奇异非线性二阶三点边值问题的正解存在唯一性

吉林大学硕士学位论文奇异非线性二阶三点边值问题的正解存在唯一性作者姓名：吕桂霞专业：应用数学指导教师：王俊禹教授培养单位：吉林大学数学所二○○○年十月目录引言和主要结果..................1 主要结果的证明..................3 致谢.................................14 参考文献...........................15 中文摘要...........................17 英文摘要 (19)§１引言和主要结果　 二阶线性常微分方程多点边值问题的研究首先是由Ｉｌ＇ｉｎ开始的［１，２］．受此启发，Ｇｕｐｔａ讨论了一类非线性常微分方程三点边值问题的可解性［３］．此后，更一般的多点边值问题的可解性问题受到普遍重视［４－１０］．但所有这些工作只涉及解的存在性，而未涉及正解的存在性．最近，马如云讨论了一类二阶三点边值问题的正解的存在性［１１，１２］．但以上这些工作均未涉及具有奇性的多点边值问题正解的存在性．　 在本文中，我们研究如下形状的二阶三点边值问题　)()1(,0)0(,10),,(??????????????u u u t u t f u ⑴ 正解的存在唯一性．此处，我们采用如下假定：　（Ｈ１）　10),1,0(??????．　　（Ｈ２）),(u t f 是定义在),0()1,0(???上的函数，它满足条件： ①对于每个固定的),(),,0(u t f u ???于)1,0(上非负可测，　,),()1(),(1???????ds u s f s ds u s sf ??　 并且00??u ，使得　?????10 00;)ds ,()1(),(??u s f s ds u s sf②对于几乎所有的),(),1,0(u t f t ?作为ｕ的函数是连续不增的．　 在上述条件下，不仅允许),(u t f 在0?u 处具有奇性，也允许在0?t 和1?t 处具有奇性．例如　?),(u t f ??)1(1t t eu?　满足条件（Ｈ1）和（Ｈ２），这里０＜??,＜２． 在本文中，我们应用Ｇｒｅｅｎ函数的正性、摄动技巧、比较原理和Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理得到本文主要结果如下：　 定理：如果假设条件（Ｈ1）和（Ｈ２）成立，则问题⑴存在唯一正解． 正解定义见下文．　§２　主要结果的证明　在本节中，我们总假定),(u t f 满足条件（Ｈ1）和（Ｈ２）．　为了证明边值问题⑴的正解的存在性，我们考虑如下形状的摄动问题　,)1()()1(,)0(,10),,(????????????h u u h u t u t f u ??? h )2(　其中0?h 是非负参数．　注：当0?h 时，问题h )2(即问题⑴．　定义：对固定的0?h ，我们称函数)(t u 是问题h )2(的正解，如果)(t u 满足：　（ⅰ）]1,0(,0)(],1,0[???t t u AC u ，且　;)1()()1(,)0(h u u h u ???????　（ⅱ）];1,0[)1,0(1L AC u loc ???　（ⅲ）),1,0(1loc L u ??　,)()1()(1??????????dt t u t dt t u t ??且　))(,()(t u t f t u ???， )1,0( ..?t e a ． 引理１ 对给定的0?u ，有　.0),()1(lim ,0),(lim 1???????tt tt ds u s f t ds u s f t ??证明：先证第一个等式．　设, 0 ,),()( ??????t ds u s f t t v t则　????),()(0tds u s sf t v ??????,),(ds u s sf ),(),()( u t tf ds u s f t v t?????．　考虑　dt t v ???)(　,),(),(),(),( 0??????????????dt u t tf ds u s f dt dtu t tf ds u s f tt 交换上述积分次序，得　.),(),(),(),( 0????????????????dt u t tf ds u s sf dt u t tf dt u s f ds s 上式说明],0[)(1?L t v ??．　],0[???x ，求　,),(),()( 0???????xtxxdt u t tf ds u s f dt dtt v ?交换上述积分次序，得　.)(),(),(),(),( 0?????????????xxs xxxx v ds u s f x dt u t tf dt ds u s f dt ds u s f 这说明0)(lim 0??t v t ，即第一个等式成立．　同理可证第二个等式成立． 引理２ 设)(t u 是积分方程　b t a ds s u s f s t Gt u bab a ????,))(,(),()( ],[的一个正解，则)(t u 是边值问题　???????????0)()(,),,(b u a u b t a u t f u 的正解．　其中????????????????. ),)((,),)((),(11],[b s t a a t s b b t s a a s t b s t G ab a b b a )(?　证明：直接验证即可． 引理３　)(t u 是积分方程　h tt t t h ds s u s f s G ds s u s f s t G t h ds s u s f s G dss u s f s t G t u )3( 1 ,))(,(),( ))(,(),(,0 ,))(,(),( ))(,(),()(1 0]1,0[)1)(1(11 ]1,[1]1,0[)1( 0 ],0[?????????????????????????????????????????????　的正解的充要条件是)(t u 是三点边值问题h )2(的正解．　其中0?h 是非负参数，),(],[s t G b a 的定义由)(?式给出．　证明：必要性　设)(t u 是h )3(的正解，则由引理２容易验　证)(t u 满足：　)),(,()(t u t f t u ???　)1,0( ..?t e a ，　h u u h u )1()()1( ,)0(???????．　下面证明上述)(t u 满足正解的其它条件．由引理１及h )3(　表达式显然有)(t u 于]1,0[上连续，所以可定义　}10:)(min{:???t t u m ，　由于)(t u 是h )3(的正解，所以0?m ．　（ⅰ）任取)1,0(],[?b a ，由f 关于u 的单调性，就有　??????????bababadt m t f dt t u t f dt t u .),())(,()(　这表明)1,0()(1loc L t u ??．　由积分的绝对连续性，又知)1,0()(loc AC t u ??．　（ⅱ）　??????????????????????????????????????1 0]1,0[)1)(1(11 11 111 0]1,0[)1(10 11.1 ,))(,(),( ))(,()1())(,()(,0 ,))(,(),( ))(,()())(,()(t ds s u s f s G ds s u s f s ds s u s f s t ds s u s f s G dss u s f s ds s u s sf t u t tt t ???????????????????　考虑　??????????????1))(,())(,()(tds s u s f dt ds s u s sf dt dt t u ????????? 01]1,0[)1(1))(,(),(ds s u s f s Gdt ，　交换上述积分次序，再利用f 关于u 的单调性，得　.),(),(),(2))(,(),())(,())(,( 01 0]1,0[)1(11]1,0[11?????????????????????????ds m s f s G ds m s sf ds s u s f s G dt ds s u s f ds s u s sf s 这说明],0[)(1?L t u ??．　同理可证]1,[)(1?L t u ??，因而]1,0[)(1L t u ??．　由此又知道]1,0[)(AC t u ?．　综上所述，我们证明了积分方程h )3(的正解是问题h )2(的正解．　反之，充分性容易证得． 对于边值问题h )2(，下面比较原理成立．　引理４ 若2,1),(?j t u j 分别是h )2(当2,1,??j h h j 时的正解，那么如果021??h h ，则　]1,0[,)()(02121??????t h h t u t u ．　证明：我们先来证明第一个结论． 令)()(:)(21t u t u t w ??．　若左边不等式不成立，考虑到0)0()0()0(2121?????h h u u w ，则一定　存在]1,0(?t ，使得0)(?t w ．不失一般性，我们考虑下面三种情况：　情况Ⅰ：0)(?t w 于]1,0(，利用h )3(分段讨论如下：　????????????????????????????????????1 02121]1,0[)1)(1(1121]1,[1 02121]1,0[)1( 0 21],0[.1,))](,())(,()[,( ))](,())(,()[,(,0,))](,())(,()[,( ))](,())(,()[,()(t h h ds s u s f s u s f s G ds s u s f s u s f s t G t h h ds s u s f s u s f s G dss u s f s u s f s t G t w tt t?????????????????注意到若设t t t p ???????1)(，则　,0)1()1(,01)(??????????p p 从而0)(?t p 于]1,[?．　再结合Ｇｒｅｅｎ函数的正性及f 关于u 的单调性，得　0)(21???h h t w ．　此与0)(?t w 于]1,0(矛盾．　情况Ⅱ 0)1(?w ，且存在)1,0(?t 使得0)(?t w ，由于0)0(?w ，此时，存在子区间]1,0[),(?b a ，使得0)(?t w 于),(b a ，0)()(??b w a w ．利用f 的单调性，有0))(,())(,()(21??????t u t f t u t f t w ，),( ..b a t e a ?， 由)(t w 的凹性可知0)(?t w 于),(b a ，这与0)(?t w 于),(b a 矛盾．情况Ⅲ 0)1(?w ，且存在)1,0(?t 使得0)(?t w ，则存在一点a ，使0)(?t w 于]1,(a ，而0)(?a w ．下面分两种情况讨论：(ⅰ）若??a ，则由Ｇｒｅｅｎ函数正性及f 单调性，可得　???121]1,[))](,())(,()[,()(??ds s u s f s u s f s t Gt w ??????????12121]1,0[)1)(1(1))](,())(,()[,(h h ds s u s f s u s f s Gtt ???????　021???h h ， ]1,(a t ?．　此与0)(?t w 于]1,(a 矛盾．　（ⅱ）若??a ，则证明方法同情况Ⅰ类似也可得到0)(21???h h t w ，此与0)(?t w 于]1,(a 矛盾．　综上所述,第一个不等式成立．结合第一个不等式及h )3(表达式，再利用Green 函数正性及f 单调性，立即得到　2121)()(h h t u t u ???， ]1,0[?t ．　即第二个不等式也成立，比较原理证毕．类似的方法，可证下面唯一性结果．引理５ 对每一个固定的0?h ，问题h )2(的正解至多有一个． 证明：引理５是引理４的一个直接推论．下面证明h )2(正解的存在性．引理６　若条件（Ｈ1）和（Ｈ２）成立，则对每一个固定的0?h ，问题h)2(有解h h t u ?);(．特别地，当0?h 时，问题⑴有正解．证明：㈠当0?h 时，用h )3(的右端来定义一个映射h h D D ??:,其中})(];1,0[{:h t u C u D h ???．则))((t u ?满足))(,()()(t u t f t u ?????, )1,0( ..?t e a ,.)1())(()1)(( ,)0)((h u u h u ??????????下证?是h D 上的紧连续算子．第一步先证?连续：对任给的h D u ?，选取一串h k k D u ???1}{，使)(t u k 在]1,0[上一致地收敛到)(t u ，]1,0[ a.e. ,)),(,())(,(????t k t u t f t u t f k ．考虑当],0[??t 时，???????????? 01 0 ]1,0[)1(],0[))(,(),())(,(),())((ds s u s f s G ds s u s f s t G t u k t k k ??????t t k t k tds s u s f s ds s u s sf 0 ))(,()())(,(??? ?????????????? 0 1)1(]))(,()1())(,()1[(ds s u s f s ds s u s sf k k t , 由于 ],,0[ a.e. ),,())(,(, ],0[ a.e. , )),(,())(,(????????t h t f t u t f t k t u t f t u t f k k 且????????? 0 1),()1(),(ds h s f s ds h s sf ,所以由控制收敛定理可知, ],0[ , ),)(())((???????t k t u t u k同理可证]1,[ , ),)(())((???????t k t u t u k ,这说明]1,0[ , ),)(())((??????t k t u t u k ,这表明?连续．第二步再证?是紧算子．⑴h D u ??，由?的定义及f 关于u 的单调性，有]1,0[,0))(())((???????t h t u t h ，这表明};{h D u u ??一致有界．⑵h D u ??，因为???????????????????????????????????1 0 ]1,0[)-)(1-(11- 1 11111 0 ]1,0[)-(11 1 0 11,t ,))(,(),( ))(,()1())(,()(,t 0 ,))(,(),( ))(,()())(,()()(???????????????????ds s u s f s G ds s u s f s ds s u s f s ds s u s f s G ds s u s f s ds s u s sf t u t t t t 所以??????????????????????????????. 1 ,),(),(),()1(),(,t 0 ,),(),(),(),()()( 1 1 0 ]1,0[)1)(1(1110 1 0 ]1,0[)1(11t ds h s f s G ds h s f s ds h s f ds h s f s G ds h s f ds h s sf t u t t ?????????????????将上述不等式右端定义为函数)(t M ，则]10[0)(，于?t M ，且?? 0 )(dt t M ＝?????????0 0 0 1),(),(t ds h s f dt ds h s sf dt ????????? 0 1 0 ]1,0[)1(1),(),(ds h s f s G dt ＝???????? 0 1 0 ]1,0[11),(),(),(2ds h s f s G ds h s sf ???,且?????????????1 1 1 1 1 0 ]1,0[1111),(),(),()1(),()(??????????t ds h s f s G ds h s f s dt ds h s f dt dt t M ??????????11 0 ]1,0[11),(),(),()1(2?????ds h s f s G ds h s f s .这说明]1,0[)(1L t M ?． 由)(t M 积分的绝对连续性可知};{h D u u ??等度连续，又因为};{h D u u ??一致有界，所以由Arzela-Ascoli 定理可知};{h D u u ??是列紧集，从而?是紧算子，再结合?的连续性可知?是紧连续算子．由Schauder 不动点定理可知?在h D 中至少具有一个不动点，记一个不动点为);(h t u ，则h h t u ?);(是h )3(的正解，从而h )2(有解h h t u ?);(．㈡当0?h 时任取一列单调下降的??1}{j j h ，使???j h j ,0．令);()(j j h t u t u ?，则由引理４可知)(lim :)(t u t u j j ??? 在]1,0[上一致成立．把)(t u j 代入j h )3(，再令??j ，利用单调收敛定理，得??????????????????????1 1 0 ]1,0[)1)(1(1]1,[ 0 1 0 ]1,0[)1(],0[.1,))(,(),())(,(),(,t 0 ,))(,(),())(,(),()(?????????????????t ds s u s f s G ds s u s f s t G ds s u s f s G ds s u s f s t G t u t t t 显然0)(?t u 是h )3(的解，且0)(??u ．若0)(??u ，则0)()1(????u u ．由于)1,0( a.e. , 0))(,()(?????t t u t f t u ,　由)(t u 的凹性可知0)(?t u 于]1,0[．此时，由已知条件(H 2)可知，00??u ，使??????? 0 1 000),()1(),(ds u s f s ds u s sf .因而，利用f 的单调性，有???1 0]1,0[11)0,(),()(ds s f s G u ???? ???10 0]1,0[10),(),(ds u s f s G ?.这与0)(??u 矛盾，因而0)(??u ，从而01?)(u ，利用)(t u 的凹性立刻得到0)(?t u 于 ]1,0(．这说明)(t u 是问题h )3(的正解，从而由引理３可知)(t u 是问题⑴的正解．定理是引理５和引理６的直接推论．致谢籍此论文完成之际，作者首先向导师王俊禹教授表示最衷心的感谢．在王老师的悉心指导和帮助下，本文才得以完成．导师渊博的知识、高深的学问、严谨的治学态度和高尚的为人风范，使作者耳濡目染，受益匪浅．同时，作者也特别地向给予作者很多帮助的高文杰老师、刘停战老师、王清燕老师以及作者在攻读学位期间给予作者谆谆教诲的吉林大学的各位老师表示感谢．在完成本文期间，北华大学师范学院数学系的领导和同事都给予了无私的关怀与帮助，在此一并致谢．参考文献　［１］Ｉｌ＇ｉｎ　Ｖ　Ａ，Ｍｏｉｓｅｅｖ　Ｅ　Ｉ．Ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｋｉｎｄ　ｆｏｒ　ａ　Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｉｎ　ｉｔｓ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ａｎｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ａｓｐｅｃｔｓ［Ｊ］．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９８７，２３（７）：８０３~８１０．　［２］Ｉｌ＇ｉｎ　Ｖ　Ａ，Ｍｏｉｓｅｅｖ　Ｅ　Ｉ．Ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｋｉｎｄ　ｆｏｒ　ａ　Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ［Ｊ］．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９８７，２３（８）：９７９~９８７．　［３］Ｇｕｐｔａ　Ｃ　Ｐ．Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ａ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，１９９２，１６８：５４０~５５１．　［４］Ｇｕｐｔａ　Ｃ　Ｐ．Ａ　ｓｈａｒｐｅｒ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．　Ｊ　Ｍａｔｈ Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，１９９７，２０５：５８６~５９７．　［５］Ｆｅｎｇ　Ｗ，Ｗｅｂｂ　Ｊ　Ｒ　Ｌ．Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａｔ　ｒｅｓｏｎａｎｃｅ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ　，１９９７，３０（６）：３２２７~３２３８．　［６］Ｆｅｎｇ　Ｗ，Ｗｅｂｂ　Ｊ　Ｒ　Ｌ．Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｍ－ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｗｔｈ［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，１９９７，２１２：　４６７~４８０．　［７］Ｆｅｎｇ　Ｗ．Ｏｎ　ａ　ｍ－ｐｏｉｎｔ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９９７，３０（６）：５３６９~５３７４．　［８］Ｓａｒａｎｏ　Ｓ　Ａ．　Ａ　ｒｅｍａｒｋ　ｏｎ　ａ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，１９９４，１８３：５１８~５２２．　［９］Ｍａ　Ｒｕｙｕｎ．　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，１９９７，２１２：４３０~ ４４２．　［１０］Ｍａ　Ｒｕｙｕｎ．　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｍ－ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　［Ｊ］． Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，１９９７，２１１：５４５~ ５５５．　［１１］Ｍａ　Ｒｕｙｕｎ．　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．　Ｅｌｅｃｔｒｏｎ　Ｊ　Ｄｉｆｆ　Ｅｑｎｓ，１９９９，３４：　１~８．　[12] 马如云.二阶三点边值问题的正解.西北师范大学学报(自然科学版),2000,36(1):12~16.(Ma Ruyun.Positive solutions for second order three-point boundary value problems.Journal of Northwest Normal University(Natural Science Edition),2000,36(1):12~16.）摘要 二阶线性常微分方程多点边值问题的研究首先是由Ｉｌ＇ｉｎ开始的［１，２］．受此启发，Ｇｕｐｔａ讨论了一类非线性常微分方程三点边值问题的可解性［３］．此后，更一般的多点边值问题的可解性问题受到普遍重视［４－１０］．但所有这些工作只涉及解的存在性，而未涉及正解的存在性．最近，马如云讨论了一类二阶三点边值问题的正解的存在性［１１，１２］．但以上这些工作均未涉及具有奇性的多点边值问题正解的存在性．　本文研究了一类奇异非线性二阶三点边值问题.0)()1(,0)0( ,10),,(??????????????u u u t u t f u ⑴ 此处，我们采用如下假定：　（Ｈ１）　10),1,0(??????．　　（Ｈ２）),(u t f 是定义在),0()1,0(???上的函数，它满足条件：　 ①对于每个固定的),(),,0(u t f u ???于)1,0(上非负可测，　,),()1(),(1 0 ???????ds u s f s ds u s sf ??　 并且00??u ，　使得　?????100 0 0;)ds ,()1(),(??u s f s ds u s sf ②对于几乎所有的),(),1,0(u t f t ?作为ｕ的函数是连续不增的．　通过摄动技巧，比较原理和Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理获得了所论问题正解的存在唯一性．　本文主要结果如下：定理：如果假设条件（Ｈ1）和（Ｈ２）成立，则问题⑴存在唯一正解．　ABSTRACTSecond order multi-point boundary value problems of linear ordinary differential equations w ere firstly studied by Il'in ［１，２］, motivated by which, Gupta studied the solvability of three-point boundary value problems of nonlinear ordinary differential equations ［３］. From then on, many authors have paid attentions to the solvability of more general forms of multi-point boundary value problems ［４－１０］. All of the above work involved the existence of solutions, however, no work involved the existence of positive solutions. Recently, Ma Ruyun studied the existence of positive solutions of second order three-point boundary value problems ［１１，１２］. As far as we know, all of the above work did not involve the existence of positive solution of a singular nonlinear multi-point boundary value problem.In this thesis, We study a singular nonlinear three-point boundary value problem of second order following,0)()1(,0)0(,10),,(??????????????u u u t u t f u ⑴ where .10),1,0(??????　We make the following hypothesis throughout the thesis:（H 1) 10),1,0(??????.(H 2)),(u t f is a function defined in ),0()1,0(???ａｎｄ　satisfying:①For each fixed ),(),,0(u t f u ??? is nonnegative measurablein )1,0(，,),()1(),(1 0 ???????ds u s f s ds u s sf ??　and there exists a 00?u such that?????100 0 0;)ds ,()1(),(??u s f s ds u s sf ② For a.e.),(),1,0(u t f t ? is continuous and decreasing in u .Under the above hypothesis, ),(u t f is permitted to be singular not only at 0?u ,but at 0?t and 1?t .To establish the existence of the positive solution of BVP ⑴, we consider the nonlinear boundary value problem,)1()()1(,)0(,10),,(????????????h u u h u t u t f u ??? h )2(　where 0?h is a nonnegative parameter. For each fixed 0?h , BVP h )2( may be viewed as a perturbation of BVP ⑴.Utilizing the perturbation technique, comparison principles and the Schauder fixed point theorem, we obtain the following main result :THEOREM ：Assume that the hypothesis (H 1)and （H 2）are satisfied ，then BVP ⑴ has a unique positive solution ．To prove the main result ,we establish the following lemmas.LEMMA 1 For a given 0?u , we have.0),()1(lim ,0),(lim 1 0???????t t t t ds u s f t ds u s f t ??LEMMA 2 If )(t u is a positive solution of integral equationb t a ds s u s f s t G t u b a b a ????,))(,(),()( ],[,then the )(t u is a positive solution of BVP??????????,0)()(,),,(b u a u b t a u t f u ｗｈｅｒｅ　????????????????. ),)((, ),)((),(11],[b s t a a t s b b t s a a s t b s t G ab a b b a )(?　LEMMA 3　That )(t u is a positive solution of integral equationh t t t t h ds s u s f s G ds s u s f s t G t h ds s u s f s G ds s u s f s t G t u )3( 1 ,))(,(),( ))(,(),(,0 ,))(,(),( ))(,(),()(1 0]1,0[)1)(1(11 ]1,[1 0 ]1,0[)1( 0 ],0[?????????????????????????????????????????????　is a necessary and sufficient condition for the statement that the )(t u is a positive solution of BVP h )2(．Where 0?h is a nonnegative parameter, ),(],[s t G b a is defined by )(?.LEMMA 4 For 2,1,??j h h j ,　let 2,1),(?j t u j be positive solutions of BVP h )2( respectively. Then ,2121)()(0h h t u t u ???? on ]1,0[ if 021??h h .LEMMA 5 For each fixed 0?h , BVP h )2( has at most one positive solution.LEMMA 6　Under the hypothesis (H 1) and (H 2)，for each fixed 0?h ， BVP h )2( has such a solution that h h t u ?);(. Especially, for 0?h , BVP ⑴ has a positive solution.。