高二数学(新课标人教A版)选修2-1《1.2.2充要条件》教案
高二数学人教A版选修2-1课件：1.2.2充要条件
所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，
即直线l与⊙O仅有
O
一个公共点P.
所以直线l与⊙O 相切.
l PQ
（2）必要性（q p）: 若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点P， 则OP ⊥ l. 因此，d = OP = r .
如图所 示 O
l PQ
1.(2013·福建高考)设点 Px, y ,则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上” 的 (A) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0； 充分不必要条件 （3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； 充要条件 （4）p：两直线平行；
q：两直线的斜率相等. 既不充分也不必要条件
例4 已知⊙O 的半径为r，圆心O到 直线l的距离为d.
求证 d = r是直线 l 与⊙O 相切的充要条件.
如图所 示
O
d
l
分析：
设：p：d=r，q：直线l与 O相切. 要证p是q的充要条件，只需分别 证明充分性（p q）和 必要性（q p）即可.
O
l PQ
证明：如图所示.
（1）充分性（p q）：
作OP⊥l于点P则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，
在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.
在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.
你ห้องสมุดไป่ตู้现了什么?
1.掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的 两个命题的充要关系.(重点) 2．能正确判断是充分条件、必要条件还是充要 条件.(难点) 3．培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力. 4．在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
高中数学选修2-1新教学案：1.2.2充要条件
选修2—１ 1.2.2充要条件（学案）【知识要点】1．充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的概念； 2．根据命题判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件．【学习要求】1．理解充要条件的概念；2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）1．若的是则即且q p q p p q q p ⇔⇒⇒, 条件,的也是p q 条件．2．若q q p 但⇒p ，的是则q p 条件．3．若p q 但p q ⇒，的是则q p 条件．4．若p q 且qp ，的是则q p 条件．【基础练习】1．用符号＂⇒＂与＂＂或＂⇐＂填空：（1）若p 的充分条件是q ,则p q ；若p 的必要条件是q ,则p q ． （2）若p 是q 的充分不必要条件；则p q ，q p ． （3）若p 的充分不必要条件是q ；则p q ，q p ． （4）若p 的必要不充分条件是q ；则p q ，q p ．2．下列形如“q p 则若,”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？的是q p 什么条件．（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；（2）若数列{}n a 的通项公式是c c n a n (+=是常数），则数列{}n a 是公差等于１的等差数列；（3）若直线a 与平面α内的两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直． 3．若集合{}4321、、、=P ，{}R x x x Q ∈<<=,50|，则（ ）．（A ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件（B ）“P x ∈”是“Q x ∈”的必要不充分条件 （C ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充要条件（D ）“P x ∈”是“Q x ∈”的既不充分也不必要条件4．甲：21A A 、是互斥事件；乙：21A A 、是对立事件，那么（ ）． （A ）甲是乙的充分不必要条件 （B ）甲是乙的必要不充分条件 （C ）甲是乙的充要条件 （D ）甲是乙的既不充分也不必要条件 【典型例题】例1 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形； （2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0>>y x ，:q 0xy >； （4）:p a b >，:q a c b c +>+．变式练习：下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）43,432+=+=x x q x x p ：：；（2）0)4)(3(,03=--=-x x q x p ：：；（3）)0(0),0(0422≠=++≠≥-a c bx ax q a ac b p ：：有实根； （4）0,012=++=++=c b a q c bx ax x p ：的一个根是方程：；例2 求关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件．变式练习：1.50<<x 是不等式4|2|<-x 成立的（ ）. (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2. 一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）.(A)0<a (B)0>a (C)1-<a (D)1>a3.方程mx 2+2x +1=0有异号两根的充要条件是 ．例3 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d r =是直线l 与 ⊙O 相切的充要条件．变式练习：求证实系数一元二次方程20x px q ++=有两个异号根的充要条件是0.q <1．已知实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列结论中正确的是（ ）． （1）240b ac ∆=->是这个方程有实根的充分不必要条件； （2）240b ac ∆=->是这个方程有实根的必要不充分条件；（3）240b ac ∆=-≥是这个方程有实根的充要条件；（4）240b ac ∆=-=是这个方程有实根的充分不必要条件． （A ）（1）（3） （B ）（3）（4） （C ）（1）（3）（4） （D ）（2）（3）（4） ２．A ⊆B 是A ∪B ＝B 的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件３．“a b >”是“11a b<”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件４．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ）． （A ）－21＜x ＜3 （B ）－21＜x ＜0 （C ）－3＜x ＜21 （D ）－1＜x ＜65.直线1:210l x ay --=与2:210l x ay +-=平行的充要条件是 ．6．给出下述条件：①四边形为等腰梯形．②四边形有两个角等于90º．③四边形有两个内角的和等于180º．④四边形的一个外角等于其内对角．则其中是四边形内接于圆的充分但不必要条件是 ，是四边形内接于圆的必要但不充分条件是 （填写序号）．7.若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的 条件．8.求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一个根为１的充要条件是0=++c b a ．9.已知p ：2x y +≠-；q ：y x ,不都是1-，p 是q 的什么条件？1．（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ２．（2009四川卷文）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件选修２—１ 1.２.２ 充要条件（教案）【教学目标】1．理解充要条件的概念；2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件． 【重点】充要条件【难点】弄清条件p 的充要条件与条件p 的关【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）1．若的是则即且q p q p p q q p ⇔⇒⇒, 充要 条件,的也是p q 充要 条件．2．若q q p 但⇒p ，的是则q p 充分不必要 条件．3．若p q 但p q ⇒，的是则q p 必要不充分 条件．4．若p q 且qp ，的是则q p 既不充分也不必要 条件．【基础练习】1．用符号＂⇒＂与＂＂或＂⇐＂填空：（1）若p 的充分条件是q ,则p ⇐q ；若p 的必要条件是q ,则p ⇒q ．（2）若p 是q 的充分不必要条件；则p ⇒q ，q p ．（3）若p 的充分不必要条件是q ；则pq ，q ⇒p ．（4）若p 的必要不充分条件是q ；则p ⇒q ，q p ．2．下列形如“q p 则若,”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？的是q p 什么条件．（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行； （2）若数列{}n a 的通项公式是c c n a n (+=是常数），则数列{}n a 是公差等于１的等差数列；（3）若直线a 与平面α内的两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直． 解：(1)原命题和它的逆命题都是真命题,所以p 是q 的充要条件； （2）原命题和它的逆命题都是真命题,所以p 是q 的充要条件；(3) 原命题是假命题，逆命题是真命题,所以p 是q 的必要不充分条件；3．若集合{}4321、、、=P ，{}R x x x Q ∈<<=,50|，则（ A ）． （A ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件 （B ）“P x ∈”是“Q x ∈”的必要不充分条件 （C ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充要条件（D ）“P x ∈”是“Q x ∈”的既不充分也不必要条件4．甲：21A A 、是互斥事件；乙：21A A 、是对立事件，那么（ B ）． （A ）甲是乙的充分不必要条件 （B ）甲是乙的必要不充分条件（C ）甲是乙的充要条件 （D ）甲是乙的既不充分也不必要条件 【典型例题】例1下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形； （2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0>>y x ，:q 0xy >； （4）:p a b >，:q a c b c +>+．【审题要津】判断q p 是否是的充要条件，只要判断p q q p ⇒⇒且是否同时成立． 解：在（１）中pq ，在（２）（４）中q p ⇔，在（３）中q p ，所以，（２）（４）中的q p 是的充要条件，（１）（３）中的q p 不是的充要条件．变式练习：下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）43,432+=+=x x q x x p ：：；（2）0)4)(3(,03=--=-x x q x p ：：；（3）)0(0),0(0422≠=++≠≥-a c bx ax q a ac b p ：：有实根； （4）0,012=++=++=c b a q c bx ax x p ：的一个根是方程：； 答案：（1）必要不充分 （2）充分不必要 （3）充要条件 （4）充要条件 例2 求关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件．【审题要津】求“关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件”就是求“关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立”的等价条件.解：“不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立”等价于00004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或变式练习：1.50<<x 是不等式4|2|<-x 成立的（ A ）. (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2. 一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）.(A)0<a(B)0>a (C)1-<a (D)1>a3.方程mx 2+2x +1=0有异号两根的充要条件是0<m ．例3 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d r =是直线l 与 ⊙O 相切的充要条件．【审题要津】设：q r d p ,:=直线l 与⊙O 相切．要证q p 是的充要条件，只需分别证明充分性（q p ⇒）和必要性)(p q ⇒即可．证明：（１）充分性（q p ⇒）：作P l OP 与点⊥，则d OP =．若r d =，则点在P ⊙O 上．在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ .在OPQ Rt ∆中，r OP OQ =>．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ．所以直线l 与⊙O 相切．（２）必要性)(p q ⇒：若直线l 与⊙O 相切，不妨设切点为P ，则l OP ⊥．因此，r OP d ==．【方法总结】证明充要条件要分别证明充分性和必要性，也可以证明q p 的等价条件是．但要注意弄清充分性和必要性分别是哪一个命题．变式练习：求证实系数一元二次方程20x px q ++=有两个异号根的充要条件是0.q < 证明：（1）先证充分性 ∵0.q <∴方程20x px q ++=的240p q ∆=->∴方程20x px q ++=有两个不相等的实根，设其为12x x ，。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《1.2.2充要条件》教案
1.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．（三）教学过程学生探究过程：1.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒ p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件２.类比归纳一般地,如果既有p⇒q ，又有q⇒p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p⇒q ，且q⇒p，即p ⇔ q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p⇒q ,但q ≠>p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p≠>q ，但q⇒p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p≠>q ，且q≠>p，故p 不是q的充要条件；４．类比定义一般地，若p⇒q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠>q，但q ⇒p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p⇒q ,但q ≠>p，则p是q的充分但不必要条件；②若q⇒p，但p ≠>q，则p是q的必要但不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p ≠>q，且q ≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件．５．巩固练习：P14 练习第 1、2题说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．６．例题分析例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可．证明过程略．例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？７．教学反思：充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。
高中数学选修2-1精品教案8：1.2.1 充分条件与必要条件-1.2.2 充要条件教学设计
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件教学目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．教学重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．教学过程一、充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【答案】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即p q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p q，且q p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【答案】p⇔q.1．充分条件与必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.例1.(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但q p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D(2)A规律方法判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>b ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b ，即ab ＝1，∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6.故是充要条件，④正确． 【答案】①③④例2.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)． (1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解:(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则綈q ⇒綈p ，由此可得p ⇒q ， 则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}． 法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}， q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.例3.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.证明：充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论． 变式训练求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. (1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．练习1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？【答案】1．A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q 的必要不充分条件．3．x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。
高中数学选修2-1 第二节《1. 2 充分条件和必要条件》全套教案
1. 2 充分条件和必要条件单元课时分配:1.第一课充分条件和必要条件1个课时2.第二课充要条件1个课时1.2 .1 充分条件和必要条件【教学目标】一、知识目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；二、能力目标1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；三、情感目标1．通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2．通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；3．通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
【教学重难点】重点：充分条件、必要条件的概念；难点：充分条件、必要条件的判断；【学前准备】：多媒体，预习例题{x|x>0} 同位角相四边形对等四边形是平行四边解：因为在问题）中。
所以，）的必要条）和问。
）和不是3的充分条件．用“充分条件”或“必要条件”）四边形的对角线相等是四边形为为相当于Q P ⊆，即 或即：要使Q x ∈成立，只要P x ∈就足够了——有它就行。
（2）p q ⇒，相当于Q P ⊇，即 或即：为使Q x ∈成立，必须要使P x ∈——缺它不行。
1.2．2充要条件【教学目标】掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系。
【教学重难点】充要条件关系的判定。
【学前准备】：多媒体，预习例题例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件 （1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：,∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>,所以，sin sin A B A B >⇔>即p 是q 的充要条件。
1.2充分条件与必要条件-人教A版高中数学选修2-1课件
1.2 充分条件与必要条件
旧知复习
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
否命题 若﹁ p则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
课堂导入
情境一：
如果同学甲是我校高二年级的学生， 那么该生一定是我校学生吗？
反之，若同学甲是我校学生，则他 一定是我校高二年级学生吗？
充分条件的含义用通俗语言来说是指“有它就行” 必要条件的含义用通俗语言来说是指“缺它不行”
【定义得出】
定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那 么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件．
注： ①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的情势, 即“有之必成立”。
自主建构 【课堂活动】
请同学们自己举例给出 p, q 并判断其二者之间存
在的是否是充分条件或必要条件的关系.
知识联系
p: xZ, q: xR
pq
思考：充分条件和必要条件与集合之间的联系.
p : x A, q : x B ，且 p q ,则集合 A 与 B 有怎样的关系？
任意x A,则x B, 即：A B
A
B
A、B
历史文化
p : x A, q : x B ，且 p q ,则 A B .
A
B
A、B
我国战国时期，墨子所著《墨经》 充分条件：有之则必然，无之则未必不然； 必要条件：无之则必不然，有之则未必然 。
理性认识
原命题： 若 p 则 q ， 为真命题； 逆否命题：若 q 则 p ，为真命题.
高中数学人教A版选修(2-1)1.2.2《充要条件》word导学案
1.2.2充要条件【学习目标】理解充要条件的定义．【自主学习】研读教材1.2.2节内容，回答下列问题：三、已知p：整数a是6的倍数，q:整数a是2和3的倍数.那么p是q的什么条件？q是p的什么条件？（1）上述问题中，p q，故p是q的条件，q是p的条件；另一方面，q p，故p是q的条件，q是p的条件；（2）一般地，如果既有p q，又有q p，就记作，此时我们说p是q的条件，简称： . 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的条件.概括地说,如果p q,那么p 与 q互为条件.2.若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件.在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：14.若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；15.若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；16.若p q，且q p，则p是q的充要条件；17.若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．【自主检测】“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【典型例题】例1下列各题中，哪些p是q的充要条件?（2）p:b＝0，q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（3）p:x ＞ 0,y ＞ 0，q: xy＞ 0；（4）p: a ＞ b ，q: a + c ＞ b + c；例2下列各题中， p 是q 的什么条件？（1）p:-3=0x ，q: ()()-3-4=0x x ；（2）p:-23x ≤，q ：-15x ≤≤；例3仿照教材例4，证明：△ABC 是等边三角形的充要条件是222++=++a b c ab ac bc .【课堂检测】1．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：（1）“m ≠3”是“|m |≠3”的________；（2）“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；（3）“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________；（4）△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的 ．2．已知{}=A x x p 满足条件，{}=B x x 满足条件q .(1)如果A B ⊆，那么p 是q 的什么条件？(2)如果B A ⊆，那么p 是q 的什么条件？(3)如果=A B ，那么p 是q 的什么条件？。
高二数学,人教A版选修2-1, 1.2.2,充要条件,课件
(4)若 p 是 q 的充要条件，则 q 也是 p 的充要条 件．( )
解析：(1)a＞b 故(1)错；
a2＞b2，如 1＞－4 但 12＜(－4)2，
(2)|a|＞|b|⇔a2＞b2，二者互为充要条件，故(2)正确． (3)由不等式性质知(3)正确． (4)由充要条件概念知(4)正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
5 ．在△ABC 中， “ sin A ＝ sin B ”是“a ＝ b”的 _____________条件． 解析：sin A＝sin B⇒a＝b；反之也成立，故 sin A＝ sin B 是 a＝b 的充要条件． 答案：充要
类型 1 充要条件的判断(自主研析) [典例 1] 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； (3)p：x＞5，q：x＞10； (4)p：a＞b，q：a2＞b2.
归纳升华 应用充分不必要、 必要不充分及充要条件求参数值 (范围)的一般步骤为： 1．根据已知将充分不必要、必要不充分条件或充要 条件转化为集合间的关系．
2．根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式 求解．
类型 3 充要条件的证明(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)求证： 一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的充要条件是 ac＜0. 审题指导：解答本题可先确定 p 和 q，然后再分充分 性(由 ac＜0 推证方程有一正根和一负根)和必要性(由方 程有一正根和一负根推证 ac＜0)进行证明．
类型 2 充分不必要条件、 必要不充分条件的应用(互 动探究) [典例 2] 已知条件 p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}， 条件 q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}． (1)当 a 为何值时，p 是 q 的充分不必要条件？ (2)当 a 为何值时，p 是 q 的必要不充分条件？ (3)当 a 为何值时，p 是 q 的充要条件．
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1.2.2充要条件
学生探究过程：
1.思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．
易知：p q，故p是q的充分条件；
又q p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件
２.类比归纳
一般地,如果既有p q ，又有q p 就记作 p q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p q,那么p 与 q互为充要条件.
3.例题分析
例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2
分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．
解：命题（１）和（３）中，p q ，且q p，即p q，故p 是q的充要条件；
命题（２）中，p q ,但q p，故p 不是q的充要条件；
命题（４）中，p q ，但q p，故p 不是q的充要条件；
命题（５）中，p q ，且q p，故p 不是q的充要条件；
４．类比定义
一般地，
若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；
若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；
若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；
②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；
③若p q，且q p，则p是q的充要条件；
④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
５．巩固练习：P14 练习第 1、2题
说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．
６．例题分析
例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p q）和必要性（q p）即可．
证明过程略．
例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？
７．教学反思：
充要条件的判定方法
如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题 1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。