2016-2017年《金版学案》数学·必修5(苏教版)练习：章末过关检测卷(二) Word版含解析

章末过关检测卷(二)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．在等差数列{a n }中，已知a 6＝8，则前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：由等差数列的求和公式和性质可得：S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝88. 答案：B2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ B ．(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 解析：依题意可知⎩⎨⎧a 9≤0，a 10＞0，即⎩⎨⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d ＞0，解得83＜d ≤3. 答案：D3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9根B ．10根C ．19根D ．29根解析：设钢管被放成n 层，则钢管数为S n ＝n （n ＋1）2，当n ＝19时，钢管数为190，当n ＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.答案：B4．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1 ·(4a 1－6)．解得a 1＝－12. 答案：D5．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：由等比数列的前三项为x ，3x ＋3，6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.答案：A6．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是( )A ．a 11B ．a 10C ．a 9D ．a 8解析：因为数列{a n }的前11项的平均值是5，即a 1＋a 112＝5，故得a 11＝15，又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a 11.答案：A7．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：由已知a n ＝70＋(n －1)·(－9)＝79－9n .令a n ＝0得n ＝799，所以n ＝9时，|a 9|＝|－2|＝2， 即绝对值最小的项为a 9.答案：B8．若{a n }，{b n }满足a n ·b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( )A.12B.512C.13D.712解析：b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2），用裂项法可求{b n }的前10项和为512. 答案：B9．将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示)，根据图中规律，数阵中第n 行(n ≥3)的从左到右的第3个数是( )12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … … … …A.n （n －1）2B.n （n ＋1）2C.n （n －1）2＋3D.n （n ＋1）2＋3 解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{a n }，由表格可知a n －a n －1＝n －1，由叠加法可得a n ＝1＋n （n －1）2，故第n 行第3个数为n （n －1）2＋3. 答案：C10．各项都是正数的等比数列{a n }中，公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( ) A.－1－52 B ．2＋ 5 C.5＋12 D.5－12解析：由2a 5＝a 3＋a 6，得2a 1q 4＝a 1q 2＋a 1q 5，即2q 2＝1＋q 3，q 2－1＝q 3－q 2，因为q ≠1，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52，又a n >0，所以q ＝1＋52. 而a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 1q 2（1＋q 2）a 1q 3（1＋q 2）＝1q ＝5－12. 答案：D11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( )A ．d ＜0B ．d ＞0C ．a 1d ＜0D ．a 1d ＞0解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n －1)d ，又由于{2a 1a n }为递减数列，所以2a 1a n 2a 1a n ＋1＝2－a 1d ＞1＝20，所以a 1d ＜0. 答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2015·课标全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝______．解析：由题意知{a n }为等比数列．首项a 1＝2，公比q ＝2，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，得n ＝6. 答案：614．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，a 1＝2，且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项公式b n ＝________．解析：由3a n ＋1＝a n ，a 1＝2得a n ＝2×13n ＋1，又因为b n ＝a n ＋a n ＋12，所以b n ＝2×13n －1＋2×13n 2＝13n －1＋13n ＝43n . 答案：43n 15．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋2tn ，当且仅当n ＝7时S n 最大，则t 的取值范围是________．解析：数形结合，利用二次函数图象可得对称轴x ＝t ∈(6.5，7.5)． 答案：(6.5，7.5)16．(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝__________.解析：因为 a 2，a 3，a 7成等比数列，所以 a 23＝a 2·a 7，所以 (a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又因为 2a 1＋a 2＝1，所以 3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 答案：23－1 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和为S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，解得a 1＝1，d ＝12， 故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3. 数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n (n ∈N *)．(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －113－3n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －110 ＝n 10（10－3n ）. 19．(本小题满分12分)(2015·北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4.所以a 4＝4＋2(n －1)＝2n ＋2 (n ＝1，2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }中的第63项相等．20．(本小题满分12分)(2015·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． (1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78. (2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为 4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以 4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以 a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝ 2a n ＋1－a n2（2a n ＋1－a n ）＝12， 所以 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．21．(本小题满分12分)用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.解：由题易得x (1＋1%)19＋x (1＋1%)18＋…＋x (1＋1%)＋x ＝1000(1＋1%)20，即x ·（1＋1%）20－11%＝1 000×(1＋1%)20， 所以x ＝1 000×1%×（1＋1%）20（1＋1%）20－1≈55.45，即每月还款55.45元． 所以买这件家电实际付款55.45×20＋150＝1 259(元)，每月还款55.45元．22．(本小题满分12分)(2014·课标全国Ⅰ卷)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和． 解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12， 从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. (2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.。