拓 扑 学 奇 趣
拓补学原理
拓补学原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊这神奇的拓扑学原理呀！
你说拓扑学，它就像是生活中的一场奇妙冒险。
咱就拿那甜甜圈打个比方吧，你看它那圆滚滚的样子，中间还有个洞。
要是按照常规思维，这就是个普普通通的甜点呗。
但在拓扑学眼里，那可就不一样啦！不管你怎么揉捏它、变形它，只要不把那个洞给弄没了，或者弄出额外的洞来，它本质上还是那个甜甜圈。
这是不是很有意思？
再想想咱平时系的鞋带儿，那也是拓扑学的小舞台呀！你把鞋带解开，再系上，不管中间过程怎么折腾，最后它还是鞋带，不会变成面条儿，对吧？这就好像是拓扑学在跟我们玩一个有趣的游戏。
咱生活中很多东西都和拓扑学有着千丝万缕的联系呢。
比如说，那些扭扭曲曲的水管，不管它怎么拐来拐去，水还是能在里面流，这其中就藏着拓扑学的秘密呢。
还有那一团乱麻似的耳机线，每次解开都让人头疼，但从拓扑学角度看，也许能发现一些解开它的小窍门哦。
拓扑学可不只是好玩，它还有大用处呢！科学家们用它来研究各种奇奇怪怪的现象和问题。
就好比是在一个复杂的迷宫里找出口，拓扑学就是那盏照亮前路的明灯。
你想想，如果没有拓扑学，咱对这个世界的理解得少多少乐趣和惊喜呀！它让我们看到了那些看似平常的事物背后隐藏的奇妙规律。
所以说呀，拓扑学就像是一把神奇的钥匙，能打开我们对世界认知的新大门。
它让我们发现，原来生活中有这么多意想不到的奇妙之处等着我们去探索呢！咱可不能小瞧了这看似不起眼的拓扑学原理，它说不定能给我们带来更多的惊喜和发现呢！咱可得好好琢磨琢磨，在生活中多找找拓扑学的影子，让它为我们的生活增添更多的乐趣和智慧！这就是拓扑学，一个充满魅力和神奇的领域呀！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
数学游戏拓扑学
试一试吧，关于数学拓扑学的有趣游戏难题（37-46）编者按：你知道多年的窗户玻璃为什么会变得上薄下厚吗？你有办法使曲别针自己勾在一起吗？你见过在水泥地上扔灯泡而不使灯泡摔破吗？这里的游戏，妙就妙在无论是谁，几乎都没法在这些游戏中取胜。
这些游戏初看很简单，似乎很容易做，但是真正做起来，往往事与愿违，办不到。
你会玩得很开心，并从回答为什么办不到中学到许多有趣的科学知识。
首先奉劝各位读者，不要把这里的游戏跳过去！不少人觉得数学枯燥无味，似乎看见数字就讨厌。
我们在这一章里不讲什么加、减、乘、除，因为加减乘除四则运算只不过是数学的一部分，其实，数学内容范围很广，连打赌都是数学研究的范畴，这一点你也许没有想到吧。
打赌就是计算事情发生的可能性，科学上叫做概率，它是数学的一个分支——统计学所研究的问题。
数学上有几个数学分支是完全不用数字的。
以拓扑学为例，这是一门非常有趣的学科，它是专门研究物体形状的一门数学。
拓扑学中有许多有趣的问题，比如一张只有一面的纸，不用浆糊，把一个纸环剪成两个套在一起的纸环，等等。
实际上拓扑学对于大家来讲并不陌生，你们大概都玩过迷宫游戏和拼七巧板吧，这些就是拓扑学研究的范围。
来吧，让我们一起到一个新的数学天地中去游玩吧。
游戏三十七你能让两枚曲别针不勾在一起吗？拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S 形。
用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。
准备好了之后，两手分别抓住卷成S 形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。
虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地勾在一起了。
这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。
原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。
如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。
慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。
中班数学认识简单的拓扑学概念
中班数学认识简单的拓扑学概念拓扑学是一门研究空间性质不依赖于形状和大小变化的数学学科。
虽然这听起来对于中班的孩子来说可能有些抽象，但是通过一些简单有趣的活动和游戏，我们可以帮助他们理解和认识一些拓扑学的基本概念。
本文将介绍一些适合中班孩子的数学认识简单的拓扑学活动。
1. 手掌拓扑学：让孩子们把手掌伸开，并观察手掌的形状。
然后让他们用手指从上方开始，依次触碰到手掌上的每个部分，回到原点。
孩子们可以发现无论他们如何触摸手掌，他们的手指都能够回到起始位置。
这就是拓扑学中的"同胚"概念，即两个空间之间存在一种连续的变换关系。
2. 一维和二维游戏：给每个孩子一条线和一张纸，在纸上画出一些图案，比如圆圈、三角形、方块等。
然后让孩子们根据图案的形状，决定将线放在图案的哪个边界上。
这样，孩子们可以通过触摸感受到一维（线）和二维（纸）空间之间的差异。
3. 拼图游戏：给孩子们一些形状各异的拼图块，让他们用这些拼图块组合成各种形状，比如房子、花等。
在拼图的过程中，可以引导孩子们注意拼图块之间的连接方式，以及拼图块的边界是如何构成的。
这样，孩子们可以学会观察和比较不同形状之间的拓扑关系。
4. 纸折叠：给孩子们一张纸，让他们根据老师的指导进行不同的折叠操作。
通过不同的折叠方式，孩子们可以观察到纸张在折叠过程中形状和位置的变化。
同时，可以引导孩子们思考折叠前后纸张的相同之处和不同之处，从而认识到拓扑学中的等价关系。
通过以上的活动，孩子们可以在玩乐中逐渐认识到一些简单的拓扑学概念。
虽然这些概念对于中班的孩子来说还很抽象，但通过有趣的活动和游戏，他们可以慢慢培养对于空间和形状的观察和感知能力。
这不仅有助于孩子们的数学认知发展，还培养了他们的想象力和创造力。
希望这些活动能够为中班孩子们的数学学习带来一些帮助。
莫比乌斯带与拓扑学的应用
莫比乌斯带与拓扑学的应用莫比乌斯带是一种有趣的几何形体，它有丰富的数学性质和应用。
莫比乌斯带是指在一个长条形带子的一端旋转180度，再与另一端连接起来，形成一个奇特的带子。
和普通的带子不同，莫比乌斯带有一个特别的性质：如果你在上面走一圈，就会发现你走了两圈。
这种特殊性质引起了数学家们的兴趣，最终导致了一门被称为拓扑学的数学分支的出现。
拓扑学是研究几何形体中“不变性”的学科。
在拓扑学中，两个物体可以通过拉伸、扭曲和压缩等操作变成相同的形态，那么这两个物体就是等价的，称为同构。
拓扑学的研究对象并不关注空间中的形状和大小，而更关注物体内部的连通性和空洞性质。
因此，几何形状相似的物体在拓扑学中可能被认为是不同的，而形状差异很大的物体在拓扑学中可能被认为是同种类的。
莫比乌斯带是拓扑学中的经典物件之一，它有着非常重要的应用。
比如，在莫比乌斯带上穿针引线是非常有趣的拓扑操作，可以用来展示纤维束的工作方式。
纤维束是医学中非常重要的一种结构，它是人体内不同组织之间信息交流的通路，例如神经元之间的突触等。
除了生物科学之外，莫比乌斯带在物理学和工程学中也有重要的应用。
物理学家可以通过研究莫比乌斯带上非常特殊的光学性质来发展全新的光学器件。
例如，可以将莫比乌斯带作为光学传感器来检测物体的形态和变化，这种传感器结构紧凑且高效，可以广泛应用于各类计量和监测领域。
在工程学中，莫比乌斯带的非对称性和环绕性质也被借鉴到了设计领域。
例如，在设计一台转子时，若将莫比乌斯带的环形拓扑应用于转子的结构设计中，可以有效地减少干扰和噪音，提高能量转化效率。
此外，莫比乌斯带的循环结构还可以被应用到计算机科学中，用于设计高效的算法和数据库。
总之，莫比乌斯带作为一种奇特的拓扑结构，具有广泛的应用前景。
它的数学特性可以帮助我们更好地理解物体的连通性和空洞性质，促进了新颖器件和技术的发展。
未来，我们还将继续深入研究莫比乌斯带和拓扑学的更多应用。
有趣的拓扑原理
有趣的拓扑原理拓扑学，是现代数学中的一个分支，探讨的是“空间形状”的概念。
而拓扑学表达的常常是超出常人的想象力的各种理论和定理。
但这些定理往往在解决一些实际问题时，显得游刃有余，这就令人惊奇了。
因为拓扑学在解决实际问题时，采用的是更加直观的方法。
本文将会介绍一些具有趣味性的拓扑原理，这些原理拓扑学家们用尽聪明才智，交织起来，形成了一系列神奇的结果。
1. 空间切刀定理：空间切刀定理可以用来描述一个普通的球体的一些非常奇特的性质。
这个球体表面可以被平均分成任意个平面的小片，只要所用的平面数量足够多，且切得足够小。
这给我们一个奇怪的想法：我们可以用平面不断切割空间中的任意形状，并且我们可以将这个形状分成尽可能小的碎块，只要所用的平面足够多，且切割得足够细。
但我们必须明确：空间切刀定理中的“足够多的平面”是一个数学含义。
而且，这个定理也有它的局限性。
例如，很难将一个包含两个异面的曲面切割成最小的碎块。
但是，这个定理很有用处，因为它证明了一个事实：几何的碎片可以被重新组合成不同的形状，而不改变它们原来的面积或体积。
这个思想为卡塔兰儿童乐园的设计提供了灵感。
2. 像素等价定理：在数字图像处理中，像素等价定理非常有用。
该定理说明，一张数字图像（尤其是黑白图像）是由一系列像素点组成的，如果两个像素点完全相同，则它们在图像处理中可以看作等价的。
例如，在对语音的音频信号进行数字化处理时，如果两个数字化的信号完全相同，它们可以视为相同的信号，然后可以根据分析出的特征信息进行声音识别。
像素等价定理也可以被用于学习如何制作各种类型的数字滤波器。
例如，在数字图像中，如果两个像素点的亮度值恰好相同，则这两个像素点可以视为相同的点。
根据这个想法，我们可以设计一种滤波器，只允许相邻两个像素点之间的亮度差小于某一特定阈值的像素通过。
这样，我们就可以轻松地滤除图像中的噪点和干扰，使它更清晰。
3. 索基定理：索基定理是拓扑学中的一个非常有用的定理，讨论的是连通性和完备性的关系。
趣味数学 有趣的拓扑学
剪开的克莱因瓶
有趣的拓扑学
拓扑学（topology）是近代发展起 来的一个数学分支，用来研究各种 “空间”在连续性的变化下不变的性 质。哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧 拉定理、四色问题等都是拓扑学发展 史的重要问题。 如 七桥问题Seven Bridges Problem 18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的一个公园里， 有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛 与河岸连接起来(如图)。问是否可能 从这四块陆地中任一块出发，恰好通 过每座桥一次，再回到起点？欧拉于 1736年研究并解决了此问题，他把 问题归结为“一笔画”问题，证明上 述走法是不可能的。
克莱因瓶是数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”， 根本制造不出来。许多数学家想造它一个出来，作为 献给国际数学家大会的礼物。然而，等待他们的是一 个失败接着一个失败。但实际上，克莱因瓶已经被人 制造出来了。英国贝德福德的一位玻璃吹制工Alan Bennett，数学家本会通过计算来尝试解决这个难 题，而Bennett则用玻璃解决了它。
他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构这经常直接用平面几何和射影几何的结构这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓他也被悖论和不可能的图形结构所迷住并且使用了罗杰彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果
张家港高级中学校本课程
趣味数学4
有趣的拓扑学
储聪忠
不可能的画
"图形艺术家"莫里茨· 柯内里斯· 埃舍尔 埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专 门从事于木版画和平版画。他的作品中数学 的原则得到了非同寻常的形象化。他工作中 经常直接用平面几何和射影几何的结构，这 使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学 的精髓，他也被悖论和"不可能"的图形结构 所迷住，并且使用了罗杰· 彭罗斯的一个想法 发展了许多吸引人的艺术成果。
有趣的拓扑学现象
有趣的拓扑学现象嘿，大家好啊！今天咱来聊聊有趣的拓扑学现象。
啥是拓扑学呢？哎呀，其实我一开始也不太明白，后来慢慢了解了一些，才发现这玩意儿还挺有意思的。
简单来说呢，拓扑学就是研究图形在变形过程中不变的性质。
比如说，一个甜甜圈和一个咖啡杯，从拓扑学的角度来看，它们是一样的哦！惊不惊喜，意不意外？我记得有一次，我和朋友去参加一个科普活动。
活动现场有个老师拿着一个橡胶圈，给我们演示拓扑学现象。
他把橡胶圈扭了几下，然后就变成了一个奇奇怪怪的形状。
我们都看得目瞪口呆，这也太神奇了吧！老师还说，这就是拓扑学的魅力，它能让我们看到一些平时看不到的东西。
还有一个很有趣的拓扑学现象，就是莫比乌斯带。
这玩意儿可好玩了。
你知道吗？莫比乌斯带只有一个面和一条边。
听起来很不可思议吧？我自己也动手做了一个莫比乌斯带。
我拿了一张纸条，把一端扭转 180 度，然后再和另一端粘起来。
哇，真的就变成了一个只有一个面和一条边的神奇带子。
我拿着铅笔在上面画，一直画一直画，居然能把整个带子都画满，而且不会重复。
这可把我乐坏了。
另外，还有一个叫克莱因瓶的东西。
这瓶子也很神奇哦！它没有内外之分。
就好像一个瓶子被打通了，然后把里面和外面连在了一起。
我在网上看到过克莱因瓶的图片，那形状真的很奇特。
我就想啊，要是有一个真正的克莱因瓶，那该多好玩啊！可以把东西放进去，然后不知道会从哪里出来呢。
拓扑学现象真的很有趣，它让我们看到了世界的奇妙之处。
虽然有时候我们可能不太理解那些复杂的理论，但是通过一些简单的实验和演示，我们也能感受到拓扑学的魅力。
说不定哪天，我们在生活中也能发现一些有趣的拓扑学现象呢。
嘿嘿，到时候可就有的玩了。
总之啊，拓扑学虽然有点神秘，但也很有趣。
大家有时间可以去了解了解，说不定会给你带来很多惊喜哦！好啦，今天就聊到这里吧。
下次有好玩的事儿，再跟大家分享。
拜拜！。
九个点用四条直线一笔连线拓扑学
拓扑学是数学中一个非常有趣而且广泛应用的领域，它研究的是空间形状和结构之间的关系，在很多领域中都有着非常重要的作用。
九个点用四条直线一笔连线的问题就是拓扑学中的一个经典问题，有着深刻的数学内涵和意义。
让我们来了解一下拓扑学的基本概念。
拓扑学是在欧几里德几何的基础上发展起来的，它主要研究的是空间中的连通性、紧致性、以及邻域内的性质。
在拓扑学中，点、线、面被看作是连续变形的，即它们之间不破裂和不粘连。
而九个点用四条直线一笔连线的问题，其实就是一个很好的拓扑学应用问题。
接下来，我将深入探讨这个问题。
我们先来看看这个问题的条件：九个点，四条直线，一笔连线。
这个条件看似简单，但实际上蕴含了很大的数学内涵。
在拓扑学中，一笔连线要求这四条直线要能在不离开纸面、不抬起笔的情况下，将九个点连成一个形状。
这就要求我们从整体和局部两个层面来思考。
从整体上来看，我们可以通过构建简单的图形来探索解决方案；从局部来看，我们可以通过分析每个点的连线情况来获取更多的信息。
让我们来探究九个点用四条直线一笔连线的具体解法。
从直观的角度来看，我们可以构造一个正方形的框架，并在框架中依次连接九个点，这样就可以用四条直线将九个点一笔连线。
这是一个比较直观、简单的方法。
但在拓扑学中，我们不仅要找到解决方案，还要考虑解决方案的唯一性和普适性。
也就是说，我们要找到一种方法，不仅能解决这个具体的问题，还能推广到更一般的情况。
我想共享一下我对这个问题的理解。
在我看来，九个点用四条直线一笔连线的问题，其实是一个很好的拓扑学实例。
它不仅考验了我们对空间形状和连通性的理解，还要求我们从整体和局部两个层面来思考。
通过解决这个问题，我们不仅能够提升自己的数学思维能力，还能更深入地理解拓扑学的基本概念和方法。
让我们来总结一下。
九个点用四条直线一笔连线的问题，是拓扑学中的一个经典问题，它涉及到空间形状和连通性的研究。
通过构建简单的图形和分析局部的连线情况，我们可以找到解决这个问题的方法。
拓扑学心得
拓扑学心得初识拓扑学，是在数学建模培训的时候，当时是老师介绍欧拉在1736年解决的哥尼斯堡的七桥问题：哥尼斯堡的普雷格尔河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。
人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。
这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。
欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。
那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。
经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。
并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。
而后的“四色问题”等拓扑学经典问题都向我们展现了拓扑学的广泛应用以及它独特的思考方式。
为我们用学好数学以及更深刻的理解数学提供了一种思路。
下面我将谈谈我在本学期对本书前三章的学习心得体会。
首先，在《集合论与逻辑》一章中，我们利用高中所学知识就可以很容易的理解集合与函数的相关概念，比如集合中的每一个事物都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”，集合根据元素个数可以分为有限集合和无限集合。
同样，我们又学习了集合与元素、集合与集合之间的表示以及集合间的运算等。
而这其中我们首次接触到集合的族的概念，即以集合作为元素的集合我们称之为“族”。
同时也给出了有限集和无限集的定义，这与我们在《近世代数》中所学的定义是不一样的，但它也给我们新的思考方式。
开集的概念直接传承于开区间，但却是抽取了开区间这个概念的本质内容所形成的。
开集最终是一个适合范围很广的概念，也在某些性质上与开区间概念有所不同。
设某非空集合X，它的幂集为2^X。
若某集族T是该幂集的子集，同时还满足下述三个公理：1）、T中的任何元素（元素是集合）之并还是属于T；2）、T中的任何有限个元素之交还是属于T；3）、X本身以及空集是T的元素。
什么是拓扑学在几何中的重要性
什么是拓扑学在几何中的重要性在数学的广袤领域中，几何犹如一座宏伟的大厦，而拓扑学则是其中支撑起重要结构的关键基石。
拓扑学，这个看似抽象而神秘的学科，对于几何的发展和理解有着举足轻重的意义。
让我们先从一个简单的例子来初步感受一下拓扑学的魅力。
想象一下，一个甜甜圈和一个咖啡杯，从拓扑学的角度来看，它们在本质上是相同的！这怎么可能呢？毕竟甜甜圈和咖啡杯看起来完全不一样。
但拓扑学并不关心物体的具体形状和大小，而是关注物体的整体结构和连通性。
甜甜圈有一个洞，咖啡杯也有一个类似的“把手洞”，在拓扑学中，这种具有相同“洞”的数量的物体被认为是等价的。
那么，拓扑学到底是什么呢？简单来说，拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的学科。
这种连续变形可以是拉伸、压缩、弯曲，但不能撕裂或粘连。
比如，一个圆形可以通过连续变形变成一个椭圆形，但不能变成一个有缺口的图形。
拓扑学在几何中的重要性首先体现在它为我们提供了一种全新的视角来审视几何对象。
传统的几何研究通常关注物体的长度、角度、面积和体积等度量性质。
然而，拓扑学让我们超越这些具体的度量，去关注更本质的结构特征。
例如，一个球体和一个立方体在拓扑学上是等价的，因为它们都没有洞，而一个环面（类似于轮胎的形状）则与它们不同，因为环面有一个洞。
这种对几何对象的分类方式极大地简化了我们对复杂形状的理解。
拓扑学还在几何的证明中发挥着关键作用。
有些几何问题用传统的方法很难解决，但通过运用拓扑学的思想和方法，却能够迎刃而解。
比如著名的“四色定理”，它指出在任何平面地图上，只用四种颜色就可以使相邻的区域颜色不同。
这个定理的证明就借助了拓扑学的概念和方法。
在现代物理学中，拓扑学也有着广泛的应用。
比如在凝聚态物理中，拓扑绝缘体的研究就是一个重要的领域。
拓扑绝缘体的内部是绝缘体，但其表面却能导电，这种奇特的性质与拓扑学中的一些概念密切相关。
通过研究拓扑学在物理中的应用，我们能够更好地理解和设计新型的材料和器件。
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拓扑学奇趣一、什么是拓扑学拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支，其中拓扑变换在许多领域均有其用途。
直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。
拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。
直观的说，关于图形的几何性质探讨，不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。
拓扑学探讨各种几何形体的性质，但是其内容却与几何学的范畴不尽相同，多数的讨论都是围绕在那些与大小、位置、形状无关的性质上。
例如，曲线(绳子、电线、分子链…)不论有多长，它可以是闭合或不是闭合的。
如果曲线是闭合的，则它可以是“缠绕”得很复杂的。
两条以上的闭曲线可以互相套起来，而且有很多型式。
立体及它们的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破坏孔洞下，它们允许做任意的伸缩及变形。
这种变形不会减少或增加孔动数量，就叫做它的“拓扑性质”。
一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。
拉长使它的长度改变了，扭转使它的形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。
A. 拓扑同胚与等价性质拓扑学只探讨各种几何形体的内禀特质。
一个几何图形的性质，经由一拓扑变换作用后维持不变，该性质称为图形的拓扑性质。
下面两组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。
任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质，从拓扑学的立场看来，它们都没有任何区别。
然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。
如果我们把一个橡皮制的物体X任意的扭转、拉长，但不可把它撕开或断，而得到另一形状的物体Y，我们称这两个物体X和Y在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。
广义的来说，在一个物体到另一个物体的对应关系，如果它是不间断，又不重复，则在拓扑上称这个关系在两物体间建立一个“同胚”变换。
两个物体间如果存在有这种关系，则称它们为“拓扑同胚”。
例如，任意一个三角形在任意延伸、伸缩的变形变换中，可以迭合住一个圆形。
所以这个延伸、伸缩变换是一种同胚变换，因而三角形和圆形在拓扑上被视为是同胚或等价的。
拓扑学就是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质之一门学科。
网络、欧拉定理、曲面、向量场、四色问题、结、覆盖等，都是拓扑学研究的重要课题。
B. 不可思议的拓扑变换法国著名数学家庞加莱(Poincaré, 1854〜1912)以他丰富的想象力及抽象的思维能力，提出图1中的两个物体是等价(同胚)的，也就是说，您可以从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个，您认为可能吗？图1庞加莱的变换魔术：请注意图2的变换!在拓扑上，只要不破坏原有结构，任意伸缩变形是被允许的，因为总能找到一个同胚的对应来描述这个动作。
图2庞加莱的奇怪想法：在车轮内胎上有一个小洞，能否在不撕坏车胎的前提下，通过小洞将车内胎翻面过来(里面翻到外面)？如果可以，该如何操作？二、莫比乌斯(Möbius)带在1862〜1865年，德国数学家莫比乌斯(Möbius)和利斯廷的著作中出现了一种有边缘的曲面。
它可以这样得到：把长方形纸条扭转一次，然后把两端接起来。
这样得到的曲面叫做Möbius 带，见图3。
图3关于Möbius带是怎样发现的﹐有这样一个故事：有一次﹐莫比乌斯在海滨度假。
到了晚上﹐苍蝇太多﹐使他难以入睡。
于是他把黏蝇纸扭转半圈﹐然后把两端粘到一起﹐形成一个纸环。
再把这样的纸环挂在假期别墅的椽头上。
他临时制作的捕捉苍蝇的纸带很管用﹐他睡觉没有再受苍蝇的干扰。
早晨醒来﹐他的目光落在那个纸环上﹐惊讶地发现这条纸只有一个面﹐并且只有一条棱。
著名的Möbius带于是诞生了，当然这只是个有趣的传说。
A. 单侧的曲面这个扭转一次纸带所得到的Möbius带有何特别的几何性质呢？我们看图4这个一般的纸环，在纸环内，垂直于纸面的一个法向量，总是由纸面指向圆形纸环的环心处，在纸环外，垂直于纸面的一个法向量，总是指向外面；但是对Möbius 带而言，就没有这种情形。
图4对Möbius带而言，它是一种单侧的曲面。
譬如说，在九章的标志中，沿着带子上移动的人，路途中会经过他移动的起始点，但是却在另一侧。
如果他继续移动，则会把整个Möbius 带都走遍。
所以可以确定它没有第二侧!B. 从Möbius 带中间剪一刀取一只笔，在制作好的Möbius带上画上5图中昆虫所走的轨迹，然后取一把剪刀，将Möbius 带沿轨迹剪开。
您有什么发现呢？图5从上面操作中发现，剪一刀后的Möbius带并不会被分成两个纸环，而是形成一个更大的纸环。
您知道为什么吗？如果我们将Möbius带的纸面宽画上三等份，沿两条等分线剪开，及结果会如何？又剪三刀成为四等份呢？C. Möbius 带与纸环的拓扑同胚结构从一条纸带扭转一次接合后得到Möbius 带，经过剪刀剪一刀后，得到一个瘦长的纸环，它是一个纸带扭转三次接合后的图形。
可以发现它们都是单侧的图形。
从上述拓扑观点来看，在它们之间存在一个变换，维持了它们都是单侧的性质，称它们是同胚的。
想一想，一个未经扭转的纸环和一个经由两次扭转所得的纸环，是否是同胚？三、双人脱困游戏在6图中，如果不解开手腕上的绳结，不破坏、不剪断绳子的情况下，怎样帮助他们脱困？将这一对男女分开呢？请找一个同伴一起动手操作试试看!图6四、难题？在图7中，最初在位置A的金属环能否被移往位置B的地方呢？如果可以，该怎么移动？请用块厚纸板钻几个洞，作个玩具试试。
图7涡旋星系与太空版《星月夜》王振东一、哈勃和星系分类“音叉图”哈勃(Edwin Powell Hubble，1889.11.20～1953.9.28)，美国天文学家，观测宇宙学的开创者。
1889年11月20日生于美国密苏里州马什菲尔德，1953年9月28日卒于美国加州圣马力诺。
哈勃对20世纪天文系作出许多贡献，被尊为一代宗师。
其中最重大贡献有二：一是确认星系是与银河系相当的恒星系统，开创了星系天文学，建立了大尺度宇宙的新概念；二是发现了星系的红移-距离关系，促使现代宇宙学的诞生。
哈勃(1889～1953)哈勃研究过约600个星系，其中17%是椭圆星系，50%是标准涡旋星系，30%是棒旋星系，而不规则星系只占3%。
1926年，哈勃提出了著名的星系分类“音叉图”，试图将繁多的星系用外观进行分类，成为容易识别的序列。
哈勃的星系分类“音叉图”在哈勃的星系分类中，包括外观从圆形E0到椭圆形E7的椭圆星系，椭圆星系只有核球，没有旋臂；用S代表具有涡旋结构的星系。
涡旋星系又分为 a、b、c三种次型：Sa型中心区大，稀疏地分布着紧卷旋臂；Sb型中心区较小，旋臂较大并较开展；Sc型中心区为小亮核，旋臂大而松弛。
哈勃认为，有些星系中央有棒状结构，有些则没有：SBa到SBc代表有中央棒状结构的涡旋星系，Sa 到Sc是中央没有棒状结构的涡旋星系。
在天体研究中首先引入涡旋观念的是法国的笛卡尔，他提出了以太涡旋理论，认为以太是一种非常稀薄的连续流体，没有重量，物体作用是通过以太挤压来传递的，天体在以太中运行不会受到任何阻力。
笛卡尔认为，在自然界中只有通过物质的接触才能发生作用和产生运动。
他想象一个粒子让出了位置，则被临近粒子占有，而空出的位置又同时为第三个粒子所有。
粒子不断调换位置，作循环的旋转运动，结果就形成了物质的涡流。
1669年，荷兰的惠更斯以水碗里的涡旋把涂蜡的卵石拉向碗中心的实验，来支持笛卡尔的学说。
他把旋转的水比作以太涡旋，认为以太由于旋转而具有了力图离开中心物体的倾向，从而又迫使其中的物体向中心物体靠拢。
涡旋星系通常具有明亮的旋臂。
20世纪40年代﹐林德布拉德提出了用星系密度波来解释涡旋结构。
他认为旋臂并不是永远由一些固定的恒星组成的“物质臂”﹐而是随着时间的不同，会在这里聚集更多的恒星。
美藉华裔学者林家翘等，1964年提出了准稳涡旋结构假说﹐认为涡旋星系的基态是稳恒且又是轴对称的。
他们证明﹐涡旋结构一旦形成就会长期维持下去,还求出了密度波的色散关系，成功地解释了许多观测事实﹐同时又在密度波理论的基础上﹐研究了大尺度的星系激波﹐为解释恒星的形成提供了一种可能的机制。
星系动力学的研究虽然成果己不少﹐但涡旋结构的起源至今仍未能弄清楚，就是已经建立起来的理论，也还带有半经验的性质。
二、哈勃望远镜和多姿多彩的涡旋星系哈勃太空望远镜(Hubble Space Telescope)是以天文学家哈勃为名，由美国宇航局和欧洲航天局共同管理，在轨道上环绕地球的望远镜。
它1990年4月24日搭乘“发现号”航天飞机，顺利进入预定轨道，开始了孜孜不倦的巡天航程。
这架太空望远镜因位置在地球的大气层之上，所以获得了地基望远镜所没有的好处：影像不会受到大气湍流的扰动，视相度很高，又没有大气散射造成的背景光，还能观测会被臭氧层吸收的紫外线。
这是人类第一座巨型空间天文台，填补了地面观测的缺口，帮助天文学家解决了许多根本问题，对天文物理有了更深入的认识。
运行在环绕地球轨道上的哈勃太空望远镜展开了太阳能电池板的哈勃太空望远镜哈勃太空望远镜充当起人类观测宇宙的眼睛，人们凭借它对天体精确的观测能力，揭示了更多宇宙的奥秘。
从下面几张它拍摄的图片，我们可以看到几张典型的涡旋星系图片：涡旋状的银河系(太阳在箭头指处)横亘夜空的银河系并非像天文学家原先猜测那样，呈现规则的涡旋状，而是有一条长达27000光年的恒星棒，架在涡旋星系中间。
大犬座的一对涡旋星系哈勃太空望远镜1999年11月拍摄的大犬座内的一对涡旋星系，NGC 2207和IC 2163是正在碰撞和合并中的星系，它们将逐渐合并成一个椭圆星系。
距地球7000万光年棒锤型的涡旋星系棒锤型的涡旋星系是中心呈长棒形状的涡旋星系。
一般的涡旋星系的中心是有圆核的，而棒锤型涡旋星系的中心是棒形状，棒的两边有旋形的臂向外伸展。
狮子座中的涡旋星系狮子座的涡旋星系NGC 3521，离我们约3500万光年，有着明亮而致密的核心，以及细节丰富的旋臂结构。
长约5万光年的旋臂上点缀着大量恒星形成区，并遍布尘埃云的脉络。
它的旋臂很不规整，成为絮状涡旋星系的典型代表。
这类星系旋臂的界限不清，与那些具有明晰旋臂结构宏伟涡旋星系形成鲜明对比。
三、太空版的《星月夜》19世纪人类最杰出的艺术家之一、荷兰绘画大师梵高(文森特•梵•高Vincent Van Gogh 1853年3月30日~1890年7月29日)，是后期印象画派的代表人物，其创作深深影响了20世纪的绘画艺术，不少作品在全球广为人知，极具艺术价值。