意带之间的坐标换算。
1） 3°带与6°带的中央子午 线重合
如图所示， 3°第41带与6° 带的第21带的中央子午线重 合，中央子午线经度均为 123°。既然中央子午线一致， 坐标系统也就一致。所以， 图中P1点在6°带第21带的坐 标，也就是该点在3°带第41 的坐标。在这种情况下， 6° 带与3°带不存在坐标换带的 计算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
3度带6度带换算以及带号计算
3度带6度带换算以及带号计算 根据中国地质调查局地质调查技术标准《数字地质图空间数据库》（DD2006-06）中规定:地质图空间数据库的坐标系统可采⽤地理坐标系、北京54坐标系和西安80坐标系。
地质图空间数据库的投影系统可根据⽐例尺不同进⾏选择。
我国基本⽐例尺地形图除1:100万采⽤兰勃特投影（Lambert）外，其他均采⽤⾼斯-克吕格投影。
为减少投影变形，⾼斯-克吕格投影分为3度或6度带投影。
按国家规定，1:1万、1:2.5万、1:5万、1:10万、1:25万、1:50万采⽤6度带投影。
1:1万采⽤3度带投影。
地质图空间数据库的⾼程系统系统采⽤跟1956年黄海⾼程系，1985年国家⾼程基准。
1、6度分带和3度分带 1:2.5万及1:5万以上的地形图采⽤6度分带投影，即经差为6度，从零度⼦午线开始，⾃西向东每个经差6度为⼀投影带，全球共分60个带，⽤ 1，2，3，4，5，……表⽰．即东经0～6度为第⼀带，其中央经线的经度为东经3度，东经6～12度为第⼆带，其中央经线的经度为9度。
1:1万的地形图采⽤3度分带，从东经1.5度的经线开始，每隔3度为⼀带，⽤1，2，3，……表⽰，全球共划分120个投影带，即东经1.5～4.5 度为第1带，其中央经线的经度为东经3度，东经4.5～7.5度为第2带，其中央经线的经度为东经6度．我省位于东经113度－东经120度之间，跨第 38、39、40共计3个带，其中东经115.5度以西为第38带，其中央经线为东经114度；东经115.5～118.5度为39带，其中央经线为东经 117度；东经118.5度以东到⼭海关为40带，其中央经线为东经120度。
地形图上公⾥⽹横坐标前2位就是带号，例如:1:5万地形图上的横坐标为20345486，其中20即为带号，345486为横坐标值。
2、当地中央经线经度的计算 六度带中央经线经度的计算：当地中央经线经度＝6°×当地带号－3°，例如：地形图上的横坐标为20345，其所处的六度带的中央经线经度为：6°×20－3°＝117°（适⽤于1:2.5万和1:5万地形图）。
高斯投影分带计算题
高斯投影分带计算题摘要：1.高斯投影分带计算题概述2.高斯投影分带计算原理3.具体计算步骤与方法4.实际应用案例及解析5.总结与建议正文：在高斯投影分带计算题中，我们需要了解高斯投影的原理以及如何进行分带计算。
高斯投影是一种将地球表面的地理坐标（经纬度）转换为平面直角坐标的投影方法。
为了减少投影误差，高斯投影通常采用分带计算的方式。
接下来，我们将详细介绍高斯投影分带计算的步骤与方法。
一、高斯投影分带计算原理高斯投影分带计算是基于高斯-克吕格投影的原理。
高斯-克吕格投影是一种等角圆锥投影，它将地球表面的经纬度坐标转换为平面直角坐标。
在分带计算中，我们需要将地球表面的经纬度范围划分为多个投影带，每个投影带内进行高斯投影计算。
二、高斯投影分带计算步骤与方法1.确定投影带范围：根据地球表面的经纬度范围，将整个区域划分为多个投影带。
通常情况下，投影带的划分是以经度为基础，每个投影带的宽度为6度。
2.计算投影带中心经线：每个投影带的中心经线为其东西边界的中点。
可以通过以下公式计算中心经线：L = L0 + D × (N - 1)其中，L为投影带中心经线，L0为原点经线，D为投影带宽度，N为投影带序号。
3.计算横轴纵轴比例尺：在高斯投影分带计算中，横轴纵轴比例尺是不同的。
横轴比例尺通常为1，纵轴比例尺需要根据投影带的具体情况进行计算。
4.进行高斯投影计算：在每个投影带内，根据高斯-克吕格投影公式，将经纬度坐标转换为平面直角坐标。
5.投影带边界处理：由于投影带之间存在重叠，需要在相邻投影带之间进行边界处理。
通常采用线性插值方法进行边界平滑处理。
三、实际应用案例及解析以下是一个实际的高斯投影分带计算案例：假设我们需要将地球表面的经纬度范围（60°W，0°N至180°W，90°N）转换为平面直角坐标。
1.划分投影带：首先，我们需要确定投影带的个数。
根据经度范围，可以计算出投影带的个数为：num_bands = (180 - 60) / 6 + 1 = 222.计算投影带中心经线：根据公式，计算每个投影带的中心经线。
80椭球高斯投影坐标换带计算编程
辽宁工程技术大学大地测量基础综合训练二教学单位测绘与地理科学学院专业测绘工程名称 80椭球高斯投影坐标换带计算编程班级测绘14-1学号学生姓名指导教师王佩贤目录一、高斯投影坐标换带的原理 (3)二、高斯投影坐标换带的目的 (6)三、坐标换带的意义 (8)四、程序设计基础 (8)五、程序界面及源码 (11)六、程序验证 (15)七、软件评价 (15)八、软件使用说明 (16)一、高斯投影坐标换带的原理1.1高斯投影基本概念想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
特点：（1）正形投影（角度不变，a=b:长度比与方向无关）；（2）中央子午线投影为纵坐标轴；（3）中央子午线投影后长度不变。
1.2高斯投影邻带换算1.定义：将一个带的高斯平面坐标换算为另一带的高斯平面坐标称为高斯坐标的邻带换算2.内容： 1 ）不同六度带和不同三度带之间的化算2 ）三度带和六度带之间的化算3.方法： 1 ）直接法: 利用相邻两带坐标之间关系式进行坐标互换2 ）间接法：通过大地坐标进行高斯正反算互相换算目前广泛采用间接换带计算法，因此下面就此方法作介绍。
如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y和中央子午线的经度L。
按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标B,L然后根据B,L和第二带的中央子午线经度按高斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标。
由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。
这种方法理论上是严密的，精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。
6 高斯投影及其计算
所以
∂f ∂f =i ∂l ∂q
∂x ∂y = ∂q ∂l
大地测量学基础
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
一、高斯投影的基本概念
横轴椭圆柱等角投影， 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影 属于正形投影。 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，属于正形投影。 x 世界上最先采用高斯投影的国家是奥地利和德国， 世界上最先采用高斯投影的国家是奥地利和德国，我国于 1952年正式决定采用高斯投影 年正式决定采用高斯投影。 1952年正式决定采用高斯投影。 N
200 1/2000
250 1/1300
300 1/900
大地测量学基础
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
三、高斯投影的分带
为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
L0 3° 9° 75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数； 引入等量纬度q 表为q 的函数； x=f1（ ），y=f2 y=f2（ 取全微分， 3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号 E、F、G； 4、根据长度比m与方向A无关，a=b，得E=G； 根据长度比m与方向A无关，a=b， E=G； 5、由E=G、F=0得主要条件。 E=G、F=0得主要条件。 得主要条件
大地测量学基础
第一节 地图投影概念和正形投影性质
正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤 圆柱面中心轴与椭球短轴重合， 正轴投影 圆柱面中心轴与椭球短轴重合 道相切。 道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某 圆柱面中心轴与椭球长轴重合， 横轴投影 圆柱面中心轴与椭球长轴重合 一子午圈相切。 一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位 圆柱面中心轴与椭球长、 斜轴投影 圆柱面中心轴与椭球长 短轴都不重合， 于两者之间。 于两者之间。
高斯投影及分带介绍
高斯投影及分带介绍2011年09月29日星期四 10:17高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2 (60)带。
高斯投影的邻带坐标换算
（2）计算B点在邻带的经度差为
经度差= 4.7
（3）计算B点在邻带的坐标
换带后x坐标=4078347.2553 换带后y坐标=272139.1392
第三步 C和D点的3度带坐标计算 （1）通过高斯反算C、D点的经纬度
（3）计算C、D点在3度带的坐标
C点 换带后x坐标=4072996.0939 换带后y坐标=40527098.4464
D点 换带后x坐标=4066353.4723 换带后y坐标=38545609.639
第四步 根据四点经度计算经度差
Ａ点经度差=1.565732639521
Ｂ点经度差=-3.570440179783
小结
✓高斯投影相邻带的坐标换算产生换带的原因。
产生换带的原因有二： 一、国家只有标准分带坐标，工程建设中用的坐标采用 的是任意度带的； 二、一个测区可能跨几个带，要统一坐标后才能利用。
✓应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算
1、高斯反算得到点的大地坐标 2、计算点新带的经度差 3、高斯正算计算点在新带的坐标
120 5
5、对y的值进行加工 正算公式计算出的自然值＋500公里，前面冠以带号
例一 已知某测区四个点平面坐标
A
4074700.925
B
4078073.834
C
4075083.899
D
4069122.263
20763357.427 20236570.978 20690755.754 20277596.488
Ｃ点经度差=1.0
Ｄ点经度差-3.292195770666
四个点在118度带的坐标
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14
3)、高斯投影的特点:
x
（1）中央子午线投影后为直
线，且长度不变。
平行圈
（2） 除中央子午线外，其余
子午线的投影均为凹向中央
赤道
O
y
子午线的曲线，并以中央子 子午线
午线为对称轴。投影后有长
度变形。 （3） 赤道线投影后为直线，
但有长度变形。
中央子午线
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20
高斯平面直角坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影 y轴 — 赤道的投影 原点O — 两轴的交点
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
赤道
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
中央子午线
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21
由于我国的位于 北半球，东西横跨12 个6º带，各带又独自 构成直角坐标系。
故：X值均为正， 而Y值则有正有负。
N
6 3
cos3
B(1 t 2
2 )l3
N cos5 B(5 18t 2 t 4 14 2 58 2t 2 )l5 120 5
t tan B, 2 e2 cos2 B
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29
2、高斯投影坐标反算公式：x,y B,l
满足以下三个条件： ①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； ② x坐标轴投影后长度不变； ③投影具有正形性质，即正形投影条件。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。
y
l N f cos B f
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
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3
6.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
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28
自赤道量起的到所求点的子午线弧长
x
X
N
2 2
sin
B cos
B l2
N
24 4
sin
B cos3
B(5 t 2
9 2
4 4 )l4
N
720 6
sin
B
cos5
B(61
58t 2
t
4
)l6
所求点的大地经度与该点所在带 的中央子午线的大地经度之差
y
N
cos B l
12
1).高斯投影的原理:
高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差
分带，分别进行投影。
高斯投影平面
N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
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13
2)、高斯投影必须满足：
（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影；
（2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；
（3）中央子午线投影后长度 不变。
6º带自首子午线开始， 按6º的经差自西向东分成60 个带。
3º带自1.5 º开始，按 3º的经差自西向东分成 120个带。
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高斯投影带划分 17
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重 合，减少了换带计算。
工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
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4
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
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10
6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
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8
• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形
等于零。
• （3）等距投影
•
定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方
向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方
向上没有长度变形。
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6
2）按投影面的形状分类
• （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
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24
高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
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Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
15
x
（4） 除赤道外的其余纬线，投
影后为凸向赤道的曲线，并以赤 平行圈 道为对称轴。
（5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。
赤道
O
y
（6） 所有长度变形的线段，其 子午线
长度变形比均大于l。
（7）离中央子午线愈远，长度 中央子午线
变形愈大。
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4)、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º 进行投影分带。
m AB EA
AB
EA
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5
2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
（1）等角投影
•
又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应
两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比
都相等，但在不同地点长度比是不同的。
• （2）等积投影
•
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赤道
世界地图 22
xp2 23x2p2836.2138208m36.180m x yp2 （带yp2号）222772545490.7.22800mm
国家统一坐标：
p2
x p1 x , x p1 p2 x p2
y y p1=500000+ p1
=（带号）636780.360m
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4、常用的几种地图投影
从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用 的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最 常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国 成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克 拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我 国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变 形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。
L。=3ºn （n为3º带的带号） 例：120带中央子午线的经度为
L。＝3º× 120＝360 º
测绘学院《大地测量学基础》课件
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若已知某点的经度为L，则该点的6º 带的带号N由下式计算：
N int( L ) 1 6
若已知某点的经度为L，则该点所在
3º带的带号按下式计算：
n
L 3（四舍五入）
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②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经 线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y 值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。
③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是 凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反， 这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线 和纬线的投影是互相垂直的。
y3
6
N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
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Hale Waihona Puke 3、高斯投影坐 标正反算公式的