人教B版高中数学必修一集合之间的关系素材

抓住元素是关键
集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要.因此大家在学习过程中要注意养成先看元素再定集合的习惯.本文就探讨一下元素在解答集合问题中的重要性.
一、集合的辨别
例1 已知{}1|+==x y x A ，{}
1|+==x y y B ，则=B A I . 解析：集合A 中的元素为x ，由x 易知0≥x ，∴}0|{≥=x x A ； 集合B 的元素是y ，由0≥x 得1≥y ，∴}1|{≥=y y B . ∴}1|{}1|{}0|{≥=≥≥=x x y y x x B A I I .
评注：虽然集合A 、B 元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它们之间可进行运算，集合B A I 元素的一般符号用x 或y 都可以.
例2 ①已知集合A ={圆}，集合B ={直线}，则B A I 的元素个数是 . ②已知集合{}是圆上的点P P A |=，集合{}是直线上的点P P B |=，则B A I 的元素个数是 .
解析：①中的两个集合都是图形的集合，它们的元素一个是圆，一个是直线，二者没有公共元素，所以交集应为空集，答案为0；②中的两个集合都是点集，它们的元素都是点，故B A I 是直线和圆的交点组成的集合，根据直线和圆相离、相切和相交的位置关系，答案应为0或1或2.
评注：①、②中的集合十分类似，但分析元素后，二者却大相径庭.
例3 设集合}|{},31|{A C C B x x A ⊆=≤<-=，则A 、B 之间的关系为（ ）
A ．
B A ∈
B ．B A ⊆
C ．A B ∈
D ．A B ⊆
解析：集合A 是数集，集合B 元素的一般符号是集合，所以它是集合的集合，是集合A 所有子集组成的集合，其中包括集合A ，所以A 、B 之间的关系为B A ∈.选A ．
评注：1、对于有些集合（如集合B ）要认清它，只看元素是不够的，还要看竖线后面元素的共同特征，方可确定；2、元素和集合的关系是相对的，集合也可作为元素. 二、集合关系的证明例2 已知全集为I ，求证(
A I
)Y (
B I
)=
)(B A I
I .
分析：根据集合相等的定义，要证明(A I
)Y (
B I
)=
)(B A I
I ，只需证明
(
A I
)Y (
B I
)⊆
)(B A I
I 且
)(B A I
I ⊆ (A I
)Y (B I
)，再根据子集定义通过
元素证明.
证明：设∈x (
A I
)Y (
B I
)，则∈
x A I
或∈
x B I
，则B x A x ∉∉且，即B A x I ∉，
所以∈x )(B A I
I ，因此(
A I
)Y (
B I
)⊆
)(B A I
I ；
又设∈
x )(B A I
I ，则B A x I ∉，则B x A x ∉∉且，则∈
x A I
或∈
x B I
，所以
∈x (
A I
)Y (B I
)，因此
)(B A I
I ⊆ (
A I
)Y (
B I
).
评注：1、证明集合之间的关系往往通过论证元素和集合的关系实现；2、还有一个和本题结论类似的结论(
A I
)I (
B I
)=
)(B A I
Y ，这两个结论合称“德摩根法则”
，通过这个法则，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补集问
题，这样处理可简化运算，同学们可在相应问题中尝试使用.。