高数B第7-9章测试题参考答案
高数B第7-9章测试题参考答案
高数B 第七-九章测试题参考答案一、填空题（每题3分，共30分）.1. 设22(,)f x y x y x y -+=-，则),(y x f =xy .2. 在xoz 坐标面上的曲线 22z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程:2222z x y =+.3. 球面2224x y z ++=与平面1x z +=的交线在yoz 面上的投影曲线的方程: 2222300y z z x ⎧+--=⎨=⎩.4. 过点0(2,3,1)M -且通过y 轴的平面方程为20x z -=.5. 直线111235x y z ---==与平面230x y z -+=的关系:直线在平面上. 6. 过球面2226215x y z x y ++-+=上点(3,3,3)P 处的切平面方程是43210y z +-=.7. 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a = -5 .8. 设21sin()0(,)00x y xy xyf x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则(0,1)x f '= 1 . 9. 向径OA u u u r 与三个坐标轴的正向均构成相等的锐角，设夹角均为α，则cos α=3. 10．极限11x y →→= 二、计算题：（每小题6分，共60分）1. 求微分方程222()ydx x x y dy =-满足初始条件(1)1y =的特解.解：22(1)ydx y x dy =-, 2211y dx dy x y -= 所以方程的通解是：211ln 2y y C x -=-+ 由(1)1y =得12C =-，故所求解为2111ln 22y y x -=-- 2．设2343xy y y x e -'''++= （1）求出该方程所对应的齐次方程的通解（2）写出该非齐次方程的特解*y （仅设出*y ，不必求出*y ）解：（1） 特征方程为2430r r ++= 特征根为121,3r r =-=- 故求出所对应的齐次方程的通解为312x x y C eC e --=+ （2）2343x y y y x e -'''++=的特解为*23()x y x ax bx c e -=++3．求(1,a =-的模、方向余弦和方向角. 解：模2,a =方向余弦11(,)22-， 方向角23(,,)343πππ. 4． 求过点(0,2,4)且与平面20x z +=及310y z -+=平行的直线方程.解：(1,0,2)(0,1,3)(2,3,1)s =⨯-=-r ,24231x y z --==-. 5．证明直线210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和平面:21x y z ∏+-=平行，并求直线L 到平面∏的的距离. 解：(2,1,0)(3,0,1)(1,2,3)s =⨯=--v,(1,2,3)(1,2,1)0--⋅-=，//L ∏,取直线上点(1,1,1)--，d == 6．求72344(,)(0,0)lim x y x y x y →+ . 解：1377223344220022y x y x y x y x y ≤≤=→+, 所以 72344(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+. 7．证明326(,)(0,0)lim x y xy x y →+不存在. 证明：当点(,) x y沿曲线y =0，0）时326(,)(0,0)lim x y xy x y →+=32326261+y x k x k x k x k =→=+，极限值与k 有关，故该极限不存在. 8．设函数,f g 均可微，(,ln ())z f xy x g xy =+，求z z x y x y∂∂-∂∂. 解：121()z yf f g y x x∂'''=+⋅+⋅∂，12z xf f g x y ∂'''=+⋅⋅∂,所以 2z z x y f x y ∂∂'-=∂∂. 9．设(,)z z x y =是由方程sin 2z x y z e +-= 所确定,求.dz解：令(,,)sin 2z F x y z x y z e =+--，则cos ,2,1(1)z z x y z F x F F e e ===--=-+，因此dz =cos 211z z x dx dy e e +++. 10． 设0()cos 2()sin 1xf x x f t tdt x +=+⎰，其中()f x 为可导函数，求()f x .解：方程0()cos 2()sin 1xf x x f t tdt x +=+⎰两边求导()cos ()sin 2()sin 1f x x f x x f x x '-+= 令()y f x = 得 cos sin 1y x y x '+=, 即 1tan cos y y x x '+=,这是一个一阶线微分方程， tan tan 211()cos d +C)cos cos xdx xdx y e e dx C x x x x-⎰⎰=+=⎰⎰( 求解得cos (tan )y x x C =+. 由(0)1y =得1C =，所以()sin cos f x x x =+.三．（10分）证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但在此点不可微. 证明：因为2|||2|||2222x xy y x y x y x =≤+，所以)0,0(0lim 222)0,0(),(f y x y x y x ==+→，即),(y x f 在点)0,0(连续. 000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x 000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆y y f y f f y y y 081][lim )0,0()0,0(lim 2322200≠=∆+∆∆∆=∆-∆-∆∆=∆→∆∆=∆→∆y x y x y f x f f x y x y x x y x ρ，故),(y x f 在点)0,0(不可微.。
大学高数下册试题及答案第9章
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
高等数学练习题第七章及答案
高等数学练习题第七章及答案1. 判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和．(1)234133333(1)55555nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；(2)3452ln πln πln πln πn ++++++解 （1）此级数为等比级数，其公比35q =-，级数收敛，且和33531815a s q ===-+.（2）此级数为等比级数，其公比ln 1q π=>，级数发散.2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和. 32537411111111()()()()34343434++++++++ 解 原式=3523111111()()333444+++++++因为351111331333819+++==-，收敛.231111141444314+++=-， 收敛， 由性质知，级数32537411111111()()()()34343434++++++++收敛，且和1724.1.求幂级数112nnn x ∞=∑的收敛区间与和函数. 解 因为幂级数112n n n x ∞=∑=2323()2222n x x x x+++++是等比级数，且公比2x q =， 当12x<时，等比级数收敛，即得收敛区间（-2，2），其和函数 2()112x x s x x x==--.2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（1）0!n n x n ∞=∑; (2)203nn n x ∞=∑.解 (1)因为1!n a n =；111(1)!(1)!n a n n n +==++，于是 1!limlim 0(1)!n n n n a n a n n ρ+→∞→∞===+. 所以，收敛半径R =+∞；收敛区间(,)-∞+∞.(2)设2t x =，原幂级数改写为03nn n t ∞=∑.于是，1131lim lim 33n n n n n na a ρ++→∞→∞===所以，3R =.由于3t <得，x <故幂级数的收敛半径收敛3R =，收敛区间(.3. 利用matlab 软件，将函数3()2f x x =-展开为幂级数. 解 利用matlab 软件，函数3()2f x x =-展开的幂级数式为233()[1()()]2222x x x f x =++++1.设()f x 是周期为2π的函数，它在[),ππ-上的表示式为 00,(),0,x f x A x ππ-<⎧=⎨<⎩≤≤其中A 为不等于零的常数，将()f x 展开为傅立叶级数.解 因为周期函数()f x 的傅立叶系数0011()a f x dx Adx A ππππ===⎰⎰，[]π0011()cos d cos sin 0n πn A a f x nx x A nxdx nx ππππ====⎰⎰ ， (1,2,3,)n = []00011()sin d sin cos n πn A b f x nx x A nxdx nx πππππ-===⎰⎰， (1cos )A n n ππ=-0,,2,,πn An n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数当为奇数(1,2,3,)n = 所以()f x 的傅立叶级数为 A 211()sin sin 3sin(21)2π3(21)A f x x x n x n ⎛⎫=++++-+⎪-⎝⎭(,,)x x k k Z π-∞<<+∞≠∈2.设()f x 是周期为2π的函数，它在[),ππ-上的表示式为 ,0,(),0,x x f x x x ππππ+-<⎧=⎨-<⎩≤≤将()f x 展开为傅立叶级数.解 因为周期函数()f x 是偶函数，其傅立叶系数为 0n b = (1,2,3,)n =，002()a f x dx ππ==⎰02()x dx πππ-=⎰2021[]2x x ππππ-=，02[sin ]nx n π=-02sin xd nx n ππ⎰=0020[sin sin ]x nx nxdx n πππ--⎰ 0222022[cos ][1cos ]4n nx n n n n n πππππ⎧⎪=-=-=⎨⎪⎩为偶数为奇数所以，()f x 展开为傅立叶级数2224111()[cos cos3cos5cos(21)]235(21)f x x xx x n x n ππ=+++++-+-.()x -∞<<+∞1.设()f x 是周期为2的函数，它在[)1,1-上的表示式为 1,10,()0,01,x f x x -<⎧=⎨<⎩≤≤ 将()f x 展开为傅立叶级数.解 因为周期函数()f x 的傅立叶系数00011()1a f x dx dx --===⎰⎰，[]01111()cos d cos sin 0n πn a f x n x x n xdx n x πππ---====⎰⎰ ， (1,2,3,)n = []0001111()sin d sin cos n πn b f x n x x n xdx n x πππ----===⎰⎰，1(1cos )n n ππ=--0,,2,,πn n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为偶数当为奇数(1,2,3,)n = 所以()f x 的傅立叶级数为1211()sin sin 3sin(21)2π3(21)f x x x n x n πππ⎛⎫=-+++-+⎪-⎝⎭(,,)x x k k Z -∞<<+∞≠∈ππ00022()cos d ()cos ππ22cos cos n a f x nx x x nxdxnxdx x nxdxππππππ==-=-⎰⎰⎰⎰2.将周期为4的函数()f x x =[)2,2-展开为傅立叶级数. 解 因为()f x 为奇函数，傅立叶系数为 00a =，0n a = (1,2,3,)n =，124(2cos )(1)n n n n πππ--==-. 所以，()f x 展开为傅立叶级数41131()[sinsin sin sin 2]22324x x f x x x πππππ=-+-+(,42,)x x k k Z -∞<<+∞≠-∈利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换(1)2()f t t =； (2)()cos2f t t =； (3) ()e t f t -=； (4) ()3e sin 3t f t t =；(5) ()22e t f t t =； (6)()2e e t t f t -=-. 解 查表得，(1)232[]L t s =；(2)2[cos2]4s L t s =+；(3) 1[]1tL e s -=+； (4)()223[sin 3]39t L e t s =-+；(5)()2232[]2t L t e s =-；(6)()()23[]12t t L e e s s --=-+.求下列各函数的拉氏变换.(1)()253f t t t =+-； (2)()3sin 25cos 2f t t t =-； (3)()1e t f t t =+；(4)()(1)f t u t =-；(5)()22sin 3f t t =.解 (1) ()2[][53]L f t L t t =+-=32253ss s +-； (2) ()[][3sin 25cos2]3[sin 2]5[cos2]L f t L t t L t L t =-=-226544s s s =-++=2654ss -+； (3) ()211[][1e ][1][](1)ttL f t L t L L te s s =+=+=+-=()2211s s s s -+-； (4) ()[][(1)]L f t L u t =-=1e s s-⋅；(5) ()221[][2sin 3][1cos6]36sL f t L t L t s s ==-=-+=()23636s s +.2200222000()sind sin 22222cos [cos ]cos222n n x n x b f x x x dxn x n x n xxd x dx n n n ππππππππ==--==+⎰⎰⎰⎰求下列函数的拉氏逆变换(1) ()33F s s =+； (2) ()2636sF s s =+；(3) ()22836s F s s -=+；(4) ()2325s F s s s +=++； (5) ()2956s F s s s +=++.解 由拉氏变换逆性质，得(1) ()11131[][]3[]3(3)L F s L L s s ---==+--=33e t -.(2) ()1112226[][]6[]366s s L F s L L s s ---==++=6cos6t . (3) ()1111222222846[][]2[][]36636s s L F s L L L s s s -----==-+++=42cos6sin 63t t -.（4）()1111122222223(1)212[][][][][]25(1)2(1)2(1)2s s s L F s L L L L s s s s s -----++++===+++++++++=()e cos 2sin 2t t t -+. (5) ()1111129976[][][][][]56(2)(3)23s s L F s L L L L s s s s s s -----++===-++++++=237e 6e t t ---.。
高等数学第七章测试题答案第版
第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是3阶微分方程；2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 解（填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x +=；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。
二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e e y x dx x +⎰⎰=⎰-，三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y分离变量x x y yd d 1-=， 两边同时积分C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。
工科类本科《高等数学》第7-9章自测题参考答案
工科类本科《高等数学》第7,8,9章自测题参考答案一、填空题：1.极限00x y →→12- ；20tan()lim x y xy y →→= 2；0x y →→= -2 .解：利用等价无穷小量替换或根式有理化及重要极限求待定型的极限：00000111lim sin()2x x x y y y xy xy xy →→→→→→-+==-=-或 0000112lim 2x x y y xy xy →→→→-==-；222000tan()limlim lim 2x x x y y y xy xy x y y →→→→→→===；)()))00000111limlim lim 2121xyxyx x x x y y y y xyxyxye xye →→→→→→→→====-----或()000002limlim2112x x x x xy y y y y xy xyxy e →→→→→→→→====---.2.若22(,)22f x y x xy ax y =+++在点)1,1(-处取得极值，则a = -2 . 解：依题意，有(1,1)0,(1,1)0x y f f ''-=-=.而(,)42x f x y x xy a '=++， 于是，有(1,1)420x f a '-=-+=，解得 2.a =-3.函数2sin()z x xy =的全微分dz = 22222sin()cos()2cos()xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤++⎣⎦. 解：z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂，而222222sin()cos()sin()cos(),z xy x xy y xy xy xy x ∂=+⋅=+∂222cos()22cos()z x xy xy x y xy y∂=⋅=∂.故22222sin()cos()2cos()dz xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤=++⎣⎦. 4. 设函数44224z x y x y =+-，则此函数在点(1,1)处的全微分(1,1)dz = ()4dx dy -+ .解：(1,1)(1,1)(1,1)x y dz z dx z dy ''=+，而()3211(1,1)484x x y z x xy=='=-=-，()3211(1,1)484y x y z y x y =='=-=-，故()(1,1)4dz dx dy =-+.5.设22()z f x y =+，且()f u 可导，则z x ∂=∂()222xf x y '+，22z x∂=∂()()2222224f x y x f x y '''+++.解：()()222222zf x y x xf x y x∂''=+⋅=+∂， ()()()()2222222222222224zf x y xf x y x f x y x f x y x∂''''''=+++⋅=+++∂. 6. 设方程1xy xz yz ++=确定隐函数(,)z f x y =, 则z x ∂=∂ y z x y +-+ , z y ∂=∂ x zx y+-+ . 解：令(,,)1F x y z xy xz yz =++-，则(,,)(,,),(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z y z z x zx F x y z x y y F x y z x y''∂+∂+=-=-=-=-''∂+∂+. 二、单项选择题：1.设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020133:z y x z y x L 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏（ D ）A. 垂直B. 平行C.L 在 ∏ 上D. 斜交解：直线L 有方向向量()()33210133271672110i j ks i j k i j k i j k =++⨯--==-+---，平面∏有法向量()4,2,1n =-，因为0,(s n n ks k ⋅≠≠为非零常数）， 所以s n 与既不垂直也不平行，故L 与∏斜交.2.已知k j i b k j i a+-=++=2,32，那么a 与b （ A ）A. 垂直B. 平行C. 夹角为030D. 夹角为060 解：因为()1122310a b ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以a b ⊥. 3. 已知函数22f x+y,x -y =x -y （），则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ C ）. （A ）22x y - (B) 22x y + (C) x y + (D) x y -解：因为()()22f x+y,x -y =x -y x+y x -y =（），所以(,)f x y xy =， 故(,)(,).f x y f x y y x x y∂∂+=+∂∂ 4. 设yz x =, 则dz =( A ).(注意分清对幂函数还是指数函数求导) (A)1ln y y yxdx x xdy -+ (B)11y y yx dx yx dy --+(C)1ln y y x xdx yxdy -+ (D)ln ln y y x xdx x xdy +5.曲线 t a x cos =，t a y sin =，amt z =，在 4π=t 处的切向量是 （ D ）.A ．)2,1,1( B.)2,1,1(- C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m -解：曲线在4π=t 处有切向量()())44,,sin ,cos ,t t t t t s x y z a t a t am a a am ππ==⎛⎫'''==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 函数(,,)f x y z xy z =+在点(1,1,1)-处沿方向(2,1,2)l =-的方向导数为（ C ） A. 1； B.23； C. 13； D. 0. 解：所求的方向导数(1,1,1)(1,1,1)cos (1,1,1)cos (1,1,1)cos x y z l f f f f αβγ''''-=-+-+-. 而11(1,1,1)1,(1,1,1)1,(1,1,1) 1.x y z y x f y f x f =='''-==-==-= 又2213l =+=，从而212cos ,cos ,cos 333αβγ===-.故2121(1,1,1)1113333l f ⎛⎫'-=⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.7.二元函数ln()z xy =的全微分为（ A ）.A.dx dy x y +； B. dx dy xy +； C. dx dy y x+； D. dxdyxy . 解：全微分z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂，而1111,z z y x x xy x y xy y ∂∂=⋅==⋅=∂∂.故dx dydz x y=+ 三、证明题：1.设()F u z xy x =+，y u x =，()F u 为可导函数. 求证：z zx y z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 因为2()()()()z y y y F u xF u y F u F u x x x ∂⎛⎫''=++⋅-=+- ⎪∂⎝⎭；1()()z x xF u x F u y x ∂''=+⋅=+∂. 所以 ()()()()()z z y xy x y F u F u y x F u xy xF u xy z xy x y x ∂∂⎛⎫''+=+-++=++=+ ⎪∂∂⎝⎭. 2. 设22()y f x y z -=， ()f u 为可导函数. 求证：211z z zx x y y y ∂∂+=∂∂. 证 因为2222222222222222()()2()()()()x z y y xyf x y f x y xf x y x f x y f x y f x y '∂-''⎡⎤=-⋅-=-⋅-=-⎣⎦∂---， ()222222222222222()()2()2()()()f x y y f x y y z f x y y f x y y f x y f x y '--⋅-⋅-'∂-+-==∂--.故22222222222222221112()1()2()1()()()z z xyf x y f x y y f x y z x x y y x f x y y f x y yf x y y ''∂∂--+-+=-⋅+⋅==∂∂---. 四、计算题：1.设2(,)x z f x y y =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求222,,,z z z z x y x x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 解：22121211(,)(,)22,z x x f x y f x y xy f xyf x y y y y∂''''=⋅+⋅=+∂2222121222(,)(,),z x x x xf x y f x y x f x f y y y y y ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭212122211222f f z z f xyf yf xy x x x x y y xx ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==+=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 221112221221112222211112222442f xyf yf xy f xyf f xf x y f yf y y y y⎛⎫⎛⎫''''''''''''''''=++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212122111222f f z z f xyf f xf xy x y y x y y y y y y ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫''''==+=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2211112221222221122x x f f x f xf xy f x f y y y y ⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231211122223122x xf xf f f x yf y y y''''''''=-+--+.注：因为f 具有连续的二阶偏导数，所以1221f f ''''=.2.设22220x y z z ++-=，求22,z zx y∂∂∂∂.解：令222(,,)2F x y z x y z z =++-，则(,,)2(,,)221x z F x y z z x xx F x y z z z '∂=-=-='∂--，(,,)2(,,)221y z F x y z z y y yF x y z z z '∂=-=-='∂--， 2222223(1)(1)(1)11(1)(1)(1)z y z y z y y z z y z y z y y y y z z z z ⎛⎫∂--⋅- ⎪-+⋅∂⎛⎫∂∂∂∂-+⎛⎫⎝⎭-===== ⎪ ⎪∂∂∂∂----⎝⎭⎝⎭. 注意：z 是关于,x y 的二元函数.3.设方程组22222x y uv xy u v ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==，求 u x ∂∂，v x ∂∂.解法一：分别对两方程两边分别对x 求偏导，得20220u v x v u x x u v y u v x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪--=⎪∂∂⎩ 即 222uv v u x x x u v u v yxx ∂∂⎧+=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩当222()022v uJ u v u v==--≠时，有222114(4)22()x u u xv yuxv yu y v x J J u v -∂+==--=∂- ， 222114(4)22()v x v xu yvyv xu u y x J J u v -∂+==+=-∂- . 解法二：令2222(,,,)0(,,,)20F x y u v x y uvG x y u v xy u v ⎧=-+=⎪⎨=---=⎪⎩，则22(,)2()22(,)uv v u F G J u v u v u v ∂===---∂2(,)42(,)xv x u F G J xv yu y v x v ∂===---∂ ， 2(,)42(,)ux v x F G J yv xu u yu x ∂===+-∂ 故2242()xv uv J u xv yu x J u v ∂+=-=∂- ，2242()ux uv J v xu yvx J u v ∂+=-=-∂-. 4.求函数3322(,)339f x y x y x y y =+-+-的极值.解：解方程组223603690f x x xf y y y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-=∂⎪⎩，得四个驻点1234(0,3),(0,1),(2,3),(2,1)P P P P --. 又66,0,66xx xy yy f x f f y ''''''=-==+.记(),(),()(1,2,3,4)xx i xy i yy i A f P B f PC f P i ''''''====对21(0,3),6(12)00,P AC B --=-⨯-->且60A =-<,则1(0,3)P-是函数的极大值点，极大值(0,3)27f -=；对22(0,1),61200P AC B -=-⨯-<,则2(0,1)P 不是极值点； 对()23(2,3),61200P AC B --=⨯--<,则3(2,3)P -不是极值点；对24(2,1),61200P AC B -=⨯->,且60A =>,则4(2,1)P 是函数的极小值点，极小值(2,1)9f =-. 5.求曲面222327xy z +-=在点(3,1,1)P 处的切平面方程和法线方程.解：令 222(,,)327F x y z x y z =+--，则曲面在点(3,1,1)P 处的法向量为()(3,1,1)(3,1,1)(,,)(6,2,2)(18,2,2)29,1,1x y z n F F F x y z '''==-=-=-于是，所求的切平面方程为 9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9180x y z +--=.法线方程为311911x y z ---==-. 6.求曲面z=在点(3,4,5)P 处的切平面方程和法线方程.解：曲面在点(3,4,5)P 处的法向量为()(3,4,5)(3,4,5)341(,,1)1),,13,4,5555x y n z z ⎛⎫''=-=-=-=- ⎪⎝⎭. 于是，所求的切平面方程为 3(3)4(4)5(5)0x y z -+---=，即 3450x y z +-=.法线方程为345345x y z ---==-. 7.求函数23(,,)f x y z xy yz =+在点0(1,1,2)P 处沿从0(1,1,2)P 到(3,1,3)P -方向的方向导数0P fl∂∂.解：记()02,2,1l P P ==-，(223l =+=，从而221cos ,cos ,cos 333αβγ==-=.又()23211(1,1,2)2(1,1,2)1,(1,1,2)210,(1,1,2)312.y x y z y z f yf xy z f yz ==='''===+===故所求的方向导数P f l∂∂(1,1,2)cos (1,1,2)cos (1,1,2)cos x y z f f f αβγ'''=++221110122333⎛⎫=⨯+⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭.。
高数答案第9章
第9章（之1） （总第44次）*1． 微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了x C x C y 2sin 12cos 2++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族 xxec e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由xxe c e c y -+=21， xx ec e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(21x x e e y --=，即x y sinh =．*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x yx y 的解．证明 '=-+--y e x e x x x 3332321212sin cos ，''=----y e x e x x x 3332321212sin cos ，代入方程得 ''+'+=y y y 0， 此外，，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-2333212sin 是初始值问题的解．*5．验证y e e t Ce x t xx=+⎰20d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y ye x x 2的通解．证明 '=+⋅+⎰y ee t e e Ce xt xx x x 220d =++ye x x 2， 即 2x x e y y +=-'，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数y ee t Ce xt x x=+⎰2d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；解 将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ． （2）xC x C y 21+=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得221x C C y -='，322xC y =''． 从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为02=-'+''y y x y x ．**7．建立共焦抛物线族)(42C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解 在方程)(42C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dxdy ． 所以过点),(y x 的法线斜率为y '-1， 法线方程为y Y -=y '-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '-1)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．第9章（之2）（总第45次）教学容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）21)1(x y x y +-='；解： 分离变量21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x xx y y ， 得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=--，即211xC y +-=． （2）222y x e yx y -='； 解：分离变量x xe y ye x y d d 222=，两边积分就得到了通解)d (21222x e xe e x x y ⎰-=c e xe x x +-=)21(2122．（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．解： 12d 42d +-=-x xe y e y y ，C x e y ln 21)12ln(21)2ln(21++-=-， 即 ()()e x C y-+=221．**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，)1)(1(y x y --='，x x y y d )1(1d -=-，并积分 x x y yd )1(1d -=-⎰⎰ 得c x x y +-=--221)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=2211．解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=221．代入原非齐次方程得x e C x x -='-1221，解得○2C eC x x +=-221，○2代入○1即可得原方程的通解xx Cey -+=2211．*3．求解下列初值问题：（1）21x yy -='，6)21(πe y -=．解：Θy '=21xy -，∴21d d xx y y -= (0≠y )， 21d d xx y y -=⎰⎰，∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，Θπ6)21(e y -=，∴21arcsin 6Ce e =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．（2）22x e xy y -=+'，1)0(=y ；解: Θ22x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2)(x e x q -=，=∴)(x y ⎰-xx ed 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 222x e -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， Θ 1)0(=y ， 101=⇒+=∴c c ， 2)1(x e x y -+=∴．（3）xex y y cos cot =+'，1)2(=πy ；解： Θ xex y y cos cot =+'， ∴x x P cot )(=，xex Q cos )(=．∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x C y xx x x x d e e e d cot cos d cot )d e e (e sin ln cos sin ln ⎰+=-x C x x x)d sin e (csc cos ⎰+=x x C x x x C xcsc )e(cos -=，由1)2(=πy ， 可确定 2=C ，所以x y x csc )e 2(cos -=．（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01==x y ．解： 方程变形为 2112xx y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=⎰-dx ex x c e y dx x dx x 222)11( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰dx x x x c x 222)11(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x c x22211x xc 1212-+= 由 0)1(=y ， 得 21=c ， 所以特解为：x xy 121212-+=．**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）． 解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中yy Q y y y P 1)( ,ln 1)(==代入一阶线性方程求解公式，得通解 1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1ln 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰--dy e y c dy ey c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21ln ln ln 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰．**5．求满足关系式)(d )(22x y x u u uy x +=⎰的可导函数)(x y ．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x y x()d d =+2，即d d yxxy x -=-2，分离变量得d d y y x x -=2，积分得y Ce x =+222，在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22-==x y．据此可得14--=e C ，所以原方程的解为 24122+-=-x e y ．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有kv mg tvm -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得--=+1k mg kv tmC ln()． 由初始条件0)0(=v ， 得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e kmt =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1．**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ． 解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '-1，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 2211+-=()．***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程． 解：在给定曲线2cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20='=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xyy 2='． 设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程yx y 2-='． 这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2221，即椭圆族c x y =+2221． ***9．作适当变换，求微分方程 1224+-='-x e y y的通解． 解 原方程可化为4122=++'y ye x y e ，在换元y e z =下方程可化为4122=++'x zz ，这是一个一阶线性方程，其通解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎰+⎰+-⎰x eC ez x xx xd 412d 212d 2}44{1212x x C x +++=．***10．作适当变换，求微分方程 d d tan y x y x y y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪2122的通解．解：令ux y =2，代入方程整理得 xxu u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 x y u 2= 代入上式，即得原方程的通解： Cx xy =2sin ．第9章 （之3） （总第46次）教学容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1) )ln ln 1(d d x y xyx y -+=； 解： Θ )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+xyln )，这是一个一阶齐次型方程．令 xyu =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．分离变量x dx u u du =ln ，并积分⎰⎰=xdxu u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =． 以 xy u =代入，得所求的通解为cxxe y =．（2）()arctan xy y yxx '-=． 解：方程可化为xy xy y arctan1+='，这是一个一阶齐次型方程．令 x y u =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为ux u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．以 xy u =代入上式得原方程的通解：x y Cey x yx 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解． 解: Θ 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，dy dx =x y y x +2， 令 yxu = ， 则 u u dy du yu 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴⎰+uu du 1=⎰y dy，c y u ln ln )1ln(212+=+∴， cy u =+∴12， 即 2221y c u =+ ， 代回即得22y x +1=22y c ， 1)2(=y Θ， ∴52=c ， 因此 22y x +=54y ．（2）⎩⎨⎧==-++=.0,0d )(d )(0x y y y x x y x解：原方程可表为11d d -+=-+=x y x yx y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='， 代入方程，有 11-+='+u uu x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ， 分离变量x x u uu u d 1d 2112=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ⇒通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程)(222111c y b x a c y b x a f y ++++='在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程)(d d 2211sb t a s b t a f t s++=． 并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．证明：令⎩⎨⎧+=+++=++s b t a c y b x a sb t ac y b x a 2222211111 1221b a b a ≠Θ，∴可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112212112b a b a c b c b h b a b a c a c a k解：0)32()12(=++++dy y x dx y x Θ，令⎩⎨⎧-=+=32x t y s ⎩⎨⎧==⇒x t ys d d d d[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，ts t sdt ds dtdst s t s 32210)32(21++-=⇒=+++⇒， 令dt dutu dt ds t s u +=⇒=， 23)1)(13(3221+++-=⇒++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ， ⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∴-=+++⇒t dtdu u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(21+-=++即，c tst s t ct u u =++⇒=⋅++∴)13)(1()13)(1(，c x xy x y c x y x y x 243)3631)(321()3(22=+++⇒=-++-++-∴．**4．求下列微分方程的通解（1）0ln 2=+-'x y y y x ；解： 0ln '2=+-x y y xy Θ xxy x y y ln 1'12-=-∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11=+⇒=-， ,ln )Q( ,1)(xx x x x P ==∴ln 1 d ln )(d 1d 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=∴⎰⎰-xdx x x C x x e x x C e x t x x x x1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．解： Θ 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x， y y '-21+211y x =x 2， 21y u =，x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，xx Q 1)(．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121-=x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x x x C d 121[]x C x +=-21， ∴ []x C xy +=-2121， ∴xC x y +=．（3）'=-y y xy x 3222()解一：令u y =2，原方程化为： d d u x u x u x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-21，解此方程得 u Ce u x =， 以u y =2代入上式，原方程通解为 y Ce y x22=．解二：原方程写成d d x y y x yx -=-2232， 令x z -=1，则方程化为：322d d yz y y z =+， 则通解 z eC y e y yy y y =+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-⎰⎰⎰2322d d d ]ln 2[12y C y+= ， 故原方程通解：1122x yC y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：yxy y 2-='，1)0(=y ． 解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=-Θ，令 x t dxdty t 42 2-=-⇒=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []12010211)0(1212 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=⇒++⨯=∴=++=∴++=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=∴----⎰⎰x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e xxe C e x e x C e x t xx x x x x x x x，Θ****6．作适当的变换求方程 12222212+⋅'=++x y y x y e x sin sin 的通解．解：原方程化为：12222212+=++x yxx y e x d sin d sin ，令z y =sin 2，得d d z x x x ze x x -+=++21122122，故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⎰⎰+-+⎰+x exeC ez xx x x x x x d 1d 12212d 12222)1ln(2121222x x eCex x +++=++原方程的通解为 sin ln()221212221y Ce e x x x x =+++++．***7．已知)(2d )(1)(2202x y x y y x+='+⎰ξξξ，求y x ()．解：两边关于x 求导得212yy y '-=-， 解得 y Ce x 21=+， 由yx ==00，求得C =-1，故原方程的解为：y e x21=-．***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212yy xy x '-=- 令y z 2=，解得z y x C x ==-2()由y ()11=， 得 C =2， 曲线方程为： x y x 222+=．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器的水才会完全流尽？解：设在时刻t 时， 容器中液面高度)(t h ，则经过t ∆后液面高度为)(t t h ∆+， 于是有t t gh A t t h t h r ∆=∆+-)(2))()((2απ，即 22)()(rghA t t h t t h πα=∆-∆+-， 令0→∆t ， 得⎪⎩⎪⎨⎧==-200)0(2d d 2h gh r At h πα解得 200222+=t g rAh πα， 代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4π=A ， 62.0=α， 得10304=t （秒）．第9章 （之4）（总第47次）教学容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是 （ ） （A ）y x =-()12（B ）y x =+-()122142（C ）y x =-+121122() （D ）y x =--()12542解：（C ）（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是 （ ）（A ）y x 3313=+（B ）x y 331=- （C ）y x 3313=-+（D ）x y 331=-+ 解：（C ）**2．求下列微分方程的通解． （1）0='+''y y x ；解： Θ 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程， 令 y p '= ⇒ y ''x p d d =∴0=+'p p x ， ⇒p p d =xxd -，⇒⎰⎰-=x xp p d d ⇒ 1ln ln ln C x p +-= ⇒xC p 1=， ∴=xy d d x C 1， x x C y d d 1=， ⎰⎰=x x C y d d 1 ，21ln C x C y +=． （2）()1212+''+'=x y xy ； 解：''++'=+y x x y x 211122， '=++y x x C 1121()， y x C x C =+++121212ln()arctan．（3）()02='+''y y y ；解：∵()02='+''y y y ， 令 y p '=， 则 yppy d d =''，代入方程有 0d d 2=+⋅⋅p ypp y ， 0)d d (=+⋅⇒p ypy p ， 因为求通解，所以 p 满足 0d d =+⋅p ypy ． 由⎰⎰-=⇒-=y yp p y y p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=⇒+-=⇒， ⎰⎰'=⇒'=⇒'=⇒x C y y x C y y yC x y d d d d d d 111 212C x C y +=⇒． ∴ 通解：212C x C y +=． （4）()1222+''='y y yy解：令：'=''='y p y y pp (),，得()1222+⋅'=y p p p y ， 即d d p p yy y =+212， 得 p C y =+121()，所以 d d yyC x 121+=，通解为：arctan y C x C =+12．第9章 （之5）（总第48次）教学容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解． 所以成立下式：)2()()()()1()()()(222111x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''将 (1)、(2) 两式相减，得)3(0))(())(()(212121=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y(2) 式可写为0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程22222xy x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知 21312,x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程0222=+'-''y xy x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解． 所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．*3．验证：22,t t e e -是微分方程''-'-=x tx t x 1402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为()()222241t t t e t e t e -'-"0421********=-⨯-+=t t t t e t te te t e ，()()2222"41t t t e t e t e ----'-=-+-⨯--=--241240222222e t e tte t e t t t t ()， 故22,t t e e -是方程的解，且≠=-2222t t t e ee 常数．于是22,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为2221t t e C e C x -+=，其中21,C C 为任意常数．*4．已知函数 x y e y x==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．解：方程的通解为 x c e c y x21+=，将初始条件代入，有：，，0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x解得21,c c 为： 1,121-==c c ，所以特解为：x e y x -=．**5．设x t 1()是非齐次线性方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1211的解．x t 2()是方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1222的解．试证明 x x t x t =+12()()是方程''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()()12123的解．解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以)1()()()()()()(112111'≡+'+''t f t x t a t x t a t x''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()()()12'+'得：()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +='++'++"+即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．第9章 （之6）（总第49次）教学容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________． 解：)4sin 4cos (213x c x c e y x+=-．（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________． 解：x xC C y 5231e e +=．（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________． 解：)(21515C x C e y x +=-．（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx+=，则=p ___，=k _____． 解：11，3-．**2．求解下列初值问题：（1）0)1(,)1(,01684='==+'-''y e y y y y ；解：∵0)4(16822=-=+-λλλ， ∴421=，λ， 通解为：xe x c c y 421)(+=．将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x得到：4521-==c c ， 所以特解为：x e x y 4)45(-=．（2）3)2(,1)2(,0294='==+'+''ππy y y y y ； 解：02942=++λλ， i i5221042116164±-=±-=-±-=λ，通解为：)5sin 5cos (212x c x c ey x+=-．代入初始条件有： πππe c c ey =⇒=+=-221)0()2(，)5cos 55sin 5()5sin 5cos (2)2(212212x c x c e x c x c ey x x+-++-='--π，得：πe c -=1． 特解为：)5sin 5cos (2x x e y x+-=-π．（3）10)0(,6)0(,034='==+'+''y y y y y ；解： 0342=++λλ， 0)3)(1(=++λλ， 所以通解为 x xe c e c y 321--+=．代入初始条件有：6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，特解为：x xe ey 3814---=．**3．求解初值问题'++==⎧⎨⎪⎩⎪≥⎰y y y x y x x210100d ()解：将原方程对x 求导得 ''+'+=y y y 201()且有'=-=-y y ()()01201微分方程（1）的通解为：y e C x C x =+-()12，代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ， 故所求问题的解为：xe y -=．***4．设函数)(x ϕ二阶连续可微，且满足方程⎰-+=xu u u x x 0d )()(1)(ϕϕ，求函数ϕ()x ．解：原方程关于x 求导得⎰⎰=-+='xxu u x x x x u u x 0d )()()(d )()(ϕϕϕϕϕ,0)0(='ϕ，再求导得： )()(x x ϕϕ=''， 且由原方程还有：1)0(=ϕ，微分方程的通解为： xxeC e C x -+=21)(ϕ，代入条件0)0(,1)0(='=ϕϕ，得2121==C C ， 故所求函数为：x e e x x x ch )(21)(=+=-ϕ．***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：gx dt x d ρρ=22100， 即 010022=-x gdtx d ． 又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==-0)0(20)0(010022x x x gdt x d ， 解得方程的通解为：tg tgec ec x 102101-+=．又因为有初始条件： ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1010020021'c c x x 所以 tg t gee x 10101010-+=．又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：tg tg e e 10101010100-+=，即： 510=t gch， 510arch gt =．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛顿第二定律：22222d d ()xtg g x gx =-+=- ， 其中g =980厘米/秒2其解为：x C g t C g t =+1222cossin ， 振动周期为 T g ==≈222490028ππ.．第9章 （之7）（总第50次）教学容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式 （ ）（A ）()sin Ax B x +（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式 （ ）（A ）Ax B C x ++cos（B ）Ax B C x D x +++cos sin（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）122+=-'-''x y y y ；解：∵ 022=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0Θ不是特征根．设 01b x b y p +=， 代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，有：1,010-=b b ，特解为：x y -=．（2）xey y y -=+'+''2．解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y xp -=， 0202b e x b xe y xxp ---='，02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p----+--=''， 代入 xe y y y -=++'2''， 解得：210=b ，特解为：xe x y -=221．**4．求微分方程''-'+=y y y xe x32满足条件y y ()()000='=的特解． 解：特征方程0232=+-r r 的根为2,121==r r ，相应齐次方程的通解为x x h e C e C y 221+=，设特解为x p e B Ax x y )(+=，代入方程得： 1,21-=-=B A ． 故方程的通解为xxx e x x eC e C y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=22221，代入条件0)0()0(='=y y ，得1,121=-=C C ，因此所求特解为 x xe x x ey ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=1222．**5． 求下列非齐次方程的通解：)(2x f y y ='+''x x f e x f x x f x cos )()3,)()2,14)()12==+=；解：特征方程：022=+λλ， 特征根： 2,021-==λλ，所以方程0'2=+''y y 的通解为 xh e c c y 221-+=．1）对于方程14'2+=+''x y y ， 由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x b x b y p )(10+=，代入方程有：14242100+=++x b x b b ，解得 21110-==b b ， 所以特解为：x x y p 212-=． 所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h 212221-++=+=-．2）对于方程xe y y 2'2=+'''，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：02b e y xp =， 代入方程有：810=b ， xp e y 281=， 所以方程的通解为：x xp h e ec c y y y 222181++=+=-．3）对于方程：x y y cos '2=+'''，由于i ±不是特征方程的根，故设其特解为： x b x b y p sin cos 10+=， 代入方程有：x b x b y p cos sin '10+-=， x b x b y p sin cos "10--=，x x b x b x b x b cos cos sin 2sin cos 1010=+---， 得：525120=-=b b ， x x y p sin 52cos 51+-=，所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h sin 52cos 51221+-+=+=-．**6．求微分方程''-'+=y y y e x x6925sin 的通解．解：特征方程r r 2690-+=的根为r 123,=，相应齐次方程的通解为xh e x C C y 321)(+=设特解为y e A x B x p x=+(cos sin )，代入方程得：A B ==43,故方程的通解为 y C C x e e x x x x =+++()(cos sin )12343***7．已知曲线y y x x =≥()()0过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点),(00y x M =处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x x =0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．解：由已知y ()00=，且'=+'=⎰y y x x y xd ,()000，将此方程关于x 求导得''=+y y 1其通解为： y C e C exx=+--121 ，代入初始条件y y (),()0000='=，得 C C 1212==， 故所求曲线方程为：y e e x xx =+-=--1211()ch ．***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μμθ(tan )0<<，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律m Stmg mg d d sin cos 22=-θμθ 且 S S v (),()0000='=方程的通解为S gt C t C =-++12212(sin cos )θμθ 代入初始条件得C v C 1020==,，故物体滑下的距离与时间的关系为S gt v t =-+1220(sin cos )θμθ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x t ()处，由牛顿第二定律： m xtkx mg d d 22+=， 且 0)0(0)0(='=x x ，． 方程的通解为： x C k m t C k m t m kg =++12cos sin ， 代入初始条件得C mkg C 120=-=,，故物体的运动规律为x mg k k m t =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1cos．***10． 求下列方程的通解： （1）02)4(=''+'''-y y y；解： 02234=+-λλλ， 0)12(22=+-λλλ， 0)1(22=-λλ，所以通解为 x e x c c x c c y ）（4321+++=．（2）0365)4(=-''+y y y．解：036524=-+λλ， 0)9)(2)(2(2=++-λλλ，所以通解为 x c x c ec e c y xx 3sin 3cos 432221+++=-．****11* 试证明，当以 x t ln =为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）)('"2x f cy bxy y ax =++可化为常系数线性方程)()(22t e f cy dt dya b dty d a =+-+并求下列方程通解：（1）022=-''y y x ； （2）x x y y x y x ln 22=+'-''． 证明：令 x t ln =， t e x =，dtdyx dx dt dt dy dx dy 1==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt dy dt y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d 222222111， 将y y ''',代入方程有：()()te f cy dt dy a b dt y d a cy dt dy b dt dy dt y d a cy y bx y ax =+-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+'+''22222， 得证．（1）令 x t ln =， te x =，原方程化为：0222=--y dt dydty d ． 其通解为t t e c e c y -+=221．将x 代入，得：xc x c y 221+=． （2） 令 x t ln =， te x =，原方程化为：tte y dt dy dty d =+-2222， 上述方程的相应其次方程的通解为：()t c t c e y t h sin cos 21+=．令上述方程一个特解为：()10b t b e y t p +=，代入方程得：0,110==b b ， 即：t e y t p =．原方程得通解为：()t t c t c e y t ++=sin cos 21，即：()()[]x x c x c x y ln ln sin ln cos 21++=．***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系． 解： ma B F F =--阻重， a 为加速度， ma B kv mg =--， v 为下降速度，因为 22,dt x d dt dv a dt dx v ===， 所以 22dt xd m B dt dx k mg =--，即 m Bg dt dx m k dtx d -=+22 ， 其特征方程为： 02=+λλmk ， 解得特征根为 m k-==21,0λλ．所以对应的齐次方程的通解为：21c e c x t mkh +=-．由于0是特征方程的单根，故设其特解为：t b x 01=， 代入方程有：m B g b m k -=0， 得 kBmg b -=0． 所以微分方程的通解为：t kBmg c e c x t mk-++=-21， 因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 ()()00,00'==x x ，代入微分方程有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++000121k Bmg c mk c c 求得：222221,kgm Bm c k Bm g m c -=-=， 所以x 与t 的关系可表示为： t k B mg e k g m Bm x t m k-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-122．***13．证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程． 证明：由于'=-f x f x ()()1，两边关于x 求导得''=-'-=---=-f x f x f x f x ()()[()]()111故得''+=f x f x ()()0（1）解方程（1）得通解为 f x C x C x ()cos sin =+12（2）'=-+f x C x C x ()sin cos 12 （3）'='=f f f f ()(),()()0110，将此代入(2),(3)得C C C C C C 1221211111cos sin sin cos +=-+=⎧⎨⎩ 解得：C C 21111=+sin cos所以原方程的解为： f x C x x ()cos sin cos sin =++⎛⎝⎫⎭⎪1111．第9章 （之8） （总第51次）教学容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)第9章 （之9） （总第52次）教学容：§9.7 差分方程1. 已知t t e y 3=是二阶差分方程tt t e ay y =+-+11的一个特解，求a ．解： )31(3e ea -=．2. 求下列差分方程的一般解： (1) 0721=+-t t y y ； 解：tt C y )27(-=(2) 431-=--t t y y ；解：23+=tt C y(3) 051021=-++t y y t t ； 解：)61(125)5(-+-=t C y tt (4) tt t y y 2124=-+； 解：144-+=t t t t C y (5) tt t t y y 21⋅=-+． 解：tt t C y 2)2(-+=3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) t y y t t sin 1=-+； 解：t B t B Y t cos sin 21+=(2) t y y t t πcos 31-=++． 解：)sin cos (21t B t B t Y t ππ+=4. 设t y 为第t 期国民收入，t C 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知t y ，t C ，I 之间有关系 I C y t t +=，βα+=-1t t y C ，其中10<<α，0>β，试求t y ，t C ． 解：t y 满足：βα+=--I y y t t 1，解得 αβα-++=1I C y tt ， 从而 =-=I y C t t ααβα-++1I C t．5. 已知差分方程t t t cy y by a =++1)(，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件0)0(0>=y y ，证明：(1) 对任意Λ,2,1=t ，有0>t y ；(2) 在变换tt y u 1=之下，原差分方程可化为有关t u 的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解；(3) 求方程t t t y y y =++1)21(的满足初始条件20=y 的解． 解：（1）归纳法证明． （2）令 t t y u 1=，即t t u y 1=，111++=t t u y ， 则原方程化为线性差分方程 b au cu t t =-+1， 其一般解为 a c ≠时， ac bcaC u tt -+=)( ； a c =时， b C u t +=． （3）令 tt y u 1=，原方程化为 21=-+t t u u ，一般解为 2+=C u t ， 所以原方程的一般解为 t t u y 1=21+=C ，代入 20=y ，得 23-=C ， 所以 特解为 2=t y ．。
高数b一到六章测试题及答案
高数b一到六章测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 曲线y=x^2-4x+5在点(2,1)处的切线斜率是（）。
A. -4B. -2C. 0D. 2答案：B3. 以下哪个选项是函数y=x^2+3x-4的极值点（）。
A. x=-3B. x=-1C. x=1D. x=2答案：C4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. xe^x + CC. e^x/x + CD. ln|x| + C答案：A5. 以下哪个选项是函数y=x^3-3x^2+2的拐点（）。
A. x=0B. x=1C. x=2D. x=-1答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2-4x+5的最小值是________。
答案：12. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。
答案：(0, +∞)3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是________。
答案：x=1, x=24. 函数f(x)=x^2-4x+4的图像关于________对称。
答案：x=25. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的泰勒展开式是________。
答案：f(x) = x^3 - 3x三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2-2x+1)dx。
答案：(1/3x^3 - x^2 + x)|_0^1 = 12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0得x=1或x=3，f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点，f''(3)=6>0，所以x=3是极小值点。
四、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极小值。
高数下册第7、8、9章
练习题第八章 空间解析几何与向量代数（一）. 向量a，b的运算1.设{}1,3,1-=a ，{}1,1,2-=b ，则与向量a ，b同时垂直的向量为（ ）．A . {}7,3,2-；B . {}7,3,2-； C. {}7,3,2--； D. {}7,3,2.2．设{}1,3,2-=a，{}3,1,1-=b ，则⨯-)(a b =a （ ）.A . {}1,5,8--; B . {}1,5,8-;C. {}1,5,8-; D. {}1,5,8--.3．设a ，b ，c为非零向量，则下列结论中一定正确的是（ ）．A . 若c a b a ⋅=⋅，则c b =；B . 若c a b a⨯=⨯，则c b =；C. a b b a ⋅=⋅；D. a b b a ⨯=⨯.（二）. 平面与直线4．(1)直线过点)3,2,0(-，且与平面014=++-z y x 垂直，则该直线的方程是(2)平面过点)2,0,1(-，且与直线331241-+=+=+z y x 垂直，则该平面的方程是 （3）设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x l 及平面0324:=-+-z y x π，则直线l 与π的关系5．(1)设曲面3222-+=y x z 上点P 处的切平面平行于平面0742=+++z y x ，则点P 的坐标是(2)设曲面222y x z -=上点P 处的法线于垂直平面0142=-+-z y x ，则点P 的坐标是A. 平行于πB. 在π上C. 垂直于πD. 与π斜交第九章 多元函数微分学（一）. 求一、二阶偏导数6.x y y x z sin sin 33+=，则yx z ∂∂∂2= , =dz .（二）. 求隐函数的全微分（提示：公式法，移项化为(,,)0F x y z =，计算,,x y z F F F 。
）11．设xy e z z=+，求dz 和yx z ∂∂∂2．解13.),(y x z z =由)(z y x z ϕ+=（0)(1≠'-z y ϕ，ϕ可导）所确定，求,z z x y∂∂∂∂ 解：14.设方程0),(2222=--y z x z f 确定了函数),(y x z z =,其中f 有连续偏导数，证明1=∂∂+∂∂yzy z x z x z ． 证明：（三）. 二元函数的极值点15．二元函数22242),(y x y x y x f ---=的驻点是（ ）.A .)1,1(--; B. )1,1(-; C. )1,1(-; D. )1,1(16．设0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则（ ）．A . 二元函数),(y x f 在),(00y x 处连续； B. 二元函数),(y x f 在),(00y x 处的全微分为零； C . ),(00y x 为二元函数),(y x f 的极值点；D.),(00y x 为二元函数),(y x f 的驻点．17．若xy z =，则下列结论中错误的是（ ）．A . 二元函数xy z =在)0,0(处连续； B. 0)0,0(=x f ，0)0,0(=y f ； C . 0)0,0(=dz ；D.)0,0(为二元函数),(y x f 的极值点．18．设二元函数),(y x f 可微，若),(00y x f 为),(y x f 的极值，则（ ）．A . ),(00y x f 必为),(0y x f 的极值；B. ),(00y x f 必为),(0y x f 的极值；C . 0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ；D. 以上结论都是正确的．* 某厂要用铁板做一个体积为2m 3的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?第十章 重积分（一）. 交换二次积分的积分次序（直角坐标）19.将二次积分换序：⎰⎰y y dx y x f dy 2),(10= ．20.改变二次积分的积分次序：⎰⎰=10),(y ydx y x f dy （ ）． A.⎰⎰x x dy y x f dx 2),(10; B. ⎰⎰201),(x dy y x f dx ; C.⎰⎰110),(xdy y x f dx ; D. ⎰⎰xdy y x f dx 01),(.21.设),(y x f 为连续函数，则=⎰⎰x dy y x f dx 010),(（ ）． A. ⎰⎰y dx y x f dy 010),(; B.⎰⎰110),(ydx y x f dy ;C.⎰⎰ydx y x f dy 110),(; D.⎰⎰110),(dx y x f dy .22.改变二次积分的积分次序：⎰⎰1102),(x dy y x f dx （ ）． A.⎰⎰1002),(y dx y x f dy ; B. ⎰⎰110),(ydx y x f dy ;C.⎰⎰1102),(y dx y x f dy ; D. ⎰⎰ydx y x f dy 010),(（二）. 二重积分的计算（利用性质，利用对称性，直角坐标，极坐标） 23.设D ：122≤+y x ，),(y x f 在D 上连续，且 σd y x f xy y x f D⎰⎰-+=),(1),(，则=⎰⎰σd y x f D),(24.设D ：20,10≤≤≤≤y x ，),(y x f 在D 上连续，且 σd y x f xy y x f D⎰⎰+=),(),(，则=),(y x f ．25.设Ω：10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x ，则=⎰⎰⎰Ωdv z xy 3121 ．26.设D ：10,10≤≤≤≤y x ，则=+⎰⎰σd eyx D．（三）. 三重积分的计算（柱面坐标，截面法）注：在用高斯公式计算第二类曲面积分中用到。
高等数学教材第七章答案
高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。
根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。
1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。
解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。
2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第九
§9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质知识拓展1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4 B．6 C．8 D．12答案 B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是() A．y2＝±22x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±42x答案 D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝±42x.故选D.2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义及应用典例设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程典例 (2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x . 命题点2 抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 因为⎝⎛⎭⎫p 2，0在抛物线内部， 所以直线与抛物线必有两交点． 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p 4，即A ⎝⎛⎭⎫p 4，2，代入抛物线方程，得p22＝2， ∵p >0，∴p ＝2.故选D.(2)(2017·郑州二模)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.题型三 直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16. 因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2， 则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练 (2018届武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p.同理y BN ＝x 2p x －x 222p .又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎨⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x222p ，解得N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， S △ABN ＝12·|AB |·d＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14m .[2分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0，得m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝⎛⎭⎫1m ，y P ，∴Q ⎝⎛⎭⎫1m ，1m ，[8分] 得QA →＝⎝⎛⎭⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎫x 2－1m ，mx 22－1m . 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 1－1m ·⎝⎛⎭⎫x 2－1m ＋⎝⎛⎭⎫mx 21－1m ⎝⎛⎭⎫mx 22－1m ＝0，[10分] 结合(*)式化简得－4m 2－6m＋4＝0， 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，－12∉⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析 分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.2．(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 答案 B解析 由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43，∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.3．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2017·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎨⎧ x 0＋p2＝2x 0，S△OAF ＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎨⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝⎛⎭⎫p 2，4p ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上， ∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B. 5．(2017·汕头一模)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 设B (x 1，y 1)，因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，所以1|x x y '＝＝x 1＝1，则B ⎝⎛⎭⎫1，12， 因为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以直线l 的方程为y ＝12， 故|AF |＝|BF |＝1.6．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．(2017·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M (x M ，y M )． 根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .8．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________． 答案 6解析 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32， 当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫－32，33， 因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33， 可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33， 根据抛物线的定义可知|PF |＝|P A |＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6.9．(2017·江西九校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________. 答案 2 3解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形，因此不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 3，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而p 23－p 24＝1，又p >0，所以p ＝2 3.10．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 由题意知，方程必有两个不等实根． 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率必存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．13．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为( ) A ．2－55 B ．25－1 C ．1－2121D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PM |取最小值20，此时|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2， 所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为(25－1)·cos ∠PMO ＝2－55. 14．(2017·安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝⎛⎭⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________． 答案 2解析 将P ⎝⎛⎭⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.15．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( )A.33 B ．1 C.233D ．2答案 A解析 过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120° ＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，∴⎝⎛⎭⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，∴|MN ||AB |的最大值为33.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________． 答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，则有－23<y0<2 3.因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，故r2＝y20＋4<12＋4＝16.又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。
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高数B 第七-九章测试题参考答案
一、填空题（每题3分，共30分）.
1. 设22(,)f x y x y x y -+=-，则),(y x f =xy .
2. 在xoz 坐标面上的曲线 22z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程:2222z x y =+.
3. 球面222
4x y z ++=与平面1x z +=的交线在yoz 面上的投影曲线的方程: 2222300y z z x ⎧+--=⎨=⎩.
4. 过点0(2,3,1)M -且通过y 轴的平面方程为20x z -=.
5. 直线111235
x y z ---==与平面230x y z -+=的关系:直线在平面上. 6. 过球面2226215x y z x y ++-+=上点(3,3,3)P 处的切平面方程是43210y z +-=.
7. 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a = -5 .
8. 设21sin()0(,)00x y xy xy
f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
, 则(0,1)x f '= 1 . 9. 向径OA u u u r 与三个坐标轴的正向均构成相等的锐角，设夹角均为α，则cos α
=
. 10
．极限11
x y →→
二、计算题：（每小题6分，共60分）
1. 求微分方程222()ydx x x y dy =-满足初始条件(1)1y =的特解.
解：22
(1)ydx y x dy =-, 2211y dx dy x y -= 所以方程的通解是：211ln 2y y C x -=-+ 由(1)1y =得12C =-
，故所求解为2111ln 22y y x -=-- 2．设2343x
y y y x e -'''++= （1）求出该方程所对应的齐次方程的通解
（2）写出该非齐次方程的特解*y （仅设出*y ，不必求出*
y ）
解：（1） 特征方程为2430r r ++= 特征根为121,3r r =-=- 故求出所对应的齐次方程的通解为312x x y C e
C e --=+ （2）2343x y y y x e -'''++=的特解为*23()x y x ax bx c e -=++
3
．求(1,a =-的模、方向余弦和方向角. 解：模2,a =
方向余弦1
1(,)22-， 方向角23(,,)343
πππ. 4． 求过点(0,2,4)且与平面20x z +=及310y z -+=平行的直线方程.
解：(1,0,2)(0,1,3)(2,3,1)s =⨯-=-r ,24231
x y z --==-. 5．证明直线210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩
和平面:21x y z ∏+-=平行，并求直线L 到平面∏的的距离. 解：(2,1,0)(3,0,1)(1,2,3)s =⨯=--v
,(1,2,3)(1,2,1)0--⋅-=，//L ∏,取直线上点(1,1,1)--
，d ==6．求723
44
(,)(0,0)lim x y x y x y →+ . 解：1377223344220022y x y x y x y x y ≤≤=→+, 所以 7
2344(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+. 7．证明3
26
(,)(0,0)lim x y xy x y →+不存在. 证明：当点(,) x y
沿曲线y =0，0）时
3
26(,)(0,0)lim x y xy x y →+
=32326261+y x k x k x k x k =→=+，极限值与k 有关，故该极限不存在. 8．设函数,f g 均可微，(,ln ())z f xy x g xy =+，求z z x y x y
∂∂-∂∂. 解：121()z yf f g y x x
∂'''=+⋅+⋅∂，12z xf f g x y ∂'''=+⋅⋅∂,所以 2z z x y f x y ∂∂'-=∂∂. 9．设(,)z z x y =是由方程sin 2z x y z e +-= 所确定,求.dz
解：令(,,)sin 2z F x y z x y z e =+--，则cos ,2,1(1)z z x y z F x F F e e ===--=-+，
因此dz =
cos 211z z x dx dy e e +++. 10． 设0()cos 2()sin 1x
f x x f t tdt x +=+⎰，其中()f x 为可导函数，求()f x .
解：方程
0()cos 2()sin 1x f x x f t tdt x +=+⎰两边求导 ()cos ()sin 2()sin 1f x x f x x f x x '-+=
令()y f x = 得 cos sin 1y x y x '+=, 即 1tan cos y y x x '+=,这是一个一阶线微分方程， tan
tan 211()cos d +C)cos cos xdx xdx y e e dx C x x x x -⎰
⎰=+=⎰⎰( 求解得cos (tan )y x x C =+. 由(0)1y =得1C =，所以()sin cos f x x x =+.
三．（10分）证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,
0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但在此点不可微. 证明：因为2|||2|||2222x xy y x y x y x =≤+，所以)0,0(0lim 222)0,0(),(f y
x y x y x ==+→，即),(y x f 在点)0,0(连续. 000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x
x f x f f x x x 000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00
=∆-=∆-∆+=→∆→∆y y f y f f y y y 081][lim )0,0()0,0(lim 2322200≠=∆+∆∆∆=∆-∆-∆∆=∆→∆∆=∆→∆y x y x y f x f f x y x y x x y x ρ
，故),(y x f 在点)0,0(不可微.。