平行线与相交线知识点

平行线与相交线知识点
1. 相交线
同一平面中，两条直线的位置有两种情况：
相交：如图所示，直线AB 与直线CD 相交于点O ，其中以O 为顶点共有4个角： ∠1，∠2，∠3，∠4；
邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。

像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角；
对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O ，并且∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。

所以，对顶角相等 例题：
1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。

2.如图，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，且AB CD ⊥，∠=︒127，则∠=2_______，∠=FOB __________。

C
E
A 2 O
B 1 F
D
垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。

如图所示，图中AB ⊥CD ，垂足为O 。

垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90︒。

例题：
如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠1＝26︒，求∠EOD ，∠2，∠3的度数。

(思考：∠EOD 可否用途中所示的∠4表示？)
垂线相关的基本性质：
（1） 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
（2） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3） 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例题：假设你在游泳池中的P 点游泳，AC 是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？
2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b
3.同一个平面中的三条直线关系：
三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交
点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶
点形成各个角，可以用角的相关知识解决；
例题：
如图，直线AB,CD,EF相交于O点，∠DOB是它的余角的两倍，∠AOE＝2∠DOF,且有OG⊥OA，求∠EOG的度数。

（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。

）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。

这三条直线形成了两个顶点，
围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三
条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条
直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三
条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：
两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；
两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等
两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：
1.如图，已知∠1＋∠2＝180︒，∠3＝180︒，求∠4的度数。

2.如图所示，AB//CD，∠A＝135︒，∠E＝80︒。

求∠CDE的度数。

平行线判定定理：
两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？
两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行： 平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行
如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行
如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD 平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行
如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4＝180︒），就可以说AB//CD
平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行
这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中∠1＝∠2＝90︒就可以得到。

例题：
1.已知：AB//CD ，BD 平分∠ABC ，DB 平分∠ADC ，求证：DA//BC
A
B
12D
C
34
D E F
31
24
A B C
2.已知：AF 、BD 、CE 都为直线，B 在直线AC 上，E 在直线DF 上，且∠=∠12，∠=∠C D ，求证：∠=∠A F 。

（3）有三个交点
当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。

如下图所示：
你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？
三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：
这种情况下，三条直线都平行，如右图所示：
即a//b//c 。

这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。

例题：
如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与CD 有怎样的位置关系，为什么？
相交线与平行线作业题
一．选择题：
1. 如图，下面结论正确的是（ ）
A. ∠∠12和是同位角
B. ∠∠23和是内错角
C. ∠∠24和是同旁内角
D. ∠∠14和是内错角
2. 如图，图中的内错角的对数是（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
3．如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（ ） A. 42138
、
B. 都是10
C. 42138 、或4210
、 D. 以上都不对
4.如图,如果AB∥CD,那么图中相等的内错角是( )
A.∠1与∠5,∠2与∠6;
B.∠3与∠7,∠4与∠8;
C.∠5与∠1,∠4与∠8;
D.∠2与∠6,∠7与∠3
5.下列语句:①三条直线只有两个交点,则其中两条直线互相平行; ②如果两条平
行线被第三条截,同旁内角相等,那么这两条平行线都与第三条直线垂直; ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中( ) A.①、②是正确的命题 B.②、③是正确命题 C.①、③是正确命题 D.以上结论皆错
6.下列与垂直相交的洗法:①平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;③平行内, 一条直线不可能与两条相交直线都垂直,其中说法错误个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）
A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
B ．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C ．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°
D ．第一次向右拐40°，第二次向右拐40° 二．填空
1． 已知：如图，AO BO ⊥∠=∠，12。

求证：CO DO ⊥。

证明： AO BO ⊥（ ） ∴∠=︒AOB 90（ ） ∴∠+∠=︒1390 ∠=∠12（
）
∴∠+∠=︒2390
∴⊥CO DO （ ）
2．如图所示，已知∠AOB=50°，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC= ___°，∠PDO=______°
1
2 3
4
B
C D
2 3 1
O A
8
7
6
5
4
32
1
D
C
B A
三．解答题
1．如图，已知：AB//CD ，求证：∠B+∠D+∠BED=360︒（至少用三种方法）
2．已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A=∠D ，∠1=∠2，求证：∠B=∠C 。

3．已知：如图，∠=∠∠=∠123，，B AC DE //，且B 、C 、D 在一条直线上。

求证：AE BD //
4．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012
，。

求证：∠=∠E F
5．已知：如图，∠=∠∠=∠∠=∠123456，，。

求证：ED FB //
6．如图，DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。

7.如图,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA 平分∠BDF. (1)AE 与FC 会平行吗?说明理由； (2)AD 与BC 的位置关系如何?为什么?
(3)BC 平分∠DBE 吗?为什么？
A E 3 1 2 4
B C D A B 1 E F 2 C P D F E
2
1
D
C
B
A
E
A B
C
D
2 A
B
E C
F D H
G 1 F
E 4 A G 1 B 5 3 6 2 C D。