第五章.等参数单元
有限元试题
一判断题 ×1. 节点的位置依赖于形态 而并不依赖于载荷的位置√2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元×3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型√4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元×5. 平面应变单元也好平面应力单元也好如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析√7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好×8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住 而不必约束转动自由度√9. 同一载荷作用下的结构 所给材料的弹性模量越大则变形值越小√10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
二、填空 1 平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板 但前者受力特点是 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 变形发生在板面内 后者受力特点是 垂直于板面的力的作用 板将变成有弯有扭的曲面。
2 平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量 σx σy τxy 三个独立的应变分量 εx εy γxy 但对应的弹性体几何形状前者为薄板 后者为长柱体。
3 位移模式需反映刚体位移 反映常变形 满足单元边界上位移连续。
4 单元刚度矩阵的特点有 对称性 奇异性 还可按节点分块。
5 轴对称问题单元形状为 三角形或四边形截面的空间环形单元 由于轴对称的特性 任意一点变形只发生在子午面上 因此可以作为二维问题处理。
6 等参数单元指的是 描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。
等参数单元优点是 可以采用高阶次位移模式 能够模拟复杂几何边界 方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。
7 有限单元法首先求出的解是节点位移 单元应力可由它求得 其计算公式为______________ 。
8、一个空间块体单元的节点有3 个节点位移u v w .9 变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元三选择题 14分 1 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______的插值函数。
第5章等参数单元
B1
B2
B3
1 e e e B4 2 e B 3 e 4
第5步：单元应力—应变—节点位移的关系 由平面问题的物理方程，有 第6步：节点力—节点位移间的关系 由虚功原理，可得节点力于节点位移间的关系式 e T (e) F B D B dV V ( e ) 对于平面问题有 e T e (e) (e) F B D B tdxdy K S ( e )
u1 v 1 1 e u 2 e 2 v 2 e 3 u 3 e v3 4 u 4 v 4
A
e
其中
1
N 3 N 1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N 3 N 1 N 2 N 4 v1 v2 v3 v4 y y y y N 1 u N 2 u N 3 u N 4 u N 1 v N 2 v N 3 v N 4 v 3 4 1 2 3 4 y 1 y 2 y y x x x x u1 v N 1 1 N 3 N 2 N 4 0 0 0 0 u 2 x x x x v N N N N 3 1 2 4 2 0 0 0 0 y y y y u 3 N N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 v 1 3 x y x y x y x y u 4 v 4
N 1 x 0 N 1 y
0 N 1 y N 1 x
N 2 x 0 N 2 y
第五讲 等参数单元
假设局 部坐标 系与总 体坐 标 系之 间的关 系 为：
ｆ ， 【 ）（ ， ，） ） ，７ ， ＝ ＝
标应 该 一一对 应 ， 即 ｆ ＝ ，） （ ， ７
｛ 【 ， 、 ． ） ＝） ，／） ， ， ７ （ ｉ
（ ５ ）
增加 ， 整体 刚度矩 阵 扩 大 ， 增 加 了舍 人 误 差 。 因 又
此， 提高单元 精度最有效 的办 法是提 高单元的计 算精度 ， 增加 单元的节点数是其 中一种有效 的办
法。但是 对某 些 曲边 和 曲 面结 构 或 者 结 构 周 边 的
曲率变化 比较明显的构件 ， 采用如 同三角形 、 矩形
点的位移 ｕ 和 ｖ（ ＝ ，， Ｉ 。这里，Ｉ ｉ ｉｉ ｌ２ …，Ｉ Ｔ ） Ｉ为单元 Ｔ
节点 总数 。
将（ ） １ 式简记为 ：
ｆ ， ）＝ （ ｒ ／
．
（ 叼 ， ）
｛
【（ ｒ ＝∑ （ ｒ ，） ／ ， ） ／
‘ ： ‘
（ ２ ）
１ 形 状 函数 的 性 质
１ 即 。
（ ，）＝１ ， ７ ２ ２ 要求 ． ２２ １ 收敛性 要求 ．． ．
（） ４
图 ２
元 载荷 ， 必须 进行 两种 坐标 系 的转换 。
①完备性要求
正如上一讲提到的 ， 要得到精度高 的单元变 形分析 ， 单元位移必 须包含刚性位移 和常应变情
况， 这就要求位移模式 中必须包含常 数项 和坐标
有： ‘
Ｉ Ｉ
７ ７ ： ｔ ／ ７ ７ ７ ７ ７ ７ ７。 ７ ７ ７ ｔ ／ ７ ７
’
【 ￡ ，＝ （ ，， ￣ ３ ， 。 ＿ ＾ ；ｉ 一 （ ０ 『 ） ， ）（ ｍ ） ｊ
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
有限元试题及答案
一判断题（20分）（×)1。
节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√)2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3。
不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型(√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5。
平面应变单元也好，平面应力单元也好,如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6。
用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析(√)7。
一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8。
所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（√)9. 同一载荷作用下的结构,所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√)10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
二、填空（20分）1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面.2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx,σy，τxy ,三个独立的应变分量：εx，εy,γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板,后者为长柱体。
3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。
4．单元刚度矩阵的特点有：对称性, 奇异性,还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。
6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。
等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。
7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得,其计算公式为。
（用符号表示即可)8．一个空间块体单元的节点有3 个节点位移：u,v,w9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元三选择题（14分）1 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______的插值函数。
第五章 其他常用单元的刚度矩阵
第五章其他常用单元的刚度矩阵除了前面讲的一维、二维杆单元及三角形单元之外，有限元法中还根据分析对象的不同采用许多其他单元，如三棱圆环单元、等参数单元、平面四边形单元、四面体单元、六面体单元等等。
鉴于学时所限，只介绍三棱圆环单元和等参数单元的刚度矩阵的求法，对其他单元同学们可查阅有关书籍。
第一节三棱圆环单元的刚度矩阵机器中许多零件如飞轮、缸体等在几何形状上具有共同点，即它们都是某一平面图形绕平面内某一轴线旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。
当回转体承受的载荷和支撑条件相对于该轴线也对称时，分析求解这类零件的应力、应变问题，称为轴对称问题。
轴对称问题中，回转体内各点只有轴向和径向两个方向的位移，一个三维问题就简化为二维问题。
对这类零件的离散化可以在子午面内进行，最常用的是三角形截面的轴对称单元，简称为三棱圆环单元。
如图4-1所示。
1.位移模式及形状函数由于轴对称的特点，不再用直角坐标系（x,y,z）,而用柱面坐标系（r,θ,z）描述物体。
物体内任意一点只有沿r和z 方向的位移u和w，而无θ方向的位移。
当纵剖面上三角形单元(e)的三个节点总码分别为I、j、k时，如图4-1所示，相应的节点位移向量为{}{}Tk kjjiie w u w u w u =)(ϕ与弹性力学平面问题中的三角形单元一样，采用线性位移模式，则zr z r w z r z r u 654321),(),(αααααα++=++=与平面问题的推导步骤完全相同，可以得到与平面问题相似的结果：{}[]{})()()()(),(),(),(),(e e e e z r N z r w z r u z r ϕϕ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=其中形状函数为：[]zr r z z r z rz r N kj jk j k k j++-∆=)(21),(1 []z r r z z r z r z r N ik ki k i i k ++-∆=)(21),(2[]zr r z z r zr z r N ji ij i j ji++-∆=)(21),(32.应变与位移的关系（几何矩阵）轴对称问题中表示应变与位移关系的几何方程与弹性力学平面问题相似，所不同的是：单元内一点在径向产生的位移u ，会在圆周方向引起相应的应变θε。
有限元分析第五章(第一部分)
第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。
有限元等参数单元
有限元等参数单元有限元分析是一种工程数值分析方法，广泛用于结构力学、固体力学等领域。
在有限元分析中，将结构或物体离散为许多小单元，每个小单元称为参数单元。
本文将介绍有限元等参数单元的概念和应用。
在有限元分析中，参数单元是对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是通过数学建模技术将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元可以是一维、二维或三维的。
在一维情况下，常见的参数单元有杆单元和梁单元等。
在二维情况下，常见的参数单元有三角形单元和四边形单元等。
在三维情况下，常见的参数单元有四面体单元和六面体单元等。
在有限元分析中，参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定。
一般来说，参数单元的几何形状应能较好地适应结构或物体的形状。
对于复杂结构或物体，可以使用不同形状的参数单元进行组合，以更好地描述结构的几何特征。
在参数单元中，需要定义材料性质、几何性质和加载条件等参数。
材料性质包括弹性模量、泊松比、密度等。
几何性质包括长度、面积、体积等。
加载条件包括外力、边界条件等。
这些参数可以通过实验测量或根据经验来确定。
在有限元分析中，参数单元的刚度、质量和荷载等可以通过这些参数来计算。
有限元分析的基本思想是，将结构或物体分解为多个参数单元，并将其转化为一个或多个代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到结构或物体的应力、应变、位移等信息。
有限元方法可以有效地分析复杂结构的性能和行为，并为工程设计和优化提供依据。
总之，有限元等参数单元是在有限元分析中对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定，并通过定义材料性质、几何性质和加载条件等参数来描述结构的特征。
有限元分析是一种用于求解结构或物体应力、应变、位移等信息的数值分析方法，可以为工程设计和优化提供依据。
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母单元 首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，我们称之为母单元。
1. 一维母单元 采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下： 1） 线性单元（2结点）
1 2 1 2
1 -1 0 (a) 线 性 单 元
2 1
N1
N2
2） 二次单元（3结点）
(8-14)
其中， N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i 的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。
返回
图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单 元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是 因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。
y
3 1 2
1 -1
(8-19)
返回
其中，[J]-1是[J]的逆阵
y 1 J x
3. 三维母单元 三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体
1 1 1 1 1 1
如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。 单元结点在角点及各边的等分点上。 1) 线性单元（8结点） 5 8
13
5
16
15 14
8
6
1
这正方形单元的位移模式是：
而其中形函数为：
由图（b）可知
• 假如图 (a)中的任意四边形单元能用上式的位移 模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续 性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何 将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正 方形单元的局部坐标( , )。
根据形函数的两条性质：
2
图5-2 以上形函数也可以合并表示为 1 1
Ni
0 0
二维母单元
（i=1, 2, 3, 4）
4
其中
0 i
0 i
2) 二次单元（8结点）
角点：
Ni 1 4
4
7
3 6
8
o
1 1
0 0
0
0 1
如果有任意四边形单元，如图(a)所示就可以克服矩形单元 之不足，但是这种单元的位移模式如何能否满足前面所述的 条体则是本节要解决的问题。
在图（a)中的任意四边形单元上，作连接对边中点的直线，称 之为 及 ，取其交点为原点，并令四边上的坐标值分别为 1，就得出一新坐标系，称之为单元的局部坐标系。 将局部坐标系改画成直角坐标系，则图 (a)中的任意四边形单元 就变成图 (b)所示的正方形单元。
16
N4
9 1 1 16
图5-1 一维母单元
2. 二维母单元 二维母单元是平面中的2×2正方形
1 1 1 1
如图5-2所示，坐标原点在单位形心上。单元边界是四
条直线：
1
，
1 。为保证用形函数定义的未知量在相
邻单元之间的连续性，单元结点数目应与形函数阶次相适应 。因此，对于线性、二次和三次形函数，单元每边的结点数
N1
N3 1
2
1
2
N2
1
2
1 -1
2 0
3 1
3） 三次单元（4结点）
N1 N3
(b) 二 次 单 元
1 9
16 9 1
2
2
1
N2
1 9
16
2
1
1 3
2
0
3 1
0
x
(a) 线 性 单 元
(b) 二 次 单 元
图5-4 一维单元的平面坐标变换
返回
图5-5表示了二维单元的平面坐标变换。母单元是正方形， 子单元则分别变换成任意四边形和曲边四边形。而且相邻子单 元在公共边上的整体坐标是连续的。以二次单元为例，两个相 邻单公共边界上都是二次曲线（抛物线），而在三个公共结点 上具有相同的坐标。因此，整个公共边界都有相同的坐标，即 相邻单元是连续的。
返回
而曲线坐标系 , , 则只适用于单个独立的子单元，所以称 为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单 元分析中采用。 现在讨论两类坐标系中有关偏导数的关系，以二维坐标 为例：根据复合函数的求导法则，有
x x x x
i 1,
2
i 1;
0 0
1 1 1
(8-12)
3) 三次单元（32结点） 角点： 典型边中点：
Ni
1 1 1 9 64
1
0 0 0
2
2
2
19
(8-13)
i
Ni 9 64
从图形变换的角度看， , , 和 x , y , z 可以分别看成是母单 元和子单元这两个不同单元的坐标系，它们都是直角坐标系。 而从另一角度看， , , 和 x , y , z 又可以看成是同一单元（子单 元）的两种不同的坐标系。 x , y , z 是子单元的直角坐标系，而 , , 可看成是子单元的曲线坐标系。可以看出 x , y , z 始终扮演 同一角色，即子单元的直角坐标；而 , , 则扮演两种角色， 它既是母单元的直角坐标，又是子单元的曲线坐标。 在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐标系在 x , y , z 整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐标。
y y y y
(8-16)
上式可写成矩阵形式
x J y
(8-17)
返回
其中：[J]称为雅可比（Jacobi）矩阵
第五章 等参数单元
第一节 位移模式和形函数
第二节 等参元的概念 第三节 平面等参元 第三节 空间等参元
返回
第一节
位移模式和形函数
一、位移模式 在前面几章中已阐明位移模式就是：单元内任意 一点的位移，被表述为其坐标的函数。在平面问题 的单元中，任一点的位移分量可用下列多项式表示：
为了使有限元的解能够收敛于精确解，任何单 元的位移模式都必须满足以下三个条件： （1）位移模式中必须包括反应刚体位移的常数 项。 （2）位移模式中必须包括反应常应变的线性位 移项。 （3）位移模式必须能保证单元之间位移的连续 性。
分别为两个、三个和四个。除四个交点外，其他结点位于各
边的二分点或三分点上。
返回
1) 线性单元（4结点）
1 1
4
4
3
N1 N3
N2 N4
1 1
4
o
1 1
4
1 1
4
1 (a) 线 性 单 元
7 4
6
17 18 9
7 20
19
1
2
3
(a) 线 性 单 元பைடு நூலகம்
2 三维母单元
10
12
4 3
11
(b) 二 次 单 元
图5-3
返回
2) 二次单元（20结点） 角点： 典型边中点：
i 0 ,
Ni 1 4
Ni
1 8
1 1 1
0 0 0
0
0 0 2
显然在四个节点处，上式所示的关系无疑是成立的现在 要证明在四条边上，这关系也是正确的。以1—2边为例， 在此边上局部坐标 ＝-1，代入，得
或改写成：
同样可得：
等号左边 (x,y)是整体坐标，等号右边 ( )是局部坐标，因此上式被称为坐标 , 变换式 。
通常称局部坐标的正方形单元为母单元或基本单元，称整体 坐标的任意四边形单元为子单元或实际单元。
y
4
7
3
6
1
3 6 1
8
o
4
1
7 8 1
1
5
2
0
5 1
2
（a）母单元
（b）子单元
x
返回
图5-5 二维单元的平面坐标变换
=1 5
13
16
8
15
y
5 13 16 15 17 14 7 9 1 12 19 10 3 8
6 =-1
18 17
14
=-1 7 20
1
（i=1, 2, 3, 4） 边中点：
Ni Ni 1 2 1 2
2 5 (b) 二 次 单 元
1 1
2 0
（i = 5, 6）
(8-9)
1 1
2 0
（i = 7, 8）
3) 三次单元（12结点） 角点：
Ni 1 32
1 1 9
描述位移和描述坐标都采用相同形函数 ，所以这种单元称为等 参数单元。
1. 平面坐标变换 在整体坐标系中，子单元内任一点的坐标用形函数表示如下
N , x N , y
i i
x y
i i
N 1 , x 1 N 2 , x 2 N 1 , y 1 N 2 , y 2
1 3
,
2
i 1,
i 1;
1 1 9 1 1
0 0 0
返回
第二节
等参数元的概念
在平面问题的有限元中，最简单的单元是三节点的三角形单 元，由于这种单元中的应变及应力是常数，而通常计算对象 的应力场又往往随坐标而急剧变化，所以在应用常应变的三 角形单元时，必须划分大量的微小单元，才能得到较好的计 算精度，因而用三节点三角形单元算题时，往往节点数最多， 原始输入数据庞大。四节点的矩形单元能够比三角形单元更 好的反映实际应力变化，但它不能适府曲线边界和非直角的 直线边界，也不便随意改变大小。所以上述的两种单元都有 其不足之处。