2021年高三2月模拟考试 数学(文)试题
2021年高三第二模拟考试(数学文)
2021年高三第二模拟考试（数学文）本试卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间：1 20分钟．第1卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号二姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题（本大题共1 0小题，每小题5分，共50余c在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中）1．已知集合A={ x|x≤3},B={x|x≥a}且A B=R，则实数a的取值范围是A．（3,+∞）13．（一∞,3 ] C．[3,+∞）D．R2．复数的值是A．B．－C．D．3．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题：①若，则②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．34．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为A．0B．C．D．一5．设向量a=（1，x一1），b=（x+1,3），则“x=2”是“a∥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的一个零点所在区间是A．（0，1）B．（3，4）C．（2，3）D．（1，2）7．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线将区域D分成面积相等的两部分，则实数k 的值是A．B．C．D．8．函数是R上的减函数，则a的取值范围是A．（0，1）B．C．D．9．如图是底面积为，体积为的正三棱锥的正视图（等腰三角形）和俯视图（等边三角形），此三棱锥的侧视图的面积为A．6B．C．2D．10．定义一种运算：(),()2(3)()xa a ba b f x xb a b≥⎧⊗==⊗-⎨<⎩已知函数，那么函数的大致图象是第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若A为抛物线的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则等于。
四川遂宁市高中2021届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题word版含答案
四川遂宁市高中2021届高三下学期其次次诊断性考试数学文试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2021•遂宁模拟）已知集合A=，B={x|（x+3）（2x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．B．C．，∵A=，∴A∩B=，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2021•遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的听力成果（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：依据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．【解析】：解：依据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；∵它的众数为l5，∴x=5；同理，依据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，∵它的中位数为17，∴y=7．故x、y的值分别为：5，7．【点评】：本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图供应的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题．3．（5分）（2021•遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由zi=2+i ，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）（2021•遂宁模拟）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则推断选项即可．【解析】：解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象．故选：A．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本学问的考查．5．（5分）（2021•遂宁模拟）设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：简易规律．【分析】：依据充分条件和必要条件的定义进行推断即可．【解析】：解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据不等式的关系是解决本题的关键．6．（5分）（2021•遂宁模拟）已知向量，若，则实数λ=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2【考点】：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面对量及应用．【分析】：由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解析】：解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．【点评】：本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7．（5分）（2021•遂宁模拟）在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N﹣2的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；程序框图．【专题】：计算题；概率与统计；算法和程序框图．【分析】：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足推断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解析】：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足推断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足推断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足推断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足推断框条件，输出n：N=3．在区间上随机选取一个数M，长度为5，M≤1，长度为3，所以所求概率为，故选：C【点评】：本题考查循环结构的应用，留意循环的结果的计算，考查计算力量，考查概率的计算，确定N的值是关键．8．（5分）（2021•遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．4+2B．2+C．2+2D．4+【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD⊥底面ABC，故S△ABC=S△ASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故△SAB和△SBC均是以2为底，以为高的等腰三角形，故S△SAB=S△SBC =，故该几何体的表面积为4+2，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．（5分）（2021•遂宁模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】：抛物线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解析】：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为M′（x0，y0），则∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣（x﹣x0）令y=0，则x H=x0+p∴|HF|=x0+∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p∴|HF|=|MN|=20，故选：D．【点评】：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查同学的计算力量，比较基础．10．（5分）（2021•遂宁模拟）函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间⊆D，使得f（x）在上的值域为，则称函数f（x）为“取半函数”．若f（x）=log c（c x+t）（c＞0，且c≠1）为“取半函数”，则t的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（0，）D．（，1）【考点】：对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依据复合函数的单调性，先推断函数f（x）的单调性，然后依据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．【解析】：解：若c＞1，则函数y=c x+t为增函数，y=log c x，为增函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=c x+t为减函数，y=log c x，为减函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，综上：函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若函数f（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是函数f（x）为“取半函数”．，所以a，b是方程log c（c x+t）=，两个不等实根，即a，b是方程c x +t=c两个不等实根，化简得出：c x+t=0，可以转化为：m2﹣m+t=0有2个不等正数根．所以求解得出：0故选：B．【点评】：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，推断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有肯定的难度．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11．（5分）（2021•遂宁模拟）圆心在原点且与直线y=2﹣x 相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解析】：解：圆心到直线的距离：r==，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2．【点评】：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12．（5分）（2021•遂宁模拟）已知偶函数f（x）在=；（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin2x=，x∈R．则：sinx∈，当sinx=时，函数f（x）的最大值为．【点评】：本题考查的学问要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于基础题型．17．（12分）（2021•遂宁模拟）某学校有男老师45名，女老师15名，依据分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组．（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、争辩，这个学科攻关小组打算选出2名老师做某项试验，方法是先从小组里选出1名老师做试验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做试验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率．【考点】：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）依据分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的2名老师的基本大事数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a 1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有1名女老师大事大事数，两者比值即为所求概率．【解析】：解：（1）由题意知，该校共有老师60名，故某老师被抽到的概率为=．设该学科攻关小组中男老师的人数为x，则，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为3，1．（2）由（1）知，该3名男老师和1名女老师分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名老师的基本大事有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中恰有1名女老师的基本大事有3种，所以选出的2名老师中恰有1名女老师的概率为P==．【点评】：本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简洁的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估量的方法，属基础题．18．（12分）（2021•遂宁模拟）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又由于PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，由于DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）由于BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查同学的空间想象力量、规律推理力量和运算求解力量，是中档题．19．（12分）（2021•遂宁模拟）已知数列{a n}为等差数列，其中a1=1，a7=13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n =，T n为数列{b n}的前n项和，当不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立时，求实数λ的取值范围．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n；（2）由（1）化简b n =，利用裂项相消法求出T n，代入不等式λT n＜n+8分别出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N*恒成立求出实数λ的取值范围．【解析】：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=13，∴a1+6d=13，解得d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1…（5分）（2）由（1）得，b n ==（），∴T n==（1﹣）=…（8分）要使不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立，只需不等式=+17恒成马上可…（10分）∵，当且仅当时，即n=2取等号，∴λ＜25…（12分）【点评】：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．20．（13分）（2021•遂宁模拟）已知定点A（﹣2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N 两点．（1）求C的方程；（2）试推断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化简即可得出；（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．利用根与系数的关系只要证明=0即可．【解析】：解：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化为．（2）设DE的方程为x=ty+1，联立，化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则，t1t2=．由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．∴======9﹣9=0．∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）（2021•遂宁模拟）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxe x（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），g′（x）为g（x）的导函数，且g′（0）=1，（1）求k的值；（2）对任意x＞0，证明：f（x）＜g（x）；（3）若对全部的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再代入值计算即可；（2）构造函数G（x），依据函数的单调性，即可证明；（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求导，再分类争辩，即可求出a的取值范围．【解析】：解：（1）g'（x）=k（x+1）e x所以g'（0）=k=1…（3分）（2）证明：令G（x）=e x﹣x﹣1，G′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），G′（x）＞0，所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增，从而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；所以e x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1）＞0，∴xe x＞（x+1）ln（x+1），所以当x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；…（8分）（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，则h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，所以x=e a﹣1﹣1＜0，从而对全部x＞0，h′（x）＞0；h（x）在…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围，属于中档题．。
安徽省马鞍山市2021届高三第二次教学质量监测(二模)文科数学试题(word含答案)
马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R,集合A={x|x2≤x},B={-1,0,1,2},则（C U A)∩B=A.{2}B.{1,2}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}2.已知复数z满足iz=z+2i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是1,把“间断的短划”（阴爻：）看作是0,那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。
下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为4.函数f(x)=xcosx-1x在(－π,π)上的图象大致为5.已知变量x,y满足约束条件10,30,310.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z=2x-3y的最小值为A. -7B.-4C.-1D.16. 5.已知sin(3π-α3，则cos(3π＋2α)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 237.某同学计划暑期去旅游，现有A,B,C,D,E,F 共6个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择4个景点且A 被选中的概率是 A.15 B. 16 C. 35 D. 258. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象如图所示．则函数f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到A.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）9.已知双曲线C: 2224x y b+＝1(b>0),以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.(1,3213) C.( 32, 131310.3,底面半径为1,O 为底面圆心，OA,OB 为底面半径，且∠AOB=2,3πM 是母线PA 的中点。
河北省邯郸市2021届高三数学摸底考试试题 文（含解析）
邯郸市2021届高三年级摸底考试文科数学【试卷综评】本试卷试题要紧注重大体知识、大体能力、大体方式等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方式的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评判，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培育，偏重学生自主探讨能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观看与猜想、阅读与试探等方面的考查。
一.选择题【题文】1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，那么A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 【知识点】交集的运算.A1 【答案解析】C 解析：因为{}{}142,3N x Z x =∈<<=，因此{2,3}M N =，应选C.【思路点拨】先化简集合N ，再进行判定即可.【题文】2.复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案解析】D 解析：∵()()()1+11•i i i z i i i i ，+-===--∴复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．应选：D ．【思路点拨】利用复数的代数运算将原式转化，即可判定它在复平面内的位置．【题文】3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情形，采纳分层抽样的方式从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，那么n 等于 A 、660 B 、720 C 、780 D 、800 【知识点】分层抽样方式．I1【答案解析】B 解析：：∵高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，∴1378035600780n ＝++，解得n=720，应选：B ．【思路点拨】依照分层抽样的概念，成立条件关系即可取得结论． 【题文】4.设2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，那么以下关系中正确的选项是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【知识点】对数函数的性质；比较大小.B7【答案解析】A解析：因为242221log 6log 6log 6log 2b ====82log 9log c ==，又因为2log y x =是概念域内的增函数，且2>> a b c >>，应选A 。
辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题含解析
辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，3）B．[1，3] C．（1，3）D．（1，3]2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4003．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（）A．B．4 C．D．4．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2 B．2C．4 D．86．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）A．15 B．30 C．6 D．97．函数y＝（e x﹣e﹣x）sin|2x|的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值11．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为12．已知a＞0，m（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，f（x）＝am（x）﹣sinπx，若f（x）存在唯一零点，下列说法正确的有（）A．m（x）在R上递增B．m（x）图象关于点（2，0）中心对称C．任取不相等的实数x1，x2∈R均有D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分．13．在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是．14．已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为．15．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且AC＝，AB＝，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC＝．16．函数y＝f（x），x∈[1，+∞），数列{a n}满足，①函数f（x）是增函数；②数列{a n}是递增数列．写出一个满足①的函数f（x）的解析式．写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sin C这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．18．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计附：P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．21．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞﹣．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞1）的离心率e＝，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y＝x对称的点在直线y＝3x﹣2上．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2＝b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，3）B．[1，3] C．（1，3）D．（1，3]解：∵y＝ln（x﹣1），∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞），∵x2+2x+10＝（x+1）2+9≥9，∴y＝≥3，∴B＝[3，+∞），∴∁u B＝（﹣∞，3），∴A∩（∁U B）＝（1，3）．故选：C．2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．400解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．故选：C．3．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（）A．B．4 C．D．解：由题意知，p＝2，由抛物线的定义知，|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．故选：C．4．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则当“x1＞1且x2＞1”时，整理得：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”当x1＝0.99，x2＝2，满足：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”但是“x1＞1且x2＞1”不成立，故“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的充分不必要条件，故选：A．5．已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2 B．2C．4 D．8解：向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，可得：•＝2，|2|＝＝＝＝2．故选：B．6．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）A．15 B．30 C．6 D．9解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9；故选：D．7．函数y＝（e x﹣e﹣x）sin|2x|的图象可能是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）sin|﹣2x|＝﹣（e x﹣e﹣x）sin|2x|＝﹣f（x），为奇函数，故排除选项B，C；又，且是第一个大于0的零点，故排除选项D．故选：A．8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝解：设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩形，∴S△ABF＝S△ABF'，即bc＝8，由，可得y＝±，则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2，∴C的渐近线方程为y＝±x，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增解：函数f（x）＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin2x|，画出函数图象，如图所示；所以f（x）的对称轴是x＝，k∈Z；所以x＝是f（x）图象的对称轴，A正确；f（x）的最小正周期是，B正确；f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；x∈[，]时，2x∈[，π]，sin2x≥0，所以f（x）＝|sin2x|是单调减函数，D错误．故选：AB．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值解：由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，又ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵D1D∩BD＝D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；∵B1D1∥BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，∴BD∥平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF∥平面ABCD，故B正确；点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A﹣BEF的高，•EF•BB1＝××1＝，＝×＝，则为定值，故D正确．故选：ABD．11．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为解：A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故A 错误，B．从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3，5，7，一种，则构成三角形的概率是，故B正确，C．|r|→1，两个变量的线性相关性越强，|r|→0，线性相关性越弱，故C错误，D．由题意知P（）•P（）＝，P（）•P（B）＝P（A）•P（），设P（A）＝x，P（B）＝y，则，得得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，得x﹣1＝或x﹣1＝﹣，得x＝（舍）或x＝，即事件A发生的概率为，故D正确．故正确的是BD，故选：BD．12．已知a＞0，m（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，f（x）＝am（x）﹣sinπx，若f（x）存在唯一零点，下列说法正确的有（）A．m（x）在R上递增B．m（x）图象关于点（2，0）中心对称C．任取不相等的实数x1，x2∈R均有D．解：m′（x）＝e x﹣2+e2﹣x＞0，则m（x）在R上递增，故A正确，m（x）+m（4﹣x）＝e x﹣2﹣e2﹣x+e2﹣x﹣e x﹣2＝0，则m（x）图象关于点（ 2，0）中心对称，故B正确，m″（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，当x＞2时，m″（x）＞0，即m′（x）为增函数，即m（x）图象下凸，此时＞m（），故C错误，若f（x）存在唯一零点，则a（e x﹣2﹣e2﹣x）＝sinπx只有一个解，即g（x）＝a（e x﹣2﹣e2﹣x）与h（x）＝sinπx只有一个交点，g'（x）＝a（e x﹣2+e2﹣x），h'（x）＝πcosπx，由g（2）＝h（2）＝0，则g（x）、h（x）的图象均关于点（2，0）中心対称，在x＝2的右侧附近g（x）为下凸函数，h（x）为上凸函数，要x＞2时，图象无交点，当且仅当g'（2）≥h'（2）成立．于是2a≥π，即a≥成立，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分．13．在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是﹣21 ．解：因为（x﹣2y+z）7＝[（x﹣2y）+z]7，所以展开式中含z2的项为C，令x＝y＝z＝1，则所求系数之和为C•（1﹣2）5•12＝﹣21，故答案为：﹣21．14．已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为+＝1 ．解：∵复数z在复平面内所对应点P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，∴+＝6，即点P（x，y）到点A（0，﹣），和B（0，﹣）的距离之和为：6，且两定点的距离为：2＜6，故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝2，故b＝＝2，∴复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为：+＝1，故答案为：+＝1．15．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且AC＝，AB＝，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC＝．解：由题意三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直可知，三棱锥S﹣ABC是长方体的一个角，如图：设SA＝x，SB＝y，SC＝z，由题意可得：x2+z2＝13，x2+y2＝5，y2+z2＝BC2，三棱锥的外接球的表面积为14π，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径2R，所以2R＝，4πR2＝14π，可得x2+y2+z2＝14，解得x＝2，y＝1，z＝3，所以BC＝＝．故答案为：．16．函数y＝f（x），x∈[1，+∞），数列{a n}满足，①函数f（x）是增函数；②数列{a n}是递增数列．写出一个满足①的函数f（x）的解析式f（x）＝x2．写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式．解：由题意，可知：在x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）＝x2．第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：．则这个函数在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴在[1，+∞）上不是增函数，不满足①．而对应的数列为：在n∈N*上越来越大，属递增数列．故答案为：f（x）＝x2；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sin C这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．解：①∵（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac，即b2﹣（a﹣c）2＝ac，∴a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，cos B＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．③∵tan＝sin C，∴tan＝sin C，即＝2sin cos，∵C∈（0，π），∴cos＞0，∴2sin2＝1，即C＝．选择①②：由上知B＝，∵cos（A+B）＝sin（A﹣B），∴cos A﹣sin A＝sin A﹣cos A，即（1+）cos A＝（1+）sin A，∴tan A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝，sin A＝，由正弦定理知，，∴＝，∴b＝2．选择①③：B＝，C＝，∵a＝2，∴b＝2．选择②③：由上知C＝，∵cos（A+B）＝sin（A﹣B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C＝0，∴A﹣B＝0，即A＝B＝，∴b＝a＝2．18．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．解：（1）证明：a2＝3，a n+1＝2a n+1，可得a1＝1，即有a n+1+1＝2（a n+1），则{a n+1}为首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1＝2n，即有a n＝2n﹣1，S n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由n+S n﹣2a n＝n+2n+1﹣2﹣n﹣2（2n﹣1）＝0，可得n，a n，S n成等差数列．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计附：P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：（1）2×2列联表如下：关注没关注合计男 30 30 60女 12 28 40合计 42 58 100所以＝ 3.941＞3.841，所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为＝，又因为X～B（3，），所以随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P故E（X）＝np＝．20．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．21．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞﹣．解：（I）f′（x）＝alnx+a，则f（1）＝0，f′（1）＝a，故取消y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程y＝a（x﹣1），把点（3，2）代入切线方程可得，a＝1，（II）由（I）可得f′（x）＝lnx+1，x＞0，易得，当0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝时，函数取得极小值f（）＝﹣，没有极大值，证明：（III）f（x）＞﹣等价于xlnx﹣＞0，由（II）可得f（x）＝xlnx（当且仅当x＝时等号成立）①，所以xlnx﹣，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）设g（x）＝，x＞0则，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，当且仅当x＝1时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当x＞0时，f（x）＞﹣．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞1）的离心率e＝，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y＝x对称的点在直线y＝3x﹣2上．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2＝b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【解答】（1）解：点A（﹣a，0）关于直线y＝x对称的点（0，﹣a）在直线y＝3x﹣2上，∴﹣a＝0﹣2，解得a＝2．又＝，a2＝b2+c2，联立解得b2＝2＝c2．∴椭圆E的标准方程为：+＝1．（2）证明：设M（x0，y0），AM：y＝k（x+2）（k≠0），令x＝0，解得y＝2k，∴C（0，2k）．联立，化为：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4＝0（k≠0）．∴﹣2x0＝，解得x0＝．∴y0＝，即M（，），∴直线BM的斜率＝＝﹣．∴BM的方程：y＝﹣（x﹣2），令x＝0，解得y＝，∴D（0，）．设N（x N，y0），则＝（﹣x N，2k﹣y0），＝（x N，﹣y0）．∴•＝x N2+y02+2﹣y0．∵x N2+y02＝2，y0＝，∴•＝0．∴NC⊥ND．即∠CND＝90°．∴sin∠CND＝1．。
山西省太原市2022届高三数学模拟考试试题二文含解析
山西省太原市2021届高三数学模拟考试试题〔二〕文〔含解析〕一、选择题〔每题5分〕.1．复数z＝，那么z的共轭复数是〔〕A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i2．集合A＝{x|x〔x﹣1〕＝0}，B＝{x||x|＝1}，那么A∩B＝〔〕A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{1}3．艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是〔〕A．中位数B．平均数C．方差D．极差4．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线〞，它的画法是：以斐波那契数列〔即a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n〔n∈N*〕〕的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的一局部，那么第七项所对应的扇形的弧长为〔〕A．B．C．D．4π5．在等比数列{a n}中，a1＝，a2a4＝2a3﹣1，那么a5＝〔〕A．2 B．4 C．6 D．86．点P〔m，m〕〔m≠0〕是抛物线y2＝2px〔p＞0〕上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，那么p＝〔〕A．1 B．2 C．D．67．函数y＝f〔x〕局部图象的大致形状如下图，那么y＝f〔x〕的解析式最可能是〔〕A．f〔x〕＝B．f〔x〕＝C．f〔x〕＝D．f〔x〕＝8．函数f〔x〕＝a2x3﹣x在点〔1，f〔1〕〕处的切线经过点〔2，6〕，那么实数a＝〔〕A．±1 B．±2 C．D．±9．圆M：〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝3〔a，b∈R〕与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，那么以下错误的结论是〔〕A．•是定值B．四边形OAMB的面积是定值C．a+b的最小值为﹣D．a•b的最大值为210．在直角△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点G是△ABC的重心，假设AG⊥BG，那么cos C＝〔〕A．B．C．D．11．三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝DA＝2，BC⊥CD，BC＝CD，那么当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，其外接球的外表积为〔〕A．48πB．28πC．16πD．20π12．直线x﹣2y+n＝0〔n≠0〕与双曲线＝1〔a＞0，b＞0〕的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为〔n，0〕，假设|PA|＝|PB|，那么该双曲线的离心率是〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．设，为单位向量，且|+|＝，那么|﹣|＝．14．sinα+cosα＝，那么sin2α＝．15．点A〔1，0〕和B〔2，m〕，点M〔x，y〕是函数y＝lnx图象上的一个动点，假设对于任意的点M〔x，y〕，不等式≥〔其中O是坐标原点〕恒成立，那么实数m＝．16．矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边CD上的动点，将△ADE沿AE折起至△PAE，使得平面PAB⊥平面ABC，过P作PG⊥AB，垂足为G，那么AG的取值范围为．三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，△ABD的面积为．〔Ⅰ〕求BD的长；〔Ⅱ〕假设∠BCD＝120°，求BC+CD的取值范围．18．2022年国家发改委、住建部发布了?生活垃圾分类制度实施方案?，规定46个城市在2022年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量〔单位：吨〕进行了调查．该市这样的社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图．现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标〞社区．〔Ⅰ〕根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值〔精确到整数〕；〔Ⅱ〕假设以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标〞社区的个数．〔Ⅲ〕市环保部门决定对样本中“超标〞社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16，18]的社区的概率．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：平面BCF⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕假设直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥A﹣CEF的体积．20．函数f〔x〕＝ax+1〔a∈R〕，g〔x〕＝sin x+cos x．〔Ⅰ〕当a＝1时，证明：不等式f〔x〕≥g〔x〕在[0，+∞〕上恒成立；〔Ⅱ〕假设不等式f〔x〕≥g〔x〕在[﹣，+∞〕上恒成立，求实数a取值的集合．21．椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x＝与椭圆C 相交于D，E两个不同点，直线DA与直线DB的斜率之积为﹣，△ABD的面积为．〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；〔Ⅱ〕假设点P是直线l：x＝的一个动点〔不在x轴上〕，直线AP与椭圆C的另一个交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N，使得|MN|为定值，假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由．〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔〕＝．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕点A在曲线C上，且点A到直线l的距离为，求点A的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕＝|x+m2|+|2x﹣m|〔m＞0〕．〔Ⅰ〕当m＝1时，求不等式f〔x〕≤6的解集；〔Ⅱ〕假设f〔x〕的最小值为，且a+b＝m〔a＞0，b＞0〕，求证：+2≤．参考答案一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数z＝，那么z的共轭复数是〔〕A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i解：复数z＝＝所以它的共轭复数为：1﹣i应选：A．2．集合A＝{x|x〔x﹣1〕＝0}，B＝{x||x|＝1}，那么A∩B＝〔〕A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{1}解：A＝{x|x〔x﹣1〕＝0}＝{0，1}，B＝{x||x|＝1}＝{1，﹣1}，那么A∩B＝{1}．应选：D．3．艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是〔〕A．中位数B．平均数C．方差D．极差解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，应选：A．4．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线〞，它的画法是：以斐波那契数列〔即a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n〔n∈N*〕〕的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的一局部，那么第七项所对应的扇形的弧长为〔〕A．B．C．D．4π解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r＝5+8＝13，对应的弧长l＝2π×13×＝，应选：C．5．在等比数列{a n}中，a1＝，a2a4＝2a3﹣1，那么a5＝〔〕A．2 B．4 C．6 D．8解：根据题意，等比数列{a n}中，有a2a4＝a32，那么有a2a4＝a32＝2a3﹣1，解可得a3＝1，又由a1＝，那么a1a5＝a32，解可得a5＝4，应选：B．6．点P〔m，m〕〔m≠0〕是抛物线y2＝2px〔p＞0〕上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，那么p＝〔〕A．1 B．2 C．D．6解：∵点P到该抛物线焦点的距离为3，∴+m＝3，点P〔m，m〕〔m≠0〕是抛物线y2＝2px〔p＞0〕上一点，可得2m2＝2pm，解得p＝2．应选：B．7．函数y＝f〔x〕局部图象的大致形状如下图，那么y＝f〔x〕的解析式最可能是〔〕A．f〔x〕＝B．f〔x〕＝C．f〔x〕＝D．f〔x〕＝解：根据题意，由函数y＝f〔x〕的图象，其定义域为{x|x≠0}，f〔x〕为奇函数，依次分析选项：对于A，f〔x〕＝，有e x﹣e﹣x≠0，即x≠0，其定义域为{x|x≠0}，且f〔﹣x〕＝﹣＝﹣f〔x〕，函数f〔x〕为奇函数，符合题意，对于B，f〔x〕＝，有e x﹣e﹣x≠0，即x≠0，其定义域为{x|x≠0}，有f〔﹣x〕＝＝f〔x〕，函数f〔x〕为偶函数，不符合题意，对于C，f〔x〕＝，e x+e﹣x≠0恒成立，其定义域为R，不符合题意，对于D，f〔x〕＝，e x+e﹣x≠0恒成立，其定义域为R，不符合题意，应选：A．8．函数f〔x〕＝a2x3﹣x在点〔1，f〔1〕〕处的切线经过点〔2，6〕，那么实数a＝〔〕A．±1 B．±2 C．D．±解：函数f〔x〕＝a2x3﹣x的导数为f′〔x〕＝3a2x2﹣1，可得在点〔1，f〔1〕〕处的切线的斜率为k＝3a2﹣1，由切线经过点〔2，6〕，可得3a2﹣1＝，解得a＝±．应选：D．9．圆M：〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝3〔a，b∈R〕与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，那么以下错误的结论是〔〕A．•是定值B．四边形OAMB的面积是定值C．a+b的最小值为﹣D．a•b的最大值为2解：圆M的圆心M〔a，b〕，半径r＝，那么△MAB为边长为的等边三角形，①：∵＝||•||•cos60°＝＝，∴A正确，②：∵OA＝OB＝1，AB＝，△OAB的高h＝，∴S△ABO＝＝，∵S△MAB＝×〔〕2＝，∴S四边形OAMB＝+＝，∴B正确，③：由②知S四边形OAMB＝×OM×AB，∴OM＝＝2，即＝2，∴a2+b2＝4，∵2〔a2+b2〕≥〔a+b〕2，∴〔a+b〕2≤8，∴﹣2a+b≤2，当且仅当a＝b时取等号，∴a+b的最小值为﹣2，∴C错误，④：由③得，∵a2+b2＝4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝b时取等号，∴ab的最大值为2，∴D正确．应选：C．10．在直角△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点G是△ABC的重心，假设AG⊥BG，那么cos C＝〔〕A．B．C．D．解：建立平面直角坐标系，如下图，设BC＝m，BA＝n，且m＞0，n＞0，由G是Rt△ABC的重心，得G〔，〕；所以＝〔，〕，＝〔，﹣〕，因为AG⊥BG，所以•＝﹣＝0，解得m＝n，又＝〔m，﹣n〕，所以cos∠ACB＝＝＝＝．应选：B．11．三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝DA＝2，BC⊥CD，BC＝CD，那么当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，其外接球的外表积为〔〕A．48πB．28πC．16πD．20π解：∵BC⊥CD，BC＝CD，BD＝2，∴BC＝CD＝，又AB＝AD＝，∴要使三棱锥A﹣BCD的体积最大，那么AC⊥平面BCD或平面ABD⊥平面BCD，当AC⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高为，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高为，故当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，如图，设△ABD的外心为O，那么O到B、C、D的距离相等，即O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，可得外接球半径R＝OA＝．∴其外接球的外表积为4π×22＝16π．应选：C．12．直线x﹣2y+n＝0〔n≠0〕与双曲线＝1〔a＞0，b＞0〕的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为〔n，0〕，假设|PA|＝|PB|，那么该双曲线的离心率是〔〕A．B．C．D．解：由题意，双曲线＝1〔a＞0，b＞0〕的两条渐近线方程为，联立，解得A〔，〕，联立，解得B〔，〕，AB的中点坐标为E〔，〕，∵|PA|＝|PB|，∴PE与直线x﹣2y+n＝0垂直，即，整理得2a2＝3b2，又b2＝c2﹣a2，解得e＝＝．应选：C．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．设，为单位向量，且|+|＝，那么|﹣|＝ 1 ．解：∵，，∴，∴，∴．故答案为：1．14．sinα+cosα＝，那么sin2α＝．解：∵sinα+cosα＝，∴平方可得 1+2sinαcosα＝1+sin2α＝，∴sin2α＝，故答案为：．15．点A〔1，0〕和B〔2，m〕，点M〔x，y〕是函数y＝lnx图象上的一个动点，假设对于任意的点M〔x，y〕，不等式≥〔其中O是坐标原点〕恒成立，那么实数m＝﹣2 ．解：∵•≥•恒成立，∴2x+my≥2，∵M〔x，y〕在y﹣＝lnx上，∴2x+mlnx﹣2≥0恒成立，设f〔x〕＝2x+mlnx﹣2，〔x＞0〕，①当m≥0时，f〔x〕单调递增，∵f〔1〕＝0，∴当0＜x＜1时，f〔x〕＜0，不合题意，②当m＜0时，f′〔x〕＝2+＝，当x＞﹣时，f′〔x〕＞0，当0＜m＜﹣时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕min＝f〔﹣〕＝﹣2﹣m+mln〔﹣〕≥0，即﹣1﹣+ln〔﹣〕≤0，令g〔m〕＝﹣1﹣+ln〔﹣〕，那么g′〔m〕＝+＝，当﹣2＜m＜0时，g′〔m〕＞0，当m＞﹣2时，g′〔m〕＜0，∴g〔m〕≥g〔﹣2〕＝0，又∵g〔m〕≤0，∴g〔m〕＝0，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．16．矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边CD上的动点，将△ADE沿AE折起至△PAE，使得平面PAB⊥平面ABC，过P作PG⊥AB，垂足为G，那么AG的取值范围为[，3〕．解：设AG＝x，DE＝y，因为E为CD上的动点，平面PAB⊥平面ABC，因为PG⊥AB，PG⊂平面PAB，AB为平面PAB与平面ABCE的交线，所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥AG，在△PAG中，PA＝3，AG＝x，所以PG2＝PA2﹣AG2＝9﹣x2，①因为EG2＝9+〔y﹣x〕2，PE＝y，△PGE中，PG2＝PE2﹣EG2＝y2﹣9﹣〔y﹣x〕2，②联立①②可得9﹣x2＝y2﹣9﹣〔y﹣x〕2，即x＝，因为3＜y≤4，所以≤x＜3．故AG的范围是[，3〕．故答案为：[，3〕．三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，△ABD的面积为．〔Ⅰ〕求BD的长；〔Ⅱ〕假设∠BCD＝120°，求BC+CD的取值范围．解：〔Ⅰ〕在△ABD中，△ABD的面积S＝＝AB•AD•sin∠BAD，所以AD＝1+，由正弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝3，所以BD＝．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得BD＝，设∠BDC＝α，〔0＜α＜60°〕，由∠BCD＝120°，利用正弦定理可得＝＝＝2，所以BC+CD＝2[sinα+sin〔60°﹣α〕]＝2sin〔α+60°〕，因为0＜α＜60°，所以＜sin〔α+60°〕≤1，所以＜BC+CD≤2，所以BC+CD的取值范围为〔，2]．18．2022年国家发改委、住建部发布了?生活垃圾分类制度实施方案?，规定46个城市在2022年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量〔单位：吨〕进行了调查．该市这样的社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图．现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标〞社区．〔Ⅰ〕根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值〔精确到整数〕；〔Ⅱ〕假设以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标〞社区的个数．〔Ⅲ〕市环保部门决定对样本中“超标〞社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16，18]的社区的概率．解：〔Ⅰ〕由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：[4，6〕，[6，8〕，[8，10〕，[10，12〕，[12，14〕，[14，16〕，[16，18〕的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，∴估计当天这50个社区垃圾量的平均值为：＝5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08＝11.04≈11．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得该样本中“超标〞社区的频率为0.12+0.08＝0.2，∴这200个社区中“超标〞社区的概率为0.2，∴这200个“超标〞社区的个数为200×0.2＝40．〔Ⅲ〕由题意得样本中“超标〞社区共有50×〔0.12+0.08〕＝10个，其中垃圾量为[14，16〕的社区有50×0.12＝6个，垃圾量为[16，18〕的社区有50×0.08＝4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14，16〕的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为[16，18〕的社区有2个，分别记为d，e，从中选取2个根本领件为：〔a，b〕，〔a，c〕，〔a，d〕，〔a，e〕，〔b，c〕，〔b，d〕，〔b，e〕，〔c，d〕，〔c，e〕，〔d，e〕，共10个，其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16，18]的社区〞为：〔a，d〕，〔a，e〕，〔b，d〕，〔b，e〕，〔c，d〕，〔c，e〕，〔d，e〕，共7个，∴重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16，18]的社区的概率为：P＝＝0.7．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：平面BCF⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕假设直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥A﹣CEF的体积．解：〔Ⅰ〕证明：设点G、H分别是CD，CB的中点，连接EG，FH，GH，那么GH∥DB，且DB＝2GH，因为EF∥DB，且DB＝2EF，所以EF∥GH，且EF＝GH，所以EFGH是平行四边形，可得FH∥EG，因为CE＝DE，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD，因为FH⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕连接BG，由〔Ⅰ〕可得EG⊥平面ABCD，因为直线BE与平面ABCD所成角为45°，所以∠EBG＝45°，所以BG＝EG，设AC∩BD＝O，连接OE，可得OEFB是平行四边形，所以OE∥BF，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以三角形ABD和三角形BCD都是边长为2的等边三角形，所以BG＝，所以V A﹣CEF＝V F﹣ACE＝V B﹣ACE＝V E﹣ABC＝S△ABC•EG＝S△BCD•EG＝××4×＝1．20．函数f〔x〕＝ax+1〔a∈R〕，g〔x〕＝sin x+cos x．〔Ⅰ〕当a＝1时，证明：不等式f〔x〕≥g〔x〕在[0，+∞〕上恒成立；〔Ⅱ〕假设不等式f〔x〕≥g〔x〕在[﹣，+∞〕上恒成立，求实数a取值的集合．【解答】〔Ⅰ〕证明：当a＝1时，令h〔x〕＝f〔x〕﹣g〔x〕＝x+1﹣sin x﹣cos x，x∈R，那么h′〔x〕＝1﹣cos x+sin x，当0≤x＜时，h′〔x〕＝1﹣cos x+sin x＞0，所以h〔x〕在[0，〕上单调递增，所以h〔x〕≥h〔0〕＝0，所以f〔x〕≥g〔x〕，当x≥时，h〔x〕＝x+1﹣sin〔x+〕≥+1﹣＞0，所以f〔x〕≥g〔x〕．综上所述，当a＝1时，不等式f〔x〕≥g〔x〕在[0，+∞〕上恒成立．〔Ⅱ〕令t〔x〕＝f〔x〕﹣g〔x〕＝ax+1﹣sin x﹣cos x，x≥﹣，那么t′〔x〕＝a﹣cos x+sin x，〔1〕当x≥0时，由题意得t〔x〕≥0在[0，+∞〕上恒成立，因为t〔0〕＝0，所以t′〔0〕＝a﹣1≥0，所以a≥1，当a≥1时，由〔Ⅰ〕得t〔x〕＝ax+1﹣sin x﹣cos x≥x+1﹣sin x﹣cos x≥0，所以当t≥0在[0，+∞〕上恒成立时a≥1；〔2〕当﹣≤x＜0时，由题意得t〔x〕≥0在[﹣，0〕上恒成立，因为t〔0〕＝0，所以t′〔0〕＝a﹣1≤0，所以a≤1，当a≤1时，t〔x〕＝ax+1﹣sin x﹣cos x≥x+1﹣sin x﹣cos x，由〔Ⅰ〕得h′〔x〕＝1﹣cos x+sin x＝1+sin〔x﹣〕＜0，所以h〔x〕在[﹣，0〕上单调递减，所以h〔x〕≥h〔0〕＝0，所以t〔x〕≥0，所以当t〔x〕≥0在[﹣，0〕上恒成立时a≤1．综上所述，实数a的取值集合为{1}．21．椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x＝与椭圆C 相交于D，E两个不同点，直线DA与直线DB的斜率之积为﹣，△ABD的面积为．〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；〔Ⅱ〕假设点P是直线l：x＝的一个动点〔不在x轴上〕，直线AP与椭圆C的另一个交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N，使得|MN|为定值，假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由．解：〔Ⅰ〕设D〔，y0〕，由题意得，∴，∴椭圆C的方程为．〔Ⅱ〕假设存在这样的点N，设直线PM与x轴相交于点T〔x0，0〕，由题意得TP⊥BQ，设直线AP的方程为：x＝my﹣2，点Q〔x1，y1〕，P〔，t〕，由得：〔m2+4〕y2﹣4my＝0，∴或y1＝0〔舍去〕，∴，∴Q〔，〕，∵，∴t＝，∴P〔，〕∵TP⊥BQ，∴＝〔x1﹣2〕+ty1＝0，∴x0＝＝＝0，∴直线PM过定点T〔0，0〕，取OB的中点N〔1，0〕，由OM⊥BM可知△MOB为直角三角形，∴|MN|＝|OB|＝1，∴存在定点N〔1，0〕，使得|MN|＝1．〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔〕＝．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕点A在曲线C上，且点A到直线l的距离为，求点A的直角坐标．解：〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕，转换为普通方程为．直线l的极坐标方程为ρcos〔〕＝，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．〔Ⅱ〕由于〔Ⅰ〕得：曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，利用点A〔〕到直线l的距离公式：d＝，整理得或＝2，所以，当cos时，A〔〕，当cos时，A〔〕．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕＝|x+m2|+|2x﹣m|〔m＞0〕．〔Ⅰ〕当m＝1时，求不等式f〔x〕≤6的解集；〔Ⅱ〕假设f〔x〕的最小值为，且a+b＝m〔a＞0，b＞0〕，求证：+2≤．解：〔Ⅰ〕当m＝1时，原不等式为|x+1|+|2x﹣1|≤6，即或或，解得﹣2≤x＜﹣1或或，∴原不等式的解集为[﹣2，2]；〔Ⅱ〕证明：由题意可得，∴，∴m＝1或〔舍去〕，∴a+b＝1，令，∴，当时，取等号．。
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
江苏省苏锡常镇四市2021届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)
江苏省苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|x<3，x ∈R }，B ＝{x |x >1，x ∈R }，则A ∩B ＝________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足zi＋4＝3i ，则复数z 的模为________．3. 一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n 的值为________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是________．6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为________．(第6题图)(第7题图)7. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积为________．8. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S n 成等比数列，则数列{a n }的公差为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________．10. 若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，0≤x<4，log 2（x －2）＋2， 4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________． 13. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy 的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1) 求证：MN ∥平面PAB ；(2) 若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD.(第16题图)如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求N－M的最大值及相应的x的值．(第17题图)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值； ②若直线l 的斜率为32，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．设函数f(x)＝x－2e x－k(x－2lnx)(k为实常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，4)内至在三个极值点，求k的取值范围．已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *. (1) 若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2) 设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．若12S n <S n ＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3) 若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学 (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学附加题 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．(第21A 题图)B. 选修4-2：矩阵与变换设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．D. 选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE.(1) 证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2) 求二面角ADFC 的大小．(第22题图)23. (本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n ，r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．(第22题图)密封线苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学参考答案 第页(共4页) (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (1，3) 2. 5 3. 320 4. (－2，4) 5. 256. 67. 138. 2 9. －2 10. (2，＋∞) 11. 36412. ⎣⎡⎦⎤3，2562713. (－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞14. 2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：(1) 由题意知，f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos (2x ＋π3)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，(4分)所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(6分) 当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为[－7π12＋k π，－π12＋k π](k ∈Z )．(8分) (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，(10分)当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，(12分)当2x ＋2π3＝4π2，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.(14分)16. 证明：(1) 取PB 中点E ，连EA ，EN ，△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，(3分)得EN ∥AM ，EN ＝AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得MN ∥AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ， ∴ MN ∥平面PAB(7分)(2) 过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，∵平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ， ∴ AH ⊥平面PMC ， ∴ AH ⊥CM.(10分)∵ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM.(12分) ∵ PA ∩AH ＝A ，PA ，AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ， ∵ AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥AD.(14分)17. 解：(1) 因为OA ＝x ，OB ＝x ，AB ＝y ＋1， 由余弦定理，x 2＋y 2－2xy cos 120°＝(y ＋1)2，解得y ＝x 2－12－x，(3分)由x>0，y>0得1<x<2，又x>y ，得x>x 2－12－x，解得1<x<1＋32，(6分)所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32.(7分)(2) M ＝kOB ＝ky ，N ＝4 3.S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k(3x －y)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ，(8分) 设2－x ＝t ∈⎝⎛⎭⎪⎫3－32，1， 则N －M ＝k ⎣⎡⎦⎤3（2－t ）－（2－t ）2－1t＝k ⎣⎡⎦⎤10－⎝⎛⎭⎫4t ＋3t≤k ⎝⎛⎭⎫10－24t·3t ＝(10－43)k.(11分) 当且仅当4t ＝3t 即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32，(13分) 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k.(14分) 18. 解：(1) 1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2a ＝12，得a 2＝4，b 2＝3.(2分)所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①设直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，化简得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，易知Δ>0，(5分) 所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 所以k AP ·k BP ＝y 1－32x 1－1·y 2－32x 2－1＝y 1－32my 1·y 2－32my 2＝1m 2·y 1y 2－32（y 1＋y 2）＋94y 1y 2 ＝－1m －34，(7分)所以t ＝k AB ·k AP ·k BP ＝－1m 2－34m ＝－⎝⎛⎭⎫1m ＋382＋964，(9分)所以当m ＝－83时，t 有最大值964.(10分)②设直线l 的方程为y ＝32x ＋n ，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ⎩⎨⎧y ＝32x ＋n ，x 24＋y23＝1，得3x 2＋23nx ＋2n 2－6＝0，Δ＝(23n)2－4×3(2n 2－6)>0， 即－6<n< 6.x 1＋x 2＝－23n3，x 1x 2＝2n 2－63，(12分)OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫32x 1＋n 2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋n 2＝74(x 21＋x 22)＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2＝74(x 1＋x 2)2－72x 1x 2＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2(14分) ＝74⎝⎛⎭⎫－233n 2－72⎝⎛⎭⎫2n 2－63＋3n(－233n)＋2n 2＝7.(16分) 19. 解：(1) 由函数f(x)＝e xx 2－(x －2ln x)(x>0)，可得f′(x)＝（x －2）（e x －x 2）x 3(2分)因为当x>0时，e x >x 2.理由如下： 要使x>0时，e x >x 2，只要x>2ln x ， 设φ(x)＝x －2ln x ，φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，于是当0<x<2时，φ′(x)<0；当x>2时，φ′(x)>0.即φ(x)＝x －2ln x 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln 2>0，即x>0时，x>2ln x ， 所以e x －x 2>0，(5分)于是当0<x<2时，f ′(x)<0； 当x>2时，f ′(x)>0.所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，(2，＋∞)上为增函数．(6分) 所以f(x)在x ＝2处取得最小值f(2)＝e 24－2＋2ln 2.(7分)(2) 因为f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，当k ≤0时，e xx 2－k>0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k>0.(8分)又f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，令g(x)＝e xx 2，得g′(x)＝e 2·（x －2）x 3，易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，在x ＝2处取得极小值， 得g(2)＝e 24，且g(4)＝e 416，(10分)于是可得y ＝k 与g(x)＝e x x2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(12分)设y ＝k 与g(x)＝e xx 2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，则有0<x 1<2<x 2<4，下面列表分析导函数f′(x)及原函数f(x)：x (0，x 1) x 1 (x 1，2) 2 (2，x 2) x 2 (x 2，4) 4 x －2 － － － 0 ＋ ＋ ＋ 2 e xx 2－k ＋ 0 － e 24－k － 0 ＋ e 416－k f ′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ ＋ f(x)递减极小值递增极大值递减极小值递增可知f(x)在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，2)上单调递增． 在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(16分) 20. 解：(1) 由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，(2分)所以34<x<3，x2<4<2x ，解得x ∈(2，3)．(4分)(2) 由题意得，∵12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴12q n －1<q n <2q n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12>0，q n －1（q －2）<0，∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，2.(6分)又∵12S n <S n ＋1<2S n ，∴而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意．(7分)当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－q n ＋11－q <2·1－q n 1－q ，∴①当q ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）>－1，q n （2q －1）<1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）>－1，q 1（2q －1）<1 解得q ∈⎝⎛⎭⎫12，1；(9分) ②当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）<－1，q n （2q －1）>1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）<－1，q 1（2q －1）>1，无解． ∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，1.(11分)(3) ∵12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1，∴12[1＋(n －1)d]<1＋nd<2[1＋(n －1)d]，n ＝1，2，…，k －1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）>－1，d （2－n ）<1，∴ d ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，(13分) 又∵ a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴ S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， ∴ d ＝240－2k k 2－k ，∴240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，解得k ∈(15，239)，k ∈N *，所以k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.(16分)附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A. 选修4-1：几何证明选讲解：因为DE 是⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，(3分)又AB 切⊙O 于点B ，得∠ABD ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.(5分) 即BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，(8分)由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，(4分) 设(x ，y )是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x ′，y ′)．则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，(6分) 所以x ′＝12x ，y ′＝2y ，且x ＝2x ′，y ＝12y ′，(8分)代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin2x ′，即y ′＝2sin2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x .(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23sin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，(3分) 所以x 2＋(y －3)2＝3.(5分) 设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，C(0，3)，PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，(8分) 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3，0)．(10分)D. 选修4-5：不等式选讲解：存在实数x 使f(x)＋g(x)>a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a ，(2分)因为f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，(4分)由柯西不等式：(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x)＝64，(7分) 所以f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，(9分) 故常数a 的取值范围是(－∞，8)．(10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．22. 解：(1) 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，2)．∵ E 为AB 的中点，∴ E 点坐标为E(1，1，0)， ∵ D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1，1，－2)＝(23，23，－43)，DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.(2分)设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，(3分)设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1)，(4分) ∵n·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0， ∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(5分)(2) 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则 q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)，(7分) 设二面角A -DF -C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos θ＝－⎪⎪⎪⎪n·q |n |·|q |＝－0＋0＋12×2＝－12，(9分) ∴二面角A -DF -C 的大小为120°.(10分)23. 解：(1) 杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0，1，2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k nC k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45，即么3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，(2分)解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.(3分)即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(4分) (2) 若有n ，r(n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列，则2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ， 即2·n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＝n ！r ！（n －r ）！＋n ！（r ＋2）！（n －r －2）！，2·n ！（r ＋2）！（n －r －2）！＝n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＋n ！（r ＋3）！（n －r －3）！.(6分)所以有2（r ＋1）（n －r －1）＝1（n －r －1）（n －r ）＋1（r ＋1）（r ＋2），2（r ＋2）（n －r －2）＝1（n －r －2）（n －r －1）＋1（r ＋2）（r ＋3），经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r(r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0. 两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，(8分)而由二项式系的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3<C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3， 这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)。
2021届山东省济宁市高三二模数学试题(解析版)
2021届山东省济宁市高三二模数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2A x x =≥，(){}2log 11B x x =-<，则()UA B =（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞C ．()1,2D ．()1,3【答案】C【分析】解出集合B ，利用补集和交集的定义可求得集合()UA B ⋂.【详解】由()2log 11x -<，可得012x <-<，解得13x <<，则()1,3B =， 因为{}2A x x =≥，U =R ，则(),2UA =-∞，因此，()()1,2U AB =.故选：C.2．已知()2i z i -⋅=，i 为虚数单位，则z =（ ）A ．B ．1C ．2D 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z . 【详解】()2i z i -⋅=，所以，()()()22112222555i i i i z i i i i +-====-+--+，因此，z ==. 故选：A.3．“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必安条件【答案】B【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为当直线m 垂直平面α内的所有直线时，才能得到m α⊥， 所以由直线m 垂直平面α内的无数条直线不一定能推出m α⊥， 但是由m α⊥一定能推出直线m 垂直平面α内的无数条直线， 所以直线m 垂直平面α内的无数条直线是m α⊥的必要不充分条件，故选：B4．已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ，若()00.2P X ≤=，则()2P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】D【分析】根据正态分布的性质进行求解即可.【详解】因为()00.2P X ≤=，所以()()21010.20.8P X P X <=-<=-=， 故选：D5．已知椭圆22:143x y C +=，过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．3220x y --= B ．3240x y +-= C ．3450x y +-= D ．3410x y --=【答案】B【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，由中点坐标公式可得121212122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121221x x y y +=⎧⎨+=⎩， 因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212043x x y y --+=，即2212221234y y x x -=--， 即121212121324ABy y y y k x x x x +-⋅==-+-，所以，32AB k =-， 因此，直线AB 的方程为()13122y x -=--，即3240x y +-=. 故选：B.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 6．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点()3,1M-和点()0,1N ．若点P 在MON ∠的角平分线上，且4OP =，则OP MN ⋅=（ ）A ．2-B ．6-C ．2D ．6【答案】A【分析】根据平面几何知识求出xOP ∠，进而得到点P 的坐标，再根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．【详解】如图所示：因为3tan xOM ∠=，所以30xOM ∠=，即有60NOP ∠=，30xOP ∠=， 所以点P 的坐标为()23,2，即OP =()23,2，又()3,2MN =- 因此(233222OP MN ⋅=-+⨯=-． 故选：A ．7．已知函数()12ln ,112ln ,01x x f x x x -+>⎧=⎨-<≤⎩，若()()f a f b =，则a b +的最小值是（ ）A ．2eB ．eC ．1e +D ．2e【答案】C【分析】先由()()f a f b =得到ab e =，把a b +转化为ea b a a+=+，利用函数单调性求出最小值.【详解】函数()12ln ,112ln ,01x x f x x x -+>⎧=⎨-<≤⎩的图像如图所示，作出y t =交()y f x =两点，其横坐标分别为a 、b ，不妨设01a b <≤<.由()()f a f b =可得：12ln 12ln a b -=-+，解得：ab e =， 所以e a b a a+=+ 记()()01eg a a a a=+<≤， 任取1201a a <<≤，则()()()()12121212121212==1e e e e e g a g a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
2021届山东省实验中学高三第二次模拟数学试题(解析版)
2021年山东省实验中高考数学二模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（）A．1B．0C．2D．﹣23．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A．28B．29C．30D．315．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c 的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．16．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）A．48B．50C．98D．688．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（）A．2B．2log23C．4D．4log23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021年高三2月模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列推理是归纳推理的是( )A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积,猜想出椭圆的面积D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2. 已知等差数列1，，等比数列3，，则该等差数列的公差为（）A．3或B．3或C．3 D．3. 如右框图，当x1=6,x2=9,p=8.5时，x3等于( )A．11 B．10C．8 D．74．已知，, ,则（）A．B．C．D．5.已知复数满足，则等于（）A. B. C. D.6．已知为实数，条件p：2<，条件q：≥1，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ） A. B. C. D. 8.已知函教的图象与直线y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8， 则的单调递增区间是（ ） A.B.C. D. 无法确定9、定义在上的偶函数，当时，若存在，使方程 的实数根，则的取值集合是 （ ）A ．{0}B ． {－3}C ．{－4，0}D ．{－3，0}10. 设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若·=6， △OAB 的重心是G ，则|| 的最小值是( )A.1 B ．2 C ．3 D ．4 11.已知函数有两个极值点且满足，则直线的斜率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．12. 已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和,则＝( )A ．B ．C ．45D ．55第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为14.正四面体ABCD 的外接球的球心为0,E 是BC 的中点，则直线OE 与平面BCD 所成角的正切 值为 .15.设点是椭圆上一点， 分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是 -16．给出以下四个结论：（1）若关于的方程在没有实数根，则的取值范围是 （2）曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是 （3）已知点与点在直线两侧, 则3b-2a>1; （4）若将函数的图像向右平移个单位后变为偶函数，则 的最小值是;其中正确的结论是： __________________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17.（本小题共12分）已知在中，，且与是方程的两个根. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，求的长.18．（本题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有 关数据如图所示.(Ⅰ)求出该几何体的体积。
(Ⅱ)若是的中点，求证：平面； (Ⅲ)求证：平面平面.19. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破侧视图俯视图MDEBACN坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．频率⑴求全班人数及分数在之间的频数；⑵估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；⑶若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．20设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知定义在正实数集上的函数,（其中为常数，）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同。
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)当时, xaexgeaexxf)2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的、倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|.（Ⅰ）若不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+4)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.答案一、选择题BCBDBACCDB AC二、填空题13、14 15 16.（2）（3）（4）三、解答题17.解：(Ⅰ) 由所给条件，方程的两根. 2分4分6分(Ⅱ) ∵ , ∴.由(Ⅰ)知，，为三角形内角∴. 8分且为三角形内角. . 10分由正弦定理, 11分得. 12分20. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥中，平面平面，所以，平面………………………2分又，则四棱锥的体积为：…………4分(Ⅱ)连接，则又，所以四边形为平行四边形，…………6分平面,平面,所以，平面；……………8分(Ⅲ) ,是的中点,又平面平面平面……………………10分由(Ⅱ)知：平面又平面所以，平面平面. ………………………12分19.⑴由茎叶图知，分数在之间的频数为，频率为，全班人数为．所以分数在之间的频数为⑵分数在之间的总分为；分数在之间的总分为；分数在之间的总分数为70101233456789747⨯++++++++++=；分数在之间的总分约为；分数在之间的总分数为；所以，该班的平均分数为．估计平均分时，以下解法也给分：分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；所以，该班的平均分约为550.08650.28750.40850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=频率分布直方图中间的矩形的高为．⑶将之间的个分数编号为，之间的个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，，，，，，，共个，其中，至少有一个在之间的基本事件有个，故至少有一份分数在之间的概率是．20.（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．··················································································································2分如图，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．············································································分（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，2h==． ········································································9分又，所以四边形的面积为1211()5225(14S AB h hk=+==+当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．······································································12分21.解： (Ⅰ), …………………1分设函数与的图象有公共点为由题意得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ……………………2分 解得: …………… (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 所以x a x e x g ea ex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++-，即 当时，，且等号不能同时成立，所以,则由(1)式可得在上恒成立 ……………………9分 设,又 …………………11分 显然有又所以(仅当时取等号)，在上为增函数 …………………12分 故所以实数的取值范围是. …………………14分 22.23. 解：（Ⅰ）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x-y-6=0. ∵C 2：（=1 ∴C 2：的参数方程为：（θ为参数）……5分 （Ⅱ）设P （cos θ，2sin θ），则点P 到l 的距离为： d=5|6)60sin(4|5|6sin 2cos 32|--︒=--θθθ， ∴当sin(60°-θ)＝-1即点P （-,1）时，此时d wax =[=2……10分24. 法一、（Ⅰ）由f(x)≥3得|x-a|≥3，解得x≤a-3或x≥a+3．又已知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤-1或x≥5}，所以，解得a=2.……5分（Ⅱ）当a=2时，f(x)=|x-2|，设g(x)=f(x)+f(x+4)，于是g(x)=|x-2|+|x+2|=[JB({]-2x,x＜-24，-2≤x≤22x，x＞2[JB)] 所以当x＜-2时，g(x)＞4；当-2≤x≤2时，g(x)=4；当x＞2时，g(x)＞4。