高等传热学相变导热解(移动边界)

高等传热学导热理论——相变导热（移动边界问题）讨论
第五讲：相变导热（移动边界问题）：
移动边界的导热问题有许多种，本讲只讲固液相变时的导热模型。

5.1 相变换热特点与分类： 特点：
(1) 相变处存在一个界面把不同相的物质分成两个区间（实际不是一个面，
而是一个区）。

(2) 相变面随时间移动，移动规律时问题的一部分。

(3) 移动面可作为边界，决定了相变问题是非线性问题。

分类：
(1) 半无限大体单区域问题（Stefan Question ） (2) 半无限大体双区域问题（Neumman Question ） (3) 有限双区域问题
5.2 相变导热的数学描述和解：
假定：固液两相内部只有导热，没有对流（适用于深空中相变）。

物性为常量。

不考虑密度变化引起的体积变化。

控制方程：
对固相： 221s s s t t a x τ∂∂=∂∂ 对液相：221l l
l t t a x τ∂∂=∂∂
初值条件：0:s l t t t τ∞=== 边界条件：
0:::s l w l s l s x t ort t x t ort or
x t ort t ∞
===∞≠∞
=∆=
在相变界面，热量守恒，温度连续，Q l 为相变潜热：
()
():s l s
l l l s l p t t d x Q and t t t x x d δτδτλλρτ
∂∂==+==∂∂ 5.2.1 半无限大体单区域问题（Stefan Question ）的简化解：
以融解过程为例：
忽略液相显热，2210l l
l t t a x
τ∂∂==∂∂，方程解为一直线，由边界条件得：
()/l w p w t t t t x δ=+-
对固相，忽略温差：w p t t t ∞==，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。

由相变处得换热条件求δ的变化规律：
()()():0()l l l
l l p w l l t d d x Q t t Q x dx d λδτδτδτλρρδτδ∂==+=-+∂==
式中：()/l l p w l Ste c t t Q =-叫Stefan ’s Number ，物理意义是相变时液相显热和液固潜热比。

液体厚度与时间的开平方成正比。

所以：
进入物体的融解热流密度为：0
)l l
x w p t q t t x
λ=∂=-=
-∂，
热流密度与时间的开平方成反比。

5.2.2 半无限大体单区域问题（Stefan Question ）的精确解：
同样以融解过程为例：
对液相，221l l
l t t a x
τ∂∂=∂∂，设方程解为（满足初始条件）
：
(l t A Berf x =+
由边界温度条件得：l w p w t t t t -=- 对固相，忽略温差：w p t t t ∞==，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。

由相变处得换热条件求δ
的变化规律，设δΩ=度也与时间的开平方成正比。

上式是关于凝固常数的方程，叫相变问题的特征方程。

进入物体的融解热流密度为：0
()l l
x t t t q x
λλ=-∂=-=
∂，热流密度同样
与时间的开平方成反比。

5.2.3 半无限大体双区域问题（Neumman Question ）的精确解：
同样以融解过程为例：
对液相，221l l
l t t a x
τ∂∂=∂∂，设方程解为（满足初始条件）
：
2()():)0exp()()())/l l l l
p w l w p l l l l t d x Q x d t t erf t t Q a Ste δτδτλρτλ∂=+∂=
-=ΩΩΩ=-=
(l w t t Aerf x =+
由边界温度条件得：
l w p w t t t t -=-
，t t A -= 对固相，22
1s s
s t t a x τ∂∂=
∂∂，设方程解为（满足初始条件）：
(l t t Berfc x ∞=+
由边界温度条件得：
s p t t t t ∞∞-=-
，t t B -= 由相变处得换热条件求δ
的变化规律，设δΩ=
度也与时间的开平方成正比，δΩ=
得相变问题的特征方程：
(
)2
l x t A x e
δ
=Ω∂=
∂(
)2
s x t B
x
e
δ
β=Ω∂=-
∂
(
)()
22))
()/()/exp()()
exp()()
p w p l w p l l l s p l l l t t t t t t a Q t t a Q erf erfc λρλβρ∞∞-=----
=ΩΩΩΩΩΩ
22/exp()()exp()()
l s s l
Ste Ste erf erfc βρρ-=ΩΩΩΩΩΩ
进入物体的融解热流密度为：0
()l l
x t t t q x
λλ=-∂=-=
∂，热流密度还是
与时间的开平方成反比。

5.2.4 非线性问题求解方法总结：
对非线性问题，直接求解难度大，一般是进行适当简化，在简化基础上构造
()
():l s
l l l s t t d x Q x d x
δτδτλρλτ∂∂=+=∂∂
一个满足大多数唯一性条件的，保留部分待解常数的解函数。

将这个解函数代入余下的唯一性条件，求出待解常数，即为近似解或精确解。

5.3 关于湖水结冰问题的讨论：
几何条件假定：湖面很大，也很深，看成半无限大体。

换热条件假定：结冰前湖水均温，为t ∞，湖水主体温度一直保持t ∞。

大气环境温度为t a ，湖面与大气间的表面传热系数为常量h 1，冰层下表面与湖水间的表面传热系数也为常量h 2。

物性假定：因为在0℃附近，冰的比热c s 《Q l ，忽略冰层热容作用。

由此可得在冰层中的温度分布为直线。

设坐标原点在湖面，冰层厚度为δ，我们根据能量守恒和平壁导热规律得：
21()1//p a p s l
s
t t d h t t Q h d δ
ρδλτ
∞-=-++ （1） 冰层温度分布：()/s w p w t t t t x δ=+- 求解δ，令
()()()()()
112
2
21
1///////s p p a s s s p a l
s s s s s h m t t t t R h h Ste Fo
Ste c t t Q Fo h c a h δδλττρλτλ∞==--===-==
代入(1)式：
()()2211()111(1)
1p s s l p a p a h t t d d Q mR d h t t h t t d d mR d λδδρδττδδτδ
∞-=+=++---+=+
00,,00s t t ττδδ∞=→===→=
(
)
2
11
11(1)
0.5
/(1d d mR du δδ
δτ
δτ++=-+=-⎰
{ln[1/(1)]}/(,)mR mR mR f mR τδδδ=----=
讨论：当()max ,1/mR mR τδ→∞→-。

mR 一定时，冰层的最大厚度也就确定。

此时湖水对冰层的自然对流热流量等于湖面对大气散发的热流量，湖水凝结停止。

当0p t t mR ∞=→=，湖水比热无穷大，(
)2
2111τδδ=+-→=此种情况冰层没有极大值，可一直增厚。

即11)/s h δλ=。

当1mR =，冰层得到的热流量等于散出的热流量，
ln 0,c c τδδτδ=--→==-，此种情况由于厚度不能为负值，故不会结冰，尽
管t a 小于冰点。

当,p w a t t t t ∞==，湖水比热无穷大（或湖水与冰间的换热系数无穷大），湖面与大气换热系数无穷大，有：p w
p w s
s l s s l
t t t t d Q d d d Q δ
λρλτδδδ
τρ--=→=
δ== 此即Stefan 近似解。

此处的分析方法又叫做准稳态近似法。