高二数学1.2充分条件与必要条件,第2课时,充要条件及其证明
1.2.2《充要条件》课件
充要 条件; ⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________
既不充分也不必要 ⑷如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____________________
条件.
2、用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空
⑴若p:∣2x－3∣≤5, q: -1≤x≤4,则p是q的（ ）条件.
原命题、逆命题都为假.
从集合的角度理解四种关系 设p、q对应的集合分别为P、Q.
(1)若p是q的充分不必要条件， 则P Q (2)若p是q的必要不充分条件, 则P Q 1)
Q P
2)
P
Q
(3)若p是q的充要条件， 则P=Q
(4)若p是q的既不充分也不必要条件,则P Q且P Q 3 )
q: x >4.
练习3：指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.
q，所以P是q的充分不必要条件； 由于P
（2） p：两条直线平行；q：内错角相等. 由于P q，所以P是q的充要条件； （3） p：a>b；q：a2>b2
q，所以P是q的既不充分也不必要条件； 由于P
q: 函数是奇函数. ④p:函数 f ( x) 满足 f (0) 0
p不是q的充分条件
p不是q的必要条件
1.充要条件:
定义:一般地,如果既有 p q ,又有 q p 我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件， 记作:
pq
说明： （1）符号“ ”称为等价符号， 与“当且仅当”含义相同. （2）若 p q，则p与q互为充要条件.
q，所以P是q的必要不充分条件。 由于P
高二数学 充分,必要,充要条件课件
充分、必要、充要条件
回 顾
p、q分别表示某条件
1 ）p q--则称条件p是条件q 的充分条件 2 ）q p--则称条件p是条件q 的必要条件
回 顾
p、q分别表示某条件
1 ）p q且q p
则称条件p是条件q的充分不必要条件
2 ）p q且q p
则称条件p是条件q的必要不充分条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1）若A B且B A，则称p是q的充分不必要条件 2）若A B且B A，则称p是q的必要不充分条件
1) B 2) A A B
3）若A B且B A ，则称p是q的既充分也不必要条件 4）若A B且B A，既A=B，则称p是q的充要条件
A B A =B
3 )
4 )
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0， 则பைடு நூலகம்p是┐q的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
3 ）p q且q p
则称条件p是条件q的充要条件
4 ）p q且q p
则称条件p是条件q的既充分也不必要条件
例:下列各题中, p是q的什么条件? 1) p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
充要条件
2) p：整数a是６的倍数， q： 整数a是２和３的倍数. 充要条件
1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0
高中数学 1-2-2 充要条件课件 新人教A版选修2-1
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点； 二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于 0，故选A.
答案：A
3．集合M∩N＝N是M∪N＝M的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：M∩N＝N⇔N⊆M⇔M∪N＝M.
[解] 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图 如图1所示．
图1
(1)由图易知，s⇒r⇒q，且 q⇒s，∴s 是 q 的充 要条件．
(2)∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r 是 q 的充要条件．
(3)∵q⇒s⇒r⇒p，而 p⇒/ q，∴p 是 q 的必要不
充分条件．
迁移体验2 设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙 的必要条件，丙是乙的充分条件但不是必要条件，那 么( )
Δ>0， 则x1＋x2>0， x1·x2>0，
－m2－4m2－4>0， 即－－m>0， m2－4>0，
解得－ m>403，3<m<4 3 3， m>2或m<－2.
所以
4 2<m< 3
3 .
因此关于 x 的二次方程 x2－mx＋m2－4＝0 有
两个不相等的正实根的充要条件是
4 2<m< 3
3 .
第一章 常用逻辑用语
1．2 充分条Байду номын сангаас与必要条件
1．2.2 充要条件
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.会判断一个命题的充要条件； 2．会求一个命题的充要条件； 3．会证明p是q的充要条件.
新知视界 1．充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件，显 然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
1.2.3充分条件、必要条件第2课时充要条件(新教材教师用书)
1.2.3充分条件、必要条件第2课时充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性.【情境导学】(教师独具内容)已知p：三角形的三条边都相等．q：三角形是等边三角形．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．【知识导学】知识点一充分不必要条件一般地，如果□01p⇒q且□02q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．知识点二必要不充分条件如果□01p⇒/q且□02q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．知识点三充要条件(1)□01p⇒q且□02q⇒p，则称p是q的□03充分必要条件(简称为充要条件)，记作□04 p⇔q.(2)当p是q的充要条件时，q也是p的□05充要条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立□06当且仅当q成立”，或“p与q□07等价”．(4)□08定义有关，一个数学对象的□09定义实际上给出了这个对象的一个充要条件．【新知拓展】1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)符号“⇔”具有传递性．()(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．()(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是___________________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案(1)x＝1或x＝2(2)充要(3)2题型一充要条件的概念及判断方法例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[解](1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[题型探究]已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.金版点睛判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q 的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．[跟踪训练1]指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ； (2)p ：⎩⎨⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a >0且b >0，q ：a ＋b >0且ab >0.解 (1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎨⎧ α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎨⎧ α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎨⎧α>2，β>2. 如：α＝1，β＝5满足⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a >0且b >0⇒a ＋b >0且ab >0，并且由a ＋b >0且ab >0⇒a >0且b >0，所以p 是q 的充要条件.题型二 充要条件的证明例2 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． [证明] ①充分性： ∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0，即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0.∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2≠0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件．[题型探究] 已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明 因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1， 即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0， a 4－(b 2＋1)2＝0， (a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件． 金版点睛充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．[跟踪训练2] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， ∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca <0，∴ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 题型三 探求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a .(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，a ≤1，1a <0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，a ≤1，－2a <0，1a>0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[跟踪训练3] 已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．解 方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎨⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，k 2＋(2k －1)＋1>0，－(2k －1)－2>0⇔k <－2.所以使方程有两个大于1的实数根的充要条件是k<－2.1．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：A B，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件答案D解析由A∪B＝B，得A B或A＝B；反之，由A B，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．2．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之x＋y>2 ⇒/x>1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以q⇒/p．因此p是q的充分不必要条件．故选A.3．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________．答案 a <0解析 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.证明 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0.所以1x <1y 的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy <0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －x xy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0.A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是() A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1答案A解析函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是－m2×1＝1，即m＝－2.故选A.2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．故选B.3．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．故选B.4．已知a，b是实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析“a<0且b<0”可以推出“a＋b<0且ab>0”，反之也是成立的．故选C.5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；可从集合的角度考虑得出A⇒/D．故选B.二、填空题6．下列命题中是真命题的是________(填序号)．①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；③“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．答案②④解析①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac<0，a<0，所以“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．7．“x >0成立”是“|x |＝x 成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案 充分不必要解析 因为|x |＝x ⇒x ≥0，{x |x >0}{x |x ≥0}，由此可知“x >0成立”是“|x |＝x 成立”的充分不必要条件．8．“方程x 2－2x －a ＝0无实根”的充要条件是_______．答案 a <－1解析 方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根．故“方程x 2－2x －a ＝0无实根”的充要条件是a <－1.三、解答题9．证明：ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.证明 ①充分性：由a ＋b ＋c ＝0得a ＝－b －c ，代入ax 2＋bx ＋c ＝0，得(－b －c )x 2＋bx ＋c ＝0，即(1－x )(bx ＋cx ＋c )＝0.∴ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.②必要性：由ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，把它代入方程即有a ＋b ＋c ＝0.综上可知，ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.10．已知p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p 是q 的什么条件？解 设x 1，x 2是方程mx 2－2x ＋3＝0的两个根，则方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0，Δ＝4－4×3×m >0，⇔0<m <13，x 1x 2＝3m >0，因此，p 是q 的充要条件．B 级：“四能”提升训练1．求方程x 2＋kx ＋1＝0与x 2＋x ＋k ＝0有一个公共实根的充要条件．解 ⎩⎨⎧ x 2＋kx ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0⇔⎩⎨⎧ x 2－(x 2＋x )x ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0 ⇔⎩⎨⎧ 1－x 3＝0，x 2＋x ＋k ＝0⇔⎩⎨⎧ x ＝1，k ＝－2.所以两方程有一个公共实根的充要条件为k ＝－2.2．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当xy >0，即x >0，y >0或x <0，y <0时．又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ＝－(x ＋y )，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．。
北师大版数学高二课件 1.2.3充要条件
2.3 充要条件
学习目标
1.了解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 充要条件的概念
思考 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什 么条件？q是p的什么条件？ 答案 因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件； 同理，q是p的充分条件，也是必要条件.
解答
反思与感悟 首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的 包含关系，然后构建满足条件的不等式(组)求解.同时要注意命题的等 价性的应用.
跟踪训练4
已知p：x≥k，q：
3 x＋1
<1，如果p是q的充分不必要条件，
则k的取值范围是
A.[2，＋∞)
√B.(2，＋∞)
C.[1，＋∞)
D.(－∞，－1]
跟踪训练3 求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是 b＝0.
证明
类型三 充分条件与必要条件的应用 例4 已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条 件，求m的取值范围. 解 由 3x＋m<0 得，x<－m3 .∴p：A＝x|x<－m3 . 由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3. ∴q：B＝{x|x<－1或x>3}. ∵p⇒q 而 q⇏p，∴A 是 B 的真子集，∴－m3 ≤－1， ∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞).
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； 解 ∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， a＋b＝0⇏a2＋b2＝0， ∴p是q的充分不必要条件.
充分条件与必要条件 课件
1.从逻辑关系和集合关系上看充分条件、必要条件和充要条件
的意义
剖析:(1)从逻辑关系上看:
条件 p 与结论 q 的关系
p⇒q
p⇒q,但 q p
q⇒p
q⇒p,但 p q
p⇒q,q⇒p,即 p⇔q
p q,且 q p
结论
p 是 q 成立的充分条件
p 是 q 成立的充分不必要条件
p 是 q 成立的必要条件
(2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须
且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语
言,对理解和把握数学知识十分重要.
充分条件、必要条件和充要条件的判断
【例 1】 “m<
1
”是“关于的一元二次方程2 +
4
0 有实数解”的(
要条件.
正解:一次函数
-
限,即 1
< 0,
> 0,
y=−
1
+ 的图象同时经过第一、二、四象
得m>0,n>0.
由题意可得,m>0,n>0 可以推出选项条件,而反之不成立,所以选
D.
答案:D
2
2
2
2
3
4
+ 2 > 0.
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
易错辨析
易错点 混淆充分性与必要性致错
【例 4】 一次函数 y=−
高二数学选修1、1-2充分条件与必要条件
人 教 A 版 数 学
第一章
常用逻辑用语
若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件
人 教 A 版 数 学
若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件
人 教 A 版 数 学
论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，
则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
第一章
常用逻辑用语
4．充要条件的传递性
若A⇒B，B⇒C，C⇒D，则A⇒D，即A是D的充分条件， 利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系． 5．充要条件的证明 证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，
( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
)
[答案] A
第一章
常用逻辑用语
[解析]
本题考查充分、必要条件的概念以及解不等
|x|－3>0， 1 式的能力． log2(|x|－3)>0 等价于 p： 即 3<|x|<4. |x|－3<1，
所以－4<x<－3 或 3<x<4. 5 1 q：x －6x＋ 6>0，即 6x2 －5x＋1>0 即(2x－1)(3x－
2
人 教 A 版 数 学
1 1 1)>0，所以 x> 或 x< ，故 p⇒q 但 q⇒/ p，所以 p 是 q 的 2 3 充分而不必要条件．故选 A
第一章
常用逻辑用语
[点评] 1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”
人教版A版高中数学高二版选修1-1 1.2如何理解充分条件、必要条件、充要条件
如何理解充分条件、必要条件、充要条件一、充分条件一般地，如果A 成立，那么B 成立，就称A 是B 成立的充分条件。
用符号表示，若A ⇒B ，则称A 是B 成立的充分条件。
注：１．A 是B 成立的充分条件就是说，为使B 成立只要具备条件A 就足够了。
２．如果条件A 能保证结论B 成立，就是条件A 对于结论B 的成立是充分的。
３．条件A 是B 成立的充分条件，即若A 成立，则B 成立。
但是A 不成立时，B 未必不成立。
例如：若1=x 时，1=2x 成立，而1≠x ，1=2x 也可能成立（如1-=x ）由此可看出：命题的条件和结论的因果关系的特征是：有其因必有其果，无其因未必无其果。
４．判断A 是否为B 的充分条件，就要看从A 能否推出B 。
换言之看命题“若A 成立，则B 成立”是否成立。
若命题是真命题，A 就是B 成立的充分条件。
二、必要条件一般地，如果B 成立，那么A 成立，即B ⇒A 或者如果A 不成立，那么B 就不成立，就称A 是B 成立的必要条件。
注： １．A 是B 成立的必要条件也就是说要使B 成立就必须A 成立。
即只有A 成立，B 才成立。
２．因为B ⇒A 和B A ⌝⌝⇒是等价的，所以A 是B 成立的必要条件，可理解为如果A 不成立，那么B 就不成立。
即如果没有条件A 就没有结论B ，那么说A 对B 成立是必要的。
３．B A ⌝⌝⇒是A ⇒B 的否命题，因此只要说明了原命题的否命题是成立的，就说明原命题的条件对结论是必要的。
４．条件A 是B 的必要条件，但是A 成立时未必B 成立。
例如“22=y x 是y x =”的必要条件，有22=y x 不一定得到y x =，因此原命题“若22=y x 则y x =”中，条件和结论的因果关系的特征是：有其因未必有其果，无其因必无其果。
５．判断A 是不是B 的必要条件，就要看命题“若A 不成立则B 不成立”，是否是真命题，若是真命题，则A 是B 的必要条件。
湘教版高中数学《充分条件和必要条件》课件
一 充分条件和必要条件
例 4 试证： (1)在实数范围内，x=1是x2=1的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件． 证明 (1)x=1⟹ x2=1，则x=1是x2=1的充分条件；由于(－1)2=1，故x2=1⇏x=1， 则x=1不是x2=1的必要条件．因此，x=1是x2=1的充分而不必要条件． (2)记p：四边形的两组对边分别相等，q：四边形为矩形． q⟹p，则p是q的必要条件；由于平行四边形的两组对边分别相等，p⇏q，则p 不是q的充分条件．因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不 充分条件．
一 充分条件和必要条件
例 5 下面列出直角三角形的6条性质： ①两锐角之和等于直角； ②有且只有一条边是最长边； ③有一条边上的中线等于此条边的一半； ④有一边的平方等于另两边的平方之和； ⑤有一条边上的高分此边所成两线段的积等于此高的平方； ⑥有一条边是三角形外接圆的直径． 试指出哪些性质是三角形为直角三角形的充要条件． 解 以上除②之外，其余5条都是三角形为直角三角形的充要条件．
ax2+4x－3=0没有正的实根”也不是“a<0”的必要条件． 命题(6)为真命题； 故“a=b”是“a2=b2”的充分条件，“a2=b2”是“a=b”的必要条件．
一 充分条件和必要条件
如果既有p⟹q，又有q⟹p，就记作p⟺q．即p既是q的充分条件，又是q的 必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是 p的充分必要条件．
一 充分条件和必要条件
练习
1. 下列命题中，哪些命题是“四边形是矩形”的充分条件？
(1)四边形的对角线相等；
(2)四边形的两组对边分别相等；
(3)四边形有三个内角都为直角；
充分条件与必要条件第二课时
的充分不必要条件)，所以设 A＝{a|a<0}，B＝{a|a<－1}，
复习回顾： ①从命题角度看
充分条件和必要条件的定义: 一般地
（1）如果p q, 且q p, 那么称p是q的
充分必要条件 (充要条件）
充分不必要条件 （2）如果p q, 且q 那么称p是q的 / p, 必要不充分条件 （3）如果p 且q p, 那么称p是q的 / q,
一个
一个
) 至少有
任意的 所有的
否定词 语
至少有 一个也
两个
( 2)
没有 ( 0)
n+1个 ( n 1)
某个
某些
• 证明;如果一个三角形的两边所对的角相等 ，根据等腰三角形的判断定理，这个三角 形是等腰三角形，且这两边是等腰三角形 的两腰，也就说这两边相等。这就证明了 原命题的逆否命题，原命题的逆否命题为 真命题。所以原命题真命题
（必要不充分条件）
3、“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”( A ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[例1]
2. x 4x 5 0 设命题甲为：0<x<5，命题乙为：
那么甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要件 2 [解析] 解不等式 x 4 x 5 0 得－1<x<5， / 0<x<5， ∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5⇒ ∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.
/ p, / q, （4）如果p 且q 那么称p是q的既不充分也不必要条件
引申
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1.2第2课时充要条件及其证明
基础练习：
1、对任意实数,,a b c ，在下列命题中，真命题是（ ）
A 、“a
c b c >”是“a b >”的必要条件 B 、“a c b c =”是“a b =”的必要条件 C 、“a c b c >”是“a b >”的充分条件 D 、“a c b c =”是“a b =”的充分条件
2、若非空集合M N ⊂≠，则“,a M a N ∈∈或”是“a M N ∈ ‘的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 3、αβ>是sin sin αβ>成立的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
4、“22(2)0x y +-=是(2)0x y -=的 条件
5、“3
c o s 22α=-”是“5,12k k z αππ=+∈”的 条件
6、下列四个结论中，正确的序号为 ；
①“24x >”是“38x <-”的必要不充分条件；
②在A B C ∆中，“222AB AC BC +=”是“A B C ∆为直角三角形”的充要条件； ③若,a b R ∈，则“22
0a b +≠”是“,a b 不全为零”的充要条件
巩固练习：
7、设x R ∈，则2x >的一个必要不充分的条件是（ ）
A 、1x >
B 、1x <
C 、3x >
D 、3x <
8、“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
9、设命题甲：x 和y 满足{2403x y xy <+<<<；命题乙：x 和y 满足{0103
x y <<<<，则甲是乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
10、已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，命题:p a b 与无公共点；命
题://
qαβ，则p是q的（）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
11、一个三角形为直角三角形的必要但不充分的条件是（）
A、有两个内角相等
B、有两个内角分别等于0
30和0
90
C、一边上的中线长等于该边长的一半
D、三个内角和等于0
180
12、“
1
2
m=”是“直线(2)310
m x my
+++=与直线(2)(2)30
m x m y
-++-=相互垂直
的条件；
13、设A、B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么A
⌝是B
⌝的条件，B
⌝是A
⌝的条件；
14、如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，则A是D的条件。
15、已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q，r是q的；p是q的。
16、已知0
ab≠，求证：1
a b
+=的充要条件是33220
a b ab a b
++--=
能力提高:
17、已知x、y是非零实数，且x y
>，求证：11
x y
<的充要条件是0
xy>。