浙江省温州市瑞安市六校联盟2019-2020学年九年级上学期期末数学试题

浙江省温州市瑞安市六校联盟2019-2020学年九年级上学期期末数

学

一．选择题（共10小题）

1.若3a＝5b，则a：b＝（）

A. 6：5

B. 5：3

C. 5：8

D. 8：5

【答案】B

【解析】

【分析】

由比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积即可得出结果．

【详解】解：∵3a＝5b，

∴a

b

＝

5

3

，

故选：B．

【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知两内项之积等于两外项之积.

2.一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下事件中，发生的可能性最大的是( )

A. 摸出的是白球

B. 摸出的是黑球

C. 摸出的是红球

D. 摸出的是绿球

【答案】A

【解析】

【分析】

个数最多的就是可能性最大的．

【详解】解：因为白球最多，

所以被摸到的可能性最大．

故选A ．

【点睛】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．

3.已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）

A. 点P 在⊙O 内

B. 点P 在⊙O 外

C. 点P 在⊙O 上

D. 无法判断 【答案】B

【解析】

【分析】

比较OP 与半径的大小即可判断.

【详解】r 5=，d OP 6==，

d r ∴>，

∴点P 在O 外，

故选B ．

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ?>；②点P 在圆上d r ?=；①点P 在圆内d r ?<.

4.若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）

A. y=5（x ﹣2）2+1

B. y=5（x+2）2+1

C. y=5（x ﹣2）2﹣1

D. y=5（x+2）2﹣1 【答案】A

【解析】

试题解析：将抛物线25y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位,

得到的抛物线的解析式是()252 1.y x =-+

点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.

5.如图，在?ABCD 中，F 为BC 的中点，延长AD 至E ，使DE ：AD ＝1：3，连接FF 交DC 于点G ，则DG ：CG ＝（ ）

A. 1：2

B. 2：3

C. 3：4

D. 2：5

【答案】B

【解析】

【分析】 由平行四边形的性质可得AD ＝BC ，AD ∥BC ，可证△DEG ∽△CFG ，可得

DG DE CG CF =＝23

． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，

∵F 为BC 的中点， ∴CF ＝BF ＝12BC ＝12

AD ， ∵DE ：AD ＝1：3，

∴DE ：CF ＝2：3，

∵AD ∥BC ，

∴△DEG ∽△CFG ， ∴DG DE CG CF =＝23

． 故选：B ．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判

6.点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）

A. y1＜y2＜y3

B. y1＝y3＜y2

C. y3＜y2＜y1

D. y1＜y3＜y2

【答案】C

【解析】

【分析】

先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小．

【详解】二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象的对称轴为直线x＝﹣2，

又a=-1, 二次函数开口向下，

∴x＜-2时，y随x增大而增大，x＞-2时，y随x增大而减小，

而点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大，

所以y3＜y2＜y1．

故选：C．

【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.

7.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）

A. 6

B. 13

C. 1313

【解析】

【详解】延长AO交BC于D，

连接OB，

∵⊙O过B、C，

∴O在BC的垂直平分线上，

∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC 的内部，∴AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，由勾股定理得：22DO BD13+=．故选C．8.二次函数y＝﹣x2+2mx（m为常数），当0≤x≤1时，函数值y的最大值为4，则m的值是（）

A. ±2

B. 2

C. ±2.5

D. 2.5

【答案】D

【解析】

【分析】

分m≤0、m≥1和0≤m≤1三种情况，根据y的最大值为4，结合二次函数的性质求解可得．

【详解】y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2（m为常数），

①若m≤0，当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+m2＝4，

m不存在，

②若m≥1，当x＝1时，y＝﹣（1﹣m）2+m2＝4，解得：m＝2.5；③若0≤m≤1，当x＝m时，y＝m2＝4，即：m2＝4，解得：m＝2或m＝﹣2，∵0≤m≤1，∴m＝﹣2或2都舍去，故选：D．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意分三种情况讨论. 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，恰好使B′C′∥AB，A'C′与AB交于点E，则A′E的长为（）

A. 3

B. 3.2

C. 3.5

D. 3.6

【答案】D

【解析】

【分析】

如图，过点D作DF⊥AB，可证四边形EFDC'是矩形，可得C'E＝DF，通过证明△BDF∽△BAC，可得DF AC

=，可求DF＝2.4＝C'E，即可求解．

BD AB

【详解】如图，过点D作DF⊥AB，

∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB223664

+=+10，

AB BC

∵将Rt△ABC绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，

∴AC＝A'C'＝6，∠C＝∠C'＝90°，CD＝BD＝4，

∵AB∥C'B'

∴∠A'EB＝∠A'C'B'＝90°，且DF⊥AB，

∴四边形EFDC'是矩形，

∴C'E＝DF，

∵∠B＝∠B，∠DFB＝∠ACB＝90°，

∴△BDF∽△BAC

∴DF AC BD AB

=，

∴

6 410 DF

=

∴DF＝2.4＝C'E，

∴A'E＝A'C'﹣C'E＝6﹣2.4＝3.6，

故选：D．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知旋转的定义、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.

10.如图，点A，B的坐标分别为（0，8），（10，0），动点C，D分别在OA，OB上且CD＝8，以CD为直径作⊙P交AB于点E，F．动点C从点O向终点A的运动过程中，线段EF长的变化情况为（）

A. 一直不变

B. 一直变大

C. 先变小再变大

D. 先变大再变小

【答案】D

【解析】

【分析】

如图，连接OP，PF，作PH⊥AB于H．点P的运动轨迹是以O为圆心、OP为半径的⊙O，易知EF＝2FH ＝222

16

PF PH PH

--PH的值由大变小再变大，推出EF的值由小变大再变小．【详解】如图，连接OP，PF，作PH⊥AB于H．

∵CD＝8，∠COD＝90°，

∴OP＝1

2

CD＝4，

∴点P的运动轨迹是以O为圆心OP为半径的⊙O，

∵PH⊥EF，

∴EH＝FH，

∴EF＝2FH＝2222

16

PF PH PH

-=-，

观察图形可知PH

的值由大变小再变大，∴EF的值由小变大再变小，故选：D．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知勾股定理及直角坐标系的特点.

二．填空题（共6小题）

11.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是

【答案】1

3．

【解析】【分析】

分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可．

【详解】有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3

的倍数的概率是21 63 =．

故答案为1 3

【此处有视频，请去附件查看】

【点睛】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

12.已知扇形的面积为3πcm2，半径为3cm，则此扇形的圆心角为_____度．【答案】120

【解析】

【分析】

利用扇形的面积公式：S＝

2

360

n rπ

计算即可．

【详解】设扇形的圆心角为n°．

则有3π＝

2

3 360

nπ?，

解得n＝120，

故答案为120

【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用.

13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝_____°．

【答案】75

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理求出ABC ∠，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．

【详解】180105ABC BAC ACB ∠=-∠-∠=，

四边形ABCD 内接于O ，

18075ADC ABC ∴∠=-∠=，

故答案为75．

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

14.如图，在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝6，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E ，则DE 的长为_____．

【答案】2.4

【解析】

【分析】

由条件可证出DE ＝EC ，证明△AED ∽△ACB ，利用对应边成比例的知识，可求出DE 长．

【详解】∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，

又∵DE∥BC，

∴∠EDC＝∠DCB，

∴∠ACD＝∠EDC，

∴DE＝EC，

设DE＝x，则AE＝4﹣x，

∵DE∥BC，

∴△AED∽△ACB，

∴AE DE AC BC

=，

即4

46

x x -

=，

∴x＝2.4．

故答案为：2.4．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据相似三角形找到对应线段成比例. 15.如图，C，D是抛物线y＝5

6

（x+1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E，CD∥x轴，四边形ABCD为正方形，AB边经过点E，则正方形ABCD的边长为_____．

【答案】24 5

【分析】

首先设AB ＝CD ＝AD ＝BC ＝a ，再根据抛物线解析式可得E 点坐标，表示出C 点横坐标和纵坐标，进而可得方程2524

a ﹣5﹣a ＝﹣5，再解即可． 【详解】设AB ＝CD ＝AD ＝BC ＝a ，

∵抛物线y ＝56

（x +1）2﹣5， ∴顶点E （﹣1，﹣5），对称轴为直线x ＝﹣1，

∴C 的横坐标为

2a ﹣1，D 的横坐标为﹣1﹣2

a ， ∵点C 在抛物线y ＝56（x +1）2﹣5上， ∴C 点纵坐标为56（2a ﹣1+1）2﹣5＝2524

a ﹣5， ∵E 点坐标为（﹣1，﹣5），

∴B 点纵坐标为﹣5，

∵BC ＝a ， ∴2

524

a ﹣5﹣a ＝﹣5， 解得：a 1＝

245

，a 2＝0（不合题意，舍去）， 故答案为：245． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、正方形的性质.

16.图甲是小张同学设计带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E 、F 、G 、H 分别为矩形AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AB ＝4，BC ＝6，则图乙中阴影部分的面积为

【答案】22 5

【解析】

【分析】

根据S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN，再求出菱形PHQF的面积，△HTN的面积即可解决问题．【详解】如图，设FM＝HN＝a．

由题意点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，

∴四边形DFBH和四边形CFAH为平行四边形，

∴DF∥BH,CH∥AF，

∴四边形HQFP是平行四边形

又HP=1

2

CH=DP=PF，

∴平行四边形HQFP 是菱形，它的面积＝

14S 矩形ABCD ＝14×4×6＝6， ∵FM ∥BJ ，CF ＝FB ，

∴CM ＝MJ ，

∴BJ ＝2FM ＝2a ，

∵EJ ∥AN ，AE ＝EB ，

∴BJ ＝JN ＝2a ，

∵S △HBC ＝12?6?4＝12，HJ ＝35

BH ， ∴S △HCJ ＝35×12＝365

， ∵TN ∥CJ ，

∴△HTN ∽△HCJ ， ∴HTN HCJ S S ＝（HN HJ ）2＝19， ∴S △HTN ＝19×365＝45

， ∴S 阴＝S 菱形PHQF ﹣2S △HTN ＝6﹣85＝225

， 故答案为225

． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、菱形的判定与性质及相似三角形的性质.

三．解答题（共8小题）

17.作图题：⊙O 上有三个点A ，B ，C ，∠BAC ＝70°，请画出要求的角，并标注．

（1）画一个140°的圆心角；（2）画一个110°的圆周角；（3）画一个20°的圆周角．

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据∠BAC＝70°，画一个140°的圆心角，与∠BAC同弧即可；（2）在劣弧BC上任意取一点P画一个∠BPC即可得110°的圆周角；（3）过点C画一条直径CD，连接AD即可画一个20°的圆周角．

【详解】（1）如图1所示：∠BOC=2∠BAC＝140°

∴∠BOC即为140°的圆心角；

（2）如图2所示：∠BPC=180°-∠BAC=110°，

∴∠BPC即为110°的圆周角；

（3）连接CO并延长交圆于点D，连接AD，

∵∠DAC=90°，∴∠BAD=90°-∠BAC=20°

∴则∠BAD即为20°的圆周角．

【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.

18.有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．

（1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率；

（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．

【答案】（1）图见解析，概率为1

4

；（2）不公平，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；

（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．

【详解】（1）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，

∴P（和小于4）＝3

12＝

1

4

，

∴小颖参加比赛的概率为：1

4；

（2）不公平，

∵P （小颖）＝14

， P （小亮）＝34

． ∴P （和小于4）≠P （和大于等于4），

∴游戏不公平．

【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图进行求解.

19.已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点（0，6）和（1，8）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）①当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？

②当x 在什么范围内时，y ＞0？

【答案】（1）y ＝﹣2x 2+4x +6；（2）①当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；②当﹣1＜x ＜3时，y ＞0

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点（0，6）和（1，8），可以求得该抛物线的解析式；

（2）①根据（1）求得函数解析式，将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大；

②根据（1）中的函数解析式可以得到x 在什么范围内时，y ＞0．

【详解】（1）∵二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点（0，6）和（1，8），

∴26

218c b c =??-?++=?，得46b c =??=?

， 即该二次函数的解析式为y ＝﹣2x 2+4x +6；

（2）①∵y ＝﹣2x 2+4x +6＝﹣2（x ﹣1）2+8，

∴该函数的对称轴是x＝1，函数图象开口向下，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大；

②当y＝0时，0＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），

解得，x1＝3，x2＝﹣1，

∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．

【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据待定系数法求出二次函数的解析式.. 20.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？

【答案】1.05里

【解析】

【分析】

首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【详解】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，

∴FA∥EG，EA∥FH，

∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，

∴△GEA∽△AFH，

∴GE AE AF HF

．

∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，

∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，

∴15 4.5 3.5HF

，

∴FH＝1.05里．

【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.

21.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）如图1，求△BCD的面积；

（2）如图2，P是抛物线BD段上一动点，连接CP并延长交x轴于E，连接BD交PC于F，当△CDF的面积与△BEF的面积相等时，求点E和点P的坐标．

【答案】（1）3；（2）E（5，0），P（13

5，﹣

36

25

）

【解析】

【分析】

（1）分别求出点C，顶点D，点A，B的坐标，如图1，连接BC，过点D作DM⊥y轴于点M，作点D 作DN⊥x轴于点N，证明△BCD是直角三角形，即可由三角形的面积公式求出其面积；

（2）先求出直线BD的解析式，设P（a，a2﹣2a﹣3），用含a的代数式表示出直线PC的解析式，联立两解析式求出含a的代数式的点F的坐标，过点C作x轴的平行线，交BD于点H，则y H＝﹣3，由△CDF 与△BEF的面积相等，列出方程，求出a的值，即可写出E，P的坐标．