完全平方公式(1)
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
完全平方公式(1)
2 (a-b)
完全平方公式的数学表达式：
2 (a+b) (a+b)22= =a a22 +2ab+b +b2 +2ab
2 2 2 2 2 2 (a b) = a 2ab+b (a-b) = a +b - 2ab
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
p2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
完全平方公式
回顾 & 思考
平方差公式
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
公式的结构特征: 左边是 右边是 两数和与这两数差的积. 相同项的平方减去相反项的平方
２.计算下列各题:
1.(2 x 3)(2 x 3) = 4 x 2 9 2.(3x y)(3x y) = y 2 9 x2
2
2
2
2 (a+b) =
2 a 2 a
2 +2ab+b
公式特点：
2 (a-b) =
-
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；
北师大版初中数学七年级下册第1章《完全平方公式（一）》说课稿
《完全平方公式（一）》说课稿一、说教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年级《数学》下册第一章第八节内容，它分为两课时，本节是第一课时，它是“整式运算”这一章中重要的内容之一，它起到承上启下的作用，既是整式相乘的应用，又为以后学习配方法打下扎实的基础。
2、课程目标：（1）、知识目标：经历探索推导完全平方公式的过程，形成数形结合思想，进一步发展符号感。
掌握完全平方公式的结构特点，并能利用公式熟练进行运算。
（2）、能力目标：培养学生发散性思维能力和推理能力，培养学生语言表达能力，动手实践能力，以及合作交流能力。
（3）情感目标：让学生在探索的过程中，体会科学发现探索方法，在合作交流中，体会团结合作精神。
能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。
3、教学重点、难点：重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
难点：对公式中a、b含义的理解与正确应用。
4、教材安排：本节课先从通过计算和比较试验田的面积引出完全平方公式。
直接让学生运用多项式乘法法则推导完全平方公式。
并通过数形结合思想，让学生理解完全平方公式及其结构特点。
最后通过变式训练进行练习和巩固。
二、说教学方法及教学手段：本节课引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出开放性的问题让学生进行合作探索，让学生经历知识的形成与应用，从而更好地理解数学知识的意义。
本节课教学中，对于不同的内容选择了不同的方法。
对于求实验田的总面积，进行开放性教学,引导学生利用拼图等方法合作探究多种方法求解；运用多项式相乘推导公式，让学生独立探索；对于完全平方公式的运用，采用变式训练，促进学生灵活掌握。
为了提高课堂教学效果，本节课将借助于多媒体课件辅助教学。
三、说学法教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。
数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习，又要给学生自主探索和合作交流时间。
本节课先从实际出发，创设有助于学生发散性思考的问题情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，从而培养学生动手实践的能力，提高口头表达能力及逻辑推理能力，使学生真正成为学习的主体。
完全平方公式(1)
091.6完全平方公式(1) 教学设计【教材分析】本节内容是初中数学（北师大版）七年级下册第一章《整式的运算》中的——1.6完全平方公式。
一、教材的地位和前后联系：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。
二、教材设计的思想方法：教材按照学生的认知规律，从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。
逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
由此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，它在本章中起着举足轻重的作用。
【学情分析】1．认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。
但是对于几何图形如何用代数来表示，从而表示图形的面积，学生会有一定困难，另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的问题，对公式中a、b的理解，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。
2.活动经验基础：在平方差公式一节中，学生已经经历了探索与应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力。
3. 心理特征：初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力，记忆能力和想象能力都有一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。
完全平方公式(1)
完全平方公式（1）一、教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理水平。
2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。
3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。
4、经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程,进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下基础。
二、教学重难点教学重点；完全平方公式的准确应用。
教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活使用公式实行计算。
三、教学和活动过程：1、整个教学过程叙述：教材“完全平方公式”内容共含两课时。
本节是其中的第一课时，需40分钟完成。
2、具体教学过程设计如下：〈一〉、提出问题[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗?(x+3)2=_______________，(x-3)2=_______________，这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试：(2m+3n)2=_______________，(2m-3n)2=_______________，〈二〉、分析问题1、[学生回答] 分组交流、讨论多项式的结构特点(2m+3n)2= (2m)2+2·2m·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，(2m-3n)2= (2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2，（1）原式的特点。
两数和的平方。
（2）结果的项数特点。
等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。
（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。
2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.4、完全平方公式的几何背景：用不同的形式表示图形的总面积并实行比较，你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2你能使用公式计算下列各式吗?(-x-3)2=______________， (-x+3)2=_______________。
人教版八年级数学上册完全平方公式(1)
3.已知
求下列式子的值：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数；
3、公式的逆向使用；a2 +2ab+b2 = (a+b)2 4、解题时常用结论：a2 - 2ab+b2= (a-b)2
(-a-b)2 =(a+b)2
= [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
5、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2
(2)a2+b2
深入探索----算一算
1． 计算：4x(x－1)2＋x(2x＋5)·(5－2x) 2. 当x＝2，y＝-1时。求代数式 (x＋y)(x－y)＋(x－y)2－(x2－3xy)的值。
3.用简便的方法计算:
1.23452+0.76552+2.469×0.7655
八年级 数学
第十五章 整式的乘法
例1 运用完全平方公式计算：
感受新知----看一看
(1)(x+2y)2 解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2 =x2 +4xy +4y2
完全平方公式(1)
“用”公式，综合应用
(1)x 1x 1 x 1
2
2
(2)x 1 x 1 x 1
2 2 2
2 =x -4xy
+4y2
6
“拓”公式，思维拓展
想
+4y2
2 =x -4xy
6
“拓”公式，思维拓展
想一想
a b
3
+4y2
2 =x
两数和的平方，等于这两数的平方和， 说一说两公 加上这两数积的2倍。 式的特征 (a-b) 2 =a2 -2ab+b2
-
两数差的平方，等于这两数的平方和， 减去这两数积的2倍。
-
5
“用”公式，学以致用
(1)2x 3
2
(2)4 x 5
义务教育课程标准七年级下册
第一章
整式的乘除
1.6
完全平方公式（1）
授课人：方敏
从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依 老爷。巴依老爷有两块地，一块面积 2 2 为 a ，另一块面积为 b 而阿凡提只有一块地，面积为 (a b)
2
有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说： “我用我的两块地换你的一块地，可以 吗?”阿凡提答应了吗？
法3
利用化归思想 (a-b) =[a+(-b)]
2
2
2 2
“证”公式，以形推数 合作交流，探求新知
利用“几何图形的面积”
b
a
b
4
“说”公式，提炼提升
2 (a+b) +
=a2 + 2ab+b2
1
“识”公式，以形推数
b
人教版八上册 第十四章：完全平方公式(一)
完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差．
右边 特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母 表述 文字 表述
左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
字母 表述 文字 表述 左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2．
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
右边 特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母 表述 文字 表述 左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
巩固应用
例6如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中 挖去直径为a与b的两个圆，求剩下的钢板的 面积．
解：依题意可列式：
(a b)2 (a)2 (b)2
2
2
2
( a2 ab b2 a2 b2 )
42444
ab ab
22
答：剩下的钢板的面积为
ab
14.2.2完全平方公式 （一）
学习目标
1．会推导完全平方公式，掌握完全平方公式 并能灵活运用公式进行简单的运算． 2．会用几何拼图方式验证完全平方公式． 3．培养学生数学语言表达能力和运算能力．
复习回顾，引入新课
问题1（1） 什么是平方差公式？分别用文 字和字母表述． 两个数的和与这两个数的差的积，等于这 两个数的平方差． (a+b)(a-b)= a2-b2 （2）用平方差公式计算： ① (-m+5n)(-m-5n) = m2-25n2 ② (3x-1)(3x+1)= 9x2-1 ③ (y+3x)(3x-y)= 9x2-y2 ④(-2+ab)(2+ab)= a2b2-4
（1）完全平方公式
（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。
复数的完全平方公式(一)
复数的完全平方公式(一)
复数的完全平方公式
复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中a 和 b 都是实数，且 i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在处理复数的平方时，我们可以使用复数的完全平方公式，帮助我们简化计算复数的平方值。
该公式表示为：
(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + b2i2
可以看到，公式中有 3 项。
第一项是实数部分的平方，第二项是两倍的实数和虚数部分之积，第三项是虚数部分的平方经过变换后得到的结果。
为了进一步了解复数的完全平方公式，我们来看一个例子。
示例
假设我们要计算 (3+4i)^2 的值。
根据复数的完全平方公式，我们有：
(3+4i)^2 = 3^2 + 2 * 3 * 4i + (4i)^2
化简后可得：
(3+4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2
然后，我们需要计算 i 的平方值，根据定义，i^2 = -1：
(3+4i)^2 = 9 + 24i + 16(-1)
继续计算并合并项：
(3+4i)^2 = 9 + 24i - 16
最终，我们得到了结果：
(3+4i)^2 = -7 + 24i
通过以上示例，我们可以看到，通过复数的完全平方公式，我们
可以将一个复数的平方计算简化为一系列实数的加减和虚数部分的乘
法运算。
总结
复数的完全平方公式是计算复数平方的一个重要工具。
通过理解
并熟练运用该公式，我们能够更便捷地处理涉及复数平方的数学问题。
需要注意的是，当进行计算时，要注意对实数和虚数部分进行逐项运算，并最终合并结果。
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编号 04 备课组 课题 ★学前抽测★ 况忠初 肖艳 方菊红 完全平方公式（1） 班级 姓名 审阅
★学习目标★
1.探究完全平方公式的推导过程，进一步培养推理能力. 2.了解完全平方公式的几何意义，并能运用公式进行简单的计算.
★新知探究★
阅读教材第 44、45 页的内容，然后根据你对教材的理解，回答下列问题： 1.填一填第 44 页的“动脑筋” ，体会完全平方公式的推导过程。并用数学语言表述完全平方公式。
2
C. (a b) a 2ab b 2.运用完全平方公式计算： （1） (4a 1) ;
2
D. (a b) a 2ab b
2
（2） (2 x 3 y) ;
2
1 1 （3） x 4 2
y ;
2
1 （4） 5n ; 2
2.阅读教材第 45 页的“说一说” ，你能用两种方法求这个正方形的面积吗？你发现了什么？
★演练提升★
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.下列计算正确的是 （ ） A. (a b) a b
2 2 2 2 2
B. (a b) a b
2 2 2 2 2
★梳理巩固★
★达标检测★
1.运用完全平方公式计算：
1 1 （1） m n ； 3 2
2
（2） (a 2b) ；
2
（3） (3x 2 y) ;
2
（4）
1 1 a 3b 3b a ； 2 2
4. 9 x2 mxy 9 y 2 是一个完全平方式，则 m 的值是 5.计算： （1） (1 3x)(3x 1) ；
.
（2） 3(m n)2 m(m 2n) ；
（3） ( x y)( x y) ；
（4） (a b)2 2(a b)(a b) (a b)2 ；
2
学法指导：完全平方公式有什么特点？在运用公式时要注意它的特点。 3.填空： （1） ( x y )
x2 2xy y 2
（2） (a 3b) a
2 2
9b2 ;
（3） 4m
2
9n2 (2m 3n)2 ； （4） （ 5 x
）=
10 xy 2 y 4