广东省中山市高一级学年度第一学期期末统一考试数学科试卷

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广东高一上学期期末数学试题(解析版)

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算：（1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。

中山市高一级数学科试卷6页word文档

中山市高一级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共100分，考试时间100分钟。

注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

5、参考公式：球的体积公式34,3V R π=球，其中R 是球半径．锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式V 台体1()3h S S '=，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1．如果{}5,4,3,2,1=S ，{}4,3,1=M ，{}5,4,2=N ，那么()()N C M C S S ⋂等于A ．φB ．{}3,1C ．{}4D ．{}5,22．下列函数中，在定义域上既是增函数又是奇函数的是A ．x y 2=B ．x y lg =C ．3x y =D ． 1y x=3．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形。

②平行四边形的直观图是平行四边形。

③正方形的直观图是正方形。

④菱形的直观图是菱形以上结论，正确的是 A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④4．若213211()(),22a a +-<则实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．1(,)2+∞C ．(,1)-∞D ．1(,)2-∞5．方程ln 3x x +=的解所在区间是A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）6．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 A B ．12πC D 7．倾斜角为30°，且经过点（0，1）的直线方程是 A ．0x += B ．0x =C 10y +-=D 10y -+=8．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，则下列叙述错误的是A ．若//,//m l n l ，则//m nB ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ 正视俯视侧视C ．若//,//m n αα ，则//m nD ．若m β⊥ ，αβ⊥ ，则//m α或m α⊂ 9．设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2)f -，()f π，(3)f -的大小关系是A ．()(3)(2)f f f π>->-B ．()(2)(3)f f f π>->-C ．()(3)(2)f f f π<-<-D ．()(2)(3)f f f π<-<-10．关于函数xxx f +-=11lg)(，有下列三个命题： ①对于任意)1,1(-∈x ，都有()()f x f x -=-； ②)(x f 在)1,1(-上是减函数；③对于任意)1,1(,21-∈x x ，都有)1()()(212121x x x x f x f x f ++=+；其中正确命题的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上） 11．71log 13y x=-函数的定义域是 12．三个数0.377,0.3,ln 0.3的大小关系是 13．点(2,3)A -到直线:3430l x y ++=的距离为14．若三直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点，则k = 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 44分。

广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b23．函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．已知定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，则不等式（x+3）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，3）5．若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝（）A．B．C．2D．36．已知函数的值域是（）A．（﹣∞，2〗B．（0，2〗C．〖2，+∞）D．7．已知函数f（x）与g（x）的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A．y＝f（g（x））B．y＝f（x）g（x）C．y＝g（f（x））D．y＝8．设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A．（∁U A）∩B B．∁B（A∩B）C．∁U（A∩（∁U B））D．∁A∪B A10．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，则（）A．a＜0B．a﹣b+c＞0C．c＞0D．a+b＝011．已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在上单调递减12．若0＜x1＜x2＜……＜x n＜1，则下列结论正确的有（）A．log（log x2）＜log（log x2）B．log（log x2）＞log（log x2）C．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＞0 D．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＜0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，则m＝．14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为π，则该勒洛三角形的面积为．15．写出一个值域为（﹣∞，1），在区间（﹣∞，+∞）上单调递增的函数f（x）＝．16．若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：．（2）已知tanα＝2，求的值．18．（12分）对于等式a b＝c（a＞0，a），如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a （即x）的函数，记为y，那么y＝x b，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c 为关于b（即x）的函数，记为y，那么y＝a x，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么y＝log a x，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y．（1）试将y表示成x的函数f（x）；（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数f（x）的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．19．（12分）中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）⋅e﹣kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从98℃下降到90℃所用时间1分58秒从98℃下降到85℃所用时间3分24秒从98℃下降到80℃所用时间4分57秒（Ⅰ）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值（精确到0.01）．（Ⅱ）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，200ml水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．（A）5（B）7（C）10（参考数据：ln79＝4.369，ln71＝4.263，ln66＝4.190，ln61＝4.111，ln56＝4.025）20．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin x+a．（1）f（x）＝0有解时，求实数a的取值范围；（2）当x∈R时，总有，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若，则当x为何值时，g（x）取得最小值？并求出其最小值．22．（12分）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a＝﹣2，b＝3，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C〖解析〗∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}，∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件．故选：C．2．C〖解析〗对于A选项，若a＞b，c＝0时，ac＝bc，故A选项错误，对于B选项，当a＞0，b＜0时，，故B选项错误，对于C选项，∵ac2＞bc2，即（a﹣b）c2＞0且c2＞0，∴a﹣b＞0，即a＞b，故C选项正确，对于D选项，当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故D选项错误．故选：C．3．A〖解析〗∵函数f（x）＝e x+x﹣2，∴f（0）＝1+0﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0，故有f（0）f（1）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（0，1），故选：A．4．D〖解析〗定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，可得f（x）在〖0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）＝f（3）＝0，所以f（x）＜0的解集为（﹣3，3），f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），则（x+3）f（x）＜0等价为或，即为或，解得﹣3＜x＜3或x＜﹣3，即所求解集为（﹣3，3）∪（﹣∞，﹣3）．故选：D．5．B〖解析〗由题意可知函数在x＝时取得最大值，就是，k∈Z，所以ω＝6k+；只有k＝0时，ω＝满足选项．故选：B．6．B〖解析〗函数，因为x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，又函数y＝在R上为单调递减函数，所以，则函数的值域是（0，2〗．故选：B．7．B〖解析〗由图1知，函数f（x）为偶函数，函数g（x）为奇函数，图2中的函数为奇函数，选项A，令h（x）＝f（g（x）），则h（﹣x）＝f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝f（g（x））＝h（x），所以函数y＝f（g（x））为偶函数，不符合题意；选项C，令F（x）＝g（h（x）），则F（﹣x）＝g（f（﹣x））＝g（f（x））＝F（x），所以函数y＝g（f（x））为偶函数，不符合题意；选项D，g（x）作为分母，不能为0，与图1不符，故选：B．8．D〖解析〗∵b＝log34＝＝，c＝log58＝＝，∴b﹣c＝﹣＝＝＝＜0，∴b＜c，∵log55＜log58，∴1，∵a＝，∴a，∴b＜c＜a，故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABD〖解析〗由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中，所以阴影部分所表示的集合是B∩（∁U A），∁A∪B A，∁B（A∩B），故选：ABD．10．ABC〖解析〗∵不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，∴﹣2，1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且a＜0，∴﹣2+1＝﹣，﹣2×1＝，∴a＝b，c＝﹣2a＞0，∴a﹣b+c＝﹣2a＞0，a+b＝2a＜0，因此ABC正确，D不正确．故选：ABC．11．BC〖解析〗由题意知，函数f（x）的最小正周期T＝4×＝π，即选项A错误；∴＝π，即ω＝2，∴f（x）＝3sin（2x+），∵f（﹣）＝3sin〖2•（﹣）+〗＝3sin0＝0，∴选项B正确；∵f（）＝3sin（2•+）＝3sin＝﹣3，∴选项C正确；令2x+∈〖2kπ﹣，2kπ+〗，则x∈〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，当k＝0时，递增区间为〖﹣，〗，即选项D错误．故选：BC．12．AD〖解析〗先证明：对任意0＜a＜b＜1，0＜c＜d＜1有log c（log a b）＜log d（log a b），证明如下：因为0＜a＜b＜1，所以f（x）＝log a x单调递减（此时是定值），故f（a）＞f（b）＞f（1），即0＜log a b＜1，记t＝log a b，则0＜t＜1，g（x）＝log t x单调递减，故g（c）＞g（d）＞g（1），即0＜log t d＜log t c，故0＜log c t＜log d t，代入t＝log a b，即log c（log a b）＜log d（log a b），取a＝c＝x1，b＝d＝x2时，可得选项A正确，B错误；应用上述证明可得++⋯⋯+＜++⋯⋯+＝•⋯⋯〗＝log1＝0，故选项D正确，选项C错误．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．-1〖解析〗∵幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣3m﹣3＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．〖解析〗设等边三角形ABC的边长为a，则，解得a＝3，所以弧AB与AC，BC围成的扇形的面积为×πa2＝，所以该勒洛三角形的面积．故答案为：．15．1﹣〖解析〗f（x）＝1﹣，理由如下：∵y＝为R上的减函数，且＞0，∴f（x）＝1﹣为R上的增函数，且f（x）＝1﹣＜1，∴f（x）＝1﹣∈（﹣∞，1），故答案为：1﹣．16．〖解析〗因为xy≠0，所以＝，又x＞0，y＞0，x+2y＝1，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）＝×+﹣1＝1+3﹣1＝3．（2）∵tanα＝2，∴＝＝＝2．18．解：（1）若x y＝e，则f（x）＝ln x，（2）函数定义域（0，+∞），值域R，在（0，+∞）上单调递增，非奇非偶函数，函数图象如图所示，19．解：（Ⅰ）由，得，即，．在环境温度为θ0＝19℃，选取从θ1＝98℃下降到θ＝90℃所用时间约为2分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝85℃所用时间约为3.4分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝80℃所用时间约为5分钟这组数据，有，即．故k≈0.05；（Ⅱ）200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B．理由如下：由（Ⅰ）得，当θ＝75℃时，有t＝20×（ln79﹣ln56）≈6.88．所以200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．故选：B．20．解：（1）由已知得，f（x）＝cos2x﹣sin x+a＝0所以a＝sin x﹣cos2x＝sin2x+sin x﹣1＝（sin x+）2﹣∈〖﹣，1〗；（2）由已知得恒成立，则，另a≤sin x﹣cos2x+＝sin2x+sin x+＝〖（sin x+）2+3〗min＝3，所以实数a的取值范围为〖2，3〗．21．（1）证明：在区间（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（2x1﹣）﹣（2x2﹣）＝2（x1﹣x2）﹣（﹣）＝2（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（2+），因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）解：因为＝﹣2（log2x+），由f（x）的定义域为（0，+∞）得：﹣log2x＞0，即0＜x＜1，令log2x＝t，0＜x＜1，则t＜0，当t＜0时，y＝2〖（﹣t）+〗≥4＝4，当且仅当﹣t＝，即t＝﹣1时，等号成立，即log2x＝﹣1，即x＝时，函数取得最小值4．22．解：（Ⅰ）当a＝﹣2，b＝3时，由题意知：﹣2x2+3x﹣1≥0，解得：．∴f（x）的定义域为；（Ⅱ）当a＝1时，，（1）当，即b≥0时，f（x）的定义域为〖0，+∞），值域为，∴b≥0时，f（x）不是“同域函数”．（2）当，即b＜0时，当且仅当Δ＝b2﹣8＝0时，f（x）为“同域函数”．∴．综上所述，b的值为．（Ⅲ）设f（x）的定义域为A，值域为B．（1）当a＜﹣1时，a+1＜0，此时，0∉A，0∈B，从而A≠B，∴f（x）不是“同域函数”．（2）当﹣1＜a＜0，即a+1＞0，设，则f（x）的定义域A＝〖0，x0〗．①当，即b≤0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，，又∵﹣1＜a＜0，∴b的取值范围为（﹣1，0）．②当，即b＞0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，（*）此时，由，b＞0可知（*）不成立．综上所述，b的取值范围为（﹣1，0）．广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b23．函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．已知定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，则不等式（x+3）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，3）5．若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝（）A．B．C．2D．36．已知函数的值域是（）A．（﹣∞，2〗B．（0，2〗C．〖2，+∞）D．7．已知函数f（x）与g（x）的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A．y＝f（g（x））B．y＝f（x）g（x）C．y＝g（f（x））D．y＝8．设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A．（∁U A）∩B B．∁B（A∩B）C．∁U（A∩（∁U B））D．∁A∪B A10．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，则（）A．a＜0B．a﹣b+c＞0C．c＞0D．a+b＝011．已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在上单调递减12．若0＜x1＜x2＜……＜x n＜1，则下列结论正确的有（）A．log（log x2）＜log（log x2）B．log（log x2）＞log（log x2）C．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＞0 D．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＜0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，则m＝．14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为π，则该勒洛三角形的面积为．15．写出一个值域为（﹣∞，1），在区间（﹣∞，+∞）上单调递增的函数f（x）＝．16．若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：．（2）已知tanα＝2，求的值．18．（12分）对于等式a b＝c（a＞0，a），如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a （即x）的函数，记为y，那么y＝x b，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c 为关于b（即x）的函数，记为y，那么y＝a x，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么y＝log a x，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y．（1）试将y表示成x的函数f（x）；（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数f（x）的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．19．（12分）中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）⋅e﹣kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从98℃下降到90℃所用时间1分58秒从98℃下降到85℃所用时间3分24秒从98℃下降到80℃所用时间4分57秒（Ⅰ）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值（精确到0.01）．（Ⅱ）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，200ml水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．（A）5（B）7（C）10（参考数据：ln79＝4.369，ln71＝4.263，ln66＝4.190，ln61＝4.111，ln56＝4.025）20．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin x+a．（1）f（x）＝0有解时，求实数a的取值范围；（2）当x∈R时，总有，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若，则当x为何值时，g（x）取得最小值？并求出其最小值．22．（12分）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a＝﹣2，b＝3，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C〖解析〗∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}，∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件．故选：C．2．C〖解析〗对于A选项，若a＞b，c＝0时，ac＝bc，故A选项错误，对于B选项，当a＞0，b＜0时，，故B选项错误，对于C选项，∵ac2＞bc2，即（a﹣b）c2＞0且c2＞0，∴a﹣b＞0，即a＞b，故C选项正确，对于D选项，当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故D选项错误．故选：C．3．A〖解析〗∵函数f（x）＝e x+x﹣2，∴f（0）＝1+0﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0，故有f（0）f（1）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（0，1），故选：A．4．D〖解析〗定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，可得f（x）在〖0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）＝f（3）＝0，所以f（x）＜0的解集为（﹣3，3），f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），则（x+3）f（x）＜0等价为或，即为或，解得﹣3＜x＜3或x＜﹣3，即所求解集为（﹣3，3）∪（﹣∞，﹣3）．故选：D．5．B〖解析〗由题意可知函数在x＝时取得最大值，就是，k∈Z，所以ω＝6k+；只有k＝0时，ω＝满足选项．故选：B．6．B〖解析〗函数，因为x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，又函数y＝在R上为单调递减函数，所以，则函数的值域是（0，2〗．故选：B．7．B〖解析〗由图1知，函数f（x）为偶函数，函数g（x）为奇函数，图2中的函数为奇函数，选项A，令h（x）＝f（g（x）），则h（﹣x）＝f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝f（g（x））＝h（x），所以函数y＝f（g（x））为偶函数，不符合题意；选项C，令F（x）＝g（h（x）），则F（﹣x）＝g（f（﹣x））＝g（f（x））＝F（x），所以函数y＝g（f（x））为偶函数，不符合题意；选项D，g（x）作为分母，不能为0，与图1不符，故选：B．8．D〖解析〗∵b＝log34＝＝，c＝log58＝＝，∴b﹣c＝﹣＝＝＝＜0，∴b＜c，∵log55＜log58，∴1，∵a＝，∴a，∴b＜c＜a，故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABD〖解析〗由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中，所以阴影部分所表示的集合是B∩（∁U A），∁A∪B A，∁B（A∩B），故选：ABD．10．ABC〖解析〗∵不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，∴﹣2，1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且a＜0，∴﹣2+1＝﹣，﹣2×1＝，∴a＝b，c＝﹣2a＞0，∴a﹣b+c＝﹣2a＞0，a+b＝2a＜0，因此ABC正确，D不正确．故选：ABC．11．BC〖解析〗由题意知，函数f（x）的最小正周期T＝4×＝π，即选项A错误；∴＝π，即ω＝2，∴f（x）＝3sin（2x+），∵f（﹣）＝3sin〖2•（﹣）+〗＝3sin0＝0，∴选项B正确；∵f（）＝3sin（2•+）＝3sin＝﹣3，∴选项C正确；令2x+∈〖2kπ﹣，2kπ+〗，则x∈〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，当k＝0时，递增区间为〖﹣，〗，即选项D错误．故选：BC．12．AD〖解析〗先证明：对任意0＜a＜b＜1，0＜c＜d＜1有log c（log a b）＜log d（log a b），证明如下：因为0＜a＜b＜1，所以f（x）＝log a x单调递减（此时是定值），故f（a）＞f（b）＞f（1），即0＜log a b＜1，记t＝log a b，则0＜t＜1，g（x）＝log t x单调递减，故g（c）＞g（d）＞g（1），即0＜log t d＜log t c，故0＜log c t＜log d t，代入t＝log a b，即log c（log a b）＜log d（log a b），取a＝c＝x1，b＝d＝x2时，可得选项A正确，B错误；应用上述证明可得++⋯⋯+＜++⋯⋯+＝•⋯⋯〗＝log1＝0，故选项D正确，选项C错误．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．-1〖解析〗∵幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣3m﹣3＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．〖解析〗设等边三角形ABC的边长为a，则，解得a＝3，所以弧AB与AC，BC围成的扇形的面积为×πa2＝，所以该勒洛三角形的面积．故答案为：．15．1﹣〖解析〗f（x）＝1﹣，理由如下：∵y＝为R上的减函数，且＞0，∴f（x）＝1﹣为R上的增函数，且f（x）＝1﹣＜1，∴f（x）＝1﹣∈（﹣∞，1），故答案为：1﹣．16．〖解析〗因为xy≠0，所以＝，又x＞0，y＞0，x+2y＝1，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）＝×+﹣1＝1+3﹣1＝3．（2）∵tanα＝2，∴＝＝＝2．18．解：（1）若x y＝e，则f（x）＝ln x，（2）函数定义域（0，+∞），值域R，在（0，+∞）上单调递增，非奇非偶函数，函数图象如图所示，19．解：（Ⅰ）由，得，即，．在环境温度为θ0＝19℃，选取从θ1＝98℃下降到θ＝90℃所用时间约为2分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝85℃所用时间约为3.4分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝80℃所用时间约为5分钟这组数据，有，即．故k≈0.05；（Ⅱ）200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B．理由如下：由（Ⅰ）得，当θ＝75℃时，有t＝20×（ln79﹣ln56）≈6.88．所以200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．故选：B．20．解：（1）由已知得，f（x）＝cos2x﹣sin x+a＝0所以a＝sin x﹣cos2x＝sin2x+sin x﹣1＝（sin x+）2﹣∈〖﹣，1〗；（2）由已知得恒成立，则，另a≤sin x﹣cos2x+＝sin2x+sin x+＝〖（sin x+）2+3〗min＝3，所以实数a的取值范围为〖2，3〗．21．（1）证明：在区间（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（2x1﹣）﹣（2x2﹣）＝2（x1﹣x2）﹣（﹣）＝2（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（2+），因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）解：因为＝﹣2（log2x+），由f（x）的定义域为（0，+∞）得：﹣log2x＞0，即0＜x＜1，令log2x＝t，0＜x＜1，则t＜0，当t＜0时，y＝2〖（﹣t）+〗≥4＝4，当且仅当﹣t＝，即t＝﹣1时，等号成立，即log2x＝﹣1，即x＝时，函数取得最小值4．22．解：（Ⅰ）当a＝﹣2，b＝3时，由题意知：﹣2x2+3x﹣1≥0，解得：．∴f（x）的定义域为；（Ⅱ）当a＝1时，，（1）当，即b≥0时，f（x）的定义域为〖0，+∞），值域为，∴b≥0时，f（x）不是“同域函数”．（2）当，即b＜0时，当且仅当Δ＝b2﹣8＝0时，f（x）为“同域函数”．∴．综上所述，b的值为．（Ⅲ）设f（x）的定义域为A，值域为B．（1）当a＜﹣1时，a+1＜0，此时，0∉A，0∈B，从而A≠B，∴f（x）不是“同域函数”．（2）当﹣1＜a＜0，即a+1＞0，设，则f（x）的定义域A＝〖0，x0〗．①当，即b≤0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，，又∵﹣1＜a＜0，∴b的取值范围为（﹣1，0）．②当，即b＞0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，（*）此时，由，b＞0可知（*）不成立．综上所述，b的取值范围为（﹣1，0）．。

广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

中山市高一级2021-2022学年度第一学期期末统一考试数学试题本试题满分150分．考试时长120分钟．注意事项：1．答卷前,考生务必将自己地，统考考号，座位号写在答题卡上．2．每小题选出结果后,用铅笔把答题卡上对应题目地结果标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它结果,不能答在试题上．3．不可以使用计算器．4．考试结束,将答题卡交回,试题不用上交．第Ⅰ卷（选择题共60分）一，选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. 设x ∈R ,则“230x x -<”是“12x <<”地（）A. 充要款件 B. 充分不必要款件C. 必要不充分款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】C 【思路】【思路】依据一圆二次不等式地解法,结合充分性，必要性地定义进行判断即可.【详解】由23003x x x -<⇒<<,由03x <<不一定能推出12x <<,却由12x <<一定能推出03x <<,所以“230x x -<”是“12x <<”地必要不充分款件,故选：C2. 下面结论正确地是（）A. 若a b >,则ac bc > B. 若a b >,则11a b<C. 若22ac bc >,则a b > D. 若a b >,则22a b >【结果】C 【思路】【思路】依据不等式地性质,对四个选项一一验证：对于A ：利用不等式地可乘性地性质进行判断。

对于B ：取1,1a b ==-进行否定。

对于C ：利用不等式地可乘性地性质进行证明。

对于D ：取1,1a b ==-进行否定.【详解】对于A ：当a b >时,若取0c ≤,则有ac bc ≤.故A 错误。

对于B ：当a b >时,取1,1a b ==-时,有11a b>.故B 错误。

中山市高一级2016—2017学年度第一学期期末统一考试(数学)

A． y x 1 A． 9 42 B． 36 18
B． x y 1
6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
7．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是（ A．－） 1 C． 2 ） 1 D．－ 2 1 1 B． 3 3 8．函数 y＝x|x|的图象的形状大致是（
由此可得到我国 1950―1959 年我国这一时期的具体人口增长模型为（精确到 0.001）（注：mean(b[ ])表示对 B 列数据求平均值）.
.
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分 11 分）已知 f ( x ) a
12．已知三个函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x 的零点依次为 a，b，c 则( A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b
)
高一数学试卷第 2页（共 4 页）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上） 13．两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点为 P，P 到直线 l3：3x－4y＋5＝0 的距离等于________． 14．设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时， f ( x ) = 2 x x ，则 f (1) 15．如图所示，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，图中互相垂直的平面共有对. 16．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： y y0e ，其中 x 表示经过的时间， y0 表示 x=0 时的人口，r 表示人口的平均增长率. 下表是 1950―1959 年我国人口数据资料：

2021-2022学年第一学期中山高一期末数学试卷参考答案

中山市高一级2021—2022学年度第一学期期末统一考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号12345678答案CCADBBBD二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ABDABCBCAD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．1-14．9932π-15．11()2x-（答案不唯一）16．19四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）解：（1）原式22211log 3log 3222231+--=⨯+-2log 211231312-=+-=+-52=；（2）()()πcos 2sin cos 2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-sin sin cos ααα-=-+sin cos sin cos cos cos αααααα-=-+tan tan 1αα-=-+221-=-+2=.18．（本小题满分12分）解：（1）依题意因为e y x =，所以将y 表示为x 的函数，则1ln y x=，（0x >，1x ≠），即1()ln f x x=，（0x >，1x ≠）．（2）函数性质：函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞ ，函数()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()f x 是非奇非偶函数，函数()f x 的在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递减.函数的图象：号：潍坊高中数学19．（本小题满分12分）解：（1）由010()kte θθθθ-=+-⋅得010kte θθθθ--=-，即010=ln kt θθθθ---，101=ln t k θθθθ--．在环境温度为019C θ=，选取从198C θ=下降到90C θ= 所用时间约为2分钟这组数据有1792=ln 71k ，即ln 79ln 710.052k -=≈；选取从198C θ=下降到85C θ= 所用时间约为3.4分钟这组数据有1793.4=ln 66k ，即ln 79ln 660.053.4k -=≈；选取从198C θ=下降到80C θ= 所用时间约为5分钟这组数据有1795=ln 61k ，即ln 79ln 610.05;5k -=≈故0.05k ≈（2）200ml 水煮沸后在19C 室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，选择B ．理由如下：由（1）得7920ln19t θ=-，当75C θ= 时，有20(ln 79ln 56) 6.88t =⨯-≈．所以200ml 水煮沸后在19C 室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳.20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得，()2cos sin 0f x x x a =-+=所以222155sin cos sin sin 1sin ,1244a x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=+-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由已知得()2171cos sin 4f x x x a =-+≤≤恒成立，得22sin cos 1sin sin a x x x x -+=+≥恒成立，则22max 1111sin 122424a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-=⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，且221713sin cos sin sin 44a x x x x -+=++≤则2min1sin 332a x ⎡⎤⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≤所以实数a 的取值范围为[]2,321．（本小题满分12分）解：（1）证明：在区间()0,∞+上任取12,x x ，设12x x <，()()1212121122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212121122x x x x x x x x x x ⎛⎫-=---=-+ ⎪⎝⎭()121212x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，120x x << ，12120,0x x x x \-<>，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,+∞是单调递增；（2）()()223log log f x x xg =-+-，()f x 的定义域是()0,+∞，2log 001x x ∴->⇒<<()()222221312log 2log log log log g x x x x x x ⎛⎫=⨯-+-=-+ ⎪⎝⎭，设2log x t =，01x <<时，0t <，号：潍坊高中数学当0t <时，()124y t t ⎡⎤=-+≥⎢⎥-⎣⎦，当1t t-=-，即1t =-时，等号成立，即21log 12x x =-⇒=时，函数取得最小值4.22．（本小题满分12分）解：（1）当2a =-，3b =时，由题意知：223100x x x ⎧-+-≥⎨≥⎩，解得：112x ≤≤.∴()f x 的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当1a =时，()0)f x x =≥，（I ）当02b-≤，即0b ≥时，()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为)+∞，∴0b ≥时，()f x 不是“同域函数”.（II ）当02b->，即0b <时，当且仅当280b ∆=-=时，()f x 为“同域函数”.∴b =-综上所述，b 的值为-.（3）设()f x 的定义域为A ，值域为B .（I ）当1a <-时，10a +<，此时，0A ∉，0B ∈，从而A B ≠，∴()f x 不是“同域函数”.（II ）当10a -<<，即10a +>，设0x =()f x 的定义域[]00,A x =.①当02ba-≤，即0b ≤时，()f x 的值域B ⎡=⎣.若()f x 为“同域函数”，则0x =从而，3b =-，又∵10a -<<，∴b 的取值范围为()1,0-.②当02ba ->，即0b >时，()f x 的值域B ⎡=⎢⎢⎣.若()f x 为“同域函数”，则0x =从而，1)b =()*10-<，0b >可知()*不成立.综上所述，b 的取值范围为()1,0-.号：潍坊高中数学。

2023届广东省中山一中数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析

【详解】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，
则当x∈[2，+∞）时，
x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数
即，f（2）=4+a＞0
解得﹣4＜a≤4
故选C
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键
【详解】因为在区间上是奇函数，
所以，，
，得，
因为，，
所以的周期为 .
.
故答案为： .
12、
【解析】利用余弦函数的性质即可得到结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
根据余弦曲线可得，
∴ .
故答案为：
13、
【解析】作出函数的图像，计算函数的对称轴，设，数形结合判断得时，取最小值，时，取最大值，再代入解析式从而求解出另外两个值，从而得和，即可求解 .
14．已知定义在上的函数满足，且当时， .若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______
15．设，则 ______.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于的方程有两个相等的实数根.
（1）的值域；
（2）若函数且在上有最小值，最大值，求的值.
若函数在上有最小值，最大值，
则有，解可得，即，
当时，，则有，而，
若函数在上有最小值，最大值，
则有，解可得，即，
综合可得：或
17、

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广东省中山市高一级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3、不可以使用计算器．4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{1,2}A =，集合Φ=B ，则=B AA.}1{B.}2{C.}2,1{D.Φ2．下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数A.2)(x y = B. 33x y = C. xx y 2= D.2x y =3．若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是A.3-B. 1C. 0或23- D. 1或3-4．函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像大致为5、根式11a a（式中0a >）的分数指数幂形式为 A ．34a - B ．34aC ．43a -D ．43a6．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是7．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”。

在下面的五个点()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,0.5M N P Q G 中，“好点”的个数为A ．0个B ．1个C ． 2个D ．3个8．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．//,m n n m αα⊥⇒⊥ 9．函数)23(log )(231+-=x x x f 的单调递增区间为A ．（－∞，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，23） D ．（23，+∞） 10．对于集合M 、N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且, ()()M N M N N M ⊗=--．设{}{}23,,2,x A y y x x x R B y y x R ==-∈==-∈，则A B ⊗等于A ．9(,0]4-B．[9,04-] C ．[)9(,)0,4-∞-+∞D ．9(,](0,)4-∞-+∞第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：（本大题共４个小题，每小题４分，共16分，请将答案填在相应题目的横线上）11. 在空间直角坐标系中，已知B A ,两点的坐标分别是()5,3,2A ,()4,1,3B ，则这两点间的距离=AB _____________.12.根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的开区间为____13．如右图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为4一个内角为60︒的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．14．若直线044:1=-+y x l ，0:2=+y mx l ，0432:3=--my x l 不能构成三角形，则实数m 的值是： _______________.三、解答题：（本大题共5小题，满分44分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. (本小题9分)求以()3,1N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.16. (本小题9分)如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．P俯视图侧视图正视图求证：（1）．PA //平面BDE ；（2）．平面PAC ⊥平面BDE ．17.（本小题9分）设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．（Ⅰ）若()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）求证：无论a 取任何实数，函数()f x 都不可能是奇函数．18. (本小题9分)20世纪30年代，里克特（C.F.Richter ）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ,其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。

（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg 20.3010≈， lg30.4770≈）19. (本小题8分)已知函数22()1f x x x kx =-++. （1）若2k =,求函数)(x f 的零点;（2）若函数)(x f 在区间(0,2)上有两个不同的零点,求k 的取值范围。

PABDOEC中山市高一级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学科试卷参考答案11．6 12. (1,2) 13. π 14. 1-或61-或32或4 三、解答题：15．解：因为点()3,1N 到直线0743=--y x 的距离51657343=-⨯-=d ，… (5分) 所以所求的圆的方程是：()()252563122=-+-y x .………… (9分)16. 证明： (1) 连接AC 、OE ，O BD AC = ， …… (1分) 在△PAC 中，∵E 为PC 中点，O 为AC 中点．∴PA // EO ，… (2分) 又∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴PA //平面BDE … (4分)（2）∵PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD∴PO ⊥BD ． ……………………( 6分)又∵底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，AC ,PO 是平面PAC 内的两条相交直线∴BD ⊥平面PAC ． ………………… (8分) 又BD ⊂平面BDE ,∴平面PAC ⊥平面BDE .……… (9分)17. 解：（Ⅰ）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=在R 上恒成立，即22()||1||1x x a x x a -+--+=+-+，化简整理，得 0ax =在R 上恒成立， …………3分 ∴0a =． …………5分（另解：由()f x 是偶函数知，(1)(1)f f -=即 22(1)|1|11|1|1a a -+--+=+-+整理得|1||1|a a +=-，解得 0a =再证明2()||1f x x x =++是偶函数，所以 0a = ）（Ⅱ）证明：用反证法。

假设存在实数a ，使函数()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-在R 上恒成立，∴(0)(0)f f =-，∴(0)0f =，但无论a 取何实数，(0)||10f a =+>，与(0)0f =矛盾。

矛盾说明，假设是错误的，所以无论a 取任何实数，函数()f x 不可能是奇函数． (9)分18. 解: (1)001.020lg001.0lg 20lg =-=M 3.410lg 2lg 20000lg 4≈+== 因此，这次地震的震级为里氏4.3级. ………… (4分)(2)由0lg lg A A M -=可得0lgA A M =,即M A A100=，M A A 100⋅=. 当8=M 时,地震的最大振幅为80110⋅=A A ;当5=M 时,地震的最大振幅为50210⋅=A A ;所以，两次地震的最大振幅之比是：100010101058508021==⋅⋅=-A A A A … (8分)答：8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍. ………… (9分) 19．解：（1）当11-≤≥x x 或时，01222=-+x x ，231--=x 当11<<-x 时，21,012-==+x x ，所以函数)(x f 的零点为21,231---.………… (3分) （2）⎩⎨⎧∈-+∈+=)2,1(,12]1,0(,1)(2x kx xx kx x f ………… (4分)①两零点在)2,1(],1,0(各一个：当]1,0(∈x 时，10)1(,1)(-≤⇒≤+=k f kx x f 当)2,1(∈x 时，12)(2-+=kx x x f ，,127)2(0)1(-<<-⇒⎩⎨⎧><k f f ………… (6分)②两零点都在(1,2)上时，显然不符合1210x x =-<.综上，k 的取值范围是：,127-<<-k ………… (8分)。