单位根与协整.ppt
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单位根检验PPT课件
❖ 可以通过数学推导证明； ❖ 已知随机步游是非平稳的，当 | |1 时，
AR(1)过程 {yt}为一随机步游过程。
14
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：15源自单位根检验：定义❖ 看图识平稳 ：
16
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：
17
单位根检验：定义
❖ I(d)过程：有时原始序列是非平稳过程，但对 原始序列经过d次差分后可变为平稳过程，则 原序列记为I(d)过程；
12
单位根检验：定义
❖ AR(1)过程是平稳序列吗？
❖ 定理：若| |1，则AR(1)过程是平稳过程。因
为
（1）
Eyt
1
（2）cov(
yt
,
yt
h
)
2 |h| 1 2
var(
yt
)
1
2
2
（3） (t, h) |h|
❖ 证明过程略
13
单位根检验：定义
❖ 如果 | |1 ，AR(1)过程 {yt}还是平稳过程吗？ 为什么？
❖ 经济时间序列多为I(1)或I(2)过程； ❖ 显然，I(0)过程是平稳序列 。
18
单位根检验：定义
❖ 当回归模型中含有非平稳的I(d)序列时，常规 的统计推断都不再成立，因此必须检验被解 释变量和解释变量是不是平稳的。标准的检 验方法是“单位根检验”。
19
单位根检验：定义
❖ 一个随机过程的平稳性取决于其特征方程的 根的值。若所有的根都位于单位圆之外，则 该过程是平稳的。若某个(些)根的值位于单位 圆上或单位圆内，则该过程是非平稳的。若 特征方程的根取值为1，则称其为单位根。对 单位根的检验(即对随机过程单整阶数的检验) 也就是对随机过程平稳性的检验。
AR(1)过程 {yt}为一随机步游过程。
14
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：15源自单位根检验：定义❖ 看图识平稳 ：
16
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：
17
单位根检验：定义
❖ I(d)过程：有时原始序列是非平稳过程，但对 原始序列经过d次差分后可变为平稳过程，则 原序列记为I(d)过程；
12
单位根检验：定义
❖ AR(1)过程是平稳序列吗？
❖ 定理：若| |1，则AR(1)过程是平稳过程。因
为
（1）
Eyt
1
（2）cov(
yt
,
yt
h
)
2 |h| 1 2
var(
yt
)
1
2
2
（3） (t, h) |h|
❖ 证明过程略
13
单位根检验：定义
❖ 如果 | |1 ，AR(1)过程 {yt}还是平稳过程吗？ 为什么？
❖ 经济时间序列多为I(1)或I(2)过程； ❖ 显然，I(0)过程是平稳序列 。
18
单位根检验：定义
❖ 当回归模型中含有非平稳的I(d)序列时，常规 的统计推断都不再成立，因此必须检验被解 释变量和解释变量是不是平稳的。标准的检 验方法是“单位根检验”。
19
单位根检验：定义
❖ 一个随机过程的平稳性取决于其特征方程的 根的值。若所有的根都位于单位圆之外，则 该过程是平稳的。若某个(些)根的值位于单位 圆上或单位圆内，则该过程是非平稳的。若 特征方程的根取值为1，则称其为单位根。对 单位根的检验(即对随机过程单整阶数的检验) 也就是对随机过程平稳性的检验。
平稳性和单位根检验.72页PPT
平稳性和单位根检验.
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。Fra bibliotek—托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。Fra bibliotek—托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
第5章 单位根检验和协整1
例5.2 ln x 序列的ADF检验
t
例5.2 ln y 序列的ADF检验
t
PP检验
ADF检验主要适用于方差齐性场合，它对 于异方差序列的平稳性检验效果不佳 Phillips和 Perron于1988年对ADF检验进 行了非参数修正，提出了PP检验统计量。 PP检验统计量适用于异方差场合的平稳 性检验，且服从相应的ADF检验统计量的 极限分布
i 1 k
假定回归残差序列 t 平稳，我们称响应 序列 { yt }与自变量序列 {x1},,{xk } 之间具有 协整关系。
协整的概念
所谓协整，是指多个非平稳变量的某种线性组合 是平稳的。 例如，收入与消费，工资与价格，政府支出与税 收，出口与进口等，这些经济时间序列一般是非 平稳序列，但它们之间却往往存在长期均衡关系。 下面给出协整的严格定义： 对于两个序列 X 和Y如果 yt I(1), xt I(1) ， 、 2 ，使得 而且存在一组非零常数 1 1 xt 2 yt ~ I(0) 则称 X 和Y 之间是协整的。
待检验AR(p)模型
xt c 1xt 1 ... p xt p t
等价写成
p i 2
xt c xt 1 i xt (i 1) t
其中： (i ) 1, i j
i 1 j i p p
ADF检验
例5.2 时序图
例5.2 输入序列的DF检验
例5.2 输出序列的DF检验
ADF检验
DF检验只适用于AR(1)过程的平稳性检 验 。为了使检验能适用于AR(p)过程的 平稳性检验，人们对检验进行了一定的 修正，得到增广检验（Augmented Dickey－Fuller），简记为ADF检验
5第九章 单位根检验、协整与误差修正模型
（1）实际中，多数经济时间序列都是非平稳的.
（2）某些非平稳经济时间序列的某种线性组合可能是平稳 的，即变量存在长期均衡关系。例如，净收入与消费、政府 支出与税收等。
（3）如果若干个I(1)序列的某种线性组合是平稳的，则称具 有协整性。协整概念是理解经济变量存在长期均衡关系的基 础。
10000 8000 6000 4000 2000
DF检验法是由Dickey-Fuller于1979年提出的。这方法只 适用于AR(1)过程且要求ut同方差性且相互独立。这对序列要求 很严格，许多时间序列难以满足。
yt yt1 ut (t 1,2, , n（) 1） 式中，ut ~ IID(0, 2 ).由B J模型可知， 1, yt为平稳过程； ＝1, yt为随机游走过程，有一个单位根，故yt ~ I (1), 而yt ~ I (0); 1, yt为强非平稳，yt仍为非平稳过程。
二、 单位根检验
平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方法。 前者使用自相关函数(Autocorrelation function)，后者使用单 位根(Unit roots)。单位根方法是目前最常用的方法。对单位 根的检验就是对随机过程平稳性的检验，也是对随机过程单 整阶数的检验。
1.单位根检验的DF法（只适用于AR(1)）
(a) 对(1)式进行回归，用"ols"法估计参数；
(b)
计算DF统计量，DF
ˆ 1 Se( ˆ )
(c) 设定零假设和备择假设。H 0 : 1, yt非平稳 H1 : 1, yt平稳（左侧假设检验）
(d ) 判断：对于样本，DF 临界值，接受H0，yt为非平稳； DF 临界值，接受H1，yt为平稳。
❖ 协整定义：
5.3 Panel Data 单位根和协整检验
– 按照Choi (2001)的总结，上述单位根检验存在四个缺 陷（或前提假设）；一是都需要截面单元数是无限的 ，否则检验的渐近正态性不存在；二是假定所有截面 单元有同样的非随机成份；三是假设所有的截面单元 拥有同样的时间序列跨度；四是备择假设都是所有截 面单元没有单位根，一些截面单元有单位根而另一些 没有的情形将不能被处理。
– Choi and Chue ( 2007)运用子抽样技术来处理面板数 据的截面相关，研究了非平稳、截面相关和截面协整 面板数据的子抽样假设检验。 – Pesaran (2007) 提出了一个简单的面板单位根检验。 将DF/ADF回归扩展到了水平滞后的截面平均和截面单 元序列一阶差分的情形（简称，CADF，Cross Sectionally Augmented ADF），然后基于截面单元 CADF统计量的简单平均或者对联合拒绝概率的合适变 换，便形成了Pesaran的标准面板单位根检验。
)
2
Under H0 : δ = 0 , tδ N ( 0,1) for model 1. but diverges to ∞ for model 2 and 3. A proper standardized test is given by
tδ =
*
* % tδ NTSNσu 2STD δ mT%
Where W1 ( r ) = W ( r ) is standard wiener process,
W2 ( r ) = W ( r ) ∫0W ( r ) dr is demeaned wiener process,
1
W3 ( r ) =W ( r ) 4 ∫0W ( r ) 1.5∫0 rW ( r ) dr + 6r ∫0W ( r ) dr 2∫0 rW ( r ) dr
计量经济学-第21章 时间序列计量经济学基础Ⅰ--平稳性、单位跟与协整
如果 Yt 满足 Yt Yt1 a ut
其中a是常数，ut 是平稳的，比如 E(ut ) 0,var(ut ) 2 ，
则这样的 Yt 过程叫做DSP
可见一个平稳时间序列可以用一个TS过程作为它的 模型，而一个非平稳时间序列则代表一个DS过程
对于存在随机趋势的时间序列的关系的分析需要做 协整以及非平稳性检验
在做PCE对PDI的回归时可以加进趋势变量t，消去PCE和PDI的时间趋 势。
当时我们曾经强调，只有当趋势变量是确定性的（deterministic），而不 是随机（stochastic）时，才可以这样做。
如果一个时间序列有一个单位根，则不能使用加进趋势变量t的方法来去 除趋势。
趋势平稳过程（trend-stationary process，简记为TSP），在下面的回归 中：
考虑一下模型
（21.3.4）
其中 ut 是均值为零，恒定方差且序列不相关的随 机误差项，即 ut 是white noise。
这是一个一阶自回归模型，Yt-1的系数为1，｛Yt｝ 序列存在一个单位根。也就是说,｛Yt｝是一个非 平稳序列。
有一个单位根的时间序列叫做随机游走（时间序 列）。随机游走（random walk）是非平稳时间 序列的一个例子。
其中，n—样本容量，m—滞后长度 Q近似地（即在大样本中）服从m个自由度的
分布。
则拒绝全部 同时为零的虚拟 假设。也就是说，至少有一个（或一些） 是非零的。
设。
则不拒绝全部 为零的虚拟假
杨—博克斯（Ljung Box）构造的统计量是对博克 斯—皮尔斯（Box-Pierce）Q统计量的一种改进。
LB统计量比Q统计量具有更好的小样本性质。 图21.8中的例子，基于25期滞后的Q统计量为793， LB统计量为891，两者都是高度显著的，得到 值的P值几乎为零。
其中a是常数，ut 是平稳的，比如 E(ut ) 0,var(ut ) 2 ，
则这样的 Yt 过程叫做DSP
可见一个平稳时间序列可以用一个TS过程作为它的 模型，而一个非平稳时间序列则代表一个DS过程
对于存在随机趋势的时间序列的关系的分析需要做 协整以及非平稳性检验
在做PCE对PDI的回归时可以加进趋势变量t，消去PCE和PDI的时间趋 势。
当时我们曾经强调，只有当趋势变量是确定性的（deterministic），而不 是随机（stochastic）时，才可以这样做。
如果一个时间序列有一个单位根，则不能使用加进趋势变量t的方法来去 除趋势。
趋势平稳过程（trend-stationary process，简记为TSP），在下面的回归 中：
考虑一下模型
（21.3.4）
其中 ut 是均值为零，恒定方差且序列不相关的随 机误差项，即 ut 是white noise。
这是一个一阶自回归模型，Yt-1的系数为1，｛Yt｝ 序列存在一个单位根。也就是说,｛Yt｝是一个非 平稳序列。
有一个单位根的时间序列叫做随机游走（时间序 列）。随机游走（random walk）是非平稳时间 序列的一个例子。
其中，n—样本容量，m—滞后长度 Q近似地（即在大样本中）服从m个自由度的
分布。
则拒绝全部 同时为零的虚拟 假设。也就是说，至少有一个（或一些） 是非零的。
设。
则不拒绝全部 为零的虚拟假
杨—博克斯（Ljung Box）构造的统计量是对博克 斯—皮尔斯（Box-Pierce）Q统计量的一种改进。
LB统计量比Q统计量具有更好的小样本性质。 图21.8中的例子，基于25期滞后的Q统计量为793， LB统计量为891，两者都是高度显著的，得到 值的P值几乎为零。
面板数据分析面板数据分析的理论进展单位根检验与协整检验.pptx
• Strauss（2000）使用三种方法（Abuaf和 Jorion(1990)，LL方法，IPS方法），对从1929年到 1995年美国48州带趋势人均收入的数据进行单位根检 验，结论是拒绝有单位根的存在，并说明收敛的速率取 决于截距差异的假设、一阶自相关系数、滞后期和对 1973年石油危机造成趋势中断的适应性。
第28页/共33页
目前，已有一些专家正在探讨这些问题：
• Maddala和Wu（1999）自助法允许截面相关 • Pedroni(1997b)在他的PPP研究中，提出用基
于GLS修正来考虑在Panel个体之间存在的反馈 情况 • Hall等人（1999）提供了另一个同Pesaran和 Smith(1995)分析相反的例子，他们集中在 Panel协整的回归结构上 • Larsson、Lyhagen和 Lothgren（1998）按
第20页/共33页
Pedroni 协积检验：以 Engle-Granger 协积检验方法为基础构造检验统计量，标 准化以后渐近服从标准正态分布。（1999, 2004）
Kao 协积检验：以 Engle-Granger 协积检验方法为基础构造检验统计量，标准化 以后渐近服从标准正态分布。（1999）
Fisher 个体联合协积检验（combined individual test）：由 Johansen 迹统计量推广 而成的检验方法。用个体的协积检验值构造一个服从 2 分布的累加统计量 检验面板数据的协积性。(Maddala and Wu 1999)
第21页/共33页
Pedroni协整检验：
• 以协整方程的回归残差为基础通过构造7个统计 量来检验面板变量间的协整关系。原假设：面板
检验。随后，Quah（1990）、Levin和Lin（1992）、 Im、Pesaran和Shin（1995）、Flôres等（Flôres et al.，1995）、O' Connell（1998）、Taylor和 Sarno（1998）、Maddala和吴（1999）、Groen （2000）、Chang（2000）和崔仁（In Choi， 2001）、白聚山和Ng（Jushan Bai ane Serena Ng， 2001）、Moon和Perron（2002）、Smith（2004） 和白仲林（2005）也相继提出了各种面板单位根检验 方法。通过蒙特卡罗模拟试验发现，与单变量时间序列 单位根检验相比较，各种面板数据单位根检验都不同程 度地提高了单位根检验的检验功效。
单位根检验、协整检验
产业结构变动与石油消费的平稳性分析进行回归分析要求时间序列数据具有平稳性。
所谓序列的平稳性,即指一个序列本身的均值、方差和自协方差是否平稳，如果一个时间序列上述统计量是一个稳定的数值，那说明该序列为平稳序列,否则为非平稳。
通常情况下，如果一个序列为非平稳，将会导致“伪回归”现象以及降低相应的统计检验功效。
单位根检验对时间序列的平稳性检验是建立计量经济模型的首要任务，目前检验平稳性的方法主要有DF 和ADF 检验，这里我们采用ADF 检验方法得到如下结果：变量 ADF 统计量 1%临界值 5%临界值 10%临界值 是否平稳 lng1 -1.422429 -2.7158 -1.9627 -1.6262 非平稳 △lnx1 -3.436994 -2.7275 -1.9642 -1.6269 平稳*** lng2 -2.010800 -2.7158 -1.9627 -1.6262 非平稳 △lnx2 -2.943741 -2.7275 -1.9642 -1.6269 平稳*** lng3 -1.191993 -2.7158 -1.9627 -1.6262 非平稳 △lnx3 -2.860298 -2.7275 -1.9642 -1.6269 平稳*** lny -2.801103 -3.8877 -3.0521 -2.6672 非平稳 △lny-4.503208-2.7275-1.9642-1.6269平稳***其中ΔLNy 、LNx1、LNx2、LNx3表示原序列的一阶差分序列。
***表示在1%、5%、10%水平上显著检验结果表明所有变量的原序列是非平稳的时间序列，但是经过一阶差分以后，这些变量在1%的显著性水平下都不拒绝变量有一个单位根的原假设，所以这些序列都是一阶单整序列。
协整检验由于对上面结果的平稳性进行了检验,发现一阶单整，这样可以进行协整分析。
协整检验可分为基于模型回归系数的协整检验和基于模型回归残差的协整检验，我们选择残差的单整性检验，即对回归方程的残差进行单位根检验，若残差序列是平稳序列，则表明方程的因变量和解释变量之间存在协整关系，即长期均衡关系。
单位根与协整
8 6 4 2 0 -2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Random Walk
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 0
ACF: Random Walk
5
10
15
20
25
30
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 0
ACF: AR(1) alpha=0.9
3.1
• 最简单的线性确定性趋势模型可以写成 (3.1) y c t u
t t
t 1, 2,L
其中表示均值为0的平稳随机变量。 对(3.1)两边同取期望，可得
E ( yt ) c t
(3.2)
(3.2)说明，只要系数不为0，则序列的 均值随时间推移而不断增大。正因为这个 特点，确定性趋势模型也称为“均值非平 稳”过程
2 m
滞后算子多项式。
3.2 随机性趋势模型 3.2.1 随机趋势模型的基本定义 yt yt 1 t 考虑AR(1)模型： 其中 t 代表方差为 2 的白噪音过程。 将模型写成： yt t 。 如果假设初始观测值为 y0，那么通 t 过反复迭代可以得到： yt yo i
但是并不是所有非平稳序列之间都没有一定的联系有一种特殊情况即非平稳时间序列的线性组合是平稳序列这个时候我们说这些非平稳时间序列之间存在长期的均衡关系这就是协整关系
非平稳金融时间序列模型
1
确定性趋势模型 所谓确定性趋势，是指模型 中含有明确的时间t变量，从而使 得某一时序变量随着时间而明确 地向上增长。
(t j )
2
j 进而，可以获得自相关函数的表达式： j
var( yt ) var( yt j ) (t j )
Random Walk
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 0
ACF: Random Walk
5
10
15
20
25
30
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 0
ACF: AR(1) alpha=0.9
3.1
• 最简单的线性确定性趋势模型可以写成 (3.1) y c t u
t t
t 1, 2,L
其中表示均值为0的平稳随机变量。 对(3.1)两边同取期望，可得
E ( yt ) c t
(3.2)
(3.2)说明，只要系数不为0，则序列的 均值随时间推移而不断增大。正因为这个 特点，确定性趋势模型也称为“均值非平 稳”过程
2 m
滞后算子多项式。
3.2 随机性趋势模型 3.2.1 随机趋势模型的基本定义 yt yt 1 t 考虑AR(1)模型： 其中 t 代表方差为 2 的白噪音过程。 将模型写成： yt t 。 如果假设初始观测值为 y0，那么通 t 过反复迭代可以得到： yt yo i
但是并不是所有非平稳序列之间都没有一定的联系有一种特殊情况即非平稳时间序列的线性组合是平稳序列这个时候我们说这些非平稳时间序列之间存在长期的均衡关系这就是协整关系
非平稳金融时间序列模型
1
确定性趋势模型 所谓确定性趋势，是指模型 中含有明确的时间t变量，从而使 得某一时序变量随着时间而明确 地向上增长。
(t j )
2
j 进而，可以获得自相关函数的表达式： j
var( yt ) var( yt j ) (t j )
单位根检验和协整分析65页PPT
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
单பைடு நூலகம்根检验和协整分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
单பைடு நூலகம்根检验和协整分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
END
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图3-3 带有截距项的 随机游走过程
200
150
y(t)=2+y(t-1)+e
100
50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
RWD的样本自相关函数
单位根检验法
4.1 DF单位根检验法 4.2 ADF单位根检验法
4.1 DF单位根检验法
4.1.1 DF检验的基本概念 yt c yt 1 t H0 : 1 HA : 1
进一步考察随机过程的均值和方差：
t
yt yo i i 1 t
E( yt ) E( yo i ) y0 i1
t
var( yt ) var( yo i ) t 2 i1
s
var( ys ) var( yo i ) s 2 i1
根据自协方差的定义，有：
j E[ yt y0][ yt j y0]
更一般地，
yt c t (L)ut yt E( yt ) (L)ut 其中:(L) 1L 2L2 L mLm是一个平稳的
滞后算子多项式。
3.2 随机性趋势模型
3.2.1 随机趋势模型的基本定义
考虑AR(1)模型：yt yt1 t 其中 t 代表方差为 2的白噪音过程。
将模型写成：yt t 。
2）情况II
yt c yt1 t H0 : 0 HA : 0
原假设是模型为随机游走过程。 如果待检验序列的均值不为0，并 且不随时间变化，则可以考虑使用情况 III来进行DF检验。
3)情况I
情况I是情况II的一种特殊情况， 即截距项为0。在这种情况下，原假设 和备择假设与情况II的完全相同。
在原假设条件下, 情况I:随机游走过程； 情况II:带有截距项的随机游走过程； 情况III:既带有截距项又带有时间趋 势的随机游走过程。
4.1.2 DF检验的三种情况 1）情况 III
yt c t yt1 t H0 : 0 HA : 0
情况III用来检验的原假设是随机 游走过程而备择假设是趋势平稳过程。
8
6
Random Walk
4
2
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25
0
ACF: Random Walk
5
10
15
20
25
30
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25
0
ACF: AR(1) alpha=0.9
1995
2000
2005
10亿美元
美国真实GDP
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
美国真实GDP时序数据：1944年1季度—2011年1季度
E( yt ) c t
(3.2)
(3.2)说明，只要系数不为0，则序列的 均值随时间推移而不断增大。正因为这个
特点，确定性趋势模型也称为“均值非平 稳”过程
50000 40000 30000 20000 10000
0
图3-1 中国真实GDP
China Real GDP (SA)
1985
1990
E[(t t1 L 1)(t j t j1 L 1)]
E(
2 t
j
2 t
j1
L
12)
(t j) 2
进而，可j 以获得va自r(相yt关) 函vj a数r(的y表t 达j ) 式：
(t j) 2
t 2 (t j) 2
(t j) t (t j)
(t
j
)
1 2
t
图3-2 随机游走过程与 高持久性AR（1）比较
E(1 2 L t )2
E(1)2 E(2 )2 L E(t )2
t 2
RWD的自协方差:
j E[ yt E( yt )][ yt j E( yt j )]
E[(t t1 L 1)(t j t j1 L 1)]
E(
2 t
j
2 t
j 1
L
12 )
(t j) 2
RWD的自相关函数:
序列y但t的是均，值由为ห้องสมุดไป่ตู้0，没而有这截样距的项情的况模往型往暗比示
较少，因此在实际应用中并不建议使 用情况I。
4.2 ADF单位根检验法
4.2.1 ADF检验介绍
ADF检验，全称为Augmented Dickey-Fuller检验，是DF检验的拓展。 因为在DF检验中，所有情况对应的模型 都是AR（1）的形式，而没有考虑高阶 AR模型。ADF检验将DF检验从AR（1）拓 展到一般的AR(p)形式。
在原假设条件下，序列 yt 是非平稳
的，所以传统的t-检验统计量将不再服 从t分布。这样，传统的t-检验使用的 临界值就是无效的。
23
因此把原模型改写成以下形式：
yt c yt1 t
则
H0 : 0 H1 : 0
DF检验的三种情况:
I : yt yt1 t II : yt c yt1 t III : yt c t yt1 t
5
10
15
20
25
30
3.2.3 带有截距项的随机游走模型
如果现在假设模型(3.8)中增加了一个常数项，
即
yt c yt1 t
(3.13)
其它假设均不变。此时的模型称为带有截距 项的随机游走过程
RWD的均值、方差:
E( yt ) y0 ct
0 E[ yt E( yt )]2
E[ y0 ct 1 2 L t ( y0 ct)]2
非平稳金融时间序列模型
1
3.1 确定性趋势模型
所谓确定性趋势，是指模型 中含有明确的时间t变量，从而使 得某一时序变量随着时间而明确 地向上增长。
• 最简单的线性确定性趋势模型可以写成
yt c t ut t 1, 2,L
(3.1)
其中表示均值为0的平稳随机变量。
对(3.1)两边同取期望，可得
如果假设初始观测值为 y0，那么通
过反复迭代可以得到：yt yo t i i 1
这个表达式可以看成是一种随机
常数项，由于每个随机扰动因子对 yt
的条件均值的影响都是永久性的，所
以这样的模型经常被称为随机趋势模
型。
3.2.2 随机游走模型
实际上，模型(3.8)的形式就是一 个随机游走过程。那么随机游走过程的 特点有哪些呢？首先，从基本定义式可 以看到，随机游走过程就是一个常数项 为0并且自回归系数为1的AR（1）模型。