特殊三角形基本知识点整理
三角形及特殊三角形知识点(经典完整版)
三角形及特殊三角形知识点(经典完整版)
三角形及特殊三角形知识点（经典完整版）
三角形定义
三角形是一个由三条边和三个内角组成的图形。
根据边长关系，三角形可以分为以下三种情况：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
3. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
三角形内角和
三角形的三个内角之和始终为180度。
根据角度大小，三角形
可以进一步分类：
1. 直角三角形：一个内角为90度。
2. 钝角三角形：一个内角大于90度。
3. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
三角形特性
三角形还有一些重要属性和特性：
1. 垂心：垂心是三角形三条高的交点，即垂直于三边的线段的交点。
2. 重心：重心是三角形三条中线的交点，即三角形三个顶点与对边中点的连线的交点。
3. 外心：外心是三角形外接圆的圆心，即可以过三角形三个顶点的圆的圆心。
4. 内心：内心是三角形内切圆的圆心，即可以切三角形三个边的圆的圆心。
特殊三角形
除了普通的三角形外，还有一些特殊的三角形：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等，内角均为60度。
2. 等腰直角三角形：一个内角为90度，且两条直角边的长度相等。
3. 等腰钝角三角形：一个内角大于90度，且两条等腰边的长度相等。
4. 等腰锐角三角形：三个内角都小于90度，且两条等腰边的长度相等。
以上是关于三角形及特殊三角形的一些知识点。
掌握这些概念可以帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理好嘞，以下是为您整理的关于特殊三角形基本知识点：在我们学习数学的道路上，三角形就像是一群性格各异的小伙伴，其中有几个特别的家伙，那就是特殊三角形。
今天咱们就来好好唠唠它们。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形啊，就像是一个有两个“双胞胎”边的家伙。
这两条相等的边叫做腰，剩下的那条边叫做底边。
顶角呢，就是两腰的夹角，底角就是底边与腰的夹角。
而且等腰三角形有个很重要的特点，就是两底角相等。
我记得有一次在课堂上，老师让我们自己动手做一个等腰三角形。
我找了一张纸，小心翼翼地对折，然后沿着折痕剪下来，一个等腰三角形就出现在我眼前啦。
我拿着它，左看看右看看，心里别提多高兴了。
等腰三角形的性质在生活中也有很多应用呢。
比如说，我们常见的等腰三角形的衣架，它的两边长度相等，挂衣服的时候能保持平衡，不会让衣服歪歪扭扭的。
再来说说等边三角形。
等边三角形那可是三角形中的“小明星”，因为它的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是60 度。
想象一下，它就像一个完美的“三胞胎”，每一部分都一模一样。
有一次我在路上看到一个正六边形的地砖，我突然想到，把正六边形分成六个相等的部分，每个部分不就是一个等边三角形嘛！这让我更加深刻地理解了等边三角形的特点。
直角三角形也很特别。
它有一个角是直角，也就是 90 度。
直角所对的边叫做斜边，剩下的两条边叫做直角边。
著名的勾股定理就和直角三角形有关，那就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。
我记得有一次在家里装修，爸爸要做一个直角的架子。
他就拿着尺子和笔，在木板上量来量去，嘴里还念叨着勾股定理。
我在旁边好奇地看着，感觉数学在这一刻变得特别实用。
直角三角形在建筑中可是经常出现的。
比如说那些高楼大厦的框架，很多都是由直角三角形组成的，这样才能保证建筑的稳固和安全。
等腰直角三角形就更特别啦，它既是等腰三角形，又是直角三角形。
它的两个底角都是 45 度，斜边的长度是直角边长度的根号 2 倍。
特殊三角形知识点
特殊三角形知识点三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这些线段分别称为三角形的边。
三角形的分类有很多种形式，其中特殊三角形是指具有特殊性质的三角形。
在本文中，我们将重点介绍三种特殊三角形：等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
1. 等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
具体来说，等腰三角形的两条边的长度相等，而第三条边（底边）可以与两条相等的边不相等。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下事实：- 等腰三角形的两个底角（底边所对应的两个角）的度数相等。
- 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直上方的线段）与底边垂直，并且将底边分为两段长度相等的线段。
2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
等边三角形拥有以下性质：- 所有的内角都为60度。
- 任意两个角的和为120度。
- 等边三角形的高线、角平分线和中位线都重合，同时也是三角形的对称轴。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，该三角形的三个角都是相等的，每个角是60度，因此也是一种特殊的等腰三角形。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
具体来说，直角三角形的两个边可以称为直角边，而第三条边称为斜边。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，也就是著名的勾股定理。
直角三角形也可以通过三边的长度来进行分类：- 等腰直角三角形：两条直角边的长度相等。
- 等腰直角等边三角形：两条直角边的长度相等且等于斜边的长度。
总结：特殊三角形在几何学中具有重要的地位，它们的性质和特点可以帮助我们解决各种数学问题。
等腰三角形的两边相等，等边三角形的三边相等，直角三角形则具有特殊的角度和边长关系。
深入理解和熟练运用这些特殊三角形的知识对于数学学习和应用具有重要意义。
希望本文能够为读者提供有关特殊三角形的基本知识点，并帮助读者更好地理解和应用这些概念。
特殊三角形知识点(家教版)
特殊三角形三角形1、三角形的内角和是180°2、三角形的外角和是360°3、三角形的任意一个外角都等于和它不相邻的两个内角的和。
4、三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的内角全等三角形●全等三角形的性质1、对应边相等2、对应角相等●三角形全等的判定1、三边对应相等的两个三角形全等（SSS或边边边）2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或边角边）3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA或角边角）4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或角角边）5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或斜边、直角边）角平分线●角的平分线的性质1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（在三角形内部，到三边相等的点是三角形角平分线的交点）等腰三角形●等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
●等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。
（等角对等边）等边三角形●等边三角形的性质1、等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形●直角三角形的定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ● 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
● 勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
● 中位线三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
1、直角三角形的性质：⑴、在直角三角形中，两锐角 ； ⑵、在直角三角形中, 上的中线等于 的一半.⑶、在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么 .⑷、在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 .(定理⑵、⑶通常用于证明线段之间的倍分关系;定理⑷通常用于求三角形中角的度数) ⑸、勾股定理内容: . 2、直角三角形的判定：⑴、有一个角等于_________的三角形是直角三角形； ⑵、有两个角_____________的三角形是直角三角形；⑶、如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。
特殊三角形(知识点汇总 浙教8上)
第2章特殊三角形一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点34.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、角的平分线：1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
四、等腰三角形1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）（3）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
①等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ①等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为①A ，底角为①B 、①C ，则①A=180°—2①B ，①B=①C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 。
特殊三角形性质总结
特殊三角形性质总结三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。
特殊三角形是指具有特殊性质的三角形，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
本文将总结和讨论这些特殊三角形的性质。
一、等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。
它具有以下性质：1. 所有内角均为60度：由于三条边等长，在等边三角形中，三个内角均相等。
根据三角形内角和定理，三个内角的和为180度，所以每个内角均为60度。
2. 具有三条对称轴：等边三角形具有三个对称轴，通过连接任意两个顶点并垂直于对称轴，可以得到一个等边三角形。
这是因为等边三角形中，每个内角均为60度，所以旋转或翻转三角形都会得到与源等边三角形相等的图形。
3. 高、中线和角平分线重合：等边三角形的高、中线和角平分线都经过三角形的顶点、重心和垂心，所以它们重合于同一点。
二、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
它具有以下性质：1. 两个底角相等：等腰三角形的两条底边相等，所以两个底角也相等。
这可以通过等腰三角形的定义和证明得到。
2. 高、中线和角平分线重合：等腰三角形的高、中线和角平分线都经过三角形的顶点、重心和垂心，所以它们重合于同一点。
3. 内角和公式：等腰三角形是普通三角形的一种特殊情况，所以它的内角和公式也适用。
根据三角形内角和定理，等腰三角形的两个底角之和与顶角相等，都为180度。
三、直角三角形直角三角形是指具有一个直角（90度角）的三角形。
它具有以下性质：1. 毕式定理：直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边长的平方和。
即a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边，a和b为直角边。
2. 特殊三角比值：在直角三角形中，存在一些特殊的三角比值，如正弦、余弦和正切。
正弦是指直角三角形中的一个锐角的对边比斜边的比值，余弦是指直角三角形中的一个锐角的邻边比斜边的比值，正切是指直角三角形中的一个锐角的对边比邻边的比值。
这些三角比值在三角学和实际问题中具有重要的应用。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形的定义、性质及判定等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.（2）等边三角形的性质：①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴. （3）等边三角形的判定①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形.（4）两个重要结论①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.两个重要结论的数学解释：已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则：①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.直角三角形1. 认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
特殊三角形知识点
特殊三角形1.三角形中的主要线段（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．（2）中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．(4)中位线：连接三角形两边的中点的线段。
2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o． 3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4.特殊三角形（1）直角三角形性质①角的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：222a b c +=③边角关系：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
⑤b a h c s *21*21==面积（2）等腰三角形性质①角的关系：∠A=∠B ； ②边的关系：AC=BC ；③AC BC AD BDCD AB ACD BCD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩ ④轴对称图形，有一条对称轴。
⑤等腰三角形“三线合一”（中线、高线、角平分线） （3）等边三角形性质①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB③AB AC BD CD AD BC BAD CAD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩； ④轴对称图形，有三条对称轴。
补充：（4）三角形中位线：12AD BD DE BCAE BE DE BC ⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥ 5.特殊三角形的判定 6.两个重要定理： （1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点。
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特殊三角形基本知识点整理
1、等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴
2、等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角
3、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一
1、（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形
1、等边三角形的内角都相等，且为60
2、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
3、等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴
1、三条边都相等的三角形是等边三角形
2、三个内角都等于60的三角形是等边三角形
3、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△”
1、直角三角形的两锐角互余
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半
4、直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形
2、有两个角互余的三角形是直角三角形
3、如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4、等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。
5、等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。
6、含30角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形、（2）等边三角形的性质：①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60；②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴、（3）等边三角形的判定①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；③有两个角都等于60的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形、（4）两个重要结论①在直角三角形中，如果一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半、②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于
30、两个重要结论的数学解释：已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90，则：①如果AB＝2BC，那么∠A＝30；②如果∠A＝30，那么AB＝2B
C、直角三角形1、认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角
A、
B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB＝AC且∠A＝90，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2、掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3、会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4、掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30，则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点：1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。
勾股定理及逆定理
一、勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、符号语言：在△ABC中，∠C=90（已知）证明：进行图形拼接用面积法证明、制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理、
二、勾股定理的应用：（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为的线段、
三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形、1．勾股定理的逆定理的证明是构造
一个直角三角形，然后通过证全等完成；2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1．先找出最大边（如c）；2．计算与，并验证是否相等、若，则△ABC是直角三角形、若，则△ABC不是直角三角形、注意：（1）△ABC中，若，则∠C=90；而时，则∠A=90；时，则
∠B=
90、（2）若，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形、若，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形、
三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如
3、4、5；
6、8、10；
5、
12、13；
8、
15、17等、。