线性代数模拟题
线性代数模拟试题1
2、设 ，则 ___ __________.
3、已知3元非齐次线性方程组 的增广矩阵 经初等行变换化为： ，若方程组无解，则 的取值为____0________.
4、要使矩阵 的秩取得最小值，则 ______ ______.
5、已知 阶矩阵 有一个特征值为2，则 阶矩阵 必有一个特征值为_____-1______.
6、设 , 为 中元素 的代数余子式，则 _____0_______.
得分
评阅人
三、判断正误（共5小题，每题2分，共计10分）
1、若行列式 中每个元素都大于零，则 . ( X )
2、零向量是任一向量组的线性组合. ( )
3、任意 个 维向量必线性相关. （ ）
4、若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 （ X ）
线性代数模拟试卷一
得分
评阅人
一、选择题（共6小题，每题3分，共计18分）
1、排列32514的逆序数为（ B ）
A． B． C． D．
2、设 ，则 （B）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
3、设 是方阵且可逆，若 ,则必有（ A ）
A． B． C． D．
4、设 为3阶方阵， ，则其行列式 （ D ）
A． B． C． D．
5、设矩阵 与矩阵 相似，则 . ( )
得分
评阅人
四、计算题（共5小题，每题8分，共计40分）
1、计算行列式
解： (3分)
2、设 ,且 ,求
解：矩阵方程可化为： （2分）
,（3分）
3、解线性方程组 ，要求利用导出组的基础解系表示其通解.
解： （3分）
相应的方程组 ， （2分）
相应的齐次方程组 ， （2分）
线性代数模拟试卷及答案
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。
填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。
已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。
由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。
(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
线性代数模拟试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
1. 下列说法错误的是（ ）A . 一阶行列式a 的值即aB. 二阶行列式可用划线法计算，要算两项之差C. 三阶行列式可用划线法计算，要算六项之和差D. 四阶行列式可用划线法计算，要算八项之和差2. 对行列式实行下列哪种变换，不会改变行列式的值（ ）A. 转置B. 交换某两行C. 某行乘以一个常数D. 所有元素乘以一个常数3. 有矩阵23⨯A ，23⨯B ，22⨯C ，则下列计算可行的是（ ） A. AB B. CA C. B A + D. T B A +4. A 为4阶方阵，2)(=A R ，则A 中元素11a 的代数余子式=（ ）A . 0 B. 1 C. 2 D. 45. A 、B 都是n 阶方阵，下列正确的是( )A. k k k B A AB =)(（k 为正整数）B. T T T A B AB =)(C. ))((22B A B A B A -+=-D. 2222)(B AB A B A ++=+6. A 可逆，下列错误的是（ ）A ．A 一定是方阵B ．O A ≠C ．A 是满秩矩阵D ．A 的行向量组线性相关7. 设n m A ⨯，则非齐次线性方程组b AX =有唯一解的充分必要条件是（ ）A ．)()|(A R b A R =B ．n A R b A R ==)()|(C ．n b A R =)|(D ．n A R =)(8. 对n 阶方阵A ，2=A ，则=*AA （ ）A ．1B ．2C ．n 2 D. 12-n9. 若n 维向量321,,ααα线性无关，则再往该组添加一个n 维向量后得到的向量组4321,,,αααα（ ）A. 线性无关B. 线性相关C. 无法确定10. 若n 阶方阵A 满足E A =2，则A 的特征值为 ( ) A. 只能为1 B. 只能为1- C.1或1- D. 无法确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11. 012200021-= _______。
线性代数 模拟题
一、 选择题1.设向量()()()=-1,0,1=2,-3,=,3,1TTTx y αβγ-，，，且2αβγ+=，则x =（ ）..1A - .0B .2C .1D2.如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.-2 B.-1 C.1D.23.若3阶行列式1023145x x 的代数余子式121A =-，则代数余子式21A =（ ） .1A - B ．4 C ．-2 D ．24．设A 、B 为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（ ） A ．|AB|=|BA| B ．|A+B|=|A|+|B| C ．（AB ）-1=A -1B -1D ．（A+B ）2=A 2+2AB+B 25．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 6.若矩阵A 满足()12,A A E A E -+=+=则（ ）.A A E - .B A E + .2C A E -+ .D A7.设123,,,,αααβγ均为4维列向量，且4阶行列式321,,,2,αααβ=-123,,,1,βγααα+=-则4阶行列式1232,,,γααα=（ ）A ．0B ．2C ．1D ．-18.设A 为三阶矩阵，且|A |=2，则|（A *）-1|=（ ） A.41 B.1 C.2D.49．设A 为5×4矩阵，若秩（A ）=4，则秩（5A T ）为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510.设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t 2+1）线性相关，则实数t=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ） A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)TD ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T13．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）=r ，则（ ） A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解 B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解 C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解 D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解14．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．215.设()21,103Ta A ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭是的特征向量，则a =（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．216．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ）A ．41 B ．21 C ．2D ．417.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.2418.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2D.419.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡912304232120．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足().0A a <<.0B a <<.C a <<.1D a <<二、计算题1.已知矩阵A=011110124⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，B=101332⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，（1）求A 的逆矩阵A -1； （2）解矩阵方程AX=B.2．求4阶行列式11211021210211-----的值. 3．求线性方程组123412341234221245224x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+++=⎨⎪---+=-⎩（1）求导出组的基础解系； （2）求方程组的一般解。
2023线性代数期末模拟试题(三)
期末模拟试题(三)一．判断题（每小题2分，共5小题10分）正确的选“T”，错误的选“F”1. ,,. ( )A B AB O A B O ==若矩阵满足且可逆,则一定有2. . ( )可逆矩阵的逆矩阵不唯一3. ,,. ( )A B AB AB A B 若矩阵满足乘积为方阵则一定有=4. ,. ( )矩阵的行秩与列秩相等但是不等于矩阵的秩 5. ,. ( )n A A 若阶矩阵特征值都为单根则与对角矩阵相似 二．选择题（每小题2分，共10小题20分）1. (),( ).n A B k 对阶可逆矩阵、其中为非零常数下列错误的是A. ()T T T A B A B +=+11B. ()A A--=111C. ()AB A B ---=111. ()D kA A k --=1112131131123213332122232122233132333132332222. ,, ( ).a a a a a a a a a C a a a P PC a a a aa a a a a P +++===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设矩阵为初等矩阵,若则100A. 020010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100B. 010201⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭120C. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭102D. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. ,,,,,,( ).P Q R X n P Q PXQ R X ==设都是阶方阵且可逆则矩阵方程的解11A. RP Q --11B. P RQ --11C. RQ P --11D. P Q R--4. ,3,3( ).T A n A A A A ==设为阶方阵若的行列式则A. 3n 1B. 3n +2C. 3n +22D. 3n +3005. ,,()2,512,( ).5646A B R A B x x ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知同型矩阵等价且则A. 8B. 4C. 2D. 312126. ,(),( ).,,,,,,,n n b A αααααα= 已知向量组且则下列说法错误的是12A. , ,,,n AX b b ααα= 若有无穷多解则可由线性表出且表示式不唯一12B. , ,,,n AX b b ααα= 若有唯一解则可由线性表出且表示式唯一12C. ,,,,n AX b b ααα= 若无解则不能由线性表出D. ()(),AX b R A R A AX b =≠=若满足条件则有解7. ,0( ).A m n AX ⨯=若为矩阵则方程组仅有零解的充要条件为A. A 的列向量线性无关 B. A 的列向量线性相关C. A 的行向量线性无关D. A 的行向量线性相关8. ,02080,( ).A A I A I A I A -=+=+==设的为三阶矩阵且，，则A.1 B. 2 C.16- D. 8-2009. =020( ).005Λ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭下列矩阵与对角矩阵相似的矩阵是200A. 320005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200B. 0210005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭246C. 020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200D. 820315-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22212312312132310. ( ).(,,)22446f x x x x x x x x x x x x =---++二次型的矩阵为122A. 223232----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131B. 223332---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭122C. 223232---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭121D. 222242----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三．填空题(每小题2分,共5小题10分)11231. 34,45,(34) .2131T A B A B -==-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设则321003702. , .245dc A y A x y z a b=已知四阶行列式则元素的代数余子式的值为1123. , .34A A -==⎛⎫⎪⎝⎭已知矩阵则其逆矩阵1234. (1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)2, .a a ααα=-===若向量组的秩为则5. ,248, .A 若是三阶方阵其特征值分别为、、则逆矩阵的特征值为四．计算题(第1、2小题每题8分,第3、4、5、6小题每题9分，共52分)130621511. ,,2,2.02121476A A A A ---=--⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求1212222. ,()2,.15103A A R A a A a -----==--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知矩阵矩阵的秩求的值和矩阵的标准形13. 24, (1) 2320 (2) 030,.003n A B A B B I A I A B -⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=---=已知阶矩阵和满足条件证明可逆；已知求12344. (2,0,1),(0,1,1),(1,1,2),(5,0,5),,.T T T T αααα===--=已知向量组求向量组的秩和一个 极大无关组并将其余向量用该极大无关组线性表出12413123415. 22.30x x x x x x x x x -==---=+⎧⎪+⎨⎪⎩求非齐次线性方程组的通解21226. 224,242 (1) (2)()35,()..A f x x x A f A -=---=+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求矩阵的特征向量和特征值；若多项式求方阵的多项式的特征值五．证明题(8分)123123112223313123 ,,,+2,3,,,==+4=5+6,,αααββββααβααβααβββ已知向量组线性无关且向量组满足判定向量组的线性相关性,并证明.,。
线性代数模拟题1
线性代数模拟题1 一．单选题. 1. 如果m a a a a a a a a a D ==333231232221131211，1312112322213332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ D ）．（A ）m 3； (B)m 3-； (C)m 9； (D)m 27-．2. 当（ B ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 仅有零解．（A ）0=k ； （B ）2≠k ； （C ）3=k ； （D ）2-=k ．3. 设A 为n 阶方阵，且A 的行列式0≠=a A ，而*A 是A 的伴随矩阵，则*A 等于（ C ）．（A ）a ； （B ）a1； （C ）1-n a ； （D ）na ． 4. 设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩为1r ，则（ C ）．（A ）1r r >； （B ）1r r < ；（C ）1r r =； （D ）r 与1r 的关系依C 而定． 5. 设A 是n 阶方阵，其秩为r ，则在A 的n 个行向量中（A ）(A) 必有r 个行向量线性无关 (B) 任意r 个行向量线性无关(C) 任意r 个行向量都构成极大无关向量组(D) 任意一个行向量都可以由其余1-n 个行向量线性表示 6. 若向量组γβα,,线性无关；δβα,,线性相关，则（ A ） (A)α必可由δγβ,,线性表示 ; (B)β必不可由δγα,,线性表示 ; (C )δ必可由γβα,,线性表示; (D)δ必不可由γβα,,线性表示. 7. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式|A 2|=( d )(a)0 (b)1 (c)6 (d)36 8. 下列说法正确的有( d )(a) 非零特征向量的特征值也是非零的。
(b) 属于一个特征值的特征向量只能有一个。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
线性代数模拟试卷
51附录一：模拟试卷试卷一一、填空题 （4×5=20分）1.111110110110111= .2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 .3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 .二、选择题 （4×5=20分）1. 设B A ,为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）（A ）A=0，或B=0； （B ）A+B=0； （C ）|A|=0或|B|=0； （D ）|A|+|B|=0三、计算下列各题 （2×10=20分）1. 已知X =AX+B , 其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=350211B ，求矩阵X . 四、设线性方程组 (10分)（I ）⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=-++04253033202432143214321x x x x x x x x x x x x （II ）⎩⎨⎧=++=++020321421x nx x mx x x（1）求线性方程组（I ）的通解.（2）n m ,取何值时，（I ）（II ）有公共非零解.试卷二一、填空题：（4×5=20分）1．设A 是4阶矩阵，已知=-=*A A 则,64)2( . 2．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001I ，则逆矩阵=--1)2(I A .523．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100001P ，则54AP P = . 4．设0121211230101120)(-==a i j A ，ij A 为ij a 的代数余子式（j i ,=1.2,3,4），则=+++433323132A A A A .二、选择题：（4×5=20分）1．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则B A 和的秩（ ）（A ）必有一个等于0； （B ）一个小于n ，一个等于n ； （C ）都小于n ；（D ）都等于n 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
x1 四、 （ 15 分）设线性方程组： x 1
x2 x2 x3 x3 x4 x4
1
， 2
1、 求出线性方程组有解的充要条件； 2、 在有解的情况下，求出通解。 五、 （ 15 分）用正交变换将二次型 f 3x 2xy 3y yz 化为标准型。
n
*
； ； ； 的 特 征 值 是
8 、 若 方 或 ；
阵
A
满 足
A2 A
， 则
A
9、设 1 , 2 是某齐次线性方程组的基础解系， 1 1 2 , 2 1 2 2 , 则
1 与 2 是线性
的； 。
10、 n 阶矩阵 A 的 n 个特征根互不相等是 A 与对角矩阵相似的
1 3 也是 AX b 的 3
x , x , x 2x x x
2 2 1 2 3 1 2
2 3
4 x1 x 2 6 x 2 x 3 的矩阵 A
2
8、设 4 阶方阵 A 的特征值分别为 1, 2,3, 2. 则 A A 的特征值为
1 5 7 9、设 D 2 2 2 , 2 0 3
'
； ； ； 基； 基；
*
（ 2） A A
'
（ 3） A
-1
（ 4） A 的列向量组是一组 （ 5） A 的行向量组是一组 5、设 A 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，若 |A|=2，则 | A | = 6、设 A是一个m n阶矩阵, 若 m n , 则 | A A | = 7、若 n 阶方阵 A 的列向量组是 R 的标准正交基，则 A A =
则
A
31
A32 A33
则
10、设 1, 2, 1,1 , 3, 2,1,1 , 2 2 ,
a1 0 二 、计算行列式 0 1
a1 a2 0 1
0
0 0
0 0 （10 分） an 1
a2 0 1
an 1
2 2 0 2 ，1.求 A 的特征值与特征向量. 2.求一正交矩 六、已知实对称矩阵 A 2 1 0 2 0
阵 T ，使得 T 1 AT 为对角阵.（16 分） 七、 设 1 2 ， 且 1， 2 为 A 的特征值，1， 2 为它们对应的特征向量， 证明 1， 2 线 性无关． （6 分）
2x D 1 3 x 1 x 1 中 x 的系数为 2 x
3.
4. 设四元线性 方程组 AX b 的系数矩阵 的秩为 2 ，已知 AX b 有解 1, 2 , 3,则
AX b 的一般解为
5. 设 (1, 1,0, 2), (k ,1, 1,1), 与 正交，则 k 6. 设二元方阵 A, B 的逆分别是 A
1 3 2 1 ，且 A2 AB E ，求 B 三.已知 A 3 0 1 1 1 2 x1 x2 x3 x4 1 四.求解方程组 3 x1 2 x2 x3 3 x4 4 x 4 x 3x 5 x 2 2 3 4 1
2 2 2
1
1
断二次型的正定性。
线性代数模拟试题（五）
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、设 1 , 2 , 3 n 为 n 维单位坐标向量组，则
a1 1 a2 2 a3 3 an n =
2、任何 n 1 个 n 维向量都是线性 关的； 3、向量空间 V 中的任何一个基所含的向量个数都等于向量空 间的 ；
3 2
1、求矩阵 B 的特征值及其相似对角形矩阵； 2、求行列式 |B| 与 |A-5E| 。
线性代数模拟试题（四）
三、 填空题： （30 分） 1、 若 a 12a 3i a 2 k a 51a 44 是 5 阶行列式中带 “+ ” 的项， 则 i= ； k= 。
2、 若 行 列式 D 中 存 在两 行 元 素相 同 或 成比 例 ，则 D= 。 3、设矩阵 A 为 n 阶方阵，且方程组 AX=B（B≠ 0）有唯一解，则 R（ A）= 4、正交矩阵 A 的五个等价定义为： （ 1） A A
5
二、 （ 10 分）计算行列式：
1 2 A 3
2 3 4
3 4 5
n 1 2 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 1 2 n 1
2x 1 三、 （15 分）设有非齐次线性方程组： x 1 x 1
值时有解？并求出全部解。
x2 2x 2 x2
x3 x3
3 4 5 5
=
； ；
1
2、 n 阶方阵 A 的特征值为 1， 2，…， n，则 |A| = 3、 若 A 是可逆矩阵， 且 1 , 2 ,, n 是 A 的特征值， 则 A 特征值为
；
4、设 和 是非齐次线性方程组 AX=B（B≠ 0）的解 ,若 1 2 也是 AX=B 的解, 当且仅当
A2 1 3 A 2 3 2 4A 2
10. 二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 2 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3 所对应的矩阵为
2 2 2
二. 计算行列式
（ 10 分）
D
1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
1
4 （ 1， 9， 6， 3， 6），求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无
关组线性表示.（14 分） 五、求下列非齐次线性方程组的一般解（12 分）
2 x1 x2 x3 x4 1 3x1 2 x2 x3 3x4 4 x 4 x 3x 5 x 2 2 3 4 1
4、设 A 是 4 5 矩阵， R A 2 .则线性方程组 AX 0 的基础解系含有 5、设 1,2,3 是非齐次线性方程组 AX b 的解，若 11 22 解，则 1 2 6、设 ， ，若 与 正交，则 a 、 b 所满足的关系为 （1， 2， a） （b， 1， 0） 7、二次型 f 个解向量
2x 3
2 ，问当 为何 2
四、 （ 15 分）用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩：
1 2 3 1、 A 2 2 1 ，求 A 1 ； 3 4 3
2
1 2 3 4 2、 B= 1 2 4 5 ，求 R（ B） 。 1 10 1 2
3 0 1 三 、设 A 1 1 0 , AB A 2 B . 求矩阵 B .（12 分） 0 1 4
四、 设向量组
1 （ 1， 1， 2， 3， 4） （3， 7， 8， 9， 13） ， 2 ， 3 ， （ 1， 3， 0， 3， 3）
1
1 5 3 2 1 , B , 则 ( AB) 1 4 1 4
7. 设 3 阶方阵 A 的特征值为 2，-1， 3，则 2 A 8. 设 A 为 4 5 矩阵，若 A 的每个行向量都不能用其余的行向量来线性表示，则 A 的 秩为
2
1 3 4 9. 设 A 2 1 3 , Aij 为 A 中 第 I 行 第 j 列 的 元 素 的 代 数 余 子 式 ， 则 4 7 3
线性代数模拟试题（一）
一填空题（每空 3 分，共 30 分）
1、设
a a a D b b b c c c
1 2 1 2 1 2
3 3 3
2
3a 6a 3a 则D b 2b b c 2c c
2 1 1 2 1 2 1 3
3
3
2、设 A 是 3 阶矩阵，且 A 3, 则 3 A
2 3 4 1 1 3、已知 A 5 2 1 ，则 (2 A) 1 2 3
（14 分）
1 2 4 六.设 A = 2 4 2 . 4 2 1
（1）求 A 的特征值. （2）求 A 的特征向量 （3）求正交矩阵 T ，使得 T AT 为对角阵. 七.证明：若非零向量 可由向量组 1 , 2 , 线性无关. （ 8 分）
2
;
2 2
5、实二次型 f x 4xy ky z
为正定的，则 k=
。
三、 （ 10 分）设向量 (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), 矩阵A , 3 1、验证： , , 是R 的一组基；
五、 （ 15 分）设 A为n阶矩阵, 且A 2A 4E 0, 证明： A 及 A+3E 都可逆， 并求 A ， (A 3E) 。 六、 （ 15 分）写出二次型 f 10x 1 2x 2 x 3 8x 1 x 2 24x 1 x 3 28x 2 x 3 的矩阵，并判
线性代数模拟试题（二）
一. 填空题（每题 3 分，共 30 分） 1. 设 A 是 3 阶矩阵，且 A 3, 则 3 A 2. 设 1,2,3 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 A X b的 解 ， 若
1 1 2 2
1 3 也是 3
AX b 的解，则 1 2
2 2 2
六、 （14 分）设 是非齐次线性方程组 AX=B（ B≠ 0）的一个解， 1 , 2 ,, n r 是对应的