第十一讲 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题讲义
鸡兔同笼问题讲义例、笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？解法1 假设法假设一个未知数是已知的，比如假定50个头全是兔，则共有脚（4×50=）200（只），这与题中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚，所以鸡的只数是（60÷2=）30（只），则兔的只数为（50-30＝）20（只）。
解法2 公式法让每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只），其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为（70－50＝）20（个），即兔有20只，则鸡有（50－20＝）30（只）。
实际上我们用了如下的公式。
脚数和÷2-头数和=兔子数。
典型例题例【1】鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。
笼中鸡兔各有多少只？分析题目中给出了鸡、兔共45只。
如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。
而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。
为什么呢？因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。
如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2＝17（只）。
所以鸡有17只，兔子有28只。
当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。
解法一假设全是兔子。
（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——鸡45－17＝28（只）——兔解法二假设全是鸡。
（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔45－28＝17（只）——鸡答：鸡有17只，兔子有28只。
小试身手：1、鸡兔同笼，头共20个，足共62只，求鸡与兔各有多少只？2、鸡兔同笼，头共35个，脚共94只，求鸡与兔各有多少个头？例【2】盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。
【思维导引】数学三年级 第11讲 鸡兔同笼问题一(教师版+学生版,含详细解析)
第11讲鸡兔同笼问题一典型问题◇◇兴趣篇◇◇1. 一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿。
如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，你知道鸡和兔子各有几只吗？答案：鸡7只，兔子3只【分析】假设全为鸡，一共有10×2条腿，少26-10×2条腿。
兔：（26-10×2）÷（4-2）=3（只）鸡：10-3=7（只）2. 停车场上的自行车和三轮车一共有24辆，其中每辆自行车有2个轮子，每辆三轮车有3个轮子，所有自行车和三轮车一共有56个轮子。
请问：有多少辆自行车？有多少辆三轮车？答案：自行车16辆，三轮车8辆【分析】假设全是三轮车，有24×3个轮子，多出了24×3-56个轮子。
一共有自行车：（24×3-56）÷（3-1）=16（辆）三轮车有：24-16=8（辆）3. 晨星小学有30间宿舍，其中大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。
如果这些宿舍一共可以住168人，那么有几间大宿舍？答案：24间【分析】假设全为小宿舍，一共能住4×30个人，少了168-4×30人大宿舍一共有（168-4×30）÷（6-4）=24（间）4. 理想小学150名教师参加新年联欢会，其中有一个趣味游戏，要求男教师2人一组，女教师3人一组。
结果共分了62组，恰好分完。
请问：女教师有多少人，男教师有多少人？答案：女教师78人，男教师72人【分析】假设每组全为男老师，一共有62×2人，少了150-6×2人女老师共有（150-62×2）÷（3-2）=26（组），26×3=78（人）男老师有：（62-26）×2=72（人）5. 阿奇的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。
这两种硬币各有多少枚？答案：1元硬币13枚，5角硬币12枚【分析】假设阿奇的硬币全为1元，一共有25×10角，实际为19角，少了25×10-190角∴5角硬币一共（250×10-190）÷（10-5）=12（枚），1元硬币有25-12=13枚。
鸡兔同笼问题ppt
04
问题拓展与延伸
鸡兔同笼问题的变体
变体一
已知头数和腿数，求鸡兔各有多少只？ 这是最常见的鸡兔同笼问题，可以通 过设立方程来解决。
变体三
已知鸡兔的总数和鸡兔腿数的差，求鸡 兔各有多少只？这个问题可以通过设立 一个方程来解决，表示鸡兔腿数的差。
变体二
已知鸡兔的总数和腿的总数，求鸡兔各有 多少只？这个问题可以通过设立两个方程 来解决，分别表示鸡兔的头数和腿数。
图形法：在坐标系中分别画出两个方程对应的直线，找出两条直线的交点，即为方程组的解。 这种方法适用于较简单的方程组，但对于较复杂的方程组可能不太适用。
03
多种解题方法探讨
假设法
假设全是鸡
根据鸡和兔的总数量，先假设全部是鸡，然后计算脚的数量，与实际脚的数量比 较，得出差值即为兔的数量。
假设全是兔
同理，也可以先假设全部是兔，然后计算脚的数量，与实际脚的数量比较，得出 差值即为鸡的数量。
编程法
01
枚举法
通过枚举所有可能的鸡和兔的组合，找到满足条件的组合。这种方法适
用于数量较小的情况。
02
递归法
通过递归调用函数来求解问题。可以设置递归终止条件，当满足条件时
返回结果。
03
动态规划
利用动态规划的思想来解决问题。可以将问题拆分成若干个子问题，通
过求解子问题来得到原问题的解。这种方法适用于数量较大的情况。
鸡兔同笼问题的基本解法
通过设立方程，利用已知条件求解未知数。
方程的建立与求解
根据题目中给出的头数和脚数，设立二元一次方程组，通过消元法 或代入法求解。
实际问题中的应用
鸡兔同笼问题不仅仅是一个数学问题，还可以应用于实际生活中类 似的问题，如分配问题、运输问题等。
人教版第十一册数学广角《鸡兔同笼》ppt课件
4X + 2（35-X）= 94 4X + 70 - 2X = 94 70 + 2X=94 2X=94 - 70 X=12
鸡：35 – 12=23（只）
方法二：假设法
假设全是鸡：
35 × 2 = 70（只脚） 94 – 70 = 24 （只脚） 鸡：24 ÷ （4 – 2）= 12（只） 兔：35 – 12=23（只）
6 8024 6 8 02
大约在1500年前，《孙子算经》 里面记载了许多有趣的数学问题。
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数， 有8个头；从下面数，有26条腿。鸡和 兔各有几只？
鸡+兔=8只 鸡的腿+兔的腿=26条腿
解:设兔有X只，鸡有（8-X）只。 4X+2（8-X）=26 4X+16-2X=26 16+2X=26 2X=26-16 X=5
笼子里有若干只鸡和兔.从上面数,有8个头, 从下面数,有26只脚.鸡和兔各有几只? 假设法:
2×8=16(只) 26－16=10(只) 10÷2=5(只) 8－5=3(只)
答:鸡有3只,兔有5只.
笼子里有若干只鸡和兔.从上面数,有8个头, 假设法 从下面数,有26只脚.鸡和兔各有几只?
4×8=32(只) 32－26=6(只) 6÷2=3(只) 8－3=5(只) 答:鸡有3只,兔有5只.
笼子里有若干只鸡和兔.从上面数,有35 个头,从下面数,有94只脚.鸡和兔各有几只?
停车场里一共有10辆普通摩托车和三轮 摩托车，一共回收废旧轮胎26条。停车 场里普通摩托车和三轮摩托车各多少辆？
Байду номын сангаас
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，
《鸡兔同笼》ppt课件
06 问题拓展与延伸
鸡兔同ห้องสมุดไป่ตู้问题变形
变形一
已知头数和腿数，求鸡兔各多少只。
变形二
已知鸡兔总数和腿数差，求鸡兔各多少只。
变形三
已知鸡兔互换后总腿数的变化，求鸡兔各多少只 。
其他类似数学问题介绍
百僧分馍问题
一百个和尚分一百个馒头，大和尚一人分三个，小和尚三 人分一个，正好分完。问大和尚和小和尚各有多少人？
01
02
03
04
城市规划
运用数学建模思想，可以合理 规划城市布局，优化交通网络
，提高城市运行效率。
经济学
数学建模在经济学中广泛应用 ，如预测市场趋势、分析消费 者行为、制定经济政策等。
工程学
在工程学中，数学建模可以帮 助工程师设计更稳定、更高效 的建筑结构、机械系统等。
医学
数学建模在医学领域也有应用 ，如预测疾病传播、分析药物
验证答案正确性
验证方法
将求得的鸡和兔的数量代入原方程组，检验是否满足题目条件。
注意事项
在验证答案时，要确保代入后的等式左右两边相等，否则需要重新检查求解过程。
05 图形法解题步骤与技巧
绘制图形表示鸡兔数量关系
绘制基本图形
用圆形表示动物头部，用 竖线表示动物身体，用两 条斜线表示鸡的脚，用四 条斜线表示兔的脚。
《鸡兔同笼》ppt课 件
目录
• 问题引入 • 解题思路与方法 • 假设法解题步骤与技巧 • 方程法解题步骤与技巧 • 图形法解题步骤与技巧 • 问题拓展与延伸
问题引入
01
古代数学问题
01
算术问题
古代数学问题多以算术为主，涉及整数、分数、比例等 计算。
鸡兔同笼讲义
典型应用题之鸡兔同笼一、基本问题“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是244÷2=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34，有34只兔子.当然鸡就有54只.答：有兔子34只，鸡54只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数÷2-总头数=兔子数.上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68÷2=34（只）.说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8×（11+19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5.就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数19×10+11×6=256.比280少24.24÷（19-11）=3，就知道设想6只“鸡”，要少3只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）=4.5，“鸡”数=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.答：甲打字用了4小时30分.例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.1998年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是（25-14）×4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10）÷（3-1）=15（岁）.这是2003年.答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.例5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？解：对2道、3道、4道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-1×7-5×6=144（道）.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.对4道题的有（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.答：做对4道题的有31人.习题一1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少只？2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元、5元、10元各有多少张？5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？7.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？二、“两数之差”的问题鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.（680-8×40）÷（8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.因此8分邮票有40+30=70（张）.答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8×3）÷（10+8）= 7（天）.雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）.答：这项工程17天完成.请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.鸡是100-38=62（只）.答：鸡62只，兔38只.当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的办法.解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4×50-2×50=100，比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是（100-28）÷（4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差13×5×4+20=280（字）.每首字数相差7×4-5×4=8（字）.因此，七言绝句有28÷（28-20）=35（首）.五言绝句有35+13=48（首）.答：五言绝句48首，七言绝句35首.解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与题目中“少20字”相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200÷8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.例9，假设都是兔，鸡的只数是（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5×19-1×（24- 9）=90.第二次得分8×11-2×（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分.解二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是（6×9+10）÷（6+10）=4（题）·第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.习题二1.买语文书30本，数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少？2.甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克？3.一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天.其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天？4.某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题？5.甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分.每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分.问甲、乙各中几发？6.甲、乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度.三、从“三”到“二”“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.例13学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.铅笔和圆珠笔共232－12＝220（支）.其中圆珠笔220÷（4+1）=44（支）.铅笔220-44=176（支）.答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.例14商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.从公式可算出，大球个数是（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.买中、小球钱数各是（120-30×3）÷2=15（元）.可买10个中球，15个小球.答：买大球30个、中球10个、小球15个.例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了.例15是为例16作准备.例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离÷所用时间去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）÷2=4.5千米.例16从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是（90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是45-5×3=30（千米）.又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.行走路程是3×4=12（千米）.下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.例17某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.每次考25道题，就要多25-16=9（道）.每次考20道题，就要多20-16=4（道）.就有9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.答：其中考25题有2次.例18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车，110-1.2×30=74（元）.还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车110-1.2×40=62（元）.还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有35是5的整数倍.现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：总头数 50-35=15，总脚数 110-1.2×35=68.因此，乘小巴前往的人数是（6×15-68）÷（6-4）=11.答：乘小巴前往的同学有11位.在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.习题三1.有100枚硬币，把其中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总数变成79个，然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币，硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱？2.“京剧公演”共出售750张票得22200元.甲票每张60元，乙票每张30元，丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍.问其中甲票有多少张？3.小明参加数学竞赛，共做20题得67分.已知做一题得5分，不答得2分，做错一题倒扣3分.又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题？4.1分、2分和5分硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.问三种硬币各多少枚？注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米，走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时6千米.去时行走了4小时50分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡、平路、下坡各多少千米？6.某学校有12间宿舍，住着80个学生.宿舍的大小有三种：大的住8个学生，不大不小的住7个学生，小的住5人.其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间？测验题1.松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个. 它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨？2.有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟？3.某工程甲队独做50天可以完成，乙队独做75天可以完成.现在两队合做，但是中途乙队因另有任务调离了若干天.从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？4.小华从家到学校，步行一段路后就跑步.他步行速度是每分钟600 ，跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟，但步行的距离却比跑步的距离少400米.问从家到学校多远？5.有16位教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生.其中带1个研究生的教授人数与带2、3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人？6.某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？7.有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？第三讲答案习题一1.龟75只，鹤25只.2.象棋9副，跳棋17副.3.2分硬币92个，5分硬币23个.应将总钱数2.99元分成2×4+5=13（份），其中2分钱数占2×4=8（份），5分钱数占5份.4.2元与5元各20张，10元有10张.2元与5元的张数之和是（10×50-240）÷［10-（2+5）÷2］=40（张）.5.甲先做了4天.提示：把这件工程设为36份，甲每天做3份，乙每天做2份.6.第一种路段有14段，第二种路段有11段.第一种路段全长13千米，第二种路段全长9千米，全赛程281千米，共25段，是标准的“鸡兔同笼”.7.最多可买1角邮票6张.假设都买4分邮票，共用4×15=60（分），就多余100-60=40（分）.买一张1角邮票，可以认为40分换1角，要多6分.40÷6=6……4，最多买6张.最后多余4分，加在一张4分邮票上，恰好买一张8分邮票.习题二1.语文书1.74元，数学书1.30元.设想语文书每本便宜0.44元，因此数学书的单价是（83.4-0.44×30）÷（30+24）.2.买甲茶3.5千克，乙茶8.5千克.甲茶数=（96×12-354）÷（132+96）=3.5（千克）3.一连运了27天.晴天数=（11×3+27）÷（16-11）=12（天）4.小华做对了16题.76分比满分100分少24分.做错一题少6分，不做少5分.24分只能是6×4.5.甲中8发，乙中6发.假设甲中10发，乙就中14-10=4（发）.甲得4×10=40（分），乙得5×4-3×6= 2（分）.比题目条件“甲比乙多10分”相差（40-2）-10=28（分），甲少中1发，少4+2=6（分），乙可增5+3=8（分）.28÷（6+8）=2.甲中10-2=8（发）.6.小张速度每小时6千米，小王速度每小时4.5千米.王的速度是每小时注：为了避免分数运算，路程以米为单位，时间以分钟为单位，就可以达到目的.习题三1.原有2分和5分80个.2.甲票有150张.两张丙票与一张乙票平均价是（3+18×2）÷（1+2）=22（元），甲票数=（22200-22×750）÷（60-22）=150（张）.3.小明做对14题.一题不答，与一题做错，平均分倒扣0.5分.（注意不是2.5分）做对题数=（67+20×0.5）÷（5+0.5）=14（题）.4.1分51个，2分32个，5分17个.假设再有13个1分硬币加入其中.这样2分币值就与1分币值相等.1个不过要注意，此时硬币个数为100+13=113（个），总币值为200+13=213（分）.5.从甲地到乙地平路10千米，上坡6千米，下坡8千米.我们提供一个与例16稍不同的解法.距离=速度×时间也可写成上坡速度每小时4千米，也可以说每千米用15分钟，下坡是每千米用时间总共290+300=590（分钟）作“总脚数”，来回距离24×2=48（千米）为“头数”，两种“脚数”是15与10的平均数12.5与12.因此来回平路的行程是（12.5×48-590）÷（12.5-12）=20（千米）.单程平路10千米，行走时间120分种，从甲地到乙地，上坡距离是［（290-120）-（24-10）×10］÷（15-10）=6（千米）.下坡距离=14-6=8（千米）.取速度的倒数作“脚数”，是为了计算方便，10，12，15毕竟是很好算的数，可以避免分数运算.方法是死的，关键在于灵活运用，上面这一题就是例证.6.不大不小的宿舍是7间.如果12间都是小的，只能住60人，还有20人未住下.大的每间可以多8-5=3（人），不大不小每间多住7-5=2（人）.20是偶数，大的间数一定是偶数，不大不小最多，就要使大的尽可能少.大的最少是2间，不大不小是（20-3×2）÷2=7（间）.小的是12-2-7=3（间），7最大.如果没有“不大不小宿舍最多”这一条件，本题就有三种解答.大的间数，可以是2，4，6三个数.测验题1.有6天雨天.。
鸡兔同笼课件ppt
鸡兔同笼问题简介鸡兔同笼问题的数学模型鸡兔同笼问题的解法鸡兔同笼问题的变种和扩展鸡兔同笼问题的实际应用总结与展望
目录
CONTENTS
鸡兔同笼问题简介
这个问题反映了古代人们对日常生活中的数学现象的好奇和探索，是数学与实际生活相结合的典型例子。
随着时间的推移，鸡兔同笼问题逐渐演变成一个经典的代数问题，被广泛用于教学和数学竞赛中。
增强问题解决能力
在计算机科学中，算法设计和数据结构等方面的问题常常涉及到类似鸡兔同笼问题的求解，例如在算法优化和数据挖掘等领域。
计算机科学
在物理学中，类似鸡兔同笼问题的物理现象和问题也时有出现，例如在力学、光学等领域的研究中，需要运用数学和物理知识来解决类似的问题。
物理学
总结与展望
鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，它涉及到了一元一次方程的求解，是代数方程的初步知识。通过解决这个问题，学生可以加深对一元一次方程的理解，掌握代数方程的基本解法。
结果解释
03
所以，笼子里有鸡70只，兔子30只。
鸡兔同笼问题的解法
方程组法概述
方程组的建立
解方程组
示例
01
02
03
04
通过建立多个方程来表示鸡兔同笼问题中的多个未知数，然后解方程组求解未知数。
根据题目条件，建立多个关于鸡和兔的方程，通常涉及三个或更多未知数。
通过消元法或代入法等手段，解出方程组中的未知数，得出鸡和兔的数量。
鸡兔同笼问题起源于中国古代的数学趣题，最早记载于《孙子算经》中。
鸡兔同笼问题具有很高的教学价值，是培养学生逻辑思维和代数思维的重要工具。
通过解决鸡兔同笼问题，学生可以学习到如何运用代数方程来解决实际问题，提高数学应用能力。
三年级奥数金典讲义第十一讲鸡兔同笼问题通用版(含答案)
三年级奥数金典讲义(jiǎngyì)第十一讲鸡兔同笼问题通用版（含答案）例1（古典(gǔdiǎn)题）鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?分析(fēnxī) 如果 46只都是兔,一共(yīgòng)应有 4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比(xiānɡ bǐ)多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2（只）脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只?（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）②免有多少只?46-28=18（只）答：鸡有28只,免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数×兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数当然,也可以先假设全是鸡。
例2鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?分析这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只）,这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只）,所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
《鸡兔同笼问题》课件
实际应用：鸡兔同笼问题的拓展
鸡兔同笼问题的实际应用
鸡兔同笼问题不仅仅是一个数学问题，它也有许多实际应用，如农场动物管理、人口统计等。
鸡兔同笼问题的拓展和变形
鸡兔同笼问题还可以进行扩展和变形，如考虑不同的限制条件、添加其他动物，需要寻找新 的解法。
其他相关问题探讨
除了鸡兔同笼问题，还有其他类似的问题可以探讨，如鱼蛙共处等，这些问题都能锻炼我们 的思考能力。
总结
1
鸡兔同笼问题的解法总结
鸡兔同笼问题可以通过代数法、图形
实际应用和拓展的总结
2
法和列表法三种方法来解决，每种方 法都有其特点和适用场景。
鸡兔同笼问题在实际应用中具有广泛
的应用价值，并可以通过拓展和变形
来更深入地研究。
3
鸡兔同笼问题的意义和影响ห้องสมุดไป่ตู้
鸡兔同笼问题的解法对培养我们的逻 辑思维和解决问题的能力有着重要的 影响，同时也激发了我们对数学的兴 趣。
《鸡兔同笼问题》课件
# 鸡兔同笼问题 ## 什么是鸡兔同笼问题 - 鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，描述了如何在一个笼子里放鸡和兔的情况下，根据数量来求解 鸡和兔各自的数量。 - 这个问题有趣而有实际意义，可以帮助培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
鸡兔同笼问题的解法
方法一：代数法
方法二：图形法
方法三：列表法
使用方程来解决鸡兔同笼问题， 通过列方程、消元和求解等步 骤，得到鸡和兔的具体数量。
使用图形来解决鸡兔同笼问题， 通过绘制鸡和兔的数量图形， 找到它们相交的点，即得到鸡 和兔的具体数量。
使用列表来解决鸡兔同笼问题， 通过列出鸡和兔的可能数量组 合，逐一验证，找到符合条件 的组合，即得到鸡和兔的具体 数量。
《鸡兔同笼》PPT课件
在数学中的应用
代数运算
鸡兔同笼问题可以通过代数运算进行求解，涉及到方程的建立和求解等数学知识。通过这类问题的训练， 可以提高学生的代数运算能力和数学思维能力。
数学建模
鸡兔同笼问题可以看作是一个简单的数学建模问题。在数学建模中，需要将实际问题抽象成数学模型，并 运用数学方法进行求解。通过鸡兔同笼问题的学习，可以引导学生初步了解数学建模的思想和方法。
方程法
一元一次方程
设鸡为x只，兔为y只。根据题目中给出的头数和脚数，可以列出一个包含x和y的一 元一次方程，然后解方程求出x和y的值。
二元一次方程组
同样地，也可以设鸡为x只，兔为y只，但是列出两个包含x和y的二元一次方程组。 通过解这个方程组，可以求出x和y的值。
列表法
逐一列举
根据题目中给出的头数和脚数的范围，可以逐一列举出所有可 能的鸡和兔的组合，并计算每种组合下的脚数。然后与实际脚 数进行比较，找出符合条件的组合。
示例
一个笼子里有鸡、兔和猪， 共有35个头和94只脚，求 鸡、兔和猪各有多少只？
不同数量级动物同笼问题
描述
笼子里的动物数量级相差 较大，例如鸡的数量远多 于兔。
解决方法
可以通过合理的估算和假 设，简化问题求解的难度。
示例
一个笼子里有大量的鸡和 少量的兔，共有1000个头 和2700只脚，求鸡和兔各 有多少只？
《鸡兔同笼》问题在现代教育中仍然具有重要意义，被广泛应用于小学数学、初中 数学等课程中。
课件目的
帮助学生理解《鸡兔同笼》问 题的背景、意义和解法，提高 学生的数学素养和解决问题的 能力。
通过对该问题的深入剖析和多 种解法的探讨，培养学生的数 学思维和创新能力。
引导学生体会数学在解决实际 问题中的应用价值，激发学生 学习数学的兴趣和动力。