函数八大类型

中考函数分类
一．面积与动点
1．如图，已知抛物线y ＝a (x －1)2
＋33(a ≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t
（s ）．问：当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个
长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
二．图形与变换
2．如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A （1，1）、B （3，1）．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ， 垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（0＜t ＜4），△OPQ 与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ． （1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线解析式； （2）求S 与t 的函数关系式；
（3）将△OPQ 绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或Q 在抛物线上？若存
在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．
三．图形相似
3．如图，二次函数的图象经过点D (0，
39
7
)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6． （1）求该二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ，使P A ＋PD 最小，求出点P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
D C
M
y O A
B Q P
x 2
O A B C
x y 1 1 3 P Q C
D O B
A
y
x
4.已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△P AD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．
（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD 为直角边的
直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
5.已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）． （1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．
A B
x
y
O 图1
C A B x y O P
D E 图2 C A B P x y O D E 图3 C 图① P D E
C O A B F x y 图② P
D C O A B F x
y E
F
6.如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－2
1
，23），C （1，0），∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，
3
3
），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ． （1）求该抛物线的解析式； （2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，是否存在这样的点P ，使四边形P ADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．
六.线段和与差
7.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，边AB 在x 轴上，且AB ＝6，D （0，9），以点C 为顶点的抛物线经过A 、B 两点，直线l 过点C ，交y 轴于点E （0，12）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点C 沿直线l 向上移动，当抛物线经过D 点时，求抛物线的解析式和A 、C 两点间
的抛物线弧扫过的面积；
（3）P 是线段BD 上的动点，连结CP ，B ，D 两点到直线CP 的距离之和是否存在最大值？若存在，
请求出其最大值和此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，已知直线y ＝2
1
x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝
2
1x
2
＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．
A C
B x
D O y
E l B
A O x y C
B ′ D y
x
C B A
D
O
E
y
七.计算、说理
9.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 的坐标为(3，m )(m ＞0)，线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1，0)为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值．
八.平行于垂直
10.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，
，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动2
3
秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．
（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；
（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标； （1） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与
AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．
图1
O
P A x
B
D
C Q y 图2
O
P
A x
B
C Q y
E y x
F A O D B P C E Q。