高中数学人教A版精品教案集：正切函数的性质与图象(1)

教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。

授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
2．正切函数是不是周期函数？
()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫
+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭
且，
∴π是tan ,,2y x x R x k k z π
π⎛
⎫
=∈≠+∈ ⎪⎝
⎭
且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan y x =，x ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-
2,2ππ的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k Z π
π=+∈所隔开的无
穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
； （2）值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+2
ππ，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于
()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan 。

（3）周期性：π=T ；
y
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

5.余切函数y=cotx 的图象及其性质（要求学生了解）：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y ——即将x y tan =的图象，
向左平移2π个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象
定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 值域：R ， 当z k k k x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T
奇偶性：奇函数
单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减 6.讲解范例： 例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-
π 4π，52tan 5
17tan ππ
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-， 又：⎪⎭
⎫
⎝⎛=<
<
2,0tan ,524
0πππ
在x y 内单调递增， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4
tan
即
例2讨论函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=4tan πx y 的性质 略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+
≠∈z k k x R x x ,4|π
π且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+-
4,43ππππk k 上是增函数 图象：可看作是x y tan =的图象向左平移4
π
单位
例3求函数y ＝tan2x 的定义域 解：由2x ≠k π＋
2
π
，(k ∈Z )
得x ≠
2πk ＋4
π
，(k ∈Z ) ∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠
2πk ＋4
π
，k ∈Z ｝ 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0 解：画出y ＝tan x 在(－
2
π
，
2
π
)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：
0＜x ＜
2
π
结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋
2
π
上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋
2
π
)(k ∈Z )
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270° 又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数 ∴tan135°＜tan138° 三、巩固与练习
P ．71．练习2，3，6
求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象
解：（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠2
π
＋ｋπ，ｋ∈Z
即x ≠
4
π
＋
2
π
k ，ｋ∈Z
∴函数y ＝tan2x 的定义域为｛x ∈R ｜，x ≠2
4
π
π
k +
，ｋ∈Z ｝ （2）设ｔ＝2x ，由x ≠
24ππ
k +
，ｋ∈Z ｝知ｔ≠2
π
＋ｋπ，ｋ∈Z
∴y ＝tan ｔ的值域为（－∞，＋∞） 即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）
（3）由tan2（x ＋
2
π
）＝tan （2x ＋π）＝tan2x
∴y ＝tan2x 的周期为
2
π
．
（4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是
},2
,|{Z k k x R x x ∈+
≠∈π
π，所以它的图象被, (2)
3
,2ππ
±±
=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y ＝tan(ωx )，
x ≠
ωπω
π
2+
k (k ∈Z )的周期T ＝ω
π；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的。