学案三 平面向量的数量积及应用 学案
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲平面向量的数量积及应用含解析
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲平面向量的数量积及应用含解析第3讲平面向量的数量积及应用基础知识整合1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!∠AOB就是a与b 的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是020°≤θ≤180°错误!θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，错误!θ＝90°⇔a⊥b2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量错误!｜a｜｜b｜·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影错误!|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，错误!|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于错误!a的长度｜a｜与错误!b在a的方向上的投影｜b|cosθ的乘积3．向量数量积的运算律交换律a·b＝错误!b·a分配律(a＋b）·c错误!a·c＋b·c数乘结合律(λa）·b＝λ（a·b)＝12a·（λb)4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1），b＝(x2，y2），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模｜a｜＝错误!｜a｜＝错误!错误!夹角cosθ＝错误!cosθ＝错误!错误!a⊥b的充要条件a·b＝0错误!x1x2＋y1y2＝0|a·b｜与｜a|｜b|的关系｜a·b|≤|a|｜b｜|x1x2＋y1y2|≤错误!1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足结合律，即（a ·b)·c≠a·(b·c)．3．当a与b同向时,a·b＝｜a｜|b｜；当a与b反向时,a·b＝－｜a||b|，特别地,a·a＝a2或｜a|＝错误!.4．有关向量夹角的两个结论：（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立（因为a与b夹角为0时也有a·b>0)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b〈0，反之不成立(因为a与b夹角为π时也有a·b〈0)．1．（2019·重庆模拟)已知向量a＝(k,3),b＝(1,4),c＝(2,1)，且(2a －3b）⊥c,则实数k＝（）A．－错误!B．0C．3 D.错误!答案C解析因为2a－3b＝（2k－3，－6)，（2a－3b）⊥c，所以(2a －3b）·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.2．(2019·全国卷Ⅱ）已知向量a＝(2，3）,b＝(3，2），则|a－b|＝()A.错误!B．2C．5 2 D．50答案A解析∵a－b＝(2，3)－（3，2)＝(－1，1)，∴｜a－b｜＝错误!＝错误!.故选A。
平面向量数量积的坐标表示学案
必修4 2．4．3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.举例说明平面向量数量积的坐标表示、用坐标表示向量的模、夹角、垂直、平面内两点间的距离公式；2.能运用以上知识解决有关问题和解决问题的思想方法；3.通过本节课的学习，进一步加深对向量数量积的认识，提高同学们的运算速度、运算能力、创新能力及数学素质.【学习重点】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离等公式. 【难点提示】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离的综合运用以及灵活解决相关问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材106108P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.两个非零向量的夹角 ，夹角的范围是 ； 当两向量共线与垂直时夹角分别是 、 、 ；与非零向量a 垂直的向量有 个；2.平面向量数量积定义 ，向量数量积的几何意义 、向量数量积的性质 、 、 、 、 .3.向量数量积满足的运算律 、 、 ；4.平面向量的坐标表示及坐标运算 ，平面向量共线的坐标表示 ；热身练习 已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB =； （2）____AB AC -=；请问同学们，你还能求：____AB =，____AB AC ⋅=，cos ____ABC ∠=，该△ABC 的形状如何？等. 这就是我们本节课要探究的问题！二、学习探究通过“学习准备”，在想一想：前面我们学习了平面向量的坐标表示，我们已经会用向量的坐标表示来表示向量中的哪些相关知识？能用向量的坐标表示解决向量的哪些问题？上节课我们又学习了向量的数量积及相关知识，那么，现在你能用向量的坐标来表示向量的数量积、模、夹角吗？请同学们发挥你的想象探究一下：探究向量数量积坐标表示 已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =，请你坐标表示a b ⋅？ 【提示】请同学们一定要先独立思考，再看链接1 探究：归纳结论 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ⋅b= .快乐体验 1.已知：(3,4),(5,12)a b =-=，求：|a |= ，|b |= ，a ⋅b= ，cos ___θ=（θ为向量a 与b 的夹角）解：2. 已知(2,3),(2,4),(2,4),a b c ==-=-求2,()(),(),().a b a b a b a b c a b ⋅+⋅-⋅++ 解：3.已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB AC ⋅=； （2）____AB =；（3）△ABC 的形状是 . 解：同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积的坐标表示有哪些感悟？它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.你能用几种语言来描述平面向量数量积的坐标表示？它实质就是一个运算公式，这个公式又怎样的特征？有几个变量？如何运用该公式？2.设),(y x a = ，则|a |= 或|a|= (长度公式)3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么||||AB a ==(平面内两点间的距离公式)4.夹角的计算：设),(11y x a =，),(22y x b = ,夹角为θ，则cos θ=5.垂直关系分析：设),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a ⊥⇔ ⇔三、典例赏析例1.已知a =(3,4)，求：（1）a 的单位向量；（2）与a 垂直的单位向量； （3）与a 平行的单位向量. 解:解后反思 求解该题运用了哪些知识与思想方法？有易错点吗？ 变式练习 已知向量 (34)a OA ==-,O 为坐标原点，求： （1）与向量a 平行的单位向量；（2）与向量a 垂直的单位向量； （3）将向量a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标． 解：例2.在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k)，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值解:解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？变式练习 如图2.4.3-1，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量数量积、向量的夹角、长度、垂直的坐标表示都掌握了吗？这些公式给向量的运算与运用带来什么？（链接2）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数图2.4.3-1学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？【学习评价】1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４b a ⋅＝（A ．23 ；B ．57 ；C ．63 ；D ．83.2.已知a =(4,3),向量b 是垂直a的单位向量，则b 等于（ ）A ．)54,53(或)53,54(B ．)54,53(或)54,53(--C ．)54,53(-或)53,54(-D ．)54,53(-或)54,53(-3.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a =BC ,b =CA ,则a 与b的夹角为 ．4.已知||3,||2,a b a b ==与的夹角为060,35,3c a b d ma b =+=-（1）求m ,使c d ⊥； （2）求m ,使//c d 解：5.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,23)． x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a＋t b ，且x y ⊥，求,k t 之间的函数关系式． 解：6.已知)2,32(-=+=b n a m c ，b c a ,⊥与c 的夹角为0120，且4-=⋅c b ；|a |=22，求实数m 、n 的值及a 与b的夹角θ.解：【学习链接】链接1. 回归向量坐标本质，令11(,)a x y ==11x i y j + ，22(,)b x y ==22x i y j +，请在再算一算或阅读教材；链接2. 向量、共线向量、向量数量积、向量的夹角、长度、垂直等的坐标表示给向量的运算与运用带来了一场革命，使几何问题转化为代数问题，使问题简单化，也拓宽了向量应用的途径.。
平面向量数量积的应用2013.10.22
厚德致远 学贯中西 Nurture Social Discipline and Offer Sea of Knowledge
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大庆外国语学校高中部数学组 Frce of Daqing Foreign Language School
【巩固练习】 1、已知向量 a (cos , sin ) ,向量 b ( 3,1) 则 | 2a b | 的最大值，最小值分别是（） A． 4 2 ,0 B． 4, 4 2 C．16，0 D．4，0
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π π 【课堂检测】已知向量 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－2＜θ＜2． （Ⅰ）若 a⊥b，求 θ； （Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
厚德致远 学贯中西 Nurture Social Discipline and Offer Sea of Knowledge
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大庆外国语学校高中部数学组 From Senior High Math Teachers’Office of Daqing Foreign Language School
平面向量的数量积学案
学习目标：掌握平面向量数量积的定义、性质及其应用。 【基础训练】 1、在等腰Rt∆ABC中，D 是斜边 BC 的中点，如果 AB 的长度为 2，则 ������������ + ������������ ∙ ������������的值为。 2、设向量������，������均为单位向量，且 ������ + ������ ＝1，则������与������的夹角为。 3、已知向量������ = ������������������������, ������������������������ ，������ = 1， − 2 ，且������ ⊥ ������，则 tan2x=。 4、设������ ∙ ������ = 4，若������在������上的投影为 2，且������在������上的投影为 1，则������与������的夹角为。 【典例精析】 例 1、已知|a|＝ 2，|b|＝1，a与b的夹角为 45° ，求使向量(2a＋λb)与(λa+3b)的夹角是锐角的 λ 的取值范围．
高三文科向量的数量积学案
学案29：平面向量的数量积及其应用命题人：褚艳秋 复核人：刘丽娟 2013、11、19【考纲要求】1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算律；2、掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．3．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决某些简单的物理问题和实际问题；能利用向量解决一些与长度、角度和垂直相关的问题。
【课前预习案】一、 自主梳理 构建网络1．平面向量数量积的定义；2．平面向量数量积的性质：(1)(2) ；(3) ；(4) ；(5) 。
3．向量垂直的充要条件4. 向量a 在轴ｌ上的正射影向量在轴ｌ上的正射影的数量5. 平面向量数量积的运算律(1) ；(2)(3)6. 平面向量数量积的坐标运算及度量公式(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) 。
二、自我检测 查找问题1.下列命题中是正确的有 ①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +⋅-= ，则||||a b = ； ②||||||a b a b ⋅=⋅ ； ③a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ； ④若()a b c ⊥- ，则a b a c ⋅=⋅ 2．已知向量(3,4),(2,1)a b ==- ，如果向量a xb + 与b 垂直，则x 的值为 （ ）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25-3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-= ，且5a b ⋅= ，则向量b = ___ __4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的正射影的数量为 5．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-= ，则|3|a b +=6、已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的正射影的数量为（ ） A B C ．D ． 【课堂思维展示】例1． 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；（2）若|b |=,25且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ.变式1、设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.例2：已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),2222x x a x x b ==- 且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ⑴求a b ⋅ 及a b + ； ⑵若()2f x a b a b λ=⋅-+ 的最小值是32-，求λ的值．变式2. 已知向量33(cos ,sin )22a x x = ， (cos ,sin )22x x b =- ， （1）当]2,0[π∈x ，求,||a b a b ⋅+ ； （2）若||2)(b a m b a x f +-⋅=≥23-对一切实数x 都成立，求实数m 的范围。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
平面向量的数量积学案
平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。
掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。
3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。
4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。
b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。
c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。
3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。
b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。
c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。
4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。
b. a · b = |a| * |b| * cosθ。
5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。
b. |a| = √(a · a)。
四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。
平面向量的数量积与应用教案
平面向量的数量积与应用教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等领域具有广泛的应用。
其中，数量积作为平面向量的一种运算方式，被广泛运用于解决多种实际问题。
本教案旨在通过介绍平面向量的数量积及其应用，帮助学生掌握相关的概念和运算方法。
二、数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间进行的一种运算。
对于两个平面向量a 和 b，它们的数量积可以表示为a·b，即：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模，θ表示向量 a 和 b 之间的夹角。
三、数量积的运算性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：若 a·b = 0，则 a 和 b 两向量垂直。
四、数量积的几何意义数量积有着重要的几何意义。
当两个向量的数量积为正时，表示它们的方向较为接近；当数量积为负时，表示它们的方向较为背离；当数量积为零时，表示它们垂直。
五、数量积的应用数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 判断两个向量的关系：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角大小，从而了解两个向量之间的关系，比如是否垂直或平行。
2. 求向量在某一方向上的投影：通过数量积的计算，可以求得一个向量在另一个向量上的投影长度，从而进一步计算出向量在某一方向上的投影。
3. 计算力的功：在物理学中，力的功可以通过计算力和位移之间的数量积得到。
功等于力乘以移动的距离和夹角的余弦值。
4. 计算三角形的面积：数量积还可以用来计算三角形的面积。
当给定两条边和它们之间的夹角时，可以通过数量积公式计算出三角形的面积。
六、教学活动为了帮助学生更好地理解和应用数量积，以下是一些教学活动的建议：1. 理论讲解：教师可以通过简洁明了的语言，结合实际例子，向学生讲解数量积的定义、运算性质和几何意义。
平面向量的数量积(教案)
§5.3 平面向量的数量积（教案）2014高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x1－x22＋y1－y22.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [难点正本疑点清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b>0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，AB→、BC→的夹角与角B的关系．3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1． 已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝___.答案 －32解析 a ·b ＝|a||b |cos 135°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＝－3 2. 2． 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．答案32解析 由a ⊥b 知a ·b ＝0.又3a ＋2b 与λa －b 垂直，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－2b 2 ＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝32.3． 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．答案655解析 设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a ·b|a||b |＝2×－4＋3×7－42＋72＝1365＝655.4． (2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.5．(2012·陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C．0 D．－1答案 C解析利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.题型一平面向量的数量积的运算例1(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于( )A．－16 B．－8 C．8 D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3思维启迪：(1)由于∠C＝90°，因此选向量CA→，CB→为基底．(2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.答案(1)D (2)C→＝16.解析(1)AB→·AC→＝(CB→－CA→)·(－CA→)＝－CB→·CA→＋CA2(2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.探究提高求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案 1 1解析方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝a ·a .解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝33.探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( )A ．1B.2C ．2D ．4 答案 (1)C (2)C解析 (1)∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.(2)|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4，∴|a ＋2b |＝2. 题型三 向量数量积的综合应用例3已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， |k a ＋b |＝k 2＋2k cos β－α＋1， |a －k b |＝1－2k cosβ－α＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a ·b ＝0.(3)数量积的运算中，a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )． (1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－k a＋t b，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－k a＋t b)＝－k a2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝t3－3t4(t≠0)．三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________.审题路线图图形有一副三角板构成↓(注意一副三角板的特点)令|AB|＝1，|AC|＝1↓(一副三角板的两斜边等长)|DE|＝|BC|＝ 2↓(非等腰三角板的特点)|BD|＝|DE|sin 60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°) AD→在AB→上的投影即为x↓x＝|AB|＋|BD|cos 45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD→在AC→上的投影即为y↓y＝|BD|·sin 45°＝62×22＝32.解析方法一结合图形特点，设向量AB→，AC→为单位向量，由AD→＝xAB→＋yAC→知，x，y分别为AD→在AB→，AC→上的投影．又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD→|＝|DE→|·sin 60°＝62.∴AD→在AB→上的投影x＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32，AD→在AC→上的投影y＝62sin 45°＝32.方法二∵AD→＝xAB→＋yAC→，又AD→＝AB→＋BD→，∴AB→＋BD→＝xAB→＋yAC→，∴BD→＝(x－1)AB→＋yAC→.又AC→⊥AB→，∴BD→·AB→＝(x－1)AB→2. 设|AB→|＝1，则由题意|DE→|＝|BC→|＝ 2.又∠BED＝60°，∴|BD→|＝62.显然BD→与AB→的夹角为45°.∴由BD→·AB→＝(x－1)AB→2，得62×1×cos 45°＝(x－1)×12.∴x＝32＋1.同理，在BD→＝(x－1)AB→＋yAC→两边取数量积可得y＝3 2 .答案1＋3232温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．失误与防范1． (1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2． a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3． a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( ) A ．－1B ．－12C.12D ．1答案 D解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A.5 B.10 C ．25 D ．10答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－79，－73答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB→·AC →等于( )A ．－32B ．－23C.23D.32答案 D解析 由于AB→·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝32.6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB→·AC →＝________.答案 －16 解析 如图所示， AB→＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM→－MB →， ∴AB→·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－6，32解析 由a ·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解 (1)a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb ·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)．9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB→·BC →＝1，则BC 等于( )A.3B.7C ．22D.23答案 A解析 ∵AB→·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB→||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝3.2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2 答案 A解析 a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a ·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2等于( ) A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D解析 ∵PA→＝CA →－CP →，∴|PA →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2. ∵PB→＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2. ∴|PA→|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB→2＝16CP →2，CD →＝2CP →， 代入上式整理得|PA→|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.答案2解析 利用向量数量积的坐标运算求解．a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝2.5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)． 故AB→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF→＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE→·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2.方法二 用AB→，BC →表示AE →，BF →是关键．设DF→＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB→·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ， 又∵AB→·AF →＝2，∴2x ＝2，∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2.6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD→|，则AM→·AN →的取值范围是________． 答案 [1,4]解析 利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积．如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD → ＝(λ－1)CD→，∴AM→·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →] ＝(λ－1)AB→·CD →＋λBC →·AD →＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM→·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1.∴AM →·AN →∈[1,4]． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＋34＝0，故向量a ＋b 与a －b 垂直． (2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。
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(2)若＝λ(λ∈R)，且·＝0，试求点M的轨迹方程．
【例6】已知a＝(2cos，tan)，b＝.令f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间．
(2)是否存在实数x∈[0，π]，使f(x)＋f′(x)＝0？若存在，求出x的值；若不存在，请证明．
A．－4B．4C．－2D．2
2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()
A．2B．4C．6D．12
3．(2010·湖南考试院)在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则·＝()
A．6B．－6C．8D．－8
4．已知＝(3,1)，＝(2,4)，||＝1，点C在直线OA上的射影为点D，则||的最大值为()
(3)如图，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝叫做向量b在a方向上的投影．
当θ为锐角时，如图(甲)，它是正值；当θ为钝角时，如图(乙)，它是负值；
当θ为直角时，如图(丙)，它是0；当θ为0°时，它是|b|；
当θ为180°时，它是－|b|.
(4)平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．
2．用向量法处理垂直
要证两线段AB⊥CD，只需证·＝0.
3．用向量法处理平行
要证两线段AB∥CD，只需证存在实数λ≠0，使等式＝λ成立．
4．用向量法处理距离
要证线段AB＝CD，可转化为证明2＝2或||＝||.
5．用向量法处理物理问题，首先要把物理问题用向量模型加以表达，然后通过求解向量模型解释相关物理现象．
4.(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值为()
A．8B．6C．5D．4
5．(2010·平顶山市调研)设向量a与b的夹角为θ且a＝(3,3),2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝()
A.B.
C．－D．－
6．(2010·安徽文)设向量ɑ＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是()
【例2】已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于
()
A.B.
C.D．(1,0)
变式训练2
已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是()
A．[－4,6]B．[－6,4]
C．[－6,2]D．[－2,6]
类型二：向量平行与垂直的充要条件
【例3】已知a，b是非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．
A．|ɑ|＝|b|B．ɑ·b＝C．ɑ∥bD．ɑ－b与b垂直
7.（２０１０天津）如图，在ΔABC中， ， ， ，则 =( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为120°，则 的取值范围是__________________ .
三、规律方法梳理
（一）向量的数量积
1．向量数量积的定义
试求：a与b的夹角
变式训练3
(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a，b的夹角为()
A.－θB．θ－
C.＋θD．θ
类型三：向量的应用
【例4】求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
变式训练4
如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
2．平面向量数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝；
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(3)cosθ＝.(4)|a·b|≤|a|·|b|.
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
变式训练6
已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列．
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P的坐标为(x0，y0)，记θ为与的夹角，求tanθ.
学案三平面向量的数量积及向量的应用强化作业
一、选择题
1．(2010·哈师大附中联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()
6．平面向量与三角函数整合的题目，大多数本质仍是三角函数问题，只是同时兼顾平面向量的“共线”、“数量积”等基本概念与基本运算，解题时依据向量的有关概念与运算去掉向量外衣后，就是纯粹三角问题了．
7．平面向量与解析几何整合的题目，注意将题目中的条件和要解决的问题，通过“点”加以向量化，然后运用向量的运算来解决．
A．10＋B．10－
C.＋1D.－1
5．(2010·广东罗湖区调研)在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()
四、命题热点突破：
类型一：向量的模及坐标表示
【例1】(09·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.B．2C．4D．12
变式训练1
(2010·河北邯郸市模考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()
A．1B.C.D.
4．平面向量数量积的坐标表示
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.
(2)设a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|a|＝，
(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a、b都是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔.
类型四：向量的综合应用
【例5】如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·＝2.建立适当的坐标系．
(1)求⊙C的方程；
(2)求以M、N为焦点且
过点P、Q的椭圆的方程．
变式训练5
已知点C的坐标为(0,1)，A、B是抛物线y＝x2上不同于原点O的相异的两个动点，且·＝0.
(1)向量a与b的夹角
已知两个非零向量a、b，过O点作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b同向；
当θ＝π时，a与b反向．
(2)a与b的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件．
1．用向量法求角
设向量a与b的夹角为α，则cosα＝.
若a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则cosα＝；
A．8B．4C．2D．1
2．(2010·湖南文)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．(2010·柳州铁一中高考冲刺)已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为()
A．4B．2C．2D.
学案三平面向量的数量积及向量的应用学案
一、考纲说明：
1.理解平面向量的数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握平面向量的数量积的运算及坐标表示；
4.会求两向量的夹角及垂直的判定；
5.会用向量方法解决某些平面几何，力学等问题.
二、基础小测：
1．(2010·四川文)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝()