第三章 控制系统的数学描述与建模

2,串联:series 格式: [a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) %串联连接两个状态空间系统. [a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2) %out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输 入进行连接. [num,den]=series(num1,den1,num2,den2) %将串联连接的传递函数进行相乘.
第一节
系统的分类
按系统性能分:线性系统和非线性系统;连续系统和离散 系统;定常系统和时变系统;确定系统和不确定系统. 1,线性连续系统:用线性微分方程式来描述,如果微分方程 的系数为常数,则为定常系统;如果系数随时间而变化, 则为时变系统.今后我们所讨论的系统主要以线性定常连 续系统为主. 2,线性定常离散系统:离散系统指系统的某处或多处的信号 为脉冲序列或数码形式.这类系统用差分方程来描述. 3,非线性系统:系统中有一个元部件的输入输出特性为非线 性的系统.
一,连续系统的传递函数模型
连续系统的传递函数如下:
C ( s ) b1s m + b2 s m 1 + ... + bn s + bm +1 G( s) = = R( s ) a1s n + a2 s n 1 + ... + an s + an +1
对线性定常系统,式中s的系数均为常数,且a1不等于零, 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构 成的两个向量唯一地确定出来,这两个向量分别用num和 den表示. num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意:它们都是按s的降幂进行排列的.
例exp3_1.m
电路图如下,R=1.4欧,L=2亨,C=0.32法,初始 状态:电感电流为零,电容电压为0.5V,t=0时 刻接入1V的电压,求0<t<15s时,i(t),vo(t)的值, 并且画出电流与电容电压的关系曲线.
R t=0 i (t ) ± Vs=1V
L + C vo (t )
第三节 传递函数描述
12 s 3 + 24 s 2 + 20 举例:传递函数描述 1)G ( s ) = 2s 4 + 4s 3 + 6s 2 + 2s + 2
》num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2];
4( s + 2)( s 2 + 6 s + 6) 2 2) G ( s ) = s( s + 1)3 ( s 3 + 3s 2 + 2 s + 5)
0.25i 0.25i 2 + + 4)已知部分分式: G ( s ) = 2 + s 2i s + 2i s + 1
》r=[-0.25i,0.25i,-2]; 》p=[2i,-2i,-1];k=2; 》[num,den]=residue(r,p,k) 》num= 2 0 9 1 》den= 1 1 4 4 注意余式一定要与极点相对应.
第二节 线性定常连续系统的微分方程模型
微分方程是控制系统模型的基础,一般来讲,利用 机械学,电学,力学等物理规律,便可以得到控制 系统的动态方程,这些方程对于线性定常连续系统 而言是一种常系数的线性微分方程. 如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程进 行求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此 对系统进行性能分析. 通过拉氏变换和反变换,可以得到线性定常系统的 解析解,这种方法通常只适用于常系数的线性微分 方程,解析解是精确的,然而通常寻找解析解是困 难的.MATLAB提供了ode23,ode45等微分方程 的数值解法函数,不仅适用于线性定常系统,也适 用于非线性及时变系统.
二,模型的连接
1,并联:parallel 格式: [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) %并联连接两个状态空间系统. [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) %inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号,从 u1,u2,…,un依次编号为1,2,…,n; out1 out2 u1,u2,…,un 1,2,…,n out1和out2分别指定要作相加的 输出端编号,编号方式与输入类似.inp1和inp2既可以是标量也可 以是向量.out1和out2用法与之相同.如inp1=1,inp2=3表示系统1 的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接. 若inp1=[1 3],inp2=[2 1]则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个 输入连接,以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接. [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2) %将并联连接的传递函数进行相加.
借助多项式乘法函数conv来处理: 》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1], [1,3,2,5]))));
s 3 + 11s 2 + 30 s 零极点增益模型: G ( s ) = 4 s + 9 s 3 + 45s 2 + 87 s + 50 》num=[1,11,30,0];
x = Ax + Bu y = Cx + Du
在MATLAB中,系统状态空间用(A,B,C,D)矩阵组表示.
举例:Leabharlann 1 6 9 10 4 3 12 6 8 2 x + x= 4 7 9 11 2 5 12 13 14 1 0 0 2 1 y= x 8 0 2 2
6 4 u 2 0
系统为一个两输入两输出系统 》A=[1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14]; 》B=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; 》C=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; 》D=zeros(2,2);
y = [1 3]x + u
1 x + 2
0 1 u
2)已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为:
y1(s) 2 s 5 G11(s) = = 3 G21(s) = 3 2 u(s) s + 6s +11 + 6 s s + 6s2 +11 + 6 s s + 2s G31(s) = 3 2 s + 6s +11 + 6 s
k= 2
0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000
0.25i 0.25i 2 + + 结果表达式: G ( s ) = 2 + s 2i s + 2i s + 1
第四节
状态空间描述
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式,又称 为动态方程,经典控制理论用传递函数将输入—输出关 系表达出来,而现代控制理论则用状态方程和输出方程 来表达输入—输出关系,揭示了系统内部状态对系统性 能的影响.
》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; 》[num,den]=zp2tf(z,p,k) 》num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) 》a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意:零极点的输入可以写出行向量,也可以写出列向量.
CH3,控制系统的数学描述与建模
控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的 地位,要对系统进行仿真处理,首先应当知道系统的数学 模型,然后才可以对系统进行模拟.同样,如果知道了系 统的模型,才可以在此基础上设计一个合适的控制器,使 得系统响应达到预期的效果,从而符合工程实际的需要. 在线性系统理论中,一般常用的数学模型形式有:传递函 数模型(系统的外部模型),状态方程模型(系统的内部模 型),零极点增益模型和部分分式模型等.这些模型之间都 有着内在的联系,可以相互进行转换.
3,反馈:feedback
格式: [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) %将两个系统按反馈方式连接,一般而言,系统1为对象,系统2 为反馈控制器. [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign) %系统1的所有输出连接到系统2的输入,系统2的所有输出连接到 系统1的输入,sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号, sign缺省时,默认为负,即sign= -1.总系统的输入/输出数等同于 系统1. [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) %部分反馈连接,将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入, 系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1,以此构成 闭环系统. [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) %可以得到类似的连接,只是子系统和闭环系统均以传递函数的 形式表示.sign的含义与前述相同.
部分分式展开: 》num=[2,0,9,1]; 》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》 r= p= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000
2s 3 + 9s + 1 G( s ) = 3 2 s + s + 4s + 4