专题五 解析几何1--1
专题五 解析几何 文科数学
专题五 文科数学 解析几何1．（2011·朝阳期末）已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为( B )（A ）012=+-y x （B ）012=++y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x2．（2011·朝阳期末）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F P F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( A )（A ）1-（B ）12（C ） （D ）23．（2011·朝阳期末）经过点(2, 3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 280x y -+= ．4．（2011·朝阳期末）（本小题满分13分）已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||M N M P P N ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275N A N B -⋅- ≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )M P x y =- ，(3, 0)M N =- ，(1, )P N x y =--. …………………2分 由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，化简得223412x y +=，得22143xy+=.所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+yx. ………………………6分（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-，设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. ………………8分因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34kx x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………………………10分 因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(kk k kkkk ++-=+++--+=， …………12分所以22189(1)127345k k-+--+≤≤. 解得213k ≤≤.所以1k -≤或1k ≤≤. …………………………………………13分5．(2011·丰台期末)过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 43240x y -+= ． 6．(2011·丰台期末) （本小题满分14分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若PQ =，求直线l 的方程；（Ⅱ）若12M P M Q =，求直线l 与圆的交点坐标．解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为 直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+． 因为PQ =，圆的半径为1，P ，Q 两点在圆221x y +=上，所以圆心O到直线l12 =．又因为12 =，所以15k=±，所以直线l的方程为20x-+=或20x++=．………………………7分（Ⅱ）设11(,)P x y，22(,)Q x y，所以22(2,)M Q x y=+，11(2,)M P x y=+．因为2M Q M P=，所以212122(2)2x xy y+=+⎧⎨=⎩即21212(1)2x xy y=+⎧⎨=⎩（*）；因为P，Q两点在圆上，所以2211222211x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩把（*）代入，得2211221114(1)41x yx y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，所以11788xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，22144xy⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以P点坐标为7(88-或7(88--，，Q点坐标为1(44，或1(44-，．………………………14分7. (2011·东莞期末)已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为12y x=，则该双曲线的离心率为( A)A．25B．3C．5D．28．(2011·东莞期末)（本小题满分14分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴b =∴所求的椭圆的标准方程为：22143xy+=．（2）设),(00y x M )20±≠x （，则2200143x y +=． ①且),(00y x t MP --=，),2(00y x MH --=， 由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ，即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ．∵20≠x ， ∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x ，∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--. 9. (2011·佛山一检)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为( A )A ．2B ．C 2D10. (2011·佛山一检)若点P 在直线03:1=++y x l上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为( D )AB ．2C ．D ．411. (2011·佛山一检)已知直线22x y +=分别与x 轴、y 轴相交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段A B 上，则a b 的最大值为____12______.12．（2011·广东四校一月联考）过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，则ABP ∆的外接圆方程是（ D ）A ．22(4)(2)1x y -+-=B ．22(2)4x y +-=C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(2)(1)5x y -+-=13．（2011·广东四校一月联考）设θ是三角形的一个内角，且1sin cos 5θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示的曲线是( D ) A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的椭圆14．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分14分）设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,M P PN PM PF=⊥．（1）当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；（2）若(4,0)A ，是否存在垂直x 轴的直线l 被以A N 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）（解法一）MP PN =，故P 为M N 的中点． -------1分设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -------2分又(1,0)F ，(,),(1,)22y y PM x PF ∴=--=--------4分又PM PF ⊥ ，204yPM PF x ∴⋅=-+= -------6分 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => -------7分（解法二）MP PN =，故P为M N 的中点． -------1分设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2yM x P x -> -------2分又由,M P PN PM PF =⊥ ，故FN FM = ，可得22FNFM=-------4分由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => -------6分 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => -------7分 （2）设A N 的中点为B ，垂直于x 轴的直线方程为x a =， 以A N 为直径的圆交l 于,C D 两点，C D 的中点为H ．12CB AN ==412422x B H a x a +=-=-+ -------9分22222211[(4)](24)44CH CB BHx y x a ∴=-=-+--+221[(412)416](3)44a x a a a x a a=--+=--+ -------12分所以，令3a =，则对任意满足条件的x ， 都有29123C H=-+=（与x 无关），-------13分即C D = -------14分15．(2011·广州期末)已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( C )A．y = B．y = C．3y x =- D．3y x=16.(2011·广州期末)（本小题满分14分）图4已知椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段M N 为直径作圆C ,圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程； （2）若圆C 与y轴相交于不同的两点,A B ，求A B C ∆的面积的最大值.(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x yE a a+=>的离心率12e =,x=a∴12a=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143xy+=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．∴弦长||A B ===． ……8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)1=)2212712t +-≤7=. …… 12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． …… 14分解法2：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4tx t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4tx t y --+=中，令0x =，得2y =±，∴弦长||AB = 8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)=)221272t +-≤7=. ……12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． …… 14分17．（2011·哈九中高三期末）抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是 （ ）A ．)2,1(B ．)0,0(C ．)1,21( D ．)4,1(【答案】C【分析】根据题意，直线54-=x y 必然与抛物线24y x =相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线54-=x y 平行的抛物线的切线的切点。
解析几何-吕林根-课后习题解答一到五
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。
老高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题5解析几何第1讲直线与圆课件
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0Байду номын сангаас 解得D＝－83，
因为 OP⊥OQ，故 1＋ 2p×(－ 2p)＝0⇒p＝12， 抛物线 C 的方程为：y2＝x， 因为⊙M 与 l 相切，故其半径为 1， 故⊙M：(x－2)2＋y2＝1．
(2)设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时(假设 A1 为坐标原点时)，
A2＋B2
3．两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不
同时为零)间的距离
d＝
|C1－C2| ． A2＋B2
典例1 (1)(2022·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0
与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为
(A )
A．±2
B．2
C．－2
y0＝－x0＋5， 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直 线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相 切．
专题五 学生版
x 2 y2 变式训练 2 (2010· 天津)已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的 a b 3 离心率 e＝ ， 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2 积为 4. (1) 求椭圆的方程； (2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A ,B ,已知点 A 的 坐标为(-a,0),点 Q (0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且
题型二
圆锥曲线的性质 x2 y2 例 2 如图所示，椭圆 2＋ 2＝1 上的点 M a b 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x 轴垂直， 且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴 端点的连线 AB 平行． (1)求椭圆的离心率； (2)F2 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点， π 证明：∠F1CF2≤ ； 2 (3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、 Q， 若△PF2Q 的面积是 20 3，求此时椭圆的方程．
变式训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)判断两圆的位置关系，并求连心线 的方程； (2)求直线 m 的方程， 使直线 m 被圆 C1 截得的弦长为 4，被圆 C2 截得的弦长为 2.
知能提升演练
5．(2010· 湖南)若不同两点 P、Q 的坐标分别为(a，b)， (3－b,3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 ________； 圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 关于直线 l 对称的 圆的方程为________________．
6． 设直线 ax－y＋3＝0 与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，则 a＝________. 0
2．轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐 标——解析法(坐标法). ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化． ⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．
(课标版)高考数学 原创预测题 专题五 解析几何 理
专题五：解析几何（新课标理）一、选择题1.若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是（ ）．．28y x =．28y x =-．28x y =．24y x =2.已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是（ ）．．32a a =-=或．3a =-．2a =-．3a =3．已知抛物线212x y =的焦点是双曲线221mx ny -=（0mn ≠）的其中一个焦点，且双曲m =（ ）．8-．128-．8．128 4.对于集合{}22()|1A x y x y =+=，，()|100x y B x y a b a b ⎧⎫=+=>>⎨⎬⎩⎭，，，，如果A B =∅，则ab 的值为（ ）．．正．负．0．不能确定5．连接椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为220x y -+=，则该椭圆的离心率为（ ）..12.. 236．定义：平面直角坐标系内横坐标为整数的点称为 “横整点”，过函数y =上任意两个“横整点”作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为（ ）．10．11．12．137.在直二面角AB αβ--中，PAB ∆在平面α内，四边形ABCD 在平面β内，且α⊥AD ，α⊥BC ，4=AD ，8=BC ，6=AB ．若tan 2tan 1ADP BCP ∠=∠+，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）．椭圆的一部分 ．线段．双曲线的一部分 ．以上都不是8．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 中，F 为右焦点，为左顶点，点(0,)0B b AB BF ⋅=且，则此双曲线的离心率为（ ）．2 ．3 ．213+ ．215+9．已知抛物线24,y x =焦点为F ，ABC ∆三个顶点均在抛物线上，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）．8 ．6 ．3 ．010．如图，已知直线a ∥平面α，在平面α内有一动点P ，点A 是定直线a 上定点，且AP 与a 所成角为θ（θ为锐角），点A 到平面α距离为d ，则动点P 的轨迹方程为（ ）．2222tan x y d θ+= ．2222tan x y d θ-=．22()tan d y d x θ=-．22()tan d y d x θ=--二、填空题11. 已知圆22430x y x +-+=的切线l 经过坐标原点，且切点在第四象限，则切线l 的方程为 .12．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，在第一象限中过抛物线上任意一点P 的切线为l ，过P 点作平行于x 轴的直线m ，过焦点F 作平行于l 的直线交m 于M ，若4=PM ，则点P的坐标为 .13．已知点1F 、2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆的最大角为锐角，则该双曲线离心率的取值范围是________．14．观察下图，类比直线方程的截距式和点到直线的距离公式，点(4,2,1)H 到平面ABC 的距离是.三、解答题15.已知直线l ：4=x 与x 轴相交于点M ，P 是平面上的动点，满足0PM PO =（O 是坐标原点）．⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵过直线 l 上一点)(M D D ≠作曲线C 的切线，切点为E ，与x 轴相交点为F ，若12DE DF =，求切线DE 的方程．16.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F1PF2＝3π，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．17.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长半轴长为2，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l 交椭圆于,A B 两点，若0OA OB =，求直线l 的方程．18.已知点(5,0)A ,抛物线24y x =的顶点在原点O ,倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交但不过,O A 两点,且交抛物线于,M N 两点,求AMN ∆的面积最大时直线l 的方程,并求AMN ∆的最大面积.19．设椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12, F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222FFQF =，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线l ：30x -=相切．过定点(0, 2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(, 0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围．20. 已知点(1,)M y 在抛物线2:2C y px =(0)p >上，抛物线的焦点为F ，且2MF =，直线:l 12y x b=-+与抛物线交于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅲ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值.答案解析1．【解析】选，根据焦点坐标在x 轴上，可设抛物线标准方程为22y px =(0)p >，有22p =，4p =，所以抛物线的标准方程为28y x =.2．【解析】选，根据两直线平行得：321a a =+，解方程得32a a =-=或，当2a =时，两直线重合，不符合条件，故2a =舍去，所以3a =-.3.【解析】选C,根据先根据双曲线的一个焦点与抛物线22y x =的焦点重合求得焦点坐标，a ，然后对号入座求得m 的值．抛物线22y x =的焦点是1(,0)2F ，则12c =，c a e ==218m a ==.4.【解析】选，集合A 表示的图形是圆221x y +=；集合B 表示的图形是直线0(00)bx ay ab a b +-=>>，．由A B =∅可知，直线和圆没有公共点，所以，圆心到直线1>ab0ab <．5.【解析】选，直线220x y -+=与坐标轴的交点为（－2，0），（0，1），依题意得2,1c b a e ==⇒==.6.【解析】选，共有“横整点”()(()(()3,00,33,0---，其中满足条件的有()3,0与(()(0,3--连线共有5条；()3,0-与(1,--连线共有2条；(与(()(0,3-连线共有3条；(1, 与()0,3连线共有1条；综上共计11条.7.【解析】选C ，根据题意可知，又,tan ,tan BC PBBCP AD PA ADP =∠=∠AD=4,BC=8,.,6.4,1824轨迹为双曲线的一部分即∴==-=⨯-∴AB PB PA PBPA8．【解析】选D ，根据题意 0AB BF ⋅=，即2,,AB BF b ac ⊥∴=即,22ac a c =-故012=--e e ，又1>e ，所以.215+=e9.【解析】选B ，设A,B,C 三点的横坐标分别为321,,x x x ，根据已知0FA FB FC ++=，所以点F 为ABC ∆的重心，.3321=++∴x x x 根据抛物线的定义可知1233 6.2p FA FB FC x x x ++=+++=10．【解析】选B ，解决本题的关键是正确理解题意并正确的表示出tan θ，对于tan θ的表示将影响着整个题目的解决，至于如何想到表示tan θ，可以考虑选项里面的暗示，解题时需要先设动点坐标，然后表示tan θ找到关系.设(,)P x y ，则tan θ=，化简得2222tan x y d θ-=．11.【解析】设切线方程为y kx =，圆心坐标为()2,0，半径 1.r =所以直线l 与x 轴的夹角为30︒，所以tan150k =︒=即:.l y x =【答案】.3y x =-12．【解析】 设,1|,1,2),,(021000x y k x y x y y x P x x ='=='==所以l 方程为),(1200210x x x x y -=-与x 轴交点A 的坐标为),0,(0x -,1||||0+==x PM AF 所以)32,3(P【答案】)32,3(13．【解析】过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于2(,)b A c a -，2(,)b Bc a --， 2ABF ∆是锐角三角形，等价于2145,AF F ∠<︒即21tan 1AF F ∠<.又因为双曲线中222b c a =-，所以222c a ac -<.不等式两边同时除以2a ，得：2()2101c c a a c a ⎧-⋅-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以(1, 1c a ∈.【答案】(1, 114.【解析】 类比直线方程的截距式，直线的截距式是1x ya b +=，所以平面的截距式应该是1x y za b c ++=，然后是“类比点到直线的距离公式”应该转化为一般式，类比d =写出点到平面的距离公式，然后代入数据计算.平面ABC 的方程为1423x y z ++=--，即364120x y z +-+=，d ==15. 【解析】⑴依题意，)0 , 4(M ，设)40)( , (≠≠x x y x P 且，由0PM PO =，得PO PM ⊥得1-=⋅POPM k k ，即14-=⋅-xyx y ，整理得，动点P 的轨迹C 的方程为)40(2)2(222≠≠=+-x x y x 且．⑵DE 、DM 都是圆2222)2(=+-y x 的切线，所以DM DE =，因为DF 21=，所以DM DE DF 22==，所以6π=∠DFM ，设)0 , 2(C ，在CEF ∆中，2π=∠CEF ，6π=∠CFE ，2=CE ，所以4=CF ，)0 , 2(-F ，切线DE 的倾斜角6πα=或65π，所以切线DE 的斜率33=k 或33-，切线DE 的方程为)2(33+±=x y ．16. 【解析】设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)． 在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos π3＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|. 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S △PF1F2＝2 3. ∴12|PF1|·|PF2|·sin π3＝2 3. ∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a2＝23.∴双曲线的方程为：3x22－y22＝1.17. 【解析】（Ⅰ）由题意： 2a =．所求椭圆方程为22214x y b +=．又点在椭圆上，可得1b =．所求椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知224,1a b ==，所以c =． 因为0OA OB ⋅=．若直线AB 的斜率不存在，则直线AB的方程为x =直线AB交椭圆于11)22-两点， 1304OA OB ⋅=-≠，不合题意．若直线AB 的斜率存在，设斜率为k ，则直线AB的方程为(y k x =．由22(440,y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩可得2222(14)1240k x x k +-+-=． 由于直线AB 过椭圆右焦点，可知0∆>．设1122(,),(,)A x y B x y，则21212212414k x x x x k -+==+，222121212122([)3]14ky y k x x k x x x xk-==++=+．所以2221212222124114()141414k k kOA OB x x y yk k k---⋅=+=+=+++．由0OA OB⋅=，即2211414kk-=+，可得24,1111k k==±．所以直线l的方程为(11y x=±．18. 【解析】设直线l的方程为:(50)y x b b=+-<<联立24y xy x b⎧=⎨=+⎩消去x得:2440y y b-+=设1122(,),(,)M x y N x y,则21212416044by yy y b⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩设直线l与OA的交点为P,则(,0)P b-1211||||(52(522AMNS PA y y b b∆=-=+=+2(5AMNS b∆=+≤=当且仅当522b b+=-,即1b=-时取“=”,此时直线l:1y x=-.故AMN∆的最大面积为19．【解析】（Ⅰ）因为1222F F QF=，所以1F为2F Q的中点.设Q的坐标为(3, 0)c-，因为2AQ AF⊥，所以2233b c c c=⨯=，2244a c c c=⨯=，且过2,,A Q F三点的圆的圆心为1(, 0)F c-，半径为2c. 因为该圆与直线l相切，所以|3|22cc--=.解得1c=，所以2a=，b=故所求椭圆方程为22143x y +=.（Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由222,143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(34)1640k x kx +++=. 设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则1221634kx x k +=-+.所以1122(, )(, )PG PH x m y x m y +=-+-=1212(2, )x x m y y +-+.=1212(2, () 4 )x x m k x x +-++21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.由于菱形对角线互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =.所以21122112()[()2] ()[()4]0x x x x m k x x k x x -+-+-++=.故2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k -+-+++=.因为0k >，所以210x x -≠.所以21212()2 ()40x x m k x x k +-+++= 即212(1)()420k x x k m +++-=. 所以2216(1)()42034kk k m k +-+-=+解得2234km k =-+，即234m k k =-+.因为0k >，所以0m <.故存在满足题意的点P 且m的取值范围是[ 0).（Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程22143x y +=得22(34)1640k x kx +++=. 由0∆>，得214k >. 设11(, )G x y ，22(, )H x y ， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 又MG MH λ=，所以1122(, 2)=(, 2)x y λx y --. 所以12=x λx .所以122=(1+)x +x λx ，2122=x x λx . 所以2212122()==1+x +x x x x λλ. 所以2222164()3434(1)k k k λλ-++=+. 整理得2264(1)4k λλ+=+. 因为214k >，所以26441634k <<+，即2(1)416λλ+<<. 所以14216λλ<++<.解得1λ≠且77λ-<<+又01λ<<，所以71λ-<.②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，此时G，(0, H，2)MG =，(0, 2)MH =， 23MG MH-=，所以7λ=-所以71λ-<，即所求λ的取值范围是[7-.20. 【解析】：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-，由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p MF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. （Ⅱ）联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB 所以||28AB r =， 解得85b =-. 所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=.（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l的距离d ，所以1||42AOB S AB d ∆==-=令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()3g b b b b b '=+=+由上表可得()g b 的最大值为()327g -= . 所以当43b =-时，AOB ∆的面积取得最大值.。
高考数学备考艺体生辅导专题05《解析几何的第一问》(原卷版)
【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题五 解析几何的第一问圆的概念与方程【背一背基础知识】1. 标准方程：圆心坐标(,)a b ，半径r ，方程222()()x a y b r -+-=，一般方程：22x y Dx Ey ++++0F =(其中2240D E F +->)；2．直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； 3. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 【讲一讲基本技能】 1. 必备技能：① 会用配方法把圆的一般方程化为标准方程；② 直线和圆的位置可用方程组的解来判断，但主要是应用圆心到直线的距离d 和圆半径r 比较，d r >⇔相离，d r =⇔相切，d r <⇔相交；③圆与圆的位置关系一般也是用圆心距12O O 与两圆的半径之和(或差)比较，12OO R r >+⇔相离，12OO R r =+⇔外切，12R r OO R r -<<+⇔相交，12OO R r =-⇔内切，12OO R r <-⇔内含． ④直线和圆的位置关系是这部分的重点考查内容．⑤对直线被圆截得弦长问题，求出圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ，则直线被圆截得弦长为222r d -2.典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上． 若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；【分析】求圆的切线方程，一般设出直线方程为y kx b =+（斜率存在），再利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求出其中的参数值. 【解析】例2 已知圆22:4230P x y x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -．（1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆的两条切线，切点分别为,C D ，求切线长及CD 所在直线的方程． 【答案】（1）4528440x y ++=或4x =；（2）27190x y --=．【分析】（1）先将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，在根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB 的距离，则可以利用点到直线的距离公式求出直线AB 的斜率，求得直线方程；（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、M 到圆心的距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以PM 为直径的圆，与已知圆的方程，两式相减即可求得CD 所在的直线方程． 【解析】【练一练趁热打铁】1. 已知圆C 过点A （1,3）,B （2,2），并且直线m: 320x y -=平分圆C 的面积． （Ⅰ）求圆C 的方程；2. 已知圆O 2：22460x y y +--=,求圆心在x-y-4=0,且过圆O 1与圆O 2交点的圆的方程。
高考数学(文)二轮复习专题五 解析几何 后 记 答题模板 Word版含答案
后记答题模板【范例赏析】后记答题模板(本讲对应学生用书第48~49页) 范例赏析典例如图，已知A，B分别为曲线C：22xa+y2=1(y≥0，a>0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C 于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标.(2)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(典例)【规范解答】(1)当曲线C为半圆时，a=1，由点T为圆弧AB的三等分点，得∠BOT=60°或120°.2分①当∠BOT=60°时，∠SAB=30°.又AB=2，故在△SAB中，有SB=AB·tan 30°=23，所以S231⎛⎝⎭，. 4分②当∠BOT=120°时，同理可求得点S 的坐标为(1，).综上，点S 的坐标为S1⎛ ⎝⎭或S (1，2). 6分(2)切入点一：从点“T ”入手设点T (a cos θ，sin θ)(sin θ≥0)，则直线AT 的方程为y=sin cos a a θθ+(x+a )， 8分令x=a ，得点S 2sin cos 1a θθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以k OS =2sin (cos 1)a θθ+.又B (a ，0)，所以k TB =sin cos -a a θθ. 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.所以k OS ·k TB =sin cos -a a θθ·2sin (cos 1)a θθ+=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以. 15分经检验，当时，O ，M ，S 三点共线.故存在，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点二：从点“S ”入手设点S (a ，m )，则直线SA 的方程为y=2m a (x+a )，联立方程组2221()2x y a m y x a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，化简得(m 2+4)x 2+2m 2ax+m 2a 2-4a 2=0.8分设点T (x T ，y T )，因为A (-a ，0)，所以x T ·(-a )=2222-44m a a m +，得x T =224-4a m am +，y T =244m m +，所以k TB =-2ma . 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.12分又因为k OS =m a ，所以k OS ·k TB =m a ·2-ma ⎛⎫⎪⎝⎭=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以a=2.15分经检验，当a=2时，O ，M ，S 三点共线.故存在a=2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点三：从直线AS 的斜率入手 假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线. 由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.8分显然，直线AS 的斜率k 存在且k>0，可设直线AS 的方程为y=k (x+a ).由2221()x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得(1+a 2k 2)x 2+2a 3k 2x+a 4k 2-a 2=0. 10分设点T (x T ，y T )，所以x T ·(-a )=42222-1a k a a k +.故x T =3222-1a a k a k +，从而y T =k (x T +a )=2221ak a k +，亦即T 322222-211a a k ak a k a k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 12分方法一：因为B (a ，0)，所以BT u u u r =322222-2211a k aka k a k ⎛⎫⎪++⎝⎭，.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以OS u u u r =(a ，2ak ).由BT ⊥OS ，可得BT u u u r ·OS u uu r =422222-241a k a k a k ++=0，即-2a 4k 2+4a 2k 2=0. 因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分方法二：因为B (a ，0)，所以k BT =-TT y x a =-21a k ，故k SM =a 2k.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以直线SM 的方程为y-2ak=a 2k (x-a ).O ，M ，S 三点共线当且仅当O 在直线SM 上，即-2ak=a 2k (-a ).因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分【总结提升】解题几何中的多动点问题，一直是学生难以逾越的障碍，究其原因：“多且动”，大有牵一发而动全身的感觉，各个点都丝丝相连，环环相扣.而恰恰正是点多且动，反而给我们一个启发，多且动的点中肯定有一个“核心点”，正是这个点牵动了其他点，使其他点始终围绕这个“核心点”运动.例题正是这类问题，其中点M 即为“核心点”，只要把握好这个“核心点”在圆上具有的性质，以其他的点或线为切入点，就可从多途径入手，让每个动点都可“一显身手”，以达到多解的目的.【拓展训练】拓 展 训 练变式 (2015·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22x a+22y b =1(a>b>0)的离心率为2，直线l ：y=12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB=25，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N.(1)求a ，b 的值；(2)求证：直线MN 的斜率为定值.(变式)【解答】(1)因为e=c a =2，所以c 2=12a 2，即a 2-b 2=12a 2，所以a 2=2b 2，故椭圆E 的方程为222x b +22y b =1.由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限.由22221212y x x y b b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得A233⎫⎪⎪⎝⎭，. 又AB=5，所以5，即43b 2+13b 2=5，解得b 2=3.故a=6，3.(2)由(1)知椭圆E 的方程为26x +23y =1，从而A (2，1)，B (-2，-1).①当CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB =00-1-2y x ·0012y x ++=2020-1-4y x =202031--16-4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=20202-2-4x x =-12，所以k CB =-112k .同理k DB =-212k .于是直线AD 的方程为y-1=k 2(x-2)，直线BC 的方程为y+1=-112k (x+2).由1211-(2)2-1(-2)y x k y k x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，，解得12112122124-4-221-2-41.21k k k x k k k k k y k k ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，从而点N 的坐标为12112212124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为12212112124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k +++，.所以k MN =12212112121211221212-2-41-2-41-21214-4-24-4-2-2121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=12214(-)4(-)k k k k =-1.即直线MN 的斜率为定值-1.②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，-1).仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB =-212k .此时CA ：x=2，DB ：y+1=-212k (x+2)，它们的交点坐标为M 222-1-k ⎛⎫⎪⎝⎭，.由BC ：y=-1，AD ：y-1=k 2(x-2)，它们交点N 222--1k ⎛⎫⎪⎝⎭，，从而k MN =-1也成立. 由①②可知，直线MN 的斜率为定值-1.。
2014高考二轮复习解析几何专题(理科普通班)
肥东锦弘中学2014届高三数学二轮复习专题（理科普通班）专题五 解析几何 (一) 直线与方程类型一 直线斜率与倾斜角A.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0,πB.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ B. 已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，直线l 过点(1,1)且倾斜角是直线AB 倾斜角的两倍，则直线l 的方程为________类型二 两直线位置关系与点到直线的距离A.已知直线1L ：ax ＋3y －1＝0与直线2L ：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________B.若动点A ，B 分别在直线1L ：x ＋y －7＝0和2L ：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2C.“a ＝0”是“直线1L ：(a ＋1)x ＋2a y －3＝0与直线2L ：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件类型三 直线方程的综合A.已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．B.已知直线1L ：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线1L 关于直线l 的对称直线为2L ，求直线2L 的方程．C.已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________(二) 圆的方程类型一 求圆的方程A. 如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________B.(1)已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________(2)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________C.已知点P (2,1)在圆C ：22x y +＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为_______类型二 直线与圆的位置关系A.设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3，]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B.若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________C.已知圆M ：22(2)x y +-＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． (1)若Q (1,0)，求切线QA ，Q B 的方程． (2)求四边形QAMB 面积的最小值． (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．类型三 圆与圆的位置关系A.若圆22xy +＝4与圆22x y +＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝B.当a 为何值时，圆C 1：22x y +－2ax ＋4y ＋2a －5＝0和圆C 2：22x y +＋2x －2ay ＋2a －3＝0.(1) 外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．C.设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：22x y +＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________类型四 综合问题A.已知实数x ，y 满足方程22x y +－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求22x y +的最大值和最小值.B.已知圆C ：22(3)(4)x y -+-＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上的动点，则d ＝22PA PB +的最大值为________，最小值为________C.已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥04200y x y x 恰好被面积最小的圆C ：222()()x a y b r -+-=及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________(三) 圆锥曲线类型一 概念应用A.已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线B.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数2a (a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于122a .其中，所有正确结论的序号是________类型二 圆锥曲线定义的应用A.如图所示，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅.求动点P 的轨迹C 的方程.B.一动圆与圆22x y +＋6x ＋5＝0外切，同时与圆22x y +－6x －91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线.C . 设圆22(1)x y ++＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.22442125x y -＝1B.22442125x y +＝1C.22442521x y -＝1D.22442521x y +＝1 类型三 求离心率A.(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. 45B. 35C. 25D. 15(2)直线y ＝－3x 与椭圆C ：2222x y a b+＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.3－12C.3－1 D ．4－2 3 B.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.3＋12 D.5＋12C.双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F 渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2l ⊥1PF ，2l ∥2PF ，则双曲线的离心率是( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2类型四 椭圆的标准方程及其几何性质A.中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点1F ，2F ，且|12F F |＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠12F PF 的值.B.设1F ，2F 分别是椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1PF ⊥2PF ，|1PF |·|2PF |＝2.当a ＝2b 时，求椭圆方程.类型五 抛物线的标准方程及其几何性质A.已知抛物线C ：2y =2px （p >0）的准线l ，过M （1,0）且斜率为3的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p =_________B.已知过抛物线2y =2px 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()()1,12,2,A x y B x y 两点，且9AB =．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．类型六 切线问题A. 如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：2x ＝4y 相切于点A . （1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.B. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,-1)，B 点在直线y =-3上，M 点满足//,MA AB MB BA ⋅=⋅,M 点的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.类型七 中点弦问题A.已知点M ⎪⎭⎫⎝⎛1,21在椭圆C ：13422=+y x 内，则以点M 为中点的弦所在直线方程为 B.已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆C:0252422=+--+y x y x 交与A 、B 两点，线段AB 恰是圆C 的直径，且AB 的斜率为21-，求此椭圆的方程. 类型八 对称问题A.已知抛物线C ：x y =2与直线43:+=kx y l ，要使得C 上存在关于l 对称的两点，求实数k 的范围.B.已知椭圆C ：,13422=+y x 直线l ：m x y +=2，若椭圆C 上存在两点P 、Q 关于l 对称，求实数m 的范围.类型九 定值、定点、定直线问题A.椭圆C ：13422=+y x ，过右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，问：x 轴上是否存在一点M ，使得⋅恒为定值.若存在，求出点M 坐标，若不存在，请说明理由.B.抛物线x y 42=上三点A 、B 、C 与焦点F 连线段依次成等差数列，且B （1,2），求证：线段AC 的中垂线过x 轴上一定点.C.已知抛物线()022>=p py x ，过点F 的直线与曲线交与A 、B 两点，过A 、B 作切线PA 、PB ，交点为P ，求证：P 点恒在一条直线上．类型十 最值问题（函数方程思想在解析几何中的应用）A.已知A 、B 是抛物线()022>=p px y 上的两点，且OB OA ⊥,则ABC ∆面积的最小值为 .B.设椭圆中心在坐标原点，A (2,0),B (0,1)是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（1）若6=，求k 的值； （2）求四边形AEBF 面积的最大值．C.设椭圆E ：()012222>>=+b a by a x ，过点()()1,6,2,2N M 两点，O 为坐标原点。
专题五解析几何直线与圆教学课件2021届新高考数学二轮复习
故|MA|·|MB|≤225(当且仅当|MA|＝|MB|＝5 2 2时取“＝”).
答案
(1)A
25 (2) 2
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参 数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑 直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【例 2】 (1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中
提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且
不等于 1 的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭
建三座 5G 信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现 5G 商用，已知甲、
解析 (1)由题意知m(1＋m)－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重 合，舍去；当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝1.
(2)由题意可知，直线 l1：kx－y＋4＝0 经过定点 A(0，4)，直线 l2：x＋ky－3＝0 经过 定点 B(3，0)，注意到直线 l1：kx－y＋4＝0 和直线 l2：x＋ky－3＝0 始终垂直，点 M 又是两条直线的交点，则有 MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
热点三 直线(圆)与圆的位置关系
角度 1 圆的切线问题
【例 3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线 l 与曲线 y＝ x和圆 x2＋y2＝15都相切，则 l 的方程
为( ) A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1
D.y＝12x＋12
(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)
专题五 解析几何
时斜率不存在.
在涉
及 求直线方 程的题 型时，一 般可以用 待定系 数法，但
一定要弄清楚直线方程的各自适用范围. 同时注意灵
活 适用（如例 2，待 定系 数设 直线 方程 计算 量就 会很
大些）.
热点二 圆及直线与圆的位置关系
理 解直线 与圆的 位置关 系、两圆 的位置 关系，会
用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 掌握圆的标
4
A. 相切
B. 相离
C. 相交
D. 不能确定
解析 圆心到直线的距离为
| | d = sin αcos β+ cos αsin β+ 1 = sin(α+ β) + 1 ，
∵向量
a
与
b 的夹角为
2π 3
，
35
高三二轮复习专题·数学（理）
∴
-
1 2
=
cos 23π =
a
|a
b
|||b
| |
=
3
s
in
知 识. 例 1 平 面 上 有 相 异 的 两 点 A(cos θ, sin2θ) 和
B（0, 1），求经 过 A , B 两 点的 直线的 斜率及 倾斜角
的取值范围.
解析 ∵ A , B 是相异两点，
∴cos θ≠0, sin2θ≠1 .
设直线 AB 的倾斜角为 α，斜率为 k ，
则 k = tan α=
解 析 设 直 线 l 与 直 线 l1 ，l2 的 交 点 分 别 为 A, B , 点 A( x0, 2 - 3x0) ，
因为点 D(2, - 3) 是线段 AB 的中点，
所以点 B 的坐标为 (4 - x0, 3x0 - 8) . 又因为点 B 在直线 l2 上， 所以，(4 - x0) + 5(3x0 - 8) + 10 = 0 ，
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专题五解析几何1
（直线方程C级，圆方程C级，其他B级）
一、知识点整理
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：
(2)斜截式：
(3)两点式：
(4)截距式：
(5)一般式：
(6)第六式：
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行
(2)两直线垂直
若有一条直线的斜率不存在，
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：AB＝.
(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：
(2)圆的一般方程：
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：代数判断法与几何判断法．
相交
相切
相离
(2)圆与圆的位置关系：代数判断法与几何判断法.
外离
外切
相交
内切
内含
二、回归课本，基础训练
1．(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是______________．(2)“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的________条件．
2．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为___ _ ____．
3.(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为____________________．(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为___ _____．
4.(1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若PQ＝23，则直线l的方程为___________________________________．
(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且AB＝6，则圆C的方程为____ ____________．
5.(1)(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B 两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为________．
6．在直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足P A2－PB2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为________．
7．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，则实数a的取值范围是_____________________．
8．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________．
9.设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是___ _____．。