孪生素数
孪生素数证明
孪生素数证明1. 引言孪生素数是指相差为2的两个素数，例如(3, 5)、(11, 13)等。
孪生素数一直以来都是数学研究中的一个重要课题，其性质和分布一直备受关注。
本文将从孪生素数的定义、性质以及存在性进行详细阐述，并给出相应的证明过程。
2. 孪生素数的定义首先我们需要明确什么是素数。
素数是指除了1和自身外没有其他正因子的自然数。
根据这个定义，我们可以得到孪生素数的定义：相差为2且都是素数的两个自然数。
3. 孪生素数的性质性质1：无穷性孪生素数有无穷多个。
这一结论最早由法国大学教授Alphonse de Polignac在1846年提出，并被后来人证明。
性质2：存在性对于任意大于等于5的自然数n，必然存在一个孪生素对(p, p+2)，其中p为不小于n且为奇数的最小素数。
性质3：距离限制孪生素对中较大的那个数字必定小于等于某个特定的界限。
这个界限被称为孪生素数距离界限，通常记作C2。
4. 孪生素数证明证明1：无穷性假设只存在有限个孪生素数，我们可以将它们依次记作(p1, p1+2), (p2,p2+2), …, (pn, p n+2)。
我们构造一个新的自然数N = p1 * p2 * … * pn + 1。
显然，N大于所有已知的孪生素数中较大的那个数字。
现在我们来观察N和N+2： - 如果N是一个素数，那么(N, N+2)就是一个新的孪生素对，与我们假设只存在有限个孪生素数相矛盾。
- 如果N不是一个素数，那么根据整除关系可知，存在一个大于1且小于等于n的因子d能够整除N。
由于d也能够整除p1 * p2 * … * pn，所以d不能是p1, p2, …, pn中任何一个。
因此d必然比这些已知的孪生素对中较大的那个数字还要大。
而N = p1 * p2 * …* pn + 1又比这些已知的孪生素对中较大的那个数字还要大，所以d不能整除N+2。
综上所述，无论N是素数还是合数，都能够得出结论：存在一个大于已知孪生素对中较大的那个数字的新的孪生素对。
孪生素数猜想
孪生素数猜想孪生素数是指相差为2的一对素数。
例如，（3，5）、（11，13）和（17，19）都是孪生素数对。
孪生素数猜想是指存在无穷多个孪生素数对的假设。
这个猜想是数论领域的一个重要问题，其解决与否一直备受数学界的关注。
在介绍孪生素数猜想之前，我们先了解一下素数。
素数是只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7、11、13等都是素数，而4、6、8、9等则不是素数。
素数的分布一直是数论中一个重要的研究方向。
孪生素数猜想的历史可以追溯到18世纪。
法国数学家朗勃朗-皮埃尔·贝努利在1742年的一封信中首次提出了这个猜想。
他认为存在无穷多对形如（p，p+2）的孪生素数。
这个猜想引起了众多数学家的兴趣，并成为数论中一个备受关注的问题。
然而，数学界至今尚未成功证明孪生素数猜想。
尽管在解决素数问题方面取得了重要的进展，但证明孪生素数猜想仍然是一个巨大的挑战。
当前的研究基本上可以证实孪生素数猜想在某些范围内是成立的，但无法给出完整的证明。
在过去几十年中，数学家们通过使用先进的计算机技术和数论方法，对孪生素数猜想进行了大量的研究。
一些重要的数论工具，如素数谐振子方法、亏格筛法等，被用于分析素数的分布规律，给出了孪生素数猜想的一些可行性结果。
虽然孪生素数猜想尚未被证明，但众多数学家们认为这个猜想是成立的。
各种证据表明，孪生素数的分布呈现出一定的规律性。
例如，根据数论领域的研究，人们已经证明了存在无穷多对形如（p，p+2m）的素数对，其中p和m满足特定的条件。
这些结果为孪生素数猜想提供了一定的支持。
除了孪生素数猜想，相似的问题还有孪生素数三元组猜想和孪生素数四元组猜想。
孪生素数三元组猜想是指存在无穷多个形如（p，p+2，p+6）的素数三元组，而孪生素数四元组猜想则是指存在无穷多个形如（p，p+2，p+6，p+8）的素数四元组。
这些猜想与孪生素数猜想有着密切的联系，并且一直在数论领域中被广泛研究。
为了解决孪生素数猜想以及其他相关问题，数学家们需要进一步改进数论的理论和方法。
孪生素数猜想初等证明详解
孪生素数猜想初等证明详解齐宸孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。
孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。
素数对（p, p + 2）称为孪生素数。
孪生素数由两个素数组成，相差为2。
为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。
1．孪生素数分类及无个位表示方法孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是：1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等；2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等；3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。
三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。
因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。
自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。
若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。
无论这一步是一小步，还是一大步。
但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。
分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。
首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。
用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。
其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。
这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。
当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。
为什么一定要去掉个位呢？可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。
并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。
而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。
孪生素数分布规律
孪生素数是指两个相邻奇数均为素数的一对数，它们之间的差总是2。
例如，3和5是一对孪生素数，因为它们都是奇数且差为2。
孪生素数的分布规律是一个有趣且复杂的问题，下面将探讨一些相关内容。
首先，我们需要了解素数的分布规律。
素数是只有1和自身能整除的自然数。
在自然数列中，素数的分布并不均匀。
在较小的范围内，素数的数量相对较多，但在较大的范围内，素数的数量相对较少。
此外，数学家发现了许多与素数分布有关的规律和公式，如素数定理、欧拉筛法等。
其次，孪生素数的分布规律与素数的分布规律密切相关。
由于孪生素数是两个相邻奇数均为素数的一对数，因此它们的分布规律受到素数分布规律的影响。
在较小的范围内，孪生素数的数量相对较多，但在较大的范围内，孪生素数的数量相对较少。
此外，孪生素数的差始终为2，这也影响了它们的分布规律。
另外，数学家们还发现了一些有趣的孪生素数对。
例如，3和5是最小的孪生素数对，也是最著名的孪生素数对之一。
此外，还有许多其他的孪生素数对，如5和7、11和13等。
这些孪生素数对在数学和自然界中都有着广泛的应用和意义。
最后，需要指出的是，孪生素数的分布规律是一个非常复杂的问题，需要借助高级的数学工具和方法进行研究。
虽然我们已经取得了一些进展，但是对于孪生素数的分布规律仍然有许多未知的问题和挑战。
综上所述，孪生素数的分布规律是一个既有趣又复杂的问题。
它涉及到素数的分布规律、数学家们的发现以及高级的数学工具和方法。
通过研究孪生素数的分布规律，我们可以更好地理解素数的性质和分布规律，同时也可以为数学和自然界中的其他领域提供有价值的参考和应用。
孪生素数有无穷多对的简单证明
孪生素数有无穷多对的简单证明大于1的正整数，如果仅有1和自身两个因子，则称它为素数，否则为合数，以pn表示第n个素数，例如，p1=2，p2=3，p3=5……p168=997，…。
令dn=pn+1-pn，则d1=1，d2=2…。
人们自然地提出一个问题，是不是有无穷多个dn=2？这是一个尚未解决的问题。
1、序号筛法eratosthenes筛法即为取值一个正整数x，把不能少于x的一切正整数按大小关系排列成一串，1，2，3，4，5，……x，记px就是不大于x的最小素数，从上述数串中，首先抛掉1，然后逐项的抛掉。
2+2n3+3n5+5n……（n=1，2，3，4……）最后该数串留下的数都是素数，显然对任何给定的正整数串，用上面的方法，也可以找出其中的素数。
而令大写字母则表示子集，n则表示自然数子集，p则表示所有素数的子集，p1则表示从p中换成2，3，后的子集，即p1={5，7，11，13，17，19……}对任何p∈p1，p的型式不为6k-1，就为6l+1，其中k，l为某个整数，对任何p∈p1，导入一个关联的并存数，q，使|p-q|=2，我们何不签订合同，2221/2若p=6k-1，取q=6k+1，若p=6k+1，取q=6k-1，q可以是素数，也可以合数。
比如：p=5，7，11，13，17，19，23，29，31……q=7，5，13，11，19，17，25，31，29…令n0={0}un={0。
1，2，3，4，5……}，对任何p∈p1记2似乎（p-1）/6和（pq+1）/6都就是整数，lp、sp、l及s都就是n的子集，n与l、n与s的差集分别直和为。
定理1，若a∈lp，则6a-1为合数，若b∈sp，则6b-1为合数。
证明：对任何p∈p1，若a∈lp，则存有一个n∈n0。
使a=(p-1)/6+np；若n∈sp，则存有一个m∈n0，使b=(pq+1)/6+mp，由此存有等式6a+1=p（p+6n）及6b-1=p（q+6m）为合数。
孪生素数证明
孪生素数证明摘要：1.孪生素数的定义与重要性2.孪生素数猜想3.证明过程的挑战与难点4.孪生素数证明的进展5.我国数学家在孪生素数证明领域的贡献正文：1.孪生素数的定义与重要性孪生素数是指两个自然数，它们相差为2，且在所有大于1 的自然数中，它们的和是最小的。
例如3 和5、5 和7、11 和13 等。
在数学领域，孪生素数猜想一直是一个重要且富有挑战性的问题。
2.孪生素数猜想孪生素数猜想是由法国数学家约瑟夫·拉格朗日于1772 年提出的，后被德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所发展。
猜想的主要内容是：存在无穷多对孪生素数。
尽管这个猜想一直未被证明，但它在数学家的研究中取得了广泛的应用。
3.证明过程的挑战与难点证明孪生素数猜想的过程面临着巨大的挑战和难点。
首先，由于孪生素数之间相差为2，因此无法通过常规的方法来寻找它们。
其次，由于猜想涉及无限个自然数，因此需要一种全新的数学方法来处理这个问题。
4.孪生素数证明的进展尽管孪生素数猜想尚未得到证明，但在数学家的不断努力下，已经取得了一些重要的进展。
比如，通过计算可知，目前最小的孪生素数是20037 和20039。
此外，一些数学家还提出了关于孪生素数的分布规律和性质，为最终证明猜想奠定了基础。
5.我国数学家在孪生素数证明领域的贡献在孪生素数证明领域，我国数学家也取得了举世瞩目的成就。
例如，陈景润教授在20 世纪60 年代证明了“陈氏定理”，为我国数学家在这一领域的研究打下了坚实的基础。
近年来，我国数学家不断尝试新的方法，为证明孪生素数猜想做出了积极的贡献。
总之，孪生素数猜想作为数学领域的一个重要问题，尽管尚未得到证明，但它激发了无数数学家的兴趣和热情。
孪生素数的认识和意义
孪生素数的认识和意义孪生素数是指相差为2的两个素数，例如（3，5），（11，13），（17，19），（29，31）等等。
在数论领域中，孪生素数一直是研究的热点之一，具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍孪生素数的定义、性质以及其在密码学和计算机科学中的应用。
一、孪生素数的定义和性质孪生素数又称孪生兄弟素数，是指相差为2的两个素数对。
素数是只能被1和自身整除的自然数，如2, 3, 5, 7, 11等。
因此，孪生素数由两个连续的素数组成，其形式可表示为（p, p+2）。
关于孪生素数，有以下几个性质：1. 孪生素数的存在性：根据孪生素数对的定义，只要存在连续的两个素数，就一定可以找到一个孪生素数对。
但孪生素数对的分布情况尚未被完全理解。
2. 大孪生素数猜想：猜想存在无穷多个孪生素数对。
尽管尚未有数学证明，但在近年来的研究中，已经发现了很多孪生素数对的例子，这也为此猜想提供了一定的支持。
3. 质数对猜想：孪生素数对可能是质数对的一种特殊形式。
质数对猜想认为存在无穷多个形如（p, p+2k）的质数对，其中k为正整数。
孪生素数对是质数对中k取2的情况。
二、孪生素数在密码学中的应用1. 密钥生成在公钥密码系统中，孪生素数可以用于生成安全的RSA密钥对。
RSA加密算法是一种常用的非对称加密算法，其中公钥由两个较大的素数n和e构成。
选择两个合适的孪生素数作为RSA的模n，可以提高加密的安全性。
2. 加密算法孪生素数可以用于构建一种新的加密算法。
通过将明文中的每个字符与一个孪生素数对应起来，然后进行各种数学运算，可以实现高效的加密和解密过程。
这种加密算法在信息安全领域中有一定的实际应用。
三、孪生素数在计算机科学中的应用1. 随机数生成孪生素数可以用作随机数生成算法的一部分。
通过选择两个合适的孪生素数作为种子，可以生成高质量的随机数序列。
随机数在计算机科学中被广泛应用于模拟、加密等领域。
2. 素数测试孪生素数可以被用来测试一个数是否为素数的一部分。
数学孪生概念(一)
数学孪生概念(一)数学孪生概念简介什么是数学孪生概念？数学孪生概念是指两个数学对象，它们具有相似的性质或结构，但又不完全相同。
这两个对象被称为“孪生”。
孪生素数（Twin Primes）•孪生素数是指相差为2的两个素数，例如(3, 5)、(11, 13)等。
•孪生素数的出现相对较为稀少，它们之间的差异使之成为了数论的一个重要研究对象。
•孪生素数猜想：存在无限多对孪生素数。
孪生椭圆曲线（Twin Elliptic Curves）•椭圆曲线是一类具有特定结构的代数曲线，而孪生椭圆曲线则是指具有相似性质的两条椭圆曲线。
•孪生椭圆曲线广泛应用于密码学领域，例如用于生成公钥和私钥对。
•孪生椭圆曲线的构造和安全性是当前研究的焦点之一。
孪生整数（Twin Integers）•孪生整数是指相差为2的两个整数，例如(3, 5)、(11, 13)等。
•孪生整数的研究与素数的研究密切相关，因为素数是孪生整数的一个特例。
•孪生整数的性质和分布也是数论中的一个重要研究方向。
孪生图（Twin Graphs）•孪生图是指具有相同的顶点集合和相似边的两个图，它们只在少数边的连接方式上有所区别。
•孪生图的研究在图论中具有重要意义，可以帮助我们更好地理解图的结构和性质。
•孪生图的应用非常广泛，包括社交网络、通信网络等领域。
结语数学孪生概念涵盖了多个数学分支的研究内容，包括数论、代数、密码学等等。
这些孪生概念在数学研究和实际应用中起着重要作用，对我们理解数学世界的奥秘有着重要贡献。
无论是对于研究者还是对于学习者来说，了解和探索这些概念都是一次有意义的旅程。
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孪生素数要介绍孪生素数，首先当然要说一说素数这个概念。
素数是除了1 和它本身之外没有其它因子的自然数。
素数是数论中最纯粹、最令人着迷的概念。
除了 2 之外，所有素数都是奇数(因为否则的话除了 1 和它本身之外还有一个因子2，从而不满足素数的定义)，因此很明显大于2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是2。
所谓孪生素数指的就是这种间隔为2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。
最小的孪生素数是(3, 5)，在100 以内的孪生素数还有(5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和(71,73)，总计有8组。
但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。
那么会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？我们知道，素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏，不过幸运的是早在古希腊时代，Euclid 就证明了素数有无穷多个(否则今天许多数论学家就得另谋生路)。
长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组，这就是与Goldbach猜想齐名、集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想- 孪生素数猜想：孪生素数猜想：存在无穷多个素数p, 使得p+2 也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过，但是一八四九年法国数学Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数2k,存在无穷多组以2k 为间隔的素数。
对于k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把Alphonse de Polignac作为孪生素数猜想的提出者。
不同的k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数，k=2 (即间隔为4) 的素数对被称为cousin prime (比twin 远一点)，而k=3 (即间隔为6) 的素数对竟然被称为sexy prime (这回该相信“书中自有颜如玉”了)！不过别想歪了，之所以称为sexy prime 其实是因为sex 正好是拉丁文中的6。
:-)孪生素数猜想还有一个更强的形式，由英国数学家Hardy 和Littlewood 于一九二三年提出，现在通常称为Hardy-Littlewood猜想或强孪生素数猜想[注一]。
这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多组，而且还给出其渐近分布形式为：xπ2(x)~2C2∫dt/(lnt)^22其中π2(x) 表示小于x 的孪生素数的数目，C2 被称为孪生素数常数(twin prime constant)，其数值为：C2=∏P(P-2)/(p-1)^2≈0.66016118158468695739278121100145...p≥3Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布的精确程度可以由下表看出：x 孪生素数数目Hardy-Littlewood 猜想100,000 1224 12491,000,000 8,169 8,24810,000,000 58,980 58,754100,000,000 440,312 440,36810,000,000,000 27,412,679 27,411,417很明显，Hardy-Littlewood 猜想的对孪生素数分布的拟合程度是惊人的。
如此精彩的拟合堪与自然科学史上Adams 和Leverrier 运用天体摄动规律对海王星位置的预言以及Einstein对光线引力偏转的预言相媲美，是理性思维的动人篇章。
这种数据对于纯数学的证明虽没有实质的帮助，但是它大大增强了人们对孪生素数猜想的信心。
顺便说一下，Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布规律可以通过一个简单的定性分析“得到”：我们知道素数定理(primenumber theorem) 表明对于足够大的x, 在x 附近素数的分布密度大约为1/ln(x)，因此两个素数处于区间 2 以内的概率大约为2/ln2(x)。
这几乎正好就是Hardy-Littlewood 猜想中的被积函数！当然其中还差了一个孪生素数常数C2，而这个常数很显然正是Handy 与Littlewood 的功力深厚之处！除了Hardy-Littlewood 猜想与孪生素数实际分布之间的拟合外，对孪生素数猜想的另一类“实验”支持来自于对越来越大的孪生素数的直接寻找。
就象对于大素数的寻找一样，这种寻找在很大程度上成为对计算机运算能力的一种检验，一九九四年十月三十日，这种寻找竟然导致发现了Intel Pentium 处理器浮点除法运算的一个bug，在工程界引起了不小的震动。
截至二零零二年底，人们发现的最大的孪生素数是：(33218925×2169690-1, 33218925×2169690+1)这对素数中的每一个都长达51090 位！许多年来这种记录一直被持续而成功地刷新着。
好了，介绍了这么多关于孪生素数的资料，现在该说说人们在证明孪生素数猜想上所走过的路了。
迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。
第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润(顺便说一下，美国数学学会在介绍Goldston 和Yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是“伟大的中国数学家陈”) 利用筛法(sieve method) 所取得的。
陈景润证明了：存在无穷多个素数p, 使得p+2 要么是素数，要么是两个素数的乘积。
这个结果和他关于Goldbach 猜想的结果很类似。
目前一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。
证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的，Goldston 和Yildirim所取得的结果也属于这一类。
这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：Δ := lim inf[(P(n+1)-Pn)/ln(Pn)]n→∞翻译成白话文，这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。
很显然孪生素数猜想如果成立，那么Δ必须等于0，因为孪生素数猜想表明pn+1-pn=2 对无穷多个n 成立，而ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合(从而对于整个素数集合也) 趋于零。
不过要注意Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充份条件。
换句话说如果能证明Δ≠0则孪生素数猜想就不成立，但证明Δ=0 却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
对于Δ最简单的估算来自于素数定理。
按照素数定理，对于足够大的x, 在x 附近素数出现的几率为1/ln(x)，这表明素数之间的平均间隔为ln(x) (这也正是Δ的表达式中出现ln(pn) 的原因)，从而(pn+1-pn)/ln(pn)给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。
平均值为1，最小值显然是小于等于1，因此素数定理给出Δ≤1。
对Δ的进一步估算始于Hardy 和Littlewood。
一九二六年，他们运用圆法(circle method) 证明了假如广义Riemann 猜想成立，则Δ≤2/3。
这一结果后来被被Rankin 改进为Δ≤3/5。
但是这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义Riemann 猜想，因此只能算是有条件的结果。
一九四零年，Erdös 利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ<1(即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。
此后Ricci 于一九五五年，Bombieri 和Davenport 于一九六六年，Huxley于一九七七年，分别把这一结果推进到Δ≤15/16，Δ≤(2+√3)/8≈0.4665 及Δ≤0.4425。
Goldston 和Yildirim 之前最好的结果是Maier 在一九八六年取得的Δ≤0.2486。
以上这些结果都是在小数点后做文章，Goldston 和Yildirim 的结果把这一系列的努力大大推进了一步，并且- 如果得到证实的话-将在一定意义上终结对Δ进行数值估算的长达几十年的征途，因为Goldston 和Yildirim 证明了Δ=0。
当然如我们前面所说，Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而非充份条件，因此Goldston 和Yildirim的结果离最终证明孪生素数猜想还远得很，但它无疑是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。
一旦Δ=0 被证明，人们的注意力自然就转到了研究Δ趋于0 的方式上来。
孪生素数猜想要求Δ~ [log(pn)]-1 (因为pn+1-pn=2 对无穷多个n 成立)。
Goldston 和Yildirim 的证明给出的是Δ~[log(pn)]-1/9，两者之间还有相当距离。
但是看过Goldston 和Yildirim 手稿的一些数学家认为Goldston 和Yildirim 所用的方法明显存在改进的空间，也就是说对Δ趋于0 的方式可以给出更强的估计。
因此Goldston 和Yildirim的证明其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。
这种系列研究对于数学来说有着双重的价值，因为一方面这种研究所获得的新结果是对数学的直接贡献，另一方面这种研究对Goldston 和Yildirim的证明会起到反复推敲和核实的作用。
现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。
以前四色定理和Fermat 大定理都曾有过一个证明时隔几年(甚至十几年)才被发现错误的例子。
因此一个复杂的数学结果能够成为进一步研究的起点，吸引其它数学家的参与对于最终判定该结果的正确性具有极其正面的意义。
本文到此就结束了，再过一个多月(五月二十二日) 就是陈景润先生七十周年诞辰的日子。
谨以本文纪念这位在数论领域中功绩卓著的中国数学家。
二零零三年四月六日写于纽约/--------------------------------------------------------------------------------注释[注一] Hardy-Littlewood 于一九二三年提出的猜想共有两个，其中第一个猜想又称为k-tuple 猜想，它给出了所有形如(p,p+2m1, ... , p+2mk) (其中0<m1<...<mk) 的素数k-tuple 的渐进分布。
强孪生素数猜想只是t-tuple猜想的一部分。
--------------------------------------------------------------------------------补注：二零零三年四月二十三日，Andrew Granville (University de Montreal) 和KannanSoundararajan (University of Michigan) 发现了Goldston 和Yildirim 证明中的一个错误。