最新华师一附中自招考试数学试题资料
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷 解析版
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．12．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24C．2D．123．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是（）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）A．3B．C．D．6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M 到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN ＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．9二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cos A＝，则＝．9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是．（结果用m，n表示）10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为．11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC 是等腰三角形，则k的值是．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为．三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（）3的值．14．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价（万元）A1518 1.5B2030 2.1（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（2）当FH∥BE时，求AE的长；（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．1【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．【解答】解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0；②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，|a﹣c|＝﹣a+c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24C．2D．12【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．【解答】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴（a﹣b）2+2ab＝c2，即∴（﹣c）2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是（）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量【分析】根据图象逐一分析即可．【解答】解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，8月出货量为：3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3，因为3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误．故选：D．4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）A．3B．C．D．【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB＝＝＝4，∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，∵点E为BO的中点，∴OE＝BO＝×8＝4，∴OE＝A′O＝4，过点O作OF⊥A′B′于F，S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，解得OF＝，在Rt△EOF中，EF＝＝＝，∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×＝，∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；故选：B．6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M 到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．9【分析】由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，则tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+﹣9，当x＝﹣＝时，y＝﹣9+＝，即可求解．【解答】解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，如图所示，当点M在BC上时，则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝9﹣x，NC＝y，∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+x﹣9，当x＝﹣＝时，y＝﹣9+＝，解得：m＝5，则AM＝5，BC＝4，故ABCD的面积＝20，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．故答案为：．8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cos A＝，则＝．【分析】过B点作BD⊥AC于点D，设AD＝4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB 与BD，BC，然后求结果便可．【解答】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cos A＝，∴，设AD＝4x，则AB＝5x，∴，∵AB＝AC，∴AC＝5x，∴CD＝5x﹣4x＝x，∴BC＝，∴，故答案为：．9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是m+2019n．（结果用m，n表示）【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m ﹣n，∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，故答案为：m+2019n．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为4+4．【分析】取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．【解答】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，∵∠MON＝90°，∴Rt△MON中，OE＝MN＝4，又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4，∴Rt△PNE中，PE＝，又∵OP≤PE+OE＝4+4，∴OP的最大值为4+4，即点P到原点O距离的最大值是4+4，故答案为：4+4．11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC 是等腰三角形，则k的值是或．【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB＝BC，②AC＝BC，即可解题．【解答】解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，∴点B坐标为（，2），同理可求出点A的坐标为（，），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为，∴BA＝，AC＝，BC＝，∴BA2﹣AC2＝k＞0，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①当AB＝BC时，则＝，解得：k＝±（舍去负值）；②当AC＝BC时，同理可得：k＝；故答案为：或．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为5．【分析】连接BM．先判定△F AE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD ＝AB＝4，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝5，进而得出EF的长．【解答】解：如图，连接BM．∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD．∴∠F AB＝∠MAE，∴∠F AB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠F AE＝∠MAB．∴△F AE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．∵DM＝1，∴CM＝3．∴在Rt△BCM中，BM＝＝5，∴EF＝5，故答案为：5．三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（）3的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2k﹣1、x1x2＝k2，结合x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；（2）先通分可得a2+b2＝6ab，再根据完全平方公式的变形可得的值，进而可得（）3的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，∵k≤，∴x1+x2＝2k﹣1≤0，而x1x2＝k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，∴x1•x2+x1+x2＝2，即k2+（2k﹣1）＝2，整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1，而k≤，∴k＝﹣3；（2）∵+＝6，∴a2+b2＝6ab，∴（a+b）2＝8ab，∴（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝4ab，∴（）2＝＝2，∴＝±，∵a＜b＜0，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴＜0，∴＝﹣∴（）3＝﹣2．答：（）3的值为﹣2．14．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价（万元）A1518 1.5B2030 2.1（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．【解答】解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．依题意得：，解得6≤x≤9.17，∵x为整数，∴x＝6，7，8，9有四种方案；设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，∵﹣0.6＜0，∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，∵0，故有最小值，当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），∵240＜250，故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（2）当FH∥BE时，求AE的长；（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．【分析】（1）连接EF，F A，由CE为圆的切线且又和EB垂直，可知CE∥F A，推出∠CEF＝∠AFE，而∠AFE＝∠FEB可得∠CEF＝∠BEF，所以EF为∠BEC的平分线．又因为∠EFB为直角可知EF⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，得到BF为BC的一半，又因为EA∥CF，可知四边形CEAF为平行四边形，即AD＝BF＝2.5；（2）根据平行线的性质得到BE⊥CE，由余角的性质得到∠ABE＝∠DEC，证得△ABE ∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）连接EF，由圆周角定理得出∠BFE＝90°，设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE ＝x，CF＝DE＝5﹣x，由已知条件得出点G在点F上方，连接BG、EG，设BG、EF交于点K，得出△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF＝KF＝x，BK＝x，EK＝2﹣KF＝2﹣x，GK＝EG＝（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），证明△BEG∽△CEF，得出＝，得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）如图1，连接EF，F A，∵CE为圆的切线且又和EB垂直，∴CE∥AF∴∠CEF＝∠AFE；又∵∠AFE＝∠FEB，∴∠CEF＝∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；∵∠EFB＝90°，∴EF⊥BC，∴BE＝CE∴△BEC为等腰三角形，∴BF为BC的一半；∵EA∥CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE＝CF＝2.5；（2）解：∵FH∥BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∵AB＝2，AD＝5，∴CD＝AB＝2，∴＝，∴AE＝1或AE＝4．（3）连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE＝90°，设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x，若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°，连接BG、EG，设BG、EF交于点K，∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，∴BF＝KF＝x，BK＝x，EK＝2﹣KF＝2﹣x，在等腰直角△EGK中，根据勾股定理得：GK＝EG＝（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），又∵∠EBG＝∠EFG＝∠FCH，∴△BEG∽△CEF，∴＝，即＝，解得：x＝，或x＝，∴AE的长度是或．16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），求出a、c的值；（2）由（1）得抛物线解析式：y＝，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），所以D（2，），DH＝，再证明△ACO∽△EAH，于是＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝＝，m ＝时，△MPF面积有最大值．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），，∴a＝﹣，c＝（2）由（1）得抛物线解析式：y＝∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，）∴D（2，），∴DH＝，令y＝0，即﹣x2+x+＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，∴直线GN的解析式：y＝x﹣，由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，联立解得∴F（0，﹣），∵DH⊥x轴，∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，∴P（2，）∴F（0，﹣）与P（2，）的水平距离为2过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），S△MFP＝＝∵对称轴为：直线m＝，∵开口向下，＜m，∴m＝时，△MPF面积有最大值为..。
2022年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学自主招生数学试题(专县生)
2022年华师一附中专县生数学试卷理科综合测试题时限:100分钟满分:150分数学部分(100分)一、选择题(共6小题，每小题5分，共30分)1.新冠疫情对某地区的经济发展造成了巨大影响，为了改善该地区经济发展的现状，政府部门对该地区的经济进行了为期一年的宏观调控，使得该地区的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解调控前后该地区的经济收入变化情况，统计了该地区宏观调控前后的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）。
A.宏观调控后，服务业收入减少B.宏观调控后，农业收入增加了一倍以上C.宏观调控后，工业收入增加了一倍D.宏观调控后，工业收入与其它收入的总和超过了经济收入的一半2.已知a=√2023−√2022,b=√2022−√2021,c=√2021−√2020,则a，b，c的大小关系为（）。
A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a(k⟩0)的图象的交点的横坐标为2，则关于x的不等3.已知二次函数y=ax²+1(a>0)的图象与反比例函数y=kx+ax2+1<0的解集是（）。
式kxA.x < -2B.-2< x< 0C.0<x<2D.x>24. 如图,四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,,32,2,30,90===∠=∠=∠CD AD ABC C A oo则BD=（）。
A.338 B.3394 C.74 D.845、如图1，点G 是BC 上靠近点C 的三等分点，点H 在AF 上，动点P 以每秒1cm 的速度沿图1的边线运动,运动路径为:G-C-D-E-F-H,相应的△ABP 的面积y(cm²)关于运动时间t(s)的函数图象如图2，若AB=4cm ，则下列四个结论中正确的个数有（）。
①图1中的BC 长是9cm;②图2中的M 点表示第6秒时y 的值为18cm²;③图1中的CD 长是3cm;④图2中的N 点表示第19秒时y 的值为14cm².A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图,△ABC中∠ACB=90°,点D 在CA 上,CD=1,AD=4,∠BDC=3∠BAC,则BC=（）。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．4B ．72-C ．52-D ．12-2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,13．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.4．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 5．已知点(m ,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b6．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x ex -∃∈>C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈< D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤7．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．9．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<10．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n CB ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 11．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．2212．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷(解析版)
华中师大一附中2024-2025学年度十月月度检测数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一时限：120分钟满分：150分项是符合题目要求的．）1. 已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x====，则A B = （ ） A. {1,1}− B. {(1,1),(1,1)}−C. (0,)+∞D. (0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ==，解得1,1x y = = ，或1,1x y =− = ， 所以{(1,1),(1,1)}A B=− ， 故选：B ．2. 已知函数()*(2),nf x x n =−∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由当21,n k k =+∈N 时，ff ′(xx )≥0，可得()(2)nf x x =−是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nf x x =−，得()1(2)n f x n x −−′=，则当21,n k k =+∈N 时，ff ′(xx )≥0，()(2)nf x x =−是增函数， 当1n =时，可得()f x 是增函数； 当()f x 是增函数时，21,n k k =+∈N ，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.3. 函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b=（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出a b. 【详解】由()()sin cos 0f x a x b x ω=+>的图象关于π3x =对称，可知：2π(0)()3f f =，即sin0cos0=s 3o 2π3i 2πn c s a b a b ++，则a b=故选：A ．4. 已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x +<<−的最小值为（ ） A. 5 B.112C. 203D. 163【答案】D 【解析】a ，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得12243a a +=×=⇒=，则03,30x x <−，19119139(3)103333x x x x x a x x x x x −+=+−+=++ −−−1161033 ≥+= ， 当且仅当393x xx x−=−，即34x =时取等.故选：D5. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（ ）．A. π12x = B. π6x =C. π3x =D. 5π12x =【解析】【分析】根据题意找到函数的对称点得()π03f x f x+−=，结合特殊值法计算得a =，利用辅助角公式化简得()π2sin 23f x x=−，最后整体替换计算得到结果； 【详解】由题意可得()f x 的图象关于点π,06对称，即对任意x ∈R ，有()π03f x f x+−=，取0x =，可得()π0032af f +=+=，即a =故()πsin22sin 23f x x x x =−=−， 令ππ2π32x k −=+，k ∈Z ，可得()f x 的图象的对称轴为5ππ122k x =+，k ∈Z ． 故选：D ． 6. 设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（ ）A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()πsin (0)2f x x x x =−<<，利用导数探讨单调性并比较,a c ，再利用对数函数单调性比较大小即得. 【详解】当π02x <<时，令()sin f x x x =−，求导得()1cos 0f x x ′=−>， 则函数()f x 在π(0,)2上单调递增，有()(0)0f x f >=，即有sin x x >，因此33sin 77a c =>=，显然13ln 227b a =>=>=， 所以b ac >>. 故选：D7. 已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=−−>的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3上没有最小值，则ω的值为（ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得36,2k k ω=+∈Z ，再由()f x 在π0,3上没有最小值得ω范围，建立不等式求解可得.详解】()()2222cos sin 2sin cos cos f x x x x x xωωωωω=−−+22cos sin21cos2sin2x x x x ωωωω+−=+π24x ω+，因为()f x 的图象关于直线π12x =轴对称，所以πππ1264f ω+故ππππ,642k k ω+=+∈Z ，即36,2k k ω=+∈Z ， 当ππ22π42x m ω+=−+，m ∈Z ，0ω>, 即当3ππ,8m x m ωω=−+∈Z 时，函数()f x 取得最小值， 当1m =时，5π8x ω=为y轴右侧第1条对称轴. 因为()f x 在π0,3上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤， 故由3150628k <+≤，解得11416k −<≤，k ∈Z 故0k =，得32ω=．故选：C.8. 定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x−−+=，()12024e f =．若()()0f x f x ′+−>，则不等式()11e xf x +>的解集是（ ） 【A. ()3,+∞B. (),3−∞C. ()1,+∞D. (),1−∞【答案】C 【解析】【分析】由()f x 是奇函数，可得()f x ′是偶函数，得到()()0f x f x +′>，令()()e xg x f x =，得到()0g x ′>，得出()g x 在R 上单调递增，再由()302f x f x−−+=，求得()f x 的周期为3的周期函数，根据()12024ef =，得到()2e g =，把不等式转化为()()12g x g +>，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，可得()f x ′是偶函数， 又因为()()0f x f x ′+−>，所以()()0f x f x +′>，令()()e xg x f x =，可得()()()e 0xg x f x f x ′′=+> ，所以()g x 在R 上单调递增，因为()302f x f x−−+=且()f x 奇函数， 可得()()23f x f x f x +=−=−，则()()3333[()]()222f x f x f x f x +=++=−+=， 所以()f x 的周期为3的周期函数，因为()()()12024674322e f f f =×+==，所以()212e e eg =×=， 则不等式()11exf x +>，即为()1e 1e xf x ++>，即()()12g x g +>， 又因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，解得1x >， 所以不等式()11ex f x +>的解集为()1,+∞． 故选：C ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 下列等式成立的是（ ）是A. ()21sin15cos152°−°=B. 22sin 22.5cos 22.5°−°=C. 1cos28cos32cos62cos582°°−°°=−D. (3tan10cos502°°=− 【答案】AB 【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误. 【详解】A ：()21sin15cos1512sin15cos151sin 302°−°=−°°=−°=，成立；B ：22sin 22.5cos 22.5cos 45°−°=−°=C ：cos 28cos32cos 62cos58cos 28cos32sin 28sin 32cos(2832)°°−°°=°°−°°=°+°1cos 602°=，不成立；D ：(2sin 50cos50sin100tan10cos50cos50cos10cos10−°°−°°°°=°°cos101cos10°=−=−°，不成立.故选：AB10. 已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB =，则下列结论正确的有（ ）A. 2p =B. 3AF =C. t =或−D. 线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD 【解析】【分析】由直线:1l xty =+，可知焦点FF (1,0)，得p 的值和抛物线方程，可判断A 选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合2AF FB =，求出,A B 两点坐标和t 的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上， 过F 作直线:1l xty =+，可知FF (1,0)，则12p=，得2p =，A 选项正确； 抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty −−=.设AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2,yy 2)，由韦达定理有124y y t +=，124y y =−， 2AF FB =，得122y y =−，解得12y y −12y y ==， 124y y t =+，则t =t =，C 选项错误； 则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确； 12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==×=，B 选项正确.故选：ABD.11. 已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=−上的一点，则下列选项中正确的是（ ） A. 曲线C 的图象关于原点对称B. 对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC. 对任意[]01,1y ∈−，恒有012x <D. 曲线C 在11y −≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4【答案】ACD 【解析】【分析】将x ，y 替换为x −，y −计算即可判断A ；取0x =，可判断有三个交点即可判断B ；利用函数3y x x =−的单调性来得出300y y −的取值范围，再结合()3f x x x =+的单调性进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于33x y y x +=−，将x ，y 替换为x −，y −，所得等式与原来等价，故A 正确； B ．取0x =，可以求得0y =，1y =，1y =−均可，故B 错误； C ．由330000x x y y +=−，[]01,1y ∈−，函数3y x x =−，故213y x ′=−，令2130y x ′=−=，解得：1x =，在1,x ∈− ， 时，0′<y ，函数单调递减，在x ∈ 时，0′>y ，函数单调递增，所以300y y −∈ ，又因为()3f x x x =+是增函数，1528f =>，所以有012x <，故C 正确； D ．当[]00,1y ∈时，3300000x x y y +=−≥，又320002x x x +≥， 32000022y y y y −≤−，所以22000x y y ≤−．曲线22x y y =−与y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，则曲线C 与y 轴围成图形的面积小于π4，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 若π,02α∈− ，且πcos2cos 4αα =+，则α=__________. 【答案】π12− 【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα +=，根据π,02α∈− 即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα =+，得)22cos sin cos sin αααα−=−.因为π,02α ∈− ，所以cos sin 0αα−≠，则cos sin αα+，则1sin 42πα += . 由π,02α ∈−，得πππ,444α +∈− ，则ππ46α+=，解得π12α=−. 故答案为：π12−.13. 海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30°，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意75DAB ∠=°，903060ADB ∠=−°=°， 所以180756045DBA ∠=°−°−°=°，在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，即sin 45AD =°60AD =， 在ADC △中，30DAC ∠=°，所以CD=.故答案为：．14. 若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m+≤−⋅恒成立，则b a −取得最大值时，sin2a b+=__________．【解析】【分析】以m 为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得1sin 22x ≤，解不等式结合题意得[]()7ππ,π,π,1212a b k k k⊆−+∈Z ，由此可得答案. 【详解】因为2πsin cos 2sin 4m x x x m+≤−⋅恒成立， 即2π2sin sin cos 04m x m x x−−⋅+≤恒成立， 若存在实数m ，使得上式成立，则2πΔ4sin 4sin cos 04x x x=−−≥， 则πΔ22cos 22sin 222sin 22sin 224sin 202x x x x x=−−−=−−=−≥， 可得1sin 22x ≤，可得7ππ2π22π,66k x k k −≤≤+∈Z ， 解得7ππππ,1212k x k k −≤≤+∈Z ， 由[]()7ππ,π,π,1212a b k k k⊆−+∈Z ， 则b a −取得最大值时()7πππ,π,1212a k b k k =−=+∈Z ，此时()7ππππ1212sin sin 22k k a b k −+++==∈Z .. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以m 为变量，转化为存在性问题分析求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数()π4sin cos 6f x x x=+x ∈R . ,（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在π0,2上的最大值与最小值.【答案】（1）π2ππ,π,63k k k Z++∈（2）()min 2f x =−，()max 1f x = 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解； （2）由x 的范围求得π26x +的范围，再根据正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】解：()2π14sin cos 4sin sin cos 2sin 62f x x x x x x x x x =+=−=−1πcos212cos212sin 2126x x x x x+−=+−=+−， 令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+， 所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k Z++∈； 【小问2详解】 解：因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x−≤+≤， 于是π12sin 226x−≤+≤，所以()21f x −≤≤， 当且仅当π2x =时，()f x 取最小值()min π22f x f ==−， 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值()max π16f x f==.16. 已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx −−−在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1−. （1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1b =（2）证明见解析 （3）(,1]−∞ 【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值； （2）求出导函数1()2ln 2f x x x x′=+−−，再根据导函数求出()(1)10f x f ′′≥=>即可证明单调性； （3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a −≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =−>的单调性得出最值即可求出参数范围. 【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x′+∞=+−−， 故(1)1ln f b ′=−，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =−−， 将点(0,1)−代入得1ln 1b −=，解得1b =．小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x −−−，则1()2ln 2f x x x x′=+−−， 令1()()2ln 2g x f x x x x′==+−−， 则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x−−−+′=−−==， 当01x <<时，()0,()g x g x <′单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >′单调递增，所以()(1)10f x f ′′≥=>， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． 【小问3详解】【对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥−−−≥−恒成立， 当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化ln x x a −≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =−>，则11()10x h x x x′−=−=>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=， 故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]−∞．17. 在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a*N ，且ABC 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF °∠=，CDF θ∠=()90θ°°<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．【答案】（1）存在,4a = （2）12− 【解析】【分析】（1）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值； （2）由正弦定理可得出DF =，DE =与差的正弦公式化简即可求得结果. 【小问1详解】假设存在正整数a 满足题设．ABC 为钝角三角形，因为a b c <<，所以C 为钝角，根据题设，2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+−=, 所以()222(2)(4)1cos 022a a a Ca a ++−+−<=<+，得24120a a −−<，解得26a −<<．因为**a ∈N N ，所以1a =或4a =，当1a =时，ABC 不存在，故存在4a =满足题设．为所以4a = 【小问2详解】如图，因为()90,090EDF CDF θθ∠=°∠=°<<°，所以90BDE θ∠=°−．在CDF 中，因为()2sin60sin 60DF θ=°+°，所以DF =在BDE 中，因为()2sin 60sin 150DE θ=°°−，所以DE = 所以()()132sin 60sin 150S θθ=×+°°−， 设()()()sin 60sin 150f θθθ=+°°−，()090θ°<<°，所以11()sin cos 22f θθθθθ =+ 2213cos sin 4θθθθ+++ 化简可得：()1sin 22f θθ=+所以1122S =≥− 当45θ=°时，S取得最小值12−18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,0)H −的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程； （3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12−，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）220x y −+−或220x y ++=（3【解析】【分析】（1）根据POQ △的边PQ得PQ ==，再联立222ce a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅=，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k =−+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =− 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ △为直角三角形，所以PQ ==.又222ce a b c a ===+，所以1,1a b c ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=. 【小问2详解】由（1）知，1(1,0)F −,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x +==+消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++−=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=−+−=−>，即2102k <<. 且22121222882,1212k k x x x x k k −+=−=++， 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以1122(1,)(1,)0x y x y −−−−−−=，即12121210x x x x y y ++++=， 所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=， 整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=， 即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k+−+−+++=++， 化简得2410k −=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =−+， 即直线AB 的方程为220x y −+=或220x y ++=. 3详解】由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ， 则直线2l 的方程为1(1)2y x k=−+，5566(,),(,)E x y F x y ， 联立2212(1)x y y k x +==−消去y 得2222)202142(−=+−+x k x k k ， 所以22343422422,1212k k x x x x k k−+==++ 所以23422,212M x x k x k+==+2(1)12M M k y k x k =−=−+所以2222(,)1212k kM k k −++， 同理联立22121(1)2x y y x k += =−−消去y 得222(12)2140k x x k +−+−=，所以2565622214,1212k x x x x k k−+==++ 所以5621,212N x x x k+==+21(1)212N N ky x k k =−−=+ 所以221(,)1212kN k k++， 即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||11||||||1241221222||||OMN M N k k S OT y y k k k k =−==×=×≤+++ ，当且仅当12||||k k =，即k =时取等号， 所以OMN.【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =− 整理后利用基本不等式得到面积的最值. .19. 正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”； （3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】【分析】（1）{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､； （2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A 中所有元素和为19181712×=，与和为偶数矛盾； （3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，利用等差数列求和得到1231616648a a a a m ++++≤+ ，结合1231624588a a a a m ++++=+ ，得到不等式，求出152m ≤，当7m =时写出相应的集合A 以及具体拆法，得到答案. 【小问1详解】是，{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､； 【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数， 则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而{}1,2,3,4,,18A = ，A 中所有元素和为19181712×=，与和为偶数矛盾， 所以集合A 不是“三元可拆集”； 【小问3详解】{}1,2,3,,48A m m m m =++++ 有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ， 则()()()()1231648474633a a a a m m m m ++++≤++++++++ ()28116166482m m +×=+；另一方面，A 中所有元素和为()249484811762m m +×=+，所以212316481176245882m a a a a m +++++==+ ，所以2458816648m m +≤+，解得152m ≤，即7m ≤； 当7m =时，{}8,9,10,,55A = ，可拆为{}{}55,40,1554,38,16､､{}{}{}{}{}{}53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､ {}{}{}{}{}{}47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､{}{}41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）； 综上所述，m 的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。
华师一自主招生考试数学试卷
自主招生考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．飞形棋中有一正方体骰子，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的为（）A．11 B．7 C．8 D．32．如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则（）A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3．已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n ＜b4．记S n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）A．2004 B．2006 C．2008 D．20105．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB=10，则CB的长为（）A．B．C．D．46．某汽车维修公司的维修点环形分布如图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）7．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=_________．8．在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为_________．9．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_________．10．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为_________．11．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_________．12．如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为_________．13．按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行_________次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是_________．三、解答题（共5小题，满分72分）14．如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，（1）求a和b的值；（2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分，其面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②若重叠部分的面积等于平方厘米，求x的值．15．（2006•宁波）已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）．（1）求⊙O半径；（2）sin∠HAO的值；（3）如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE，DF交⊙O于点B，C，直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由．16．青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇，二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？17．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．18．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．分析：由图一和图二可看出看出1的相对面是5；再由图二和图三可看出看出3的相对面是6，从而2的相对面是4．解答：解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，所以数字1面对数字5，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．则a=3，b=4，那么a+b=3+4=7．故选B．2．分析：观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（1）不改变车票价格，减少支出费用，则收支差额变大，解答：解：∵建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议（1），∵建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（2）．故选B．3．分析：首先把方程化为一般形式，由于a，b是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m，n，a，b之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．解答：解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0变形得（x﹣m）（x﹣n）=3，∴x﹣m＞0 x﹣n＞0或x﹣m＜0 x﹣n＜0，∴x＞m x＞n或x＜m x＜n∵a b是方程的两个根，将a b代入，得：a＞m a＞n，b＜m b＜n或a＜m a＜n，b＞m b＞n，综合一下，只有D可能成立．故选D．4．分析：本题需先根据得出n×T n=（S1+S2+…+S n），再根据a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，得出T500的值，再设出新的理想数为T x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．解答：解：∵∴n×T n=（S1+S2+…+S n）T500=2004设新的理想数为T x501×T x=8×501+500×T500T x=（8×501+500×T500）÷501==8+500×4 =2008 故选C5．分析：作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于A′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．解答：解：如图，若，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．则A′C2=20，又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴CB=4．故选A．6．分析：现根据题意设未知数，再根据公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行列方程组求解．解答：解：设A到B调x1件，B到C调x2件，C到D调x3件，D到A调x4件，这里若x i（i=1，2，3，4）为负数，则表明调动方向改变．则由题意得：，解得：，则调动总件数为|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1﹣10|，它的最小值为16．故选B．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）7．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=2000．分析：根据[x]表示不超过x的最大整数，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，…[]=[]=1，从而得出答案．解答：解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴=[]+[]+…+[]，=[1+]+[1+]+…+[1+]，=1+1+…+1，=2000．故答案为：2000．8．分析：连接DE，根据相似三角形的判定定理得出△DCE∽△ABC，进而判断出AB∥CD、△DEF∽△ABF，再根据相似三角形的性质即可进行解答．解答：解：连接DE，∵AE=2CE，BD=2CD，∴=，且夹角∠C为公共角，∴△DCE∽△ABC，∴∠CED=∠CAB，∴AB∥DE，则==，且∠EDA=∠BAD，∠BED=∠ABE，∴△DEF∽△ABF，∴==，∴设S△DEF=x，则S△AEF=S△BDF=3x，S△ABF=9x，∴x+3x+3x+9x=3﹣，解得：x=，∴S△DEF=，∴S△DEF+S△CDE=+=．故答案为：．9．分析：抽取3面旗，总共的情况计算思路为：第一面旗有9种，第二面有（9﹣1）即8种，第三面有（9﹣1﹣1）即7种，则总的情况有9乘以8乘以7等于504种；要求颜色和号码都不同的情况计算思路为：第一面旗还是有9种情况；第二面旗的情况为：除去第一面已选的颜色外，还剩另外2种颜色本来是6种情况，但是第一面旗肯定能确定一个号码，所以剩下的2种颜色中与第一面旗选的号码必须不一样，则选了第一面旗后，第二面旗的选择就只有4种情况了；而第一面旗和第二面旗选定后，第三面旗就已经确定唯一了，即轮到第三面旗的时候就没的选了，前面2面旗已经把颜色和号码都定死了．解答：解：根据乘法公式可知：任意抽取3面旗，一共有9×8×7=504种情况，三面旗颜色与号码都不一样的情况一共有9×4×1=36种情况∴它们的颜色与号码均不相同的概率是=．故答案为：．10．分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD|＜AC．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．11．分析：根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个三角形，因而若有n个点时，一定是有2n+1个三角形．解答：解：根据题意有这样的三角形的个数为：2n+1=2×100+1=201，故答案为：201．12．分析：把已知点的坐标代入函数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的两点坐标代入到函数解析式中得到①和②，联立即可求出a和b的值，得到E的坐标．解答：解：把（1，3）代入到y=得：k=3，所以函数解析式为y=，设A（a，b），根据图象和题意可知，点E（a+，），因为y=的图象经过A、E，所以分别把点A和E代入到函数解析式中得：ab=3①，（a+）=3②，由②得：+=3，把①代入得：+=3，即b2=6，解得b=±，因为A在第一象限，得到b＞0，所以b=，把b=代入①求得：a=，所以点E的横坐标为a+=．故答案为：．13．分析：把x=5代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可．解答：解：（1）x=5．第一次：5×3﹣2=13第二次：13×3﹣2=37第三次：37×3﹣2=109第四次：109×3﹣2=325＞244→→→停止（2）第1次，结果是3x﹣2；第2次，结果是3×（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；第3次，结果是3×（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；第4次，结果是3×（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；第5次，结果是3×（81x﹣80）﹣2=243x﹣242；∴由（1）式子得：x＞2，由（2）式子得：x≤42＜x≤4．即：5次停止的取值范围是：2＜x≤4．故答案为：4；2＜x≤4．三、解答题（共5小题，满分72分）14．分析：（1）首先根据一元二次方程根与系数的关系，得出用含m的式子表示a+b与ab的式子，然后由勾股定理得出一个关于m的方程，求出m的值，进而得出a和b的值；（2）①由于S△BCM=×BC′×CM，即y=x×CM．所以首先用含x的代数式表示CM，然后代入，即可求出y与x之间的函数关系式，并根据题意求出x的取值范围；②把y=代入函数解析式，即可求出x的值．解答：解：（1）∵a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，∴a+b=m﹣1，ab=m+4，又∵a、b是直角△ABC的两直角边，∴a2+b2=c2=25，∴（m﹣1）2﹣2（m+4）=25，解得m1=8，m2=﹣4（舍去）．∴原方程为x2﹣7x+12=0，解得a=4，b=3．（2）①y与x之间的函数关系式为：y=（4﹣x）2，（0≤x≤4）．②代入=（4﹣x）2，得x1=3，x2=5（舍去）．∴x的值为3．15．分析：（1）因为点D在圆上，根据点D的坐标利用勾股定理即可求得OD的长，即半径；（2）连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，根据同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根据已知可求得sin∠OHQ的值，则sin∠HAO的值也就求得了；（3）设点D关于y轴的对称点为H，连接HD交OP于Q，则HD⊥OP，根据角平分线的性质及垂径定理可得到∠CGO=∠OHQ，则求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．解答：解：（1）点D（4，3）在⊙O上，∴⊙O的半径r=OD=5；（1分）（2）如图1，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，∴∠HAO=∠OHQ∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；（3）连接DH交y轴于点Q，连接OH交BC于点T（如图2）．∵D与H关于y轴对称，∴DH⊥EF，又∵△DEF为等腰三角形，∴DH平分∠BDC，∴OT⊥BC，∴∠CGO=∠QHO，∴当E、F两点在OP上运动时，sin∠CGO的值不变．16．分析：（1）根据二分队的行进速度为（4+a）千米/时与路程为10，得出二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，又一分队用1小时打通道路，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，即可得出一分队的行进速度；（2）根据要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时，得出等式方程，进而分析得出符合要求的答案．解答：解：（1）根据塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路一个小时后道路畅通，那么我们再看二分队，二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，那么在二分队经过小时后到达塌方处的时候，一分队必须清理好塌方，也就是说一分队至少提前一小时到达塌方处（距离营地10KM）而一分队只要保证比二分队提前一个小时到达塌方处再利用一个小时打通塌方，那么当二分队到达塌方处才不会影响时间，而后二分队按照（4+a）千米/时的速度前行与一分队无关，这样就很好算了，路程10KM，二分队速度：（a+4）KM每小时，那么二分队到达塌方处需要小时，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，这样路程10KM，一分队所用时间（﹣1）小时，一分队的行进速度至少为=千米/时；当a=0时，一分队的行进速度至少为千米/时；（2）要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时．根据题意得：+1=+a，解得：a=（+9）/4或a=（不合题意舍去）这样a=（+9）/4大于3，不符合题意．∴当二队不休息，也就是=，解得：a=0，∴二分队应在营地休息0小时．17．分析：（1）连CD，由条件得到点D为AB的中点，则CD=AD，∠4=∠A=45°，易证△CDF ≌△ADE，△CED≌△BFD，得到CF=AE，CE=BF，而CE2+CF2=EF2，因此得到结论．（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，根据旋转的性质得到CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，易证△CGE≌△CFE，得到GE=EF，即可得到结论AE2+BF2=EF2仍然成立；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，根据旋转的性质得到∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=CN，AF=AP，又△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，得到EF=BE+DF，则EF=EP，证得△AMQ≌△AMN，得到MN=QM，易证得∠QBN=90°，于是有BQ2+BM2=QM2，从而得到BM2+DN2=MN2．解答：证明：（1）连CD，如图4，∵两个等腰直角三角形的相似比为1：，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，∴点D为AB的中点，∴CD=AD，∠4=∠A=45°，又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1，∴△CDF≌△ADE，∴CF=AE，同理可得△CED≌△BFD，∴CE=BF，而CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2；（2）结论AE2+BF2=EF2仍然成立．理由如下：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，∴∠GAE=90°，而∠3=45°，∴∠2+∠4=90°﹣45°=45°，∴∠1+∠2=45°，∴△CGE≌△CFE，∴GE=EF，在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2，∴AE2+BF2=EF2；（3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下：把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP，∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，∴EF=BE+DF，∴EF=EP，∴△AEF≌△AEP，∴∠1=∠3+∠4，而AQ=AN，∴△AMQ≌△AMN，∴MN=QM，而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°，∴∠QBN=90°，∴BQ2+BM2=QM2，∴BM2+DN2=MN2．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用．18．分析：（1）根据图形，即可求得f（2）的值；（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2；（3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．解答：解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，∴f（n）=6n+2；（3）f（2×3）=34；（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷-普通用卷
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2−a−2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④|a|<1−bc.其中正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 12.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=ac x+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是()A. 2√6B. 24C. 2√3D. 123.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.已知函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是()A. m≥−2B. 0≤m≤12C. −2≤m≤−12D. m≤−125.如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E 的长度为()A. 3√5B. 12√55C. 9√55D. 16√556.如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN=y，图2表示的是y 与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是()A. 20B. 18C. 10D. 9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为______．8.在△ABC中，AB=AC，若cosA=45，则BCAB=______．9.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)10.如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=8，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．11.如图，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=1x 和y=4x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=1x的图象于点C，连接AC.若△ABC是等腰三角形，则k 的值是______．12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点M在CD边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）13.(1)已知关于x的方程x2−(2k−1)x+k2=0有两个实根x1，x2，且满足x1x2−|x1|−|x2|=2，求实数k的值；(2)已知a<b<0，且ab +ba=6，求(a+bb−a)3的值．14.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A1518 1.5B2030 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y={13x3−80x2+5040x,0≤x<14410x+72000,144≤x<300，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)15.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．(1)当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；(2)当FH//BE时，求AE的长；(3)若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．16.如图①，已知抛物线y=ax2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与3y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C坐标为(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意得：a <−1<0<b <c <1， 则①a 2−a −2=(a −2)(a +1)>0；②∵|a −b|+|b −c|=−a +b −b +c =−a +c ， |a −c|=−a +c ，∴|a −b|+|b −c|=|a −c|；③∵a +b <0，b +c >0，c +a <0， ∴(a +b)(b +c)(c +a)>0； ④∵|a|>1，1−bc <1， ∴|a|>1−bc ；故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C ．根据数轴上各数的位置得出a <−1<0<b <c <1，依此即可得出结论．本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点P(−1,√33)在“勾股一次函数”y =ac x +bc 的图象上，∴√33=−a c+b c的一次函数，即a −b =−√33c ，又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条变长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4， ∴12ab =4，即ab =8， 又∵a 2+b 2=c 2， ∴(a −b)2+2ab =c 2， 即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6， 故选：A ．依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c ，ab =8，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：对于A ，由柱状图可得5月份出货量最高，故A 正确； 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确；对于C ，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C 正确；对于D ，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1−14.7%)=3569.05， 8月出货量为：3087.5÷(1−5.3%)=3260.3， 因为3260.3<3569.05， 故12月更高，故D 错误． 故选：D ．根据图象逐一分析即可．本题考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12； ∴−2≤m ≤−12． 故选：C ．先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB =90°，AO =4，BO =8， ∴AB =√AO 2+BO 2=√42+82=4√5， ∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO =A′O =4，A′B′=AB =4√5， ∵点E 为BO 的中点， ∴OE =12BO =12×8=4， ∴OE =A′O =4， 过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×4√5⋅OF =12×4×8，解得OF =8√55， 在Rt △EOF 中，EF =√OE 2−OF 2=(8√55)=4√55，∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′， ∴A′E =2EF =2×4√55=8√55， ∴B′E =A′B′−A′E =4√5−8√55=12√55； 故选：B ．由勾股定理求出AB ，由旋转的性质可得AO =A′O ，A′B′=AB ，再求出OE ，从而得到OE =A′O ，过点O 作OF ⊥A′B′于F ，由三角形的面积求出OF ，由勾股定理列式求出EF ，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E =2EF ，然后由B′E =A′B′−A′E 代入数据计算即可得解．本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB =m ，BM =x −a ，MC =9−x ，NC =y ，∵MN ⊥AM ，则∠MAB =∠NMC ， tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ， 即x−m m=y 9−x ，化简得：y =−1mx 2+9+a ax −9，当x =−b2a =9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，解得：m =5， 则AM =5，BC =4， 故ABCD 的面积=20， 故选：A ．由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ，则tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ，即x−m m=y9−x，化简得：y =−1m x 2+9+a ax −9，当x =−b 2a=9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，即可求解．本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB +BC =9是本题解题的关键．7.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为1220=35． 故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】√105【解析】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA=45，∴ADAB =45，设AD=4x，则AB=5x，∴BD=√AB2−AD2=3x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=5x−4x=x，∴BC=√BD2+CD2=√9x2+x2=√10x，∴BCAB =√10x5x=√105，故答案为：√105．过B点作BD⊥AC于点D，设AD=4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．本题主要考查了解直角三角形和，勾股定理，腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形．9.【答案】m+2019n【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2020m−2019(m−n)=m+2019n，故答案为：m+2019n．用2020个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2019个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．10.【答案】4+4√2【解析】解：如图，取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，∵∠MON =90°，∴Rt △MON 中，OE =12MN =4，又∵∠MQP =90°，MN =8，PN =4，NE =4， ∴Rt △PNE 中，PE =√PN 2+NE 2=4√2， 又∵OP ≤PE +OE =4+4√2， ∴OP 的最大值为4+4√2，即点P 到原点O 距离的最大值是4+4√2， 故答案为：4+4√2．取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，根据勾股定理和矩形的性质解答即可． 此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．11.【答案】2√55或√22【解析】解：∵点B 是y =kx 和y =4x 的交点，y =kx =4x ， ∴点B 坐标为(√k 2√k)，同理可求出点A 的坐标为(k √k)， ∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为√k ，纵坐标为12√k ，∴BA =√1k +k ，AC =√1k +k4，BC =32√k ，∴BA 2−AC 2=34k >0， ∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①当AB =BC 时，则√1k +k =32√k ， 解得：k =±2√55(舍去负值)；②当AC =BC 时，同理可得：k =√22；故答案为：2√55或√22． 根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A 、B 、C 的坐标(用k 表示)，再讨论①AB =BC ，②AC =BC ，即可解题．本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k 表示点A 、B 、C 坐标是解题的关键．12.【答案】5【解析】解：如图，连接BM ．∵△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称， ∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ．∵△ADM 按照顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ， ∴AF =AM ，∠FAB =∠MAD ． ∴∠FAB =∠MAE ，∴∠FAB +∠BAE =∠BAE +∠MAE ． ∴∠FAE =∠MAB ． ∴△FAE≌△MAB(SAS)． ∴EF =BM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =CD =AB =4． ∵DM =1， ∴CM =3．∴在Rt △BCM 中，BM =√32+42=5， ∴EF =5， 故答案为：5．连接BM.先判定△FAE≌△MAB(SAS)，即可得到EF =BM.再根据BC =CD =AB =4，CM =3，利用勾股定理即可得到，Rt △BCM 中，BM =5，进而得出EF 的长．本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．13.【答案】解：(1)根据题意得△=(2k −1)2−4k 2≥0，解得k ≤14；(2)x1+x2=2k−1，x1x2=k2，∵k≤14，∴x1+x2=2k−1≤0，而x1x2=k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∵x1x2−|x1|−|x2|=2，∴x1⋅x2+x1+x2=2，即k2+(2k−1)=2，整理得k2+2k−3=0，解得k1=−3，k2=1，而k≤14，∴k=−3；(2)∵ab +ba=6，∴a2+b2=6ab，∴(a+b)2=8ab，∴(b−a)2=(a+b)2−4ab=4ab，∴(a+bb−a )2=(a+b)2(b−a)2=2，∴a+bb−a=±√2，∵a<b<0，∴a+b<0，b−a>0，∴a+bb−a<0，∴a+bb−a=−√2∴(a+bb−a)3=−2√2．答：(a+bb−a)3的值为−2√2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2k−1)2−4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=2k−1、x1x2=k2，结合x1x2−|x1|−|x2|=2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；(2)先通分可得a2+b2=6ab，再根据完全平方公式的变形可得a+bb−a 的值，进而可得(a+bb−a)3的值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca .也考查了判别式的值．14.【答案】解：(1)设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点(20−x)个．依题意得：{15x +20(20−x)≤37018x +30(20−x)≥490，解得6≤x ≤9.17， ∵x 为整数，∴x =6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y =1.5x +2.1(20−x)=−0.6x +42， ∵−0.6<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9时，y 的值最小，此时y =36.6(万元)， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；(2)由题意得：每吨垃圾的处理成本为yx (元/吨)，当0≤x <144时，y x =1x (13x 3−80x 2+5040x)=13x 2−80x +5040， ∵13>0，故yx 有最小值，当x =−b 2a =−−802×13=120(吨)时，yx 的最小值为240(元/吨)，当144≤x <300时，y x =1x (10x +72000)=10+72000x，当x =300(吨)时，yx =250，即yx >250(元/吨)， ∵240<250，故当x =120吨时，yx 的最小值为240元/吨，∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个， ∴每个A 型处理点每月处理量=9×19×1+11×1.2×120×19≈5.4(吨)，故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．【解析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积<等于370m 2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A 型处理点的个数x 之间的函数关系，进而求解；(2)分0≤x <144、144≤x <300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．15.【答案】解：(1)如图1，连接EF，FA，∵CE为圆的切线且又和EB垂直，∴CE//AF∴∠CEF=∠AFE；又∵∠AFE=∠FEB，∴∠CEF=∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；∵∠EFB=90°，∴EF⊥BC，∴BE=CE∴△BEC为等腰三角形，∴BF为BC的一半；∵EA//CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE=CF=2.5；(2)解：∵FH//BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠DEC，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABDE =AECD，∵AB=2，AD=5，∴CD=AB=2，∴25−AE =AE2，∴AE=1或AE=4．(3)连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ， 若△OFG 是等腰直角三角形，则∠FOG =90°， 连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ， ∴△BFK 和△EGK 都是等腰直角三角形，∴BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，在等腰直角△EGK 中，根据勾股定理得：GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，又∵∠EBG =∠EFG =∠FCH ， ∴△BEG∽△CEF ， ∴BG BE=FCEF，即√22(2+x)√22(2−x)=5−x 2，解得：x =9−√572，或x =9+√572，∴AE 的长度是9−√572或9+√572．【解析】(1)连接EF ，FA ，由CE 为圆的切线且又和EB 垂直，可知CE//FA ，推出∠CEF =∠AFE ，而∠AFE =∠FEB 可得∠CEF =∠BEF ，所以EF 为∠BEC 的平分线．又因为∠EFB 为直角可知EF ⊥BC ，所以△BEC 为等腰三角形，得到BF 为BC 的一半，又因为EA//CF ，可知四边形CEAF 为平行四边形，即AD =BF =2.5；(2)根据平行线的性质得到BE ⊥CE ，由余角的性质得到∠ABE =∠DEC ，证得△ABE∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)连接EF ，由圆周角定理得出∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ，由已知条件得出点G 在点F 上方，连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ，得出△BFK 和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，证明△BEG∽△CEF ，得出BG BE =FCEF ，得出方程，解方程即可．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)、(3)中，需要证明三角形相似才能得出结果．16.【答案】解：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)， {a −2√33+c =0c =√3，∴a =−√33，c =√3(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3) ∴D(2,√3)， ∴DH =√3， 令y =0，即−√33x 2+2√33x +√3=0，得x 1=−1，x 2=3， ∴A(−1,0)，B(3,0)， ∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ， ∴△ACO∽△EAH ， ∴OC AH=OA EH=即=√33=1EH，解得：EH =2√3， 则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33，由(2)得E(2,−√3)，A(−1,0)， ∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，联立{y = √33x −√33；y =−√33x −√33 ； 解得{x =0y =−√33 ∴F(0,−√33)， ∵DH ⊥x 轴，∴将x =2代入直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，∴P(2,√32) ∴F(0,−√33)与P(2,√32)的水平距离为2过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ， 设点M(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则Q(m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)；∴S △MFP =S △MQF +S △MQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33)， S △MFP =−√3m 2+√3m +4√3=−√3(m −1)2+17√3 ∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m1+√172，∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3..【解析】(1)：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)，求出a 、c 的值；(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，所以D(2,√3)，DH =√3，再证明△ACO∽△EAH ，于是 OCAH =OAEH =即=√33=1EH ，解得：EH =2√3，则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，根据S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33=−√33(m −12)2+1712√3，m =12时，△MPF 面积有最大值1712√3． 本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．。
华师一附中高中自主招生训练题
1．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A ） B ）4 （C ） （D ）4.52. 如果a ，b ，c 是正数，且满足，，那么的值为 ．3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .4.如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于 ．5. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .6. 已知12x x ，为方程2420x x ++=的两实根，则3121455x x ++=7如图AC ⊥BC 于C ，BC ＝a, CA=b, AB=c, ⊙O 与直线AB 、BC 、OABC 3题图AC 都相切，则⊙O 的半径为（ ） A.2a b c +- B. 2b c a +- C. 2a b c ++ D. 2a c b+-.8. 如图线段AB,CD 将大长方形分成四个小长方形，其中18S =，26S =，35S =，则4S =（ ）A.203 B. 53 C.10 D. 1039．已知关于x 的方程018)13(3)1(22=+---x m x m有两个正整数根（m 是整数）。
△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，0822=-+b m b m 。
求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积。
10. 在直角ABC ∆中，90=∠C ，直角边BC 与直角坐标系中的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为)1,0(p ，若抛物线122++=kx kx y 的顶点为A 。
求：⑴ 求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； ⑵ 用k 表示B 点的坐标； ⑶ 当k 取何值时，60=∠ABC11. 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标； （2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=线的解析式及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．AS BD1C5题图S 2S 4S 312. 如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ． 13.设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax ，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且1x <<12x ，那么实数a 的取值范围是( )A 、112-<a B 、5272<<-a C 、52>a D 、0112<<-a 16. 如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )A 、12-π B 、41π- C 、13-πD 、61π-17. 两个反比例函数x y 3=，xy 6=在第一象限内的图象点1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反比例函数xy 6=上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2007x ，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2007P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次为)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、),('2007'20072007y x Q ，则=20072007Q P18. “五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩。
华师一附中高中提前自主招生考试数学训练题
华师一附中高中提前自主招生考试数学训练题一、选择题1．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．︒=∠30ADC ， AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A ） B ）4 （C ）（D ）4.52. 设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax ，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且1x <<12x ，那么实数a 的取值范围是( ) A 、112-<a B 、5272<<-a C 、52>a D 、0112<<-a3. 如图AC ⊥BC 于C ，BC ＝a, CA=b, AB=c, ⊙O 与直线AB 、BC 、AC都相切，则⊙O 的半径为（ ）A.2a b c +- B. 2b c a +- C. 2a b c ++ D. 2a c b+- 4. 如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为（ ）A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-25. 如图线段AB,CD 将大长方形分成四个小长方形，其中18S =，26S =，35S =，则4S =（ ）A. 203B. 53C.10D. 1036. 如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )A 、12-πB 、41π-C 、13-π D 、61π- 7. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值为（ ）A. 21B.22C. 1D.2OABC 3题图AS BD1C 5题图S 2S 4S 3a8. .已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 39. 如图9-2，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于 （ ）A.65 B.54 C.43 D.32 10. 如图，D 、E 在BC 上，F 、G 分别在AC 、AB 上，且四边形DEFG 为正方形．如果S △CFE ＝S △AGF ＝1，S △BDG ＝3，那么 S △ABC 等于 ( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 11. 如果a +b +c =0,1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为 (A)3 (B)8 (C)16 (D) 20 12. 如果a 、b 是关于x 的方程(x +c )(x +d )=1的两个根，那么(a +c )(b +c )等于 (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) c 213. .如图，Rt △ABC 的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB 、AC 为直径分别作圆. 则这两圆的公共部分面积为( )(A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π14. 如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、22<<-aB 、23≤<aC 、23≤<-aD 、23≤≤-a 15. 如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点， DF BD 、分别交CE 于点HG 、，若正方形ABCD 的面积是240， 则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ） A 、26 B 、28 C 、24 D 、3EF GFE D CAE DCBA16. 有四位同学参加一场竞赛.竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分;选乙题答对得90分，答错得-90分.若四位同学的总分为0，则这四位同学不同得分情况的种数是( ) . (A)18 (B) 24 (C)36 (D)4817. 如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 在AC 上，且∠AED ＝90°+21∠C ，则BC+2AE 等于( B ) A ．AB B ．ACC ．23AB D ．23AC 二、填空题1. 如果a ，b ，c 是正数，且满足， 那么的值为 ．2. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 3 已知12x x ，为方程2420xx ++=的两实根，则3121455x x ++=4. 在△ABC 中，AC=2011,BC=2010,20112010+=AB 则=∙C A cos sin5 如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ． 6. 两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象点1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反比例函数xy 6=上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2007x ，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2007P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次为)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、),('2007'20072007y x Q ，则=20072007Q P7. 已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长8. 如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）；点n A （ ， ）．9. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，?把它们分别标号为?1，?2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球。
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精品文档
2016华师一附中自招考试数学试题
一、选择题
(2016华一高自招)1.已知方程1x ax =+有一个负根，而且没有正根，则a 的取值范围是( )
A ．1a >-
B ．1a ≥
C ．1a =
D ．1a >
(2016华一高自招)2.关于x 的方程
2
1212x x a
x x x x +-=+-+-的根为负数，则a 的值为( ) A ．3a ≠- B ．3a ≠ C ．1a <-且3a ≠- D ．1a >-且3a ≠
(2016华一高自招)3.如图，抛物线21(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,3)A ，且与x 轴有一个交点为(4,0)B ，直线2y mx n =+与抛物线交于A 、B 两点，下列结论：
①20a b +=； ②0abc >； ③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(1,0)-， ⑤当14x <<时，有21y y < 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．②④⑤
(2016华一高自招)4.已知,αβ是方程2260x ax a -++=的两实数根，那么22(1)(1)αβ+++的最小值为( )
A ．414-
B ．
2
C ．10
D ．32
(2016华一高自招)5.设S =⋅⋅⋅+S 最接近的整数是( ) A ．2015 B ．2016 C ．2017 D ．2018
(2016华一高自招)6.如图，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，6AB =，⊙A 、⊙B 的半径分别为4和2，P 、E
、F 分别是线段CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE PF +的最大值是
( ) A ．12
B ．16
C ．18
D ．
6
C
二、填空题
(2016华一高自招)7.如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，
则米粒落在阴影区域内的概率是
G E
B
D
(2016华一高自招)8.已知
222
x y z x y z x y z
z y x
+--+-++
==且0
xyz≠，则
()()()
x y y z z x
xyz
+++
=
(2016华一高自招)9.满足1
mx m n
+-=的整数对(,)
m n共有对
(2016华一高自招)10.已知
22
(1)5
6
p q p
p q pq
++=
⎧
⎨
+=
⎩
，则以p、q为实数根的一元二次方程为
(2016华一高自招)11.函数
3
max{4,,}
y t t
t
=-+表示对于给定的t的值，代数式4
t-+、t、
3
t
的值中最大的数，例如当1
t=-时，max{5,1,3}5
y=--=，当1
t=时，max{3,1,3}3
y==，则当t=时函数y的值最小
(2016华一高自招)12.在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为
(1)直线23
y x
=-+通过这样的点
(2)不论m取何非零实数值，抛物线2(21)3
y mx m x m
=+--都不通过这样的点
三、解答题
(2016华一高自招)13.对于任意实数k，方程2222
(1)2()40
k x k a x k k b
+-++++=总有一个根是1
(1)求实数a、b
(2)求另一个根的范围
(2016华一高自招)14.如图，在平面直角坐标系中，直线
1
4
2
y x
=+与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作
⊙
1
O，过B作⊙
1
O的切线交x轴于点C
(1)求C点的坐标
(2)设点D为BC延长线上一点，CD BC
=，P为线段BC上一动点(异于B、C)，过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM PN
+是否为定值，如果是，求出这个值，若不是，说明理由
(2016华一高自招)15.在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BAC D ∠=∠，点E 在边BC (点C 除外)上运动，点F 在边CD 上运动，且AEF ACD ∠=∠
(1)如图1，若AB kBC =(k 为常数)，则AE 与EF 之间是否存在某种确定的数量关系，若存在，请证明，若不存在，请说明理由
(2)如图2，若5AB AC ==，24
25
sin BAC ∠=，BAC ∠为锐角，设EF 的长度为m ，当E 、F 点运动时，求m 的变化范围
E
B
B
(2016华一高自招)16.已知抛物线2:24C y x x =-+，其顶点为E ，与y 轴交于点D
(1)直线2:(0)l y kx k =>与抛物线C 交于不同两点P 、Q ，并与直线1:28l y x =-+交于点R ，分别过P 、Q 、R 作x 轴的
垂线，其垂足依次都1P 、1Q 、1R ，若1
1111u OP OQ OR +=，求u 的值
(2)若直线31
:83
l y x =-+与抛物线C 在第一象限交于点B ，交y 轴于点A ，求ABD DBE ∠-∠的值
(3)若13
(1,)4
F 、(0,8)A ，请在抛物线C 上找一点K ，使得KFA ∆的周长最小，并求出周长的最小值。