1-4课

utt (T / ρ ){ [ux ( x + dx, t ) ux ( x, t )]/ dx } = F ( x, t ) / ρ
取 c = T / ρ , f ( x, t ) = F ( x, t ) / ρ , 得:
2
受迫振动 方程
u 2u c = f ( x, t ) 2 2 t x
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基本物理定律和分析方法
r r F = ma
微分思想 弦微段 动力平衡方程
u α o [x, x+dx] L x x
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推导过程
T2 cosα2 + (T1 cosα1 ) = 0 T2 sinα2 + (T1 sinα1 ) + F ( x, t )ds = (ρds)utt
一些近似关系:
= A(q1 cos α + q2 cos β + q3 cos γ )
r q
x y
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3. 比热C的定义:单位质量导热体温度升高1度所吸收的热量
W = Cδ mδ u (质量为δ m 的导热体温度升高 δ u 吸收的热量 )
在导热体内取一正六面体微元,对其应用基本物理定律
从各个侧面流入微元体的热量
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三种基本偏微分方程
波动现象(声波,电磁波和振动波) 波动方程:
2u 2 2u 2u 2u c 2 + 2 + 2 = 0 2 x y z t
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热传导和扩散现象
2 u 2u 2u 2 u 热传导方程: a 2 + 2 + 2 = f ( x , y , z , t ) x t y z
哈密尔顿算子 r r r = i + j+ j x y z u r u r u r u = i+ j+ j x y z
r u r u r u r q = Ku = K i K jK k x y z
流入任一平面热量,瞬时值
z
A
r n
v r Qn = q n A r r r r r r = A(q1i + q2 j + q3k ) (i cos α + j cos β + k cos γ )
"Partial differential equations are the basis of all physical theorems. In the theory of sound in gases, liquids and solids, in the investigations of elasticity, in optics, everywhere partial differential equations formulate basic laws of nature which can be checked against experiments." -BERNHARD RIEMANN
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第一章
第二节 三类方程的导出
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弦振动方程——背景知识
一个有趣的事情是,18世纪推动数学家们研究偏微分 方程的不是远航的帆船或其他交通工具,也不是风车 这样的动力装置,而是小小的乐器 弦振动问题的研究对理解很多重要的振动现象,如 自然频率,振动模态等都非常具有帮助,这些是我 们分析复杂振动物体,比如发动机的轴和叶片的基 础 弦振动方程同时也描述着横波沿弦线的一维传播情 况,是研究各种波动现象的基础,揭示了波动现象 的很多特征和规律
u 2 K F a u = f ( x, y, z, t ) (a2 = , f= ) t ρC ρC
u 2u a 2 2 = f ( x, t ) t x
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Poisson方程和Laplace方程
同理:
u K Q3 + Q 4 = y x y z y
Q5 + Q 6 =
u K x y z z z
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在 δ t 时间内微元体温度升高 δ u 的能量守恒关系
导体吸热
(Cρxyz )δu
流人的热量
内部产生热量
=
u u u K + K + K xyzt x x y y z z
自然流动现象 各种流体机械的设计原理(压气机)
ρ ( ρu) ( ρv) ( ρv) + + + =0 t x y z p p du p p ρ = ρFx + xy + xy + xy t x x y z p p p p dv ρ = ρFy + xy + yy + xz t x x y z dw p pzx p yz pzz ρ = ρFx + + + t z x y z
常微分方程[复习]
由一元函数及其导数构成的方程
d 2x dx m 2 + + kx = 0 dt dt
x
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偏微分方程
在实际物理问题中,所涉及的物理量往往既随时间变化,又随空 间变化.要描述这样的物理现象,就必需采用多元函数和偏微分 方程——由多元函数及其偏导数构成的方程
F ( x, t , u ( x, t ), ut ( x, t ), u x ( x, t )) = 0
2 2
自由振动 方程
2u 2 2 u c =0 2 2 t x
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从物理问题导出微分方程的过程(参考)
分析物理问题
明确物理定律 明确已知的和要求解的物理量(偏微分方程的未知函数) 为了简化问题,可能需要做出合理的假设
建立空间坐标系
将空间几何(圆,矩形,各种曲线,曲面)和数学关联起来
选择对象,应用物理定律,列出数学方程
伽利略
首先明确提出物理学必走数学化 道路,是近代科学的奠基人之一
牛顿
数学和物理学的结合——牛顿定律 《自然哲学的数学原理》 "Mathematical Principles of Natural Philosophy"
哲学写在那本永远在我们眼前的伟大书 我们可以说, 我们可以说,现在是第一次把一个 我指的是宇宙. 里——我指的是宇宙.但是,如果我们 我指的是宇宙 但是, 拥有许多奇妙结果的新方法公开出 不先学会书本里所用的语言, 不先学会书本里所用的语言,掌握书里 在未来的岁月里, 来;在未来的岁月里, 的符号,就不能了解它. 它将赢得别 的符号,就不能了解它.这书是用数学 语言写出的,符号是三角形, 语言写出的,符号是三角形,圆形和别 人的重视 的几何图形
我在这本书里, 我在这本书里,培养数学直 至它联系到哲学时为止, , 至它联系到哲学时为止,…, 所以我献出这本书作为哲学 的数学原理
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科学研究的"数学物理"方法
从牛顿时代起,在力学和物理学其他领域,物 理学和数学变得密不可分,所有物理现象都需 要通过数学描述,数学成了物理学的语言.
物理和工程 问题
对于关于质点的物理定律,宜于选微元作为对象
得出关于未知函数的偏微分方程
将数学方程中的所有变量都以未知函数或其偏导数表示,就得 出未知函数及其导数之间的数学制约关系
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主要参考书
粱昆淼,"数学物理方法"(第三 版),高等教育出版社
作业一
1. 弦在阻尼介质中运动,阻力和速度成正比, 试推导弦的振动方程 2. 一个人在水平高度相等的两点之间来一根绳子,设绳 子质量密度为ρ,张力为T, 求(1)绳子的形状, (2)最大下垂距离和张力的关系
调和(热平衡,静电势,理 想不可压无旋流动等) 调和方程(泊松方 程) 拉普拉斯方程:
2u 2u 2u + 2 + 2 = g ( x, y, z ) 2 x y z
2u 2u 2u + 2 + 2 =0 2 x y z
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本课程的内容
以三类基本偏微分方程——波动,热传导和 平衡态方程为学习对象 从物理问题中导出数学描述——偏微分方程 经物理含义,了解一些基本的数学物 理概念:自然频率,本征值,模态,频谱, 特征线,点源函数等
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热传导方程
考虑一个内部存在热源的导热体,热源单位 时间内在单位体积导热体内部生成的热量为 F(x,y,z,t),如何用数学物理方程描述导热体 内部温度场u(x,y,z,t)的变化?
z 场就是某种物理量在 空间的连续分布,如 温度场 x y
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基本物理定律
1. 能量守恒: 流入导热体的热量和其内部生成的 热量之和等于导热体温度升高所吸 收的热量 2.傅立叶定律:热流强度与温度梯度成正比
弦长度变化可以忽略
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在x向动力方程中代入近似关系,得:
T T2 弦上各点处张力近似相等 1
弦长度变化可忽略 在u向动力方程中代入近似关系,得:
张力恒等于T
T tanα2 T tanα1 + F ( x, t )dx = ρutt dx
T[ux ( x + dx, t ) ux ( x, t )] + F ( x, t )dx = ρutt dx
压气机内部流动 的数值模拟
ρT
T T T ds + k = Φ + k + k + ρq t x x y y z z
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弹性力学基本方程
叶片的振动问题
传热学基本方程
涡轮叶片的冷却
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气动声学基本方程
航空发动机噪声辐射
电磁运动的Maxwell方程组 描述微观粒子运动的Schrdinger方程
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弦振动方程
两端固定且绷紧弦的横向振动
横向位移 u(t,x) (t>0, 0<x<L) 初始张力T (0<x<L) 均匀线密度ρ,单位长度弦所 受外力F(x, t)(垂直于弦)