福建省福州一中2014届高三5月校质检文科数学试卷 扫描版含答案
14年高考真题——文科数学(福建卷)-推荐下载
：
（D）240 元
x y 7 0
x
y 0
y
3
0
（D） 4OM
。若圆年高考真题文科数学（解析版） 卷
福建
只有一个正确，则100a 10b c 等于________。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
|| P1P2 ||| x1 x2 | | y1 y2 | ，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1, F2 的“ L 距离”之和
等于定值（大于 || F1F2 || ）的点的轨迹可以是（ ）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案写在答题卡相应位置上。
19．（本小题满分 12 分）如图 16 所示，三棱锥 A BCD 中，
M
AB ⊥平面 BCD ， CD ⊥ BD 。⑴求证： CD ⊥平面 ABD ；⑵若
AB BD CD 1 ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体 B
D
积。 20．（本小题满分 12 分）根据世行 2013 年新标准，人均
17．（本小题满分 12 分）在等比数列an中， a2 = 3 ， a5 = 81 。⑴求 an ；⑵设
bn log3 an ，求数列bn的前 n 项和 Sn 。
18．（本小题满分 12 分）已知函数 f x 2 cos x sin x cos x。⑴求 f 5 4的值；
福建
2014 年高考真题文科数学（解析版） 卷
下列函数正确的是（ ）
9．要制作一个容积为 4 m3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每
平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )
2014年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q = （ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A【解析】{|34}P Q x x ≤ ＝＜，故选A ． （2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（ ）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ． （3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2 （D ）1【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ⨯=，宽1，∴212S ππ=⨯=，故选A ． （4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则输出2n =，故选B ．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ）（A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥（C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ∃∈+∞，3000x x +<，故选C ．（6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=⨯-，即30x y -+=，故选D ．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）（A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象关于点(),02k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，当1k =-时，点为π(,0)2-，故选D ．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】由题中图象可知log 31a =，所以3a =．A 选项，133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R 上单调递减，故A 不正确．B 选项，3y x =为幂函数，图象正确．C 选项，()33y x x =-=-，其图象和B 选项中3y x =的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，()3log y x =-，其图象与3log y x =的图象关于y 轴对称，故D选项不正确，故选B ．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 【答案】C【解析】设容器的底长x 米，宽y 米，则4xy =．所以4y x=，则总造价为：()()80420211080202080f x xy x y x x x x ⎛⎫=++⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞． 所以()20160f x ≥⨯=，当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C ．（10）【2014年福建，文10，5分】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）（A ）OM （B ）2OM （C ）3OM （D ）4OM【答案】D【解析】因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM += ，2OB OD OM +=，所以4OA OB OC OD OM +++=，故选D ．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩．若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（ ）（A ）5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 【答案】C【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以1b =，所以圆心在直线1y =上，求得与直线30x y -+=，70x y +-=的两交点坐标分别为()2,1A -，()6,1B ，所以[]2,6a ∈-．所以[]22211,37a b a +=+∈，所以22a b +的最大值为37，故选C ．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于 12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】不妨设()1,0F a -，()2,0F a ，其中0a >，点(),P x y 是其轨迹上的点，P 到1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值b （大于12||||F F )，所以x a y x a y b +++-+=，即2x a x a y b -+++=．当x a <-，0y ≥时，上式可化为2b y x －=；当a x a -≤≤，0y ≥时，上式可化为2by =a -； 当x a >，0y ≥时，上式可化为2b x+y =；当x a <-，0y <时，上式可化为2bx+y =-；当a x a -≤≤，0y <时，上式可化为2b y a =-；当x a >，0y <时，上式可化为2bx y =-，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ． 【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形，所以0.18S 阴影＝．故答案为0.18． （14）【2014年福建，文14，5分】在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC =AB = ．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以1c =，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是 ．【答案】2【解析】当0x ≤时，令()220f x x =-=，得x =x =．当0x >时，()26ln f x x x =-+，()12+0f x x'=>．所以()f x 单调递增，当0x →时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于 ． 【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a ≠，2b ≠，0c =，此种情况不成立； （2）当②成立时，则2a =，2b =，0c =，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a =，2b ≠，0c ≠，即2a =，0b =，1c =， 所以1001010021001201a b c ++=⨯+⨯+=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=．（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． （18）【2014年福建，文18，12分】已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+．（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：（1）55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，故周期T π=．由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈．因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．解：（1）因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故A B C D ⊥．又CD BD ⊥，AB BD B = ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ．（2）由AB ⊥平面BCD ，得A B B D ⊥．因1AB BD ==，故12ABD S ∆=．因M 是AD 中点，故124ABD ABM S S ∆∆==． 由（1）知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积1312ABM A MBC C ABM S h V V ∆--⋅===．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616GDP 如下表．（1（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为：()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a a⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E {}{}{},,,,,,B C B D B E{}{}{},,,,,C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =． （21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =- 的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ．以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ．试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合） 时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =． （2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =．由'12y x =得切线l 的斜率012k x =， 故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-．由200420y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r =00||3||24x MN x =+，||AB ==所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．（22）【2014年福建，文22，14分】已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有x x ce <． 解：（1）由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =．故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-．令()0f x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所 以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln 22ln 4f =-，()f x 无极大值．（2）令()2x g x e x =-，则由（1）得()()()2ln 22ln 40x g x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增．又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，由（2）知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤．取00x =，当()0,x x ∈+∞时，恒有2xx ce <；②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立，即要()2ln 2ln ln x kx x k>=+ 成立．令()2ln ln h x x x k =--，则()21h x x=-．所以当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞单增．取01616x k =>，故()h x 在()0,x +∞单增．又()()()()0162ln 16ln 8ln 23ln 50h x k k k k k k k =--=-+-+>，即存在016x c=，当()0,x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上得证．。
2014-2015年福州市第一学期高三期末文科数学质量检查
第4题图福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差s =x 为样本平均数.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． lg3lg 2+的值是（ ）．A ．3lg 2B ．lg 5C ．lg 6D ．lg 92． 在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ）．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称3． 已知集合{}A x x =≤1．若B A ⊆，则集合B 可以是（ ）．A ．{}2x x ≤B ．{}1x x >C ．{}0x x ≤D ．R4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29D ．365． “0,0a b >>”是“2b aa b+≥”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6． 若ABC ∆中60B =︒，点D 为BC 边中点，且2AD =,120ADC ∠=︒，则ABC ∆的面积等于（ ）．A ．2B ．3CD ．7． 甲、乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图分别是这两人命中环数的直方图，若他们的成绩平均数分别为1x 和2x ，成绩的标准差分别为1s 和2s ，则（ ）．A ．12x x =，12s s >B ．12x x =，12s s <C ．12x x >，12s s =D ．12x x <，12s s = 8． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30 B ．0.35 C ．0.40 D ．0.65 9． 已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为（ ）．A ．1+B ．3C ．3+D ．6+10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为（ ）． A ．2015B ．2013C ．1008D ．100711．已知平面内,A B 两点的坐标分别为()2,2,()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1BP =，则OA OP +的最小值是（ ）．A ．3B ．1C D ．012．已知函数()ln xf x x=，有下列四个命题： 1p ：0x +∀∈R ,x +∀∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭； 2p ：0x ∃∈+R ,x +∃∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭； 3p ：0x +∀∈R ,x +∃∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'<；4p ：0x ∃∈+R ,x +∀∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'>．其中的真命题是（ ）． A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p第II 卷（非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上．13．已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ∆边界及内部（如图阴影部分）的任意一点，则2z x y =-的最小值为 ★★★ ．14．若函数()3213f x mx x m =+-在1x =处取得极值，则实数m 的值是 ★★★ ．15．如图所示，1OA =，在以O 为圆心，以OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则AOB ∆的面积小于14的概率为 ★★★ ．16．已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sin ,sin ,sin αβγ； ②222sin ,sin ,sin αβγ；③222cos,cos ,cos 222αβγ； ④tan,tan,tan222αβγ．分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ★★ ★ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，1a ,2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：的性别有关”？第15题图附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++19已知抛物线()11,A x y ,(2,B x （Ⅱ）从1x 并予以证明．20函数()f x =（Ⅰ）若04m <≤，求函数()g m 的解析式； （Ⅱ）定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h >，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数π()2sin 4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点.（Ⅰ）求证：OPQ ∆为等腰直角三角形.（Ⅱ）将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得到OP Q ''∆，若点P '恰好落在曲线2y x=()0x >上（如图所示），试判断点Q '是否也落在曲线2y x=()0x >上，并说明理由．22． （本小题满分14分）已知函数()()e cos ,sin x f x x g x x x =⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()f x g x m +≥恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）试探究当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=解的个数，并说明理由．第21题图福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．13．3- 14．2- 15．1316．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根为1,2，由题意得11a =,22a =． ·························· 2分 设数列{}n a 的公差为d ，则211d a a =-=， ··································································· 4分 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ··············································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1111111n n a a n n n n +==-++， ···························································· 8分 所以12231111...n n n S a a a a a a +=++111111...2231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭····························· 10分 1111nn n =-=++． ··························································· 12分 18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战． 这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ································································ 2分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种. ························································································································· 4分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==. ···················································· 6分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C , (),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， ······························································· 7分 根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为：k ()()()()()()2210045152515251.796040703014n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯． ······················ 10分 （说明：k 表示成2K 不扣分）．因为1.79 2.706<，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ···················································································································· 12分 19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，点F 的坐标为()1,0． ··································································· 2分 点F 到直线y x =的距离d =································································· 4分 所以所求圆的方程为()22112x y -+=．··········································································· 6分（Ⅱ）解答一：12,2,y y 成等比数列，（或21,2,y y 成等比数列）理由如下： ·········· 7分设直线l 的方程为1x my =+． ························································································· 8分 由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得，2440y my --=． ································································· 10分所以124y y =-，即2122y y ⋅=， ·················································································· 11分所以12,2,y y 成等比数列（或21,2,y y 成等比数列）． ·············································· 12分 解答二：12,1,x x 成等比数列，（或21,1,x x 成等比数列）理由如下： ······························· 7分 设直线l 的方程为1x my =+． ························································································· 8分 由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 得，()222410x m x -++=． ······················································· 10分 所以21211x x ==， ··········································································································· 11分所以12,1,x x 成等比数列（或21,1,x x 成等比数列）． ························································ 12分 20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等． 解：（Ⅰ）因为()()20f x x mx m =->，所以()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ························ 2分所以()f x 在区间[]0,2上的最小值记为()g m ，所以当04m <≤时，022m <≤，故()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ····································· 4分（Ⅱ）当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-； ·························································································· 5分 结合（Ⅰ）可知，()2,04,442, 4.m m g m m m ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ··································································· 6分因为0x >时，()()h x g x =，所以0x >时，()2,04,442, 4.x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ···························· 7分易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减， ········································································ 8分因为定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以()()4h t h >，所以04t <<， ············································································ 10分 所以0,||4,t t ≠⎧⎨<⎩即044t t ≠⎧⎨-<<⎩，从而404t t -<<<<或0． 综上所述，所求的实数t 的取值范围为()()4,00,4-． ·································· 12分 21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解：（Ⅰ）因为函数()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期2π8π4T ==， ·································· 1分 所以函数()f x 的半周期为4，故4OQ =． ······················································································································ 2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为()22,，故OP = ·········································································· 3分 又因为Q 坐标为(4,0)，所以PQ =所以222OP PQ OQ +=且OP PQ =，所以OPQ ∆为等腰直角三角形. ··················· 5分 （Ⅱ）点Q '不落在曲线2y x=()0x >上. ········································································ 6分 理由如下：由（Ⅰ）知，OP =4OQ =所以点P ',Q '的坐标分别为44αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ···· 8分因为点P '在曲线2y x =()0x >上，所以π28cos sin 4sin 24cos 2442ααααππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1cos22α=，又02απ<<，所以sin 2α= ··························································· 10分又4cos 4sin 8sin 282ααα⋅===. 所以点Q '不落在曲线2y x=()0x >上． ········································································ 12分22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，()00e cos01f ==， ···································································· 1分()()e cos e sin ,01x x f x x x f ''=-=． ················································································ 2分 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． ········································· 3分 （Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min [()()]m f x g x -≤． ············································· 4分设()()()h x f x g x =-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， ··········································· 5分所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， ································································· 6分 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ··············································· 7分所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ······················································ 8分（Ⅲ）设()()()H x f x g x =-，ππ[,]22x ∈-．①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，由（Ⅱ）知，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又()010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭ππ，而且函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ····················································· 10分②当π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f x g x >恒成立．证明如下：设π()e ,[0,]4x x x x ϕ=-∈，则()e 10x x '=-ϕ≥，所以()x ϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()(0)1x ϕϕ>=，所以e 0x x >>，又π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0x x >≥，所以e cos sin x x x x ⋅>，即()()f x g x >．故函数()H x 在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上没有零点． ··············································································· 12分③当ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的， 因此，函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有一个零点．综上所述，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=有两个解． ······································· 14分。
2014福建省福州一中高三文科数学专题复习选择题训练(六)参考答案
2014福建省福州一中高三文科数学专题复习选择题训练（六）（ 训练时间：40分钟 总分：50分）参 考 答 案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CCADBCBBBB解 析1、集合； (1,),(,1M N =-+∞=-∞,故M N (1,1)=-,选(C).2、复数；211121212(12)(12)12i i z i i i ++===-+-+＝1255i + 【答案】C3、平面向量；答案 A4、三角函数；222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.5、函数； 由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.6、立体几何； 答案: C7、新信息题；答案： B.8、数列；设公比为q ,由已知得()2841112a q a q a q ⋅=,即22q =,因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =,故2122a a q ===,选B9、概率与统计。
由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人. 答案B.10、算法；身高在160～180cm(含160cm ，不含180cm)的学生人数为4567A A A A +++,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).文章来源：福州五佳教育网(中小学直线提分，就上福州五佳教育)。
福建省福州一中2014届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
福州一中2013—2014学年第二学期开学初试卷高三数学文科 试卷一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的）1. 设1i z =-（i 是虚数单位），则复数23i z+的实部是 ( )A ．32 B C ．12- D ．123. 已知函数322()3(1)1(0)f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是(0, 4), 则m =( )A. 3B. 13C. 2D. 12【答案】B【解析】5. 如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 ( ) A． 85，84 B． 84，85C． 86，84 D． 84，86图16. 在△ABC 中，BC=1，∠B=3π,△ABC 的面积S=3，则sinC= （ ）A.1313 B.53C.54D.133927. 若函数tan ,0()2(1)1,0x x f x a x x π⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在(,)2π-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A.(0,1]B.(0,1)C.[1,)+∞D. (0,)+∞8. 将函数sin 2y x =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为 ( )A.sin(2)14y x π=-+ B.22cos y x = C.22sin y x = D.cos 2y x =-【答案】C 【解析】10. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是(012)am a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在用16m 长的篱笆， 借助墙角围成一个矩形的共圃ABCD ，设此矩形花圃的面积为Sm 2，S 的最大值为()f a ，若将这棵树围在花圃中，则函数()u f a =的图象大致是（ ）的图像是递减的，故选C.考点：1.阅读理解清题意.2.二次函数的最值问题.3.含参数的最值的求法.11. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F F =，直线1PF与圆222x y a +=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A.32 B.43 C.53D. 212. 已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =； ③()sin cos f x x x =+；④2()1xf x x x =++； ⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ ）A ．①②④B ．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤考点：1.新定义的问题.2.不等式恒成立问题.3.函数的最值.4.假命题的证明方法.5.特值法的思想.二．填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）13. 已知4sin ,(,0)52x x π=-∈-，则tan 2x = .15. 已知实数,x y满足约束条件2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则x yzx+=的最小值是____________.16. 对于集合},,,{21n a a a A = (n ∈N*，n ≥3)，定义集合{|,1i j S x x a a i ==+≤}j n <≤，记集合S 中的元素个数为S(A).（1）若集合A ＝{1，2，3，4}，则S(A)＝______.（2）若a 1，a 2，…，a n 是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ _____ (用含n 的代数式表示).三. 解答题: (本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：2414a a +=，770S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设248n n S b n+=，数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值．18. （本小题满分12分）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点为()0,1， 它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()()0,022,2.x x π+-和 （I ）求()f x 的解析式及0x 的值；（II ）若锐角θ满足()1cos 43f θθ=，求的值.【答案】（I ）1()2sin()26f x x π=+，024()3x k k z ππ=+∈；（II19. （本小题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（Ⅰ）求甲赢且编号和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】（I ）15；（II ）不公平.理由参考解析【解析】试题分析：（I ）因为游戏规则是编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，20. （本小题满分12分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面,ABCD F 是DC 的中点，2AE EP =.（Ⅰ）试判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，并予以证明；（Ⅱ）若四棱锥P ABCD -体积为83， CD =，2PC BC ==，求证：平面BDE PBC ⊥面.21. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1 F2B2是一个面积为8的正方形.(I)求椭圆C的方程;(II)已知点P 的坐标为P(－4,0), 过P 点的直线L 与椭圆C 相交于M 、N 两点,当线段MN 的中点G 落在正方形内(包含边界)时,求直线L 的斜率的取值范围.【答案】（I ）22184x y +=；（II ）11[,]22-22. (本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+的图像在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10.(I)求实数a 的值;(II)判断方程()2f x x =根的个数,并证明你的结论;(III)探究: 是否存在这样的点(,())A t f t ,使得曲线()y f x 在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A 的坐标;若不存在,说明理由.部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.考点：1.函数求导.2.函数与方程的根的关系.3.构建新函数的思想.4.正确理解题意建立函数解题的思想.5.分类猜想等数学思想.。
福建省福州市2014届高三5月综合练习文科数学试卷(带解析)
福建省福州市2014届高三5月综合练习文科数学试卷（带解析）1．设集合A={x|x 2－(a+3)x+3a=0},B={x|x 2－5x+4=0},集合A ∪B 中所有元素之和为8,则实数a 的取值集合为( )A.{0}B.{0,3}C.{1,3,4}D.{0,1,3,4} 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得{1,4}B =，当3a =时{3}A =所以{1,3,4}A B =，所以符合集合A ∪B 中所有元素之和为8，当1a =时{1,3,4}A B =符合题意.当4a =时{1,3,4}A B =符合题意.当3,1,4a ≠时{1,3,4,}AB a =.所以1340,0a a +++=∴=.故选D.考点：1.集合的概念.2.集合的运算.2．抛物线y=2x 2的准线方程为( ) A.14y =-B.18y =-C.12x =D.14x =- 【答案】B【解析】试题分析：依题意可得抛物线可化为212x y =，所以准线的方程为18y =-.故选B. 考点：抛物线的性质 3．已知a ∈R,且a≠0,则"11"<a是“a>1”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：由111,0,0a a a a -<∴<∴<或1a >.所以"11"<a是“a>1”的必要不充分条件.故选B考点：1.分式不等式的解法.2.充要条件. 4．函数y=ln(x+1)与1y x=的图像交点的横坐标所在区间为( ) A.(0,1） B.(1,2） C.(2,3） D.(3,4） 【答案】B 【解析】试题分析：依题意令1()ln(1)f x x x =+-，(1,0)(0,)x ∈-+∞.函数y=ln(x+1)与1y x=的图像交点的横坐标所在区间等价于函数的()f x 的图象与x 轴的交点的所在的范围.依据零点定理，因为1(1)ln 21,(2)ln 302f f =-<=->，即(1)(2)0f f <.故选B. 考点：1.函数零点问题.2.等价变换的数学思想.3.函数与方程的关系. 5．执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为158,则判断框内应填入的条件是( ) A.k<3 B.k>3 C.k<4 D.k>4【答案】C 【解析】试题分析：依题意可得1,1k p ==时得到3,22p k ==；再进入循环得到7,34p k ==；再进入循环15,38p k ==.即退出循环所以4k <.故选C 考点：1.程序框图.2.递推的数学思想. 6．某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )【答案】C 【解析】 试题分析：由于销售量逐渐下降,所以图象呈下降趋势；公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增，所以图象以更陡的向上走向；五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升，即图象有向上的趋势；十一月份之后,销售量有所回落，所以图象向下的趋势.故选C.考点：1.函数的图象.2.实际问题的应用.7．函数)36sin(2ππ-=xy (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为( ).A.32-B.0C.－1D.31-- 【答案】A 【解析】试题分析：由(0≤x≤9)，可得73636x ππππ-≤-≤，所以函数)36sin(2ππ-=xy ，min max 2y y ==所以最大值与最小值的和为32-.故选A.考点：1.三角函数的性质.2.三角函数的图象.8．如图,半径为R 的圆C 中,已知弦AB 的长为5,则AC AB ⋅=( )A.25 B.225 C.25R D.225R 【答案】B 【解析】试题分析：连结BC ，由余弦定理可得22255cos 252R R A R R +-==⨯，所以25cos 2AB AC AB AC A ⋅==.故选B. 考点：1.向量的数量积.2.三角形的余弦定理.9．已知直线a,b 异面, ,给出以下命题：①一定存在平行于a 的平面α使α⊥b ;②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α;③一定存在平行于a 的平面α使b α⊂;④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点.则其中论断正确的是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④ 【答案】D 【解析】试题分析：若直线,a b 不是异面垂直则不可能存在平行于a 的平面α使α⊥b ，所以①不正确；②③④正确；故选D.考点：1.线面平行的位置关系.2.异面直线的概念.10．已知P(x,y)为椭圆22:12516x y C +=上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )125D.1【答案】A【解析】试题分析：由椭圆上任一点P(x,y)满足0M P M F⋅=的点M是唯一的.由于222P F P M F M=+，要求PM的最小值又1FM=，即需求PF的最小值，由题意可知椭圆上的点到焦点距离最短距离为a c-.即为2.所以||PM故选A.考点：1.椭圆的性质.2. 数形结合的思想.3.等价转换的思想.11．在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).A.a、c、b 成等比数列B.a、c、b 成等差数列C.a、b、c 成等差数列D.a、b、c成等比数列【答案】D【解析】试题分析：由cos cos()B A C=-+,2cos212sinB B=-.所以cos2B+cosB+cos(A－C)=1可化为22sin sin sin,B AC b ac=∴=.所以,,a b c成等比数列.故选D.考点：1.三角函数的恒等变换.2.正弦定理.3.方程中的消元思想.12．已知(),()f xg x都是定义在R上的函数，()0g x≠,()'()'()()f xg x f x g x>,且()()xf x ag x=（01a a>≠且）,(1)(1)5(1)(1)2f fg g-+=-,对于数列(){}()f ng n(n=1,2, ,10),任取正整数k(1≤k≤10),则其前k项和大于1516的概率是( ).A.310B.25C.12D.35【答案】D【解析】试题分析：由()0g x≠，且2()'()()()'()[]'0()[()]f x f xg x f x g xg x g x-=<.所以函数()()f xg x在R上递减.又由于()()xf x ag x=（01a a>≠且）.所以()()xf xag x=递减，即可得01a<<.由(1)(1)5(1)(1)2f fg g-+=-可得151,,222a a aa+===（舍去）.所以(){}()f ng n是一个首项为12，公比为12的等比数列，由等比数列求和公式即可得到当5n≥是符合条件即和大于1516的概率为63105=.故选D. 考点：1.函数导数的运算.2.数列的求和公式.3.概率问题.13．一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下(]10,20,2;(]20,30,3;(]30,40,4;(]40,50,5;(]50,60,4;(]60,70,2.则样本在(]10,50上的频率是 ．【答案】710【解析】试题分析：依题意(]10,50的频率数为14.所以样本在(]10,50上的频率是1472010P ==. 考点：1.统计知识.2.概率问题.14．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f (其中R ∈x ,0>ω,πϕπ<<-)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是 .【答案】 【解析】试题分析：由题意可得,,24612T T πππω=+=∴=.又()212f π-=即可解得23πϕ=.所以函数f(x)的解析式是2()2sin(2)3f x x π=+. 考点：1.三角函数的图象.2.待定系数的思想.3.三角方程的解法.15． 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .【答案】12【解析】试题分析：该几何体是类似墙角的三棱锥，假设一条直角的棱长为x ，则三条直角棱长分别为x 所以体积为1162V ===.当且仅当x =.考点：1.三视图.2.函数最值问题.3.空间想象能力.16．已知32()69,,f x x x x abc a b c =-+-<<且()()()0f a f b f c ===,现给出如下结论：①0)1()0(>⋅f f ;②0)1()0(<⋅f f ;③0)3()0(>⋅f f ;④;0)3()0(<⋅f f ; ⑤()f x 的极值为1和3.其中正确命题的序号为 . 【答案】②③ 【解析】试题分析：依题意可得函数'()3(1)(3)f x x x =--.令'()0,1,3f x x x =∴==.所以函数()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上递增，在(1,3)递减，又()()()0f a f b f c ===，所以(1)0,(3)0f f ><.又(0)f abc =-.由32()69()()()f x x x x abc x a x b x c =-+-=---可得，69a b c ab ac bc ++=⎧⎨++=⎩.所以229()9(6)69(3)0ab c a b c c c c c =-+=--=-+=->（3c >）.又因为1,0b a >∴>.所以(0)0f abc =-<.所以②③正确. 若()f x 的极值为1和3，则可得(1)41(3)3f abc f abc =-=⎧⎨=-=⎩.即3abc =-与0abc >矛盾，所以不成立.所以正确的选项是②③. 考点：1.函数的极值.2.函数与方程的根的问题.3.反证的数学思想.4.函数的单调性的应用.17．已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：123232222n n nb b b b a =+++⋅⋅⋅+(n 为正整数）求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =- ；（2）226n n S +=-【解析】试题分析：（1）由362755,16a a a a =+=，根据等差数列的性质将27a a +换成36a a +再解方程组即可得到36,a a .即可得到通项公式.（2）由（1）可得数列{}n a 的通项公式，根据已知条件即可求出1b .当2n ≥时利用递推一项即可得到数列{}n b 的通项公式，由此得到一个分段的数列{}n b .再根据2n ≥时求出前n 项和，再验证n=1是否成立，即可得到结论.（1）{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=..2,115,0,16,55636363=⎩⎨⎧==>⎩⎨⎧=+=∴d a a d a a a a 故又公差21n a n =- 4分（2）n ≥2时,2,12,2,2)32(1221111=====---=+b a b b n n b n n nn 又 ∴⎩⎨⎧≥==+2,21,21n n b n n 8分 n ≥2时,S n =(4+8+ +2n+1)－2=62221)21(42-=---+n n n=1时也符合,故S n =2n+2－6 12分考点：1.等差数列的性质.2.递推的数学思想.3.等比数列的性质.4.分类的思想. 18．如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．【答案】参考解析 【解析】试题分析：假设角AMN 的值为θ，由三角形AMN 中角NAM 为060.由正弦定理可得到AM 的表达式，在三角形AMP 中利用余弦定理表示出AP 的值，由角θ的取值范围，再根据三角函数的单调性知识即可得到结论.本小题用了五种解法分别从三角，坐标系，圆等方面入手.解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN ︒＝()sin 120AMθ︒-．因为MN ＝2,所以AM sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM·MP·cos∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θsin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos (2θθ＋120°)＋4＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203 ＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60︒时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分 在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θθcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163·12cos 22θ-＋3θ＋4＝3sin2θ－83cos2θ＋203 ＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值 此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分解法三：设AM ＝x,AN ＝y,∠AMN ＝α. 在△AMN 中,因为MN ＝2,∠MAN ＝60°,所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM·AN·cos∠MAN,即x 2＋y 2－2xycos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4. 2分 因为sin 60MN ︒＝sin AN α,即2sin 60︒＝sin yα,所以sin αy,cos α＝22422x y x +-⨯⨯＝()224x x xy x+-＝24x y -. 4分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos αα＝12·24x y -y ＝24x y -. 6分在△AMP 中,AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM·PM·cos∠AMP, 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×24x y -＝x 2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy. 10分 因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy,即xy≤4.所以AP 2≤12,即当且仅当x ＝y ＝2时,AP 取得最大值答：设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系.设M(x 1,0),N(x 22),P(x 0,y 0).∵MN ＝2, ∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4. 2分MN 的中点K(122x x +2)．∵△MNP 为正三角形,且MN ＝2,∴PK ⊥MN,∴PK 2＝(x 0－122x x +)2＋(y 02)2＝3,k MN ·k PK ＝－1,即212x x -·021222y x x x x +-＝－1, 4分 ∴y 020－122x x +),∴(y 02)2＝()212223x x x - (x 0－122x x +)2 ∴(1＋()212223x x x -)(x 0－122x x +)2＝3,即2243x (x 0－122x x +)2＝3,∴(x 0－122x x +)2＝94x 22． ∵x 0－122x x +＞0 ∴x 0－122x x +＝32x 2,∴x 0＝12x 1＋2x 2,∴y 0x 1． 6分 ∴AP 2＝x 02＋y 02＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 12＝x 12＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12, 10分 即答：设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法五(几何法)：由运动的相对性,可使△PMN 不动,点A 在运动.由于∠MAN ＝60°,∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上, 4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R. 6分 在△AMN 中,由正弦定理知：sin 60MN︒＝2R, ∴R分 ∴FM ＝FN ＝R又PM ＝PN,∴PF 是线段MN 的垂直平分线. APMNBCFE设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13． 即FEPE∴PF∴AP 的最大值为PF ＋R ＝答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分 考点：1.解三角形的知识.2.正余弦定理.3.坐标法解题思想等.19．把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b .试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩(※）解答下列问题：（1）求方程组没有解的概率;（2）求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率.. 【答案】（1）112 ；（2）112【解析】试题分析：（1）由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩没解，即相对应的两条直线平行，所以可求得,a b 的关系式，再列举,a b 的符合情况的个数，由于总的基本事件的个数为36.即可得结论.（2）由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解为坐标的点落在第四象，即将解出该方程组的解，由方程组的解对应一个点，根据点落在第四象限的坐标特点，即可得到,a b 的关系式，从而列举符合,a b 关系的情况的个数.再根据古典概型的概念得到结论. （1）由题意知,总的样本空间有36组 1分 方法1：若方程没有解,则12a b=,即2b a = 3分 (方法2：带入消元得(2)32b a y a -=-,因为320a -≠,所以当 2b a =时方程组无解) 所以符合条件的数组为(1,2),(2,4),(3,6), 4分 所以313612p ==,故方程组没有解的概率为1125分 （2）由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩得26023202b x b aa yb a -⎧=>⎪⎪-⎨-⎪=<⎪-⎩6分若2b a >,则有332b a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 即2,3,4,5,6,4,5,6a b ==符合条件的数组有(2,5),(2,6)共有2个 8分若2b a <,则有332b a <⎧⎪⎨<⎪⎩ 即1,2,1b a ==符合条件的数组有(1,1)共1个 10分∴所以概率为1213612p +== , 即点P 落在第四象限且P 的坐标满足方程组(※)的概率为112. 12分 考点：1.两直线的位置关系.2.古典概型.3.列举归纳的数学思想. 20．已知正△ABC 的边长为a , CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B,如图所示. （1）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;（2）若棱锥E-DFC 的体积为243,求a 的值;（3）在线段AC 上是否存在一点P,使BP ⊥DF ？如果存在,求出AC AP的值;如果不存在,请说明理由.【答案】（1）平行； （2）2a =； （3）存在AP ：AC=1：3 【解析】试题分析：（1）由于E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，所以在翻折后的三角形ABC 中，AB EF .由线面平行的判定定理可得结论.（2）由棱锥E-DFC 的体积为243，因为△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ，并且AD ⊥平面BCD ，即由三棱锥的体积公式，即可求出结论. （3）在线段AC 上是否存在一点P,使BP ⊥DF,即转化为直线与平面垂直的问题，假设存在点P 作PK DC ⊥,k 为垂足，连结BK 即可得到直线DF ⊥平面BPK ，所以可得DF BK ⊥.通过三角形的相似即可得到所求的结论. (1)AB//平面DEF,如图.在△ABC 中,∵E,F 分别是AC,BC 的中点,故EF//AB, 又AB ⊄平面DEF,∴AB//平面DEF, 4分(2)∵AD ⊥CD,BD ⊥CD, 将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B∴AD ⊥BD,AD ⊥平面BCD,取CD 中点M,则EM//AD,∴EM ⊥平面BCD,且EM=a/22431634312=⨯⨯=a a V ,a=2. 8分 (3)存在满足条件的点P.做法：因为三角形BDF 为正三角形,过B 做BK ⊥DF,延长BK 交DC 于K,过K 做KP//DA,交AC 于P.则点P 即为所求. 证明：∵AD ⊥平面BCD , KP//DA,∴PK ⊥平面BCD,PK ⊥DF,又 BK ⊥DF,PK ∩BK=K,∴DF ⊥平面PKB,DF ⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2. 故AP ：OC=1：2,AP ：AC=1：3 12分考点：1.图形的翻折.2.线面间的位置关系.3.开放性题的等价变换.4.空间想象力.21．已知焦点在y 轴,顶点在原点的抛物线C 1经过点P(2,2),以C 1上一点C 2为圆心的圆过定点A(0,1),记N M 、为圆2C 与x 轴的两个交点. (1)求抛物线1C 的方程;(2)当圆心2C 在抛物线上运动时,试判断MN 是否为一定值？请证明你的结论; (3)当圆心2C 在抛物线上运动时,记m AM =,n AN =,求mnn m +的最大值．【答案】(1）x 2=2y ；(2)定值2；(3）【解析】试题分析：(1)由焦点在y 轴,顶点在原点的抛物线假设为22(0)x py p =>，又C 1经过点P(2,2)，即可求出抛物线的p .即可得抛物线的方程.(2）当圆心2C 在抛物线上运动时，写出圆2C 的方程，再令y=0即可求得圆的方程与x 轴的两交点的坐标，计算两坐标的差即可得到结论.(3）当圆心2C 在抛物线上运动时，由(1)可得M,N 的坐标（其中用圆心2C 的坐标表示）.根据两点的距离公式即可用圆心2C 的坐标表示m,n 的值，将mnn m +适当变形，再根据基本不等式即可求得mnn m +的最大值. (1)由已知,设抛物线方程为x 2=2py,22=2p ×2,解得p=1.所求抛物线C 1的方程为x 2=2y.-------3分(2)法1：设圆心C 2(a,a 2/2),则圆C 2的半径r=222)12(-+a a圆C 2的方程为222222)12()2()(-+=-+-a a a y a x . 令y=0,得x 2－2ax+a 2－1=0,得x 1=a －1,x 2=a+1.|MN|=|x 1－x 2|=2(定值).------7分法2：设圆心C 2(a,b),因为圆过A(0,1),所以半径r=22)1(-+b a ,,因为C 2在抛物线上,a 2=2b,且圆被x 轴截得的弦长|MN|=2122)1(22222222=+-=--+=-b a b b a b r (定值)---7分(3)由(2)知,不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),22202;0,m n m n m n n m mn m n m n a a n m n m ======++====+=≠+=时时,m na n m=+故当且仅当取得最大值 考点：1.抛物线的性质.2.最值问题.3.基本不等式的应用. 22．已知函数()xax b f x e x+=(,,0a b R a ∈>且). （1）若2,1a b ==,求函数()f x 的极值; （2）设()(1)()xg x a x e f x =--．① 当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立,求b 的最大值; ② 设()()g x g x '为的导函数.若存在1x >,使()()0g x g x '+=成立,求ba的取值范围. 【答案】（1）参考解析； （2）①－1－e －1，②(－1,+∞) 【解析】试题分析：（1）由函数()xax b f x e x+=(,,0a b R a ∈>且)，且2,1a b ==，所以对函数()f x 求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立，即)(0,x ∈+∞时，(2)1x be x x--≥恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x 2－2x －x x e 在x ∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x 2－2x －x x e (x ＞0)的最小值即可得到结论.②若存在1x >,使()()0g x g x '+=.通过表示'()g x 即可得到b a ＝322321x x x --，所以求出函数u(x)＝322321x x x -- (x ＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a ＝2,b ＝1时,f (x)＝(2＋1x)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞). 所以f ′(x)＝()()2121x x x+-e x. 2分令f ′(x)＝0,得x 1＝－1,x 2＝1,列表由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e －1,f (x)的极小值是f (12)＝分 （2）① 因为g (x)＝(ax －a)e x－f (x)＝(ax －b x－2a)e x, 当a ＝1时,g (x)＝(x －b x－2)e x. 因为g (x)≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立, 所以b≤x 2－2x －xxe 在x ∈(0,＋∞)上恒成立． 7分 记h(x)＝x 2－2x －x x e (x ＞0),则h′(x)＝()()121xxx e e-+. 当0＜x ＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x ＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min ＝h(1)＝－1－e －1;所以b 的最大值为－1－e －1. 9分 解法二：因为g (x)＝(ax －a)e x－f (x)＝(ax －b x－2a)e x, 当a ＝1时,g (x)＝(x －b x－2)e x. 因为g (x)≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立， 所以g(2)＝－2b e 2＞0,因此b ＜0. 5分g′(x)＝(1＋2b x )e x ＋(x －b x －2)e x＝()()221x x x b e x --．因为b ＜0,所以：当0＜x ＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x ＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min ＝g(1)＝(－1－b)e －17分 因为g (x)≥1在x ∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e －1≥1,解得b≤－1－e －1因此b 的最大值为－1－e －1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax －b x －2a)e x ,所以g ′(x)＝(2b x ＋ax －b x －a)e x. 由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax －b x －2a)e x ＋(2b x＋ax －b x －a)e x＝0,整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.存在x ＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． 11分因为a ＞0,所以b a ＝322321x x x --.设u(x)＝322321x x x --(x ＞1),则u′(x)＝()2233841621x x x ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-． 因为x ＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以b a ＞－1,即ba的取值范围为(－1,＋∞). 14分 解法二：因为g (x)＝(ax －b x －2a)e x ,所以g ′(x)＝(2b x ＋ax －b x －a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax －b x －2a)e x ＋(2b x＋ax －b x －a)e x＝0,整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.存在x ＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立. 11分设u(x)＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b(x≥1)u′(x)＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax(x －1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0 此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a －b因为存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立 所以只要－a －b ＜0即可,此时－1＜ba≤0 12分 当b ＞0时,令x 0＝34a a34a a+32＞1,得u(x 0)＝b ＞0,又u(1)＝－a －b ＜0于是u(x)＝0,在(1,x 0)上必有零点 即存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立,此时ba＞0 13分综上有ba的取值范围为(－1,+∞)------14分考点：1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.。
2014年高考真题——文科数学(福建卷)+精校版
2014年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ）}{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2..2.1A B C D ππ4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x xB x x xC x x xD x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）()()()()...2.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4A OM B OM C OM D OM11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）二、填空题13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则10010________a b c ++等于 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.如图，三棱锥A BCD -中，,ABBCD CD BD ⊥⊥平面.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅰ）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率. 21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N 。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学文
15.(4 分)函数 f(x)=
2
的零点个数是
.
解析：当 x≤0 时，由 f(x)=0 得 x -2=0，解得 x= 或 x= (舍去)， 当 x＞0 时，由 f(x)=0 得 2x-6+lnx=0，即 lnx=6-2x， 作出函数 y=lnx 和 y=6-2x 在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有 1 个零点，
sin(2x+ ≤2kπ+
)+1，故它的最小正周期为 ，k∈Z，求得 kπ，kπ+ ]，k∈Z.
≤x≤kπ+
故函数的单调递增区间为[kπ-
19.(12 分)如图，三棱锥 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD.
(Ⅰ)求证：CD⊥平面 ABD； (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积. 解析：(Ⅰ)证明 CD⊥平面 ABD，只需证明 AB⊥CD； (Ⅱ)利用转换底面，VA-MBC=VC-ABM= S△ABM•CD，即可求出三棱锥 A-MBC 的体积. 答案：(Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD，∴AB⊥CD， ∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面 ABD； (Ⅱ)∵AB⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，∴AB⊥BD. ∵AB=BD=1，∴S△ABD= ， ∵M 为 AD 中点，∴S△ABM= S△ABD= ，
圆心为(a，b)，半径为 1 2 2 2 ∵圆心 C∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，∴b=1，则 a +b =a +1， 2 2 ∴要使 a +b 的取得最大值，则只需 a 最大即可， 由图象可知当圆心 C 位于 B 点时，a 取值最大， 由 37， 答案：C 12.在平面直角坐标系中，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L-距离”定义为 |P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1， F2 的“L-距离”之和等于定值 (大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( ) ，解得 ，即 B(6，1)，∴当 a=6，b=1 时，a +b =36+1=37，即最大值为
2014年福建高考文科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
2014年福建高考文科数学试题逐题详解（纯word解析版）一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分【2014年福建卷（文01）】若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A． {x|3≤x＜4} B． {x|3＜x＜4} C． {x|2≤x＜3} D． {x|2≤x≤3}【答案】A【解析】∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}【2014年福建卷（文02）】复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C． 2﹣3i D． 2+3i【答案】B【解析】（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i【2014年福建卷（文03）】以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A． 2π B．πC． 2 D． 1【答案】A【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π【2014年福建卷（文04）】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B【解析】由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2【2014年福建卷（文05）】命题“∀x ∈[0，+∞），x3+x ≥0”的否定是（ ）A ． ∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ＜0B ． ∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ≥0C ． ∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0＜0D ． ∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0≥0【答案】C【解析】∵命题“∀x ∈[0，+∞），x 3+x ≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0＜0【2014年福建卷（文06）】已知直线l 过圆x2+（y ﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l 的方程是（ ）A ． x+y ﹣2=0B ． x ﹣y+2=0C ． x+y ﹣3=0D ． x ﹣y+3=0【答案】D【解析】由题意可得所求直线l 经过点（0，3），斜率为1，故l 的方程是 y ﹣3=x ﹣0，即x ﹣y+3=0【2014年福建卷（文07）】将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A ． y=f （x ）是奇函数B ． y=f （x ）的周期为πC ． y=f （x ）的图象关于直线x=2π对称D ． y=f （x ）的图象关于点（﹣2π，0）对称【答案】D【解析】将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得y=sin （x+）=cosx ．即f （x ）=cosx ． ∴f （x ）是周期为2π的偶函数，选项A ，B 错误；∵cos =cos （﹣）=0，∴y=f （x ）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称【2014年福建卷（文08）】若函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log a 3=1，解得a=3，对于A ，由于y=a ﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A 错；对于B ，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的 性质对应，故B 正确；对于C ，由于a=3，所以y=（﹣x ）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C 错；对于D ，由于y=log a （﹣x ）与y=log a x 的图象关于y 轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D 错【2014年福建卷（文09）】要制作一个容积为4m3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）A ． 80元B ． 120元C ．160元 D ． 240元【答案】C【解析】设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，则∵长方形容器的容器为4m 3，高为1m ，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b ）]=20（a+b ）+80，∵a+b ≥2=4，∴当a=b=2时，y 取最小值160，即该容器的最低总造价是160元【2014年福建卷（文10）】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（ ）A ．B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∵O 为任意一点，不妨把A 点看成O 点，则=， ∵M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，∴=2=4故选：D【2014年福建卷（文11）】已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a2+b2的最大值为（ ）A ． 5B ． 29C ． 37D ． 49 【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C【2014年福建卷（文12）】在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分【2014年福建卷（文13）】如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18 ．【答案】0.18【解析】正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18【2014年福建卷（文14）】在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 1【答案】1【解析】∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1【2014年福建卷（文15）】函数f（x）=的零点个数是 2【答案】2【解析】当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2【2014年福建卷（文16）】已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201【答案】201【解析】由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201三．解答题：本大题共6小题，共74分.【2014年福建卷（文07）】在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，由b n﹣b n﹣1=n﹣（n﹣1）=1，可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．【2014年福建卷（文18）】已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【2014年福建卷（文19）】如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM•CD=【2014年福建卷（文20）】根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP（单位：美元）A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000E 20% 10000（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率【2014年福建卷（文21）】已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，∴曲线Γ的方程为：x2=4y．（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，设P（x0，y0）（x0≠0）则y0=，由y得切线l的斜率k==∴切线l的方程为：，即．由得，由得，又N（0，3），所以圆心C（），半径r==∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变【2014年福建卷（文22）】已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x。
2014年高考福建文科数学试题及答案(精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ）A.}43|{<≤x xB. }43|{<<x xC. }32|{<≤x xD. }32|{≤≤x x 2. 复数()32i i +等于 （ ）A. i 32--B. i 32+-C. i 32-D. i 32+ 3. 以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A. π2B. πC. 2D. 14. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ） A. 0),,0(3<+∞+∈∀x x x B. 0),,0(3≥+∞+∈∀x x x C. 0),,0[0300<+∞+∈∃x x x D. 0),,0[0300≥+∞+∈∃x x x6. 已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）A. 02=-+y xB. 02=+-y xC. 03=-+y xD. 03=+-y x7. 将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）A. )(x f y =是奇函数B. )(x f y =的周期是πC. )(x f y =的图象关于直线2π=x 对称D. )(x f y =的图象关于点)0,2(π-对称8. 若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9. 要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）A. OMB. OM 2C. OM 3D. OM 4 11. 已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ） A. 5 B. 29 C. 37 D. 49 12. 在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212.PP x x y y =-=-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,FF 的“L -距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （）二、填空题 （本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上） 13. 如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________ 14. 在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15. 函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的；零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个正确，则________10100=++c b a三．解答题：（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ； （2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035~4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085~12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均（1）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y=-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有xx ce <2014年高考福建卷数学（文科）答案一．选择题A B A B C D D B C D C A二、填空题13. 0.18 14. 1 15. 2 16. 201 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17.解： (1) 设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩， 因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==. 18. 解法一：（1）5555()2cos(sin cos )4444f ππππ=+ 2cos (sin cos )444πππ=---2=（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==.由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++)14x π=++（1）511()112444f πππ=+=+=（2）22T ππ==由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 19. 解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥.又∵CD BD ⊥，AB BD B =，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥.∵1AB BD ==，∴12ABD S ∆=. ∵M 是AD 的中点，∴1124ABM ABD S S ∆∆==.由（1）知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C-ABM 的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积11312A MBC C ABM ABM V V S h --∆==∙=. 解法二：（1）同解法一.（2）由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD 平面BCD=BD ，如图，过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N.则MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==， 又,1CD BD BD CD ⊥==，∴12BCD S ∆=.∴三棱锥A MBC -的体积1113312A MBC A BCD M BCD BCD BCD V V V AB S MN S ---∆∆=-=∙-∙=.20.解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a aa⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为6400[4085,12616)∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准.（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A C A D A E B C B D {,},{,},{,},{,}B E C D C E D E 共10个， 设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{,},{,},{,}A C A E C E ，共3个，所以所求概率为3()10P M =. 21.解：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =，由'12y x =，得切线l 的斜率 0'012x x k y x ===， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-. 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +.又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径00113||||24r MN x x ==+，||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则|(3)|2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，1y =+， 化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.22. 解法一：（1）由()xf x e ax =-，得'()xf x e a =-. 又'(0)11f a =-=-，得2a =.所以()2xf x e x =-，'()2xf x e =-. 令'()0f x =，得ln 2x =. 当ln 2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln 2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增.所以当ln 2x =时，()f x 有极小值，且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4f e =-=-，()f x 无极大值.（2）令2()xg x e x =-，则'()2xg x e x =-.由（1）得，'()()(ln 2)2ln 40g x f x f =≥=->，即'()0g x >.所以()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>， 所以当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <. （3）对任意给定的正数c ，取01x c=， 由（2）知，当0x >时，2x x e <.所以当0x x >时，21x e x x c>>，即x x ce <. 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.解法二：（1）同解法一. （2）同解法一.（3）令1(0)k k c=>，要使不等式x x ce <成立，只要x e kx >成立. 而要使x e kx >成立，则只需ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立. ①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >≥+成立. 即对任意[1,)c ∈+∞，取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则'11()1x h x x x-=-=，所以当1x >时，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞内单调递增. 取04x k =，0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-， 易知ln k k >，ln 2k >，所以0()0h x >.因此对任意(0,1)c ∈，取04x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.解法三：（1）同解法一. （2）同解法一. （3）①若1c ≥，取00x =，由（2）的证明过程知，2x e x >，所以当0(,)x x ∈+∞时，有2x x ce e x x ≥>>，即x x ce <. ②若01c <<，令()xh x ce x =-，则'()1xh x ce =-， 令'()0h x =得1ln x c=. 当1lnx c >时，'()0h x >，()h x 单调递增. 取022ln x c=，22ln0222()2ln2(ln )ch x cec c c=-=-， 易知22ln 0c c->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增， 所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即x x ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <. 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。