聚类分析和判别分析
第11章 聚类分析与判别分析
第十一章聚类分析与判别分析聚类分析与判别分析是两类常用多元分析方法。
聚类分析可以将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强；而判别分析则可以根据已掌握的样本信息建立判别函数，当遇到新的样本点时根据判别函数可以判断该样本点所属的类别。
第一节聚类分析一、聚类分析的基本思想“物以类聚，人以群分”。
分类处理，在现实中极为普遍。
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量量化分类研究。
例如：在生物学中，为了研究生物的演变，生物学家需要根据各种生物不同的特征对生物进行分类；在经济研究中，为了研究不同地区城镇居民生活中的收入和消费情况，往往需要划分不同的类型去研究；在人口学研究中，需要构造人口生育分类模式、人口死亡分类状况，以此来研究人口的生育和死亡规律。
历史上，这些分类方法多半是人们主要依靠经验作定性分类，致使许多分类带有主观性和任意性，特别是对于多因素、多指标的分类问题，定性分类的准确性不好把握。
为了克服定性分类存在的不足，人们把数学方法引入分类中，形成了数值分类学，进而产生了聚类分析这一最常用的技巧。
聚类分析将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。
其目的在于：使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化。
聚类分析通常可以分为两种：Q型聚类和R型聚类。
Q型聚类是对观测个体的分类，R 型聚类是对变量的分类。
二者在数学上是对称的，没有本质区别。
二、符号说明多元统计分析中要注意区分样本和变量。
每个样品有p个指标（变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量，可以把n 个样品看成p维空间中的n个点。
X表示第k个变量第j次观测值（或称第j个项目的测量值），即：我们用记号jkX=第k个变量第j次观测值jkp个变量的n个观测值可表示如下：11121121222212121212k p k pj j jk jp n n nknpkp X X X X X X X X j X X X X nX X XX 变量变量变量变量观测观测观测观测记为：1112112122221212k p k p j j jk jp n n nknp X X X X X X X X X X X X X X X X ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X 记12(,,,)'jp j j jp X X X X R =∈,表示第j 个样品，它表示p 维空间的一个点。
聚类分析与判别分析
(xi yi )2
i
平方欧氏距离(Squared Euclidean) (xi yi )2 i
绝对距离(Block): Si|xi-yi|
切比雪夫距离 （Chebychev ） Maxi|xi-yi|
1
明考夫斯基距离（Minkowski）
(
xi
yi
)q
q
i
10
（2）相似系数
向量x =(x1,…, xp)与y =(y1,…, yp)之间的相似系数：
夹角余弦cosine
Cxy (1) cos xy
xi yi i
xi2 yi2
i
i
cosθ =1,说明x和y完全相似；接近1，x和y比较相似。
cosθ=0，说明x和y完全不一样；接近0，x和y差别很大。
相关系数
(xi x )( yi y)
Pearson correlation Cxy (2) rxy
1
提纲
1 聚类分析
1-1 概述
1-1-1聚类分析的原理 1-1-2 距离和相似系数 1-1-3 类间距离的算法
1-2系统聚类分析（Hierarchical clustering） 1-2-1 基本思想
1-2-2 分类
1-2-3 SPSS 实现
1-3 k-均值聚类 （ K-Means Cluster)
每一种样品都具有多种特性，或称之为具有多种变量。聚类分析是基于
多变量数据，对n个样品进行分类的一种方法，即将那些相似的样品归为一类， 不相似的样品分别归到各自不容的类别中。
目的：寻找数据中潜在的自然分组结构 和感兴趣的关系。
3
自然分组结构 Natural grouping ： 例如：有16张牌，如何将他们分为一组一组的牌？
聚类分析与判别分析区别
表示
：
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝
ｐ
ａ
＝
１
!
ｘ
ｉａ
ｘ
ｊａ
ｐ
ａ
＝
１
!
ｘ
２
・
ｐ
ａ
＝
１
!
ｘ
２
"
ｉａ
ｊａ
１
≤
ｃｏｓ
!
ｉｊ
≤
１
当
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝１
，
说明两个样品
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
完全相似
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
接
近
１
，
说
明
两
个
样
品
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
相
似
密
切
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝０
，
说明
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
完全不一样
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
接近
０
，
说
明
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
差别大。把所有两两样品的相似系数都
通过聚类分析可以达到简化数据的目的
，
将
众多的样品先聚集成比较好处理的几个类别或子
集
，
然后再进行后续的多元分析。
比如在回归分析
中
，
有时不对原始数据进行拟合
，
而是对这些子集
的中心作拟合
，
可能会更有意义。又比如
，
为了研
究不同消费者群体的消费行为特征
，
「聚类分析与判别分析」
「聚类分析与判别分析」聚类分析和判别分析是数据挖掘和统计学中常用的两种分析方法。
聚类分析是一种无监督学习方法，通过对数据进行聚类，将相似的样本归为一类，不同的样本归入不同的类别。
判别分析是一种有监督学习方法，通过学习已知类别的样本，构建分类模型，然后应用模型对未知样本进行分类预测。
本文将对聚类分析和判别分析进行详细介绍。
聚类分析是一种数据探索技术，其目标是在没有任何先验知识的情况下，将相似的样本聚集在一起，形成互相区别较大的样本群。
聚类算法根据样本的特征，将样本分为若干个簇。
常见的聚类算法有层次聚类、k-means聚类和密度聚类。
层次聚类是一种自下而上或自上而下的层次聚合方法，通过测量样本间的距离或相似性，不断合并或分裂簇，最终形成一个聚类树状结构。
k-means聚类将样本划分为k个簇，通过优化目标函数最小化每个样本点与其所在簇中心点的距离来确定簇中心。
密度聚类基于样本点的密度来判断是否属于同一簇，通过划定一个密度阈值来确定簇的分界。
聚类分析在很多领域中都有广泛的应用，例如市场分割、医学研究和社交网络分析。
在市场分割中，聚类分析可以将消费者按照其购买行为和偏好进行分组，有助于企业制定更精准的营销策略。
在医学研究中，聚类分析可以将不同患者分为不同的亚型，有助于个性化的治疗和药物开发。
在社交网络分析中，聚类分析可以将用户按照其兴趣和行为进行分组，有助于推荐系统和社交媒体分析。
相比之下，判别分析是一种有监督学习方法，其目标是通过学习已知类别的样本，构建分类模型，然后应用模型对未知样本进行分类预测。
判别分析的目标是找到一个决策边界，使得同一类别内的样本尽可能接近，不同类别之间的样本尽可能远离。
常见的判别分析算法有线性判别分析（LDA）和逻辑回归（Logistic Regression）。
LDA是一种经典的线性分类方法，它通过对数据进行投影，使得同类样本在投影空间中的方差最小，不同类样本的中心距离最大。
逻辑回归是一种常用的分类算法，通过构建一个概率模型，将未知样本划分为不同的类别。
聚类分析和判别分析
18
24 30 36 42 48 54 60 66 72
0.69
0.77 0.59 0.65 0.51 0.73 0.53 0.36 0.52 0.34
1.33
1.41 1.25 1.19 0.93 1.13 0.82 0.52 1.03 0.49
0.48
0.52 0.30 0.49 0.16 0.35 0.16 0.19 0.30 0.18
i i
( xi x ) 2 ( yi y ) 2
i i
i
当变量的测量值相差悬殊时,要先进行 标准化. 如R为极差, s 为标准差, 则标 准化的数据为每个观测值减去均值后 再除以R或s. 当观测值大于0时, 有人 采用Lance和Williams的距离
1 | xi yi | x y p i i i
Number of Cases in each Cluster Cluster 1 2 3 4 1.000 1.000 2.000 15.000 19.000 .000
Valid Missing
结果解释
参照专业知识，将儿童生长发育分期定为： 第一期，出生后至满月，增长率最高； 第二期，第2个月起至第3个月，增长率次之； 第三期，第3个月起至第8个月，增长率减缓； 第四期，第8个月后，增长率显著减缓。
k-均值聚类：案例
为研究儿童生长发育的分期，调查1253名1月至7岁儿 童的身高（cm）、体重（kg）、胸围（cm）和坐高（cm） 资料。资料作如下整理：先把1月至7岁划成19个月份段， 分月份算出各指标的平均值，将第1月的各指标平均值与出 生时的各指标平均值比较，求出月平均增长率（%），然后 第2月起的各月份指标平均值均与前一月比较，亦求出月平 均增长率（%），结果见下表。欲将儿童生长发育分为四期， 故指定聚类的类别数为4，请通过聚类分析确定四个儿童生 长发育期的起止区间。
聚类分析与判别分析
第一节聚类分析统计思想一、聚类分析的基本思想1．什么是聚类分析俗语说，物以类聚、人以群分。
当有一个分类指标时，分类比较容易。
但是当有多个指标，要进行分类就不是很容易了。
比如，要想把中国的县分成若干类，可以按照自然条件来分：考虑降水、土地、日照、湿度等各方面；也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础设施等指标；对于多指标分类，由于不同的指标项对重要程度或依赖关系是相互不同的，所以也不能用平均的方法，因为这样会忽视相对重要程度的问题。
所以需要进行多元分类，即聚类分析。
最早的聚类分析是由考古学家在对考古分类中研究中发展起来的，同时又应用于昆虫的分类中，此后又广泛地应用在天气、生物等方面。
对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测值（事件，样品）来分类（相当于对数据中的行分类）。
2．R型聚类和Q型聚类对变量的聚类称为R型聚类，而对观测值聚类称为Q型聚类。
这两种聚类在数学上是对称的，没有什么不同。
聚类分析就是要找出具有相近程度的点或类聚为一类；如何衡量这个“相近程度”？就是要根据“距离”来确定。
这里的距离含义很广，凡是满足4个条件（后面讲）的都是距离，如欧氏距离、马氏距离…，相似系数也可看作为距离。
二、如何度量距离的远近：统计距离和相似系数1．统计距离距离有点间距离好和类间距离2．常用距离统计距离有多种，常用的是明氏距离。
3．相似系数当对个指标变量进行聚类时，用相似系数来衡量变量间的关联程度，一般地称为变量和间的相似系数。
常用的相似系数有夹角余弦、相关系数等。
夹角余弦：相关系数：对于分类变量的研究对象的相似性测度，一般称为关联测度。
第二节如何进行聚类分析一、系统聚类1．系统聚类的基本步骤2．最短距离法3．最长距离法4．重心法和类平均法5．离差平方和法二、SPSS中的聚类分析1、事先要确定分多少类：K均值聚类法；2、事先不用确定分多少类：分层聚类；分层聚类由两种方法：分解法和凝聚法。
聚类和判别分析
市场细分
在市场营销中，判别分析可用于 识别消费者群体的特征和行为模 式，以便进行更有效的市场细分 和定位。
04
判别分析算法
线性判别分析（LDA）
01
基本思想：通过找到一个投影方向，使得同类样本在该方 向上投影后尽可能接近，不同类样本在该方向上投影后尽 可能远离。
02
算法步骤
03
1. 计算各类样本均值。
04
2. 计算类间散度矩阵和类内散度矩阵。
05
3. 计算投影方向，使得类间散度矩阵最大，类内散度矩 阵最小。
06
4. 将样本投影到该方向上，得到判别结果。
支持向量机（SVM）
算法步骤
2. 计算支持向量所构成的法向量 。
基本思想：通过找到一个超平面 ，使得该超平面能够将不同类样 本尽可能分开，同时使得离超平 面最近的样本距离尽可能远。
目的
聚类分析的目的是揭示数据集中的内在结构，帮助我们更好地理解数据的分布 和特征，为进一步的数据分析和挖掘提供基础。
聚类方法分类
01
基于距离的聚类
根据对象之间的距离进行聚类，常见的算法有K-means 、层次聚类等。
02
基于密度的聚类
根据数据点的密度进行聚类，将密度较高的区域划分为 一类，常见的算法有DBSCAN、OPTICS等。
聚类和判别分析
目录
• 聚类分析概述 • 聚类分析算法 • 判别分析概述 • 判别分析算法 • 聚类与判别分析的比较与选择
01
聚类分析概述
定义与目的
定义
聚类分析是一种无监督学习方法，旨在将数据集中的对象按照它们的相似性或 差异性进行分组，使得同一组内的对象尽可能相似，不同组之间的对象尽可能 不同。
聚类分析和判别分析
垂直冰柱图
树状图是将实 际的距离按比 例调整到0-25 例调整到 的范围内, 的范围内,用 逐级连线的方 式连线距离相 近的样品和新 类,直至成为 一大类. 一大类.
判别分析
判别分析也是一种常用比较常用的分 类分析方法, 类分析方法,它先根据已知类别的事物 的性质(自变量) 建立函数式( 的性质(自变量),建立函数式(自变量的 线性组合,即判别函数) 线性组合,即判别函数),然后对未知类 别的新事物进行判断以将之归入已知的 类别中. 类别中.
1,快速聚类 快速聚类也称为逐步聚类, 快速聚类也称为逐步聚类,它先 对数据进行初始分类, 对数据进行初始分类,然后系统采用标 准迭代算法进行运算,逐步调整, 准迭代算法进行运算,逐步调整,把所 有的个案归并在不同的类中, 有的个案归并在不同的类中,得到最终 分类.它适用于大容量样本的情形. 分类.它适用于大容量样本的情形.
利用快速聚类分析对20家上市公司进行分类. 20家上市公司进行分类 例1:利用快速聚类分析对20家上市公司进行分类.
SPSS实现 SPSS实现 (1)打开文件 打开文件: (1)打开文件:上市 公司.sav .sav. 公司.sav. (2)点击 分析/ 点击" (2)点击"分析/分 /K类/K-均值聚 类". (3)选择变量 选择变量, (3)选择变量, 个案标记依据, 个案标记依据, 分类类别数. 分类类别数. (如图对话框中 2表示把所有个 案分为两类) 案分为两类)
聚类分析主要解决的问题: 聚类分析主要解决的问题:所研究的对 象事前不知道应该分为几类, 象事前不知道应该分为几类,更不知道分类 情况, 情况,需要建立一种分类方法来确定合理的 分类数目,并按相似程度, 分类数目,并按相似程度,相近程度对所有 对象进行具体分类. 对象进行具体分类. 基本思路:在样本之间定义距离, 基本思路:在样本之间定义距离,在指 标之间定义相关系数,按距离的远近, 标之间定义相关系数,按距离的远近,相似 系数的大小对样本或指标进行归类. 系数的大小对样本或指标进行归类. SPSS实现 实现: 分析/分类"命令. SPSS实现:"分析/分类"命令. 常用的有快速( K-均值)聚类分析, 常用的有快速( K-均值)聚类分析,系统聚 类分析. 类分析.
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的基本步骤如下：
• （1）确定聚类数量。
• （2）确定初始类中心坐标。
• （3）根据距离最近原则进行分类。
• （4）重新计算所形成的各个新类别的中心点坐标，并重
新归类。
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8.3.2 K-均值聚类的操作过程
• 前面介绍了K-均值聚类分析的基本原理和步骤，在SPSS中
K-均值聚类的操作过程如下：
• 二阶聚类主要分为以下两个步骤： • （1）预分类 • （2）Байду номын сангаас式聚类
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9
8.2.2 二阶聚类的操作过程
• 在SPSS中二阶聚类的操作过程如下： • （1）打开或建立数据文件。 • （2）选择“分析” “分类” “两步聚类”命令，打开
“二阶聚类分析”对话框，如图所示。
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10
• （3）选择变量 • （4）选择距离度量标准 • （5）连续变量计数 • （6）设定聚类数量 • （7）选择聚类准则 • （8）选项设置 • （9）输出设置 • （10）设置完成后，单击“确定”按钮，执行操作，输出结
• 1．操作过程 • 2．结果分析
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8.3 K-均值聚类分析
• K-均值聚类（K-Means-Cluster）是一种快速样本聚类方
法，在聚类个数已知的情况下，特别适合于对大样本数据 进行分析。在本节将介绍K-均值聚类的基本原理和操作过 程。
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8.3.1 K-均值聚类的基本原理
体类别已知时需要使用判别分析对研究对象进行归类。在 SPSS中其菜单打开方式为：选择“分析” “分类”命令，打 开如图所示的“分类”菜单。
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2
8.1 聚类分析基本原理
• 聚类分析作为一种重要的分类方法，其实质在于通过研究
对象之间的亲疏关系将相似的对象划分为一类，不相似的 对象划分到不同的类别当中。在本节中将介绍聚类分析的 概念、计算方法和聚类结果的评价等。
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3
8.1.1 聚类分析简介
• 聚类分析（Cluster Analysis）是根据事物本身的特征通
过统计方法对事物进行分类的多元分析方法，可以通过数 据建模达到简化数据的目的。聚类分析也称为分类分析、 数值分类或集群分析等。根据分类对象的不同，聚类分析 可分为样本聚类和变量聚类两种。
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5
• 1．距离 • 距离的计算根据观测指标数据类型的不同可以分为两种情况：
如果观测指标是非连续数据，需要采用卡方分析等计算方法； 如果观测值标是连续数据，则可以采用以下几种算法：
• （1）明氏距离 • （2）马氏距离 • （3）兰氏距离 • （4）自定义距离
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6
• 2．相似性系数 • 前面提到，聚类分析不仅可以对样本进行聚类，而且还可以
• K-均值聚类（K-Means-Cluster）又称快速样本聚类或逐
步样本聚类，是先将样本数据进行初始分类，然后根据中
心点逐步调整，直至得到最终分类。这种聚类方法具有计
算量大、对系统要求低、占用内存少、处理速度快的特点，
因此特别适合处理大样本数据。但是这种聚类方法只适于
对样本的聚类，而不能对变量进行聚类。K-均值聚类分析
果。
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11
8.2.3 实例分析：普通高等学
校（机构）教职工队伍构成（1）
• 教师队伍的构成影响和制约着高等教育的质量和发展。现
准备根据2008年中国部分省份普通高等学校（机构）教职 工队伍构成情况对这些地区进行分类。收集到的资料包括： 正高级职称人数（单位：人）、副高级职称人数、中级职 称人数、初级职称人数和无职称人数。
对变量进行聚类，当对变量进行聚类时，考察变量之间关系 的指标一般采用相似性系数来表示。相似性系数是描述测量 指标之间相关程度的指标，取值范围为[-1,1]，相似系数越 大，变量之间的相似性就越高。根据研究目的的不同，有时 只需要考察相关系数绝对值的大小，有时还要考虑到相关的 方向，即相关系数的正负。聚类时，相似的变量归入一类， 不相似的变量归到不同的类。相似性系数的计算方法常见的 有积差相关系数和夹角余弦等。
4
8.1.2 聚类分析的计算
• 在聚类分析过程中，需要区分为不同的类，事物是怎样划
分到不同的类别当中的呢？判断不同事物是否归于一类依 据的是事物之间的相似性。事物相似性的度量标准一般有 两种：距离和相似性系数，距离一般用来度量样本之间的 相似性，而相似性系数一般是用来度量变量之间的相似性。
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• 积差相关系数：
rij
p
xikxi xjkxj k1
p
xik
xi
2
p
2 xjk xj
k1
k1
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7
8.1.3 聚类结果的评价
• 聚类分析是一个探索性的过程，在使用聚类分析过程中，
除了要根据不同的数据类型选择其最适合的聚类方法外， 还往往需要结合数据结构和对聚类样本或变量的先验经验， 并且不断探索和尝试才能得到比较好的聚类结果。这里简 要介绍一些判断类别数量是否合理的标准和最终分类应该 符合的要求作为参考。
第8章 聚类分析和判别分析
• 俗话说“物以类聚，人以群分”，在现实生活中，为了更
好的认识事物，人们往往需要根据事物的属性对事物进行 分类，分类是人类认识客观世界的一种重要方法。在社会 生活的各个方面和科学研究的各个领域都存在着大量的分 类问题。
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1
• 在实际生活中经常需要使用聚类分析对事物进行分类，在总
• 1．规定一个阈值T • 2．查看样本的散点图 • 3．使用统计量
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8
8.2.1 二阶聚类的基本原理
• 顾名思义，二阶聚类是指聚类过程是分为两步进行的，故
又称为两步聚类。二阶聚类发展较晚，但由于其能同时处 理连续数据和离散数据，同时还可以自动确定最佳聚类个 数，加上处理速度快等优点，使它从一经提出就在多个领 域得到推广，并受到越来越多用户的青睐。
• （1）打开或建立数据文件。 • （2）选择“分析” “分类” “K-均值聚类”命令，打
开“K-均值聚类”对话框，如图所示。
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15
• （3）选择变量 • （4）确定聚类数 • （5）选择聚类方法 • （6）设定聚类中心的读取与输出 • （7）设定迭代次数 • （8）设定输出结果 • （9）选择统计量指标和缺失值处理 • （10）单击“确定”按钮，执行操作，输出结果。