高中数学教师用书第一部分第3章3.4.1第二课时用二分法求方程的近似解课件苏教版必修1
合集下载
2013版高考数学 3.4.1 第2课时 用二分法求方程的近似解课件 苏教版必修1
2、求方程2 x 3x 7 的近似解(精确到0.1) y 16 解：先利用计算机作出函数图象
（如右图所示），易知函数的零点
在（1，2）区间内。
-5
14 12 10 8 6 4 2
-2 -4 -6 -8
O
5
10 x
令f ( x ) 2 x 3 x 7, 零点为x0 , 精确度为
∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
1、下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法 求其零点的是
③
y y x o
③
y
o
①
y x
o
④
x
o
②
x
思考:利用二分法求函数零点的关键条件是什么？ （1）函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断.
（2）y=f(x)满足f(a)·f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.
由f (1.5)≈0.33>0, f (1)= -1<0得：x0∈(1,1.5)
由f (1.25)≈-0.37<0, f (1.5)>0得：x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)≈-0.031<0, f (1.5)>0得：x0∈(1.375,1.5) 由f (1.4375)≈0.146>0, f (1.375)<0得：x0∈ (1.375,1.4375)
第2课时 用二分法求方程的近似解
1、了解什么是二分法.(难点） 2、会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求 得方程的近似解.（重点、难点）
做游戏：结合CCTV-2“幸运52”节目的有
奖竞猜，请同学们两人一组，猜你同桌的
生日。要求:左边的同学问，右边的同学
高中数学 312用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1
[答案] 1.562 5
[解析] 由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈ －0.029<0，即 f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且 1.562 5－1.556 25 ＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值可取 为 1.562 5.
[答案] D
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
[答案] B
3．设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在
(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程
的根落在区间( )
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
课堂基础巩固
1 ． 若 函 数 f(x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 且 f(0)>0 ， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数 f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数 f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数 f(x)在区间(0,4)内有零点
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任 务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那 6 枚中；将较轻的 6 枚再均分为 2 组，分别置于天平上测量，则假币将会出现在 较轻的那 3 枚中；
再从这 3 枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一 枚为假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
因此，发现假币最多需进行 4 次比较．
则 f(141)＝ln141＋2×141－6＝ln141－12>0. ∴f(141)·f(52)<0. ∴x0∈(52，141)． ∵|141－52|＝14≤14， ∴满足题意的区间为(52，141)．
[解析] 由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈ －0.029<0，即 f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且 1.562 5－1.556 25 ＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值可取 为 1.562 5.
[答案] D
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
[答案] B
3．设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在
(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程
的根落在区间( )
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
课堂基础巩固
1 ． 若 函 数 f(x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 且 f(0)>0 ， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数 f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数 f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数 f(x)在区间(0,4)内有零点
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任 务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那 6 枚中；将较轻的 6 枚再均分为 2 组，分别置于天平上测量，则假币将会出现在 较轻的那 3 枚中；
再从这 3 枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一 枚为假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
因此，发现假币最多需进行 4 次比较．
则 f(141)＝ln141＋2×141－6＝ln141－12>0. ∴f(141)·f(52)<0. ∴x0∈(52，141)． ∵|141－52|＝14≤14， ∴满足题意的区间为(52，141)．
用二分法求方程的近似解史传奇课件
精度和稳定性
在某些情况下，牛顿法的精度和稳定性可能比二分法更高，但需要更 精确的初始猜测值。
06
二分法的应用实例
求一元方程的根
01
定义域限制
使用二分法求解一元方程时，需 要确保方程在定义域内只有一个解。
03
迭代过程
通过不断将初始区间一分为二， 并判断解所在的子区间，逐步缩
小解的搜索范围。
02
初始区间选择
感谢观看
用二分法求方程的近似解史 传奇课件
contents
目录
• 二分法简介 • 二分法的实现步骤 • 二分法的误差分析 • 二分法的优化与改进 • 二分法与其他数值方法的比较 • 二分法的应用实例
01
二分法简介
二分法的定 义
二分法，也称为二分搜索，是一种通 过不断将搜索区间一分为二来逼近函 数零点的迭代算法。
变步长二分法
总结词
变步长二分法通过调整步长来控制迭代过程，以更快速地逼近解。
详细描述
在传统的二分法中，步长是固定的。而变步长二分法则根据函数值的分布情况动态调整 步长，使得迭代过程更加灵活。这种方法可以在保证精度的同时，加快收敛速度，提高
求解效率。
05
二分法与其他数值方法的比较
与迭代法的比 较
为了减小迭代过程中的误差累积， 需要尽可能提高函数值计算的精 度。这可能需要对使用的数学库 或计算环境进行一些配置和调整。
设置合适的终止条
件
为了防止数值稳定性问题，需要 设置合适的终止条件。这个条件 应该根据问题的特性和所需的精 度来确定。
04
二分法的优化与改进
多重二分法
总结词
通过多次应用二分法，多重二分法能够加速 收敛，减少迭代次数，提高求解效率。
在某些情况下，牛顿法的精度和稳定性可能比二分法更高，但需要更 精确的初始猜测值。
06
二分法的应用实例
求一元方程的根
01
定义域限制
使用二分法求解一元方程时，需 要确保方程在定义域内只有一个解。
03
迭代过程
通过不断将初始区间一分为二， 并判断解所在的子区间，逐步缩
小解的搜索范围。
02
初始区间选择
感谢观看
用二分法求方程的近似解史 传奇课件
contents
目录
• 二分法简介 • 二分法的实现步骤 • 二分法的误差分析 • 二分法的优化与改进 • 二分法与其他数值方法的比较 • 二分法的应用实例
01
二分法简介
二分法的定 义
二分法，也称为二分搜索，是一种通 过不断将搜索区间一分为二来逼近函 数零点的迭代算法。
变步长二分法
总结词
变步长二分法通过调整步长来控制迭代过程，以更快速地逼近解。
详细描述
在传统的二分法中，步长是固定的。而变步长二分法则根据函数值的分布情况动态调整 步长，使得迭代过程更加灵活。这种方法可以在保证精度的同时，加快收敛速度，提高
求解效率。
05
二分法与其他数值方法的比较
与迭代法的比 较
为了减小迭代过程中的误差累积， 需要尽可能提高函数值计算的精 度。这可能需要对使用的数学库 或计算环境进行一些配置和调整。
设置合适的终止条
件
为了防止数值稳定性问题，需要 设置合适的终止条件。这个条件 应该根据问题的特性和所需的精 度来确定。
04
二分法的优化与改进
多重二分法
总结词
通过多次应用二分法，多重二分法能够加速 收敛，减少迭代次数，提高求解效率。
用二分法求方程的近似解课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
7 5
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
高一数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件
3.1.2 用二分法求方程的近似解
林老师网络编辑整理
1
问题提出
1. 函数 f (x) x2 4x 3有零点吗？你怎 样求其零点？
林老师网络编辑整理
2
2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到
了三次和四次方程的求根公式，但对于高于
4次的方程，类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗
4
知识探究（一）:二分法的概念
思考1:有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重， 用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
思考2:已知函数 f (x) lnx 2x 6
在区间（2，3）内有零点，你有什么方
法求出这个零点的近似值？
林老师网络编辑整理
5
思考3:怎样计算函数 f (x) lnx 2x 6在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
林老师网络编辑整理
9
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似 值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用
二分法求函数零点的近似值？为什么？
y
y
o
x
o
x林老师网络编辑整理
10
理论迁移
（2.531 25，2.562 5） 2.546 875 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 （2.531 25，2.539 062 5）林老师2网.5络3编5辑1整5理6 25
0.029 0.01 0.001
0.03125 0.015625 0.0078613
林老师网络编辑整理
1
问题提出
1. 函数 f (x) x2 4x 3有零点吗？你怎 样求其零点？
林老师网络编辑整理
2
2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到
了三次和四次方程的求根公式，但对于高于
4次的方程，类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗
4
知识探究（一）:二分法的概念
思考1:有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重， 用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
思考2:已知函数 f (x) lnx 2x 6
在区间（2，3）内有零点，你有什么方
法求出这个零点的近似值？
林老师网络编辑整理
5
思考3:怎样计算函数 f (x) lnx 2x 6在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
林老师网络编辑整理
9
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似 值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用
二分法求函数零点的近似值？为什么？
y
y
o
x
o
x林老师网络编辑整理
10
理论迁移
（2.531 25，2.562 5） 2.546 875 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 （2.531 25，2.539 062 5）林老师2网.5络3编5辑1整5理6 25
0.029 0.01 0.001
0.03125 0.015625 0.0078613
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
2012年高一数学必修1课件教师用书第一部分《函数的零点》(苏教版)
[精解详析]
(1)∵ f(1)＝－ 20<0， f(8)＝ 22>0，
∴ f(1)· f(8)<0.故 f(x)＝ x2－ 3x－ 18 在[1， 8]上存在零点． (2)∵ f(－ 1)＝－ 1<0， f(2)＝ 5>0， ∴ f(－ 1)· f(2)<0， ∴f(x)＝ x3－ x－ 1 在[－ 1， 2]上存在零点． (3)∵ f(1)＝log2(1＋ 2)－ 1>log22－ 1＝ 0， f(3)＝ log2(3＋ 2)－ 3<log28－ 3＝ 0. ∴ f(1)· f(3)<0， 故 f(x)＝ log2(x＋ 2)－ x 在[1， 3]上存在零点．
问题2：作出函数y＝x2－2x－3＝0和y＝x2－2x＋1的 图象，指出它们与x轴的交点的坐标： 提示：
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点是(－1，0)和 (3，0)； 函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点是(1，0)． 问题3：观察函数图象，它们的图象与x轴的交点与
相应方程的根有什么关系？
根据题意画出图象的草图，然后根据草图列出限制条件 组成不等式组求解．限制条件可从以下几个方面去考虑： ①判别式；②对称轴；③所给区间端点的函数值；④开 口方向．
根据图象得 f（ 0） >0， － k＋ 2>0， f（ 1） <0， 即7－（ k＋ 13）－ k＋ 2<0， f（ 2） >0 28－ 2k－ 26－ k＋ 2>0. 4 解之得－ 2<k< . 3 4 故 k 的取值范围是 (－ 2， )． 3
[一点通]
解決此类问题可设出方程对应的函数，
(2)∵x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)， ∴令 f(x)＝0 得 x(x－ 1)(x＋1)＝0. ∴f(x)的零点为 x1＝0，x2＝1，x3＝－1. (3)当 a＝0 时，函数为 f(x)＝－x＋2， 令 f(x)＝ 0，得 x＝2. ∴f(x)的零点为 2.
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
高中数第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1.2用二分法求方程的近似解课件苏教版必修1
点附近的函数值的参考数据如表:
x 0
0.5
0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是
(
). (导学号51790116)
高中数第3章指数函数、对数函
数和幂函数3.4.1.2用二分法求方
程的近似解课件苏教版必修1
学习目标
重点难点
1.会用二分法求方程的近似
解.
重点:用二分法求方程的
近似解.
2.明确函数零点的近似值的
判断方法.
难点:零点近似值的判定
方法.
1.二分法的含义
(1)满足的条件:函数y=f(x)在区间(a,b)上连续不断且f(a)·f(b)<0.
1
则当 x∈(-∞,0)时,x >0, <0,
2
1
所以- >0,所以
2 1
2 1
f(x)=x - >0 恒成立.
所以 x - =0 在(-∞,0)内无实数解.
(导学号
典例导学
即时检测
一
二
1.准确理解“二分法”的含义:
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐
步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确
零点,都能用二分法求函数零点,故选A.
典例导学
即时检测
一
二
1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是(
).
答案:C
解析:由题图知,只有C中有变号零点,能用二分法求零点.
x 0
0.5
0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是
(
). (导学号51790116)
高中数第3章指数函数、对数函
数和幂函数3.4.1.2用二分法求方
程的近似解课件苏教版必修1
学习目标
重点难点
1.会用二分法求方程的近似
解.
重点:用二分法求方程的
近似解.
2.明确函数零点的近似值的
判断方法.
难点:零点近似值的判定
方法.
1.二分法的含义
(1)满足的条件:函数y=f(x)在区间(a,b)上连续不断且f(a)·f(b)<0.
1
则当 x∈(-∞,0)时,x >0, <0,
2
1
所以- >0,所以
2 1
2 1
f(x)=x - >0 恒成立.
所以 x - =0 在(-∞,0)内无实数解.
(导学号
典例导学
即时检测
一
二
1.准确理解“二分法”的含义:
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐
步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确
零点,都能用二分法求函数零点,故选A.
典例导学
即时检测
一
二
1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是(
).
答案:C
解析:由题图知,只有C中有变号零点,能用二分法求零点.
高中数学高一必修第三章《用二分法求方程的近似值》教育教学课件
跟踪训练2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解，精确度为0.01.
解 考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始， 运用二分法逐渐缩小方程实数解所在区间. 经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解. 如此下去，得到方程2x3＋3x－3＝0有解区间的表.
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用运算器算得f(1.25)≈－0.87. 由于f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5). 同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5). 由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，
则重复(2)～(4).
知识点三 精确度与运算次数
摸索1 “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗？ 答案 不一样.比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后 保存一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满 足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34).若精确度为0.1，则 近似值可以是1.25，也能够是1.34.
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判定， 以决定是停止运算还是连续运算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由于1.25与1.312 5精确到0.1的近似值都是1.3，
因此x3－2＝0的一个精确到0.1的近似解是1.3.
中点函数值的符号 f(1.5)＜0 f(1.25)＜0 f(1.125)>0 f(1.187 5)＞0 f(1.218 75)＞0 f(1.234 375)＞0
取区间 (1，1.5) (1，1.25) (1.125，1.25) (1.187 5，1.25) (1.218 75，1.25) (1.218 75， 1．234 375)
F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，
∴方程的另两根分别在(0，1)和(1，2)内.
[例3]
证明方程6－3x＝2x在(1，2)内有惟一一个实
数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1)． [思路点拨] 构造函数f(x)＝6－3x－2x，利用零点存
在性定理证明，根据二分法步骤求解．
[精解详析]
[例2]
求方程2x＋4x＝4的根所在的一个区间． 判断根所在的区间，可以分别画出函数
[思路点拨]
y＝2x，y＝4－4x的图象，根据交点位置，构造函数F(x)＝ 2x＋4x－4，由零点存在性定理进行判断．
[精解详析 ] 令 f(x)＝ 2x，g(x)＝ 4－ 4x，在同一坐标系内画 出两个函数的图象如图， 由图象知方程 2x＋ 4x＝ 4 只有一个解． 原方程即为 2x＋ 4x－ 4＝ 0， 令 F(x)＝ 2x＋ 4x－ 4. ∴ F(0)＝ 20＋ 4× 0－ 4 ＝－ 3<0， F(1)＝ 2＋ 4－ 4＝ 2>0，∴ F(0)· F(1)<0， ∴函数的零点在区间 (0， 1)内．
设f(x)＝6－3x－2x，∵f(1)＝6－3－2＝
1＞0，f(2)＝6－6－22＝－4＜0，∴f(1)· f(2)<0 又f(x)在定义域内是减函数， 故方程在(1，2)内有惟一的解． 用二分法逐次计算，列表如下：
中点的值 1＋2 ＝1.5 2 1＋1.5 ＝1.25 2 1＋1.25 ＝1.125 2 1.125＋1.25 ＝1．187 5 2 1.187 5＋1.25 ＝1．218 75 2 1.218 75＋1.25 ＝1．234 375 2
[一点通]
本题构思巧妙，运用了构造函数及数形结
合的思想．往往判断方程的根所在的区间，需要多次尝试 判断，对于方程f(x)＝g(x)，首先作出函数y＝f(x)，y＝g(x) 的图象，观察两图象交点的位置，而方程的根正是交点的 横坐标；再构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用零点存在定理 判断即可．
3．判断方程ln x＋2x－6＝0的解所在的区间．
解：方程可化为 ln x＝－2x＋6. 分别作出 y＝ ln x， y＝－ 2x＋6 的图象． 如 图． 构造函数 F(x)＝ln x＋2x－6，由图象可 知，交点的横坐标大致在(2，3)内， ∵ F(2)＝ ln 2－ 2＜ 0，F(3)＝ln 3＞0， ∴函数的零点即方程的根在区间 (2， 3)内．
[精解详析]
按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且
f(a)· f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二， 进而利用二分法求出函数的近似零点，故结合各图象可得 ②③④满足条件，而①不满足，在①中，图象经过零点x0 时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．Fra bibliotek[一点通]
判断一个函数能否用二分法求其零点的
5．用二分法求方程x3－2＝0的近似解(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x3－2.由于f(1)＝－1＜0，
f(2)＝6＞0，故可取区间(1，2)为初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
中点的值 中点函数值的符号 取区间 1＋2 f(1.5)>0 (1，1.5) ＝1.5 2 1＋1.5 f(1.25)＜0 (1.25， 1.5) ＝1.25 2 1.25＋ 1.5 f(1.375)＞0 (1.25，1.375) ＝ 1.375 2 1.25＋ 1.375 f(1.312 5)＞ 0 (1.25，1.312 5) ＝ 1.312 5 2
4．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内， 一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．
证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象是连续的，
又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0， F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0， ∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内． 同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，
∵1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都是1.2，
∴ 6－3x＝2x在(1，2)内的一个近似解是1.2.
[一点通]
用二分法求方程的近似解，首先要选好
初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长 度尽量小，其次及时检验区间端点的值按近似要求是否 相等，以决定停止运算还是继续运算．
把握热 点考向 第 3 章 3.4 3.4.1 第 二 课 时 应用创 新演练
考点一 考点二 考点三
3．4
函数的应用
3．4.1
函数与方程
第二课时
用二分法求方程的近似解
[例1] 如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，
不能用二分法求交点横坐标的是________．
[思路点拨]
利用二分法的定义进行判断．
解析：根据函数零点存在性定理以及二分法的要求，
二分法适合的是变号零点，故应填①②. 答案：①②
2．下列函数： ①y＝2x，②y＝x2，③y＝log2x，④y＝|x|.
其中有零点且能用二分法求出的是________(填序号)．
解析：①y＝2x没有零点；②，④有零点但是零点两侧 函数值同号；③有零点且在零点两侧，函数值异号． 答案：③
依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点
为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用 二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零 点适用，对函数的不变号零点不适用．
1．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的 条件是________(把序号填在横线上) ①f(x)在区间[a，b]是连续不间断；②f(a)· f(b)＜0；③ f(a)· f(b)＞0；④f(a)· f(b)≥0.